In der Mathematik, spezifisch im Gebiet der abstrakten als Gruppentheorie bekannten Algebra, ist ein halbdirektes Produkt ein besonderer Weg, auf den eine Gruppe von zwei Untergruppen zusammengestellt werden kann, von denen eine eine normale Untergruppe ist. Ein halbdirektes Produkt ist eine Generalisation eines direkten Produktes. Es ist ein kartesianisches Produkt als ein Satz, aber mit einer besonderen Multiplikationsoperation.

Einige gleichwertige Definitionen

Lassen Sie G eine Gruppe mit dem Identitätselement e, N eine normale Untergruppe von G (d. h., N  G) und H eine Untergruppe von G sein. Die folgenden Behauptungen sind gleichwertig:

• G = NH und N  H = {e}.
• G = HN und N  H = {e}.
• Jedes Element von G kann als ein einzigartiges Produkt eines Elements von N und eines Elements von H geschrieben werden.
• Jedes Element von G kann als ein einzigartiges Produkt eines Elements von H und eines Elements von N geschrieben werden.
• Das natürliche Einbetten H  G, zusammengesetzt mit dem natürlichen Vorsprung G  G / N, gibt einen Isomorphismus zwischen H und der Quotient-Gruppe G / N nach.
• Dort besteht ein Homomorphismus G  H, der die Identität auf H ist, und dessen Kern N ist.

Wenn ein (und deshalb alle) dieser Behauptungen halten, sagen wir, dass G ein halