Ein erster Zwilling ist eine Primzahl, die sich von einer anderen Primzahl durch zwei, zum Beispiel der Zwilling Hauptpaar (3, 5) unterscheidet. Manchmal wird der Begriff erster Zwilling für ein Paar der Zwillingsblüte gebraucht; ein alternativer Name dafür ist Hauptzwilling.

Geschichte

Die Frage dessen, ob dort ungeheuer viele Zwillingsblüte bestehen, ist eine der großen geöffneten Fragen in der Zahlentheorie viele Jahre lang gewesen. Das ist der Inhalt des Zwillings Hauptvermutung, die feststellt, dass Es ungeheuer viele Blüte p solch gibt, dass p + 2 auch erst ist. 1849 hat de Polignac die allgemeinere Vermutung dass für jede natürliche Zahl k gemacht, es gibt ungeheuer viele Hauptpaare p und p′ solch dass p′  p = 2k. Der Fall k = 1 ist der Zwilling Hauptvermutung.

Eine stärkere Form des Zwillings Hauptvermutung, die Zähe-Littlewood Vermutung, verlangt ein Vertriebsgesetz für die mit dem Primzahl-Lehrsatz verwandte Zwillingsblüte.

Der Lehrsatz von Brun

1915 hat Viggo Brun gezeigt, dass die Summe von Gegenstücken der Zwillingsblüte konvergent war. Dieses berühmte Ergebnis, genannt den Lehrsatz von Brun, war der erste Gebrauch des Siebs von Brun und hat geholfen, die Entwicklung der modernen Sieb-Theorie zu beginnen. Die moderne Version des Arguments von Brun kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die Zahl der Zwillingsblüte weniger als N nicht überschreitet

für einen absoluten unveränderlichen C > 0.

1940, Paul Erdős hat gezeigt, dass es einen unveränderlichen c &lt gibt; 1 und ungeheuer viele Blüte p solch dass (p′  p) < (c ln p) wo p′ zeigt die folgende Blüte danach p an. Dieses Ergebnis wurde nacheinander verbessert; 1986 hat Helmut Maier dass ein unveränderlicher c &lt gezeigt; 0.25 kann verwendet werden. 2004 haben Daniel Goldston und Cem Yıldırım hat gezeigt, dass die Konstante weiter zu c = 0.085786 … 2005, Goldston, János Pintz und Yıldırım verbessert werden konnte, festgestellt, dass c gewählt werden kann, um willkürlich kleiner zu sein

Tatsächlich, durch das Annehmen vom Elliott-Halberstam mutmaßen oder eine ein bisschen schwächere Version, sie sind im Stande gewesen zu zeigen, dass es ungeheuer viele solche n gibt, dass mindestens zwei von n, n + 2, n + 6, n + 8, n + 12, n + 18 oder n + 20 erst sind. Laut einer stärkeren Hypothese haben sie gezeigt, dass für ungeheuer viele n mindestens zwei von n, n + 2, n + 4 und n + 6 erst sind.

Jeder Zwilling ist Hauptpaar außer (3, 5) von der Form (6n − 1 6n + 1) für eine natürliche Zahl muss n, und mit Ausnahme von = 1, in 0, 2, 3, 5, 7, oder 8 enden.

Es ist bewiesen worden, dass das Paar (M, m+2) ein erster Zwilling wenn und nur wenn ist

Wenn M − 4 oder M + 6 ist auch dann erst die 3 Blüte wird einen Hauptdrilling genannt.

Größter bekannter Zwilling Hauptpaar

Am 15. Januar 2007 haben zwei verteilte Rechenprojekte, Zwilling Hauptsuche und PrimeGrid die größte bekannte Zwillingsblüte, 2003663613 gefunden · 2 ± 1. Die Zahlen haben 58711 dezimale Ziffern. Ihr Entdecker war Eric Vautier aus Frankreich.

Am 6. August 2009 haben jene dieselben zwei Projekte bekannt gegeben, dass ein neuer erster Rekordzwilling gefunden worden war. Es ist 65516468355 · 2 ± 1. Die Zahlen haben 100355 dezimale Ziffern.

Am 25. Dezember 2011 hat PrimeGrid bekannt gegeben, dass noch ein anderer erster Rekordzwilling gefunden worden war. Es ist 3756801695685*2±1.. Die Zahlen haben 200700 dezimale Ziffern.

Eine empirische Analyse aller Hauptpaare bis zu 4.35 · 10 Shows das, wenn die Zahl solcher Paare weniger als f ist · / (Klotz) dann f ist ungefähr 1.7 für den kleinen und nimmt zu ungefähr 1.3 ab, wie zur Unendlichkeit neigt.

Es gibt 808,675,888,577,436 Zwilling Hauptpaare unten 10.

Der Begrenzungswert von f wird vermutet, um zweimal dem Zwilling Hauptkonstante gleichzukommen (um mit der Konstante von Brun nicht verwirrt zu sein)

diese Vermutung würde den Zwilling Hauptvermutung einbeziehen, aber bleibt ungelöst.

Der Zwilling Hauptvermutung würde eine bessere Annäherung, als mit der zählenden Hauptfunktion durch geben

Eigenschaften

Die ersten Zwilling Hauptpaare sind:

: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), ….

Das sogar erste einzige ist 2; abgesehen vom Paar (2, 3), ist Zwillingsblüte so nah unter Drogeneinfluss wie möglich für zwei Blüte.

Jede dritte ungerade Zahl ist durch 3 teilbar, der verlangt, dass keine drei aufeinander folgenden ungeraden Zahlen erst sein können, wenn einer von ihnen 3 nicht ist. Fünf ist deshalb die einzige Blüte, die ein Teil von zwei Paaren ist. Entlang denselben Linien, außer dem ersten Paar, muss die zwischen der Zwillingsblüte in den Mittelpunkt gestellte Zahl immer durch 6 teilbar sein. Das niedrigere Mitglied eines Paares ist definitionsgemäß ein erster Chen.

Zuerst Zähe-Littlewood Vermutung

Die Zähe-Littlewood Vermutung (nach G. H. Hardy und John Littlewood) ist eine Generalisation des Zwillings Hauptvermutung. Es ist mit dem Vertrieb von Hauptkonstellationen einschließlich der Zwillingsblüte in der Analogie zum Primzahl-Lehrsatz beschäftigt. Lassen Sie π (x) zeigen die Zahl der Blüte p  x solch an, dass p + 2 auch erst ist. Definieren Sie den Zwilling erster unveränderlicher C als

(hier streckt sich das Produkt über alle Primzahlen p  3 aus). Dann ist die Vermutung das

im Sinn, dass der Quotient der zwei Ausdrücke zu 1 als n Annäherungsunendlichkeit neigt. (Der zweite ~ ist nicht ein Teil der Vermutung und wird durch die Integration durch Teile bewiesen.)

Diese Vermutung kann gerechtfertigt (aber nicht bewiesen werden) durch das Annehmen, dass 1 / ln t die Dichte-Funktion des Hauptvertriebs, eine durch den Primzahl-Lehrsatz angedeutete Annahme beschreibt.

Die Vermutung von Polignac

Die Vermutung von Polignac von 1849 stellt fest, dass für jede positive sogar natürliche Zahl k es ungeheuer viele Konsekutivhauptpaare p und p  solch dass p   p = k gibt (d. h. es ungeheuer viele Hauptlücken der Größe k gibt). Der Fall k = 2 ist der Zwilling Hauptvermutung. Die Vermutung ist nicht bewiesen oder für jeden Wert von k widerlegt worden.

Isolierte Blüte

Eine isolierte Blüte ist eine Primzahl p solch dass keiner p − 2 noch p + 2 ist erst. Mit anderen Worten ist p nicht ein Teil eines Zwillings Hauptpaar. Zum Beispiel, 23 ist eine isolierte Blüte, da 21 und 25 beide zerlegbar sind.

Die erste paar isolierte Blüte ist

:2, 23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97, ….

Siehe auch

• Hauptvierling
• Hauptfünfling

Weiterführende Literatur

Außenverbindungen

• 20 erste Zwillingsblüte an den Hauptseiten von Chris Caldwell.
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Einführung in die Zwillingsblüte und den unveränderlichen von Brun
• "Offizielle Presseinformation" des 58711-stelligen Zwillings Hauptaufzeichnung.
• Die 20 000 erste Zwillingsblüte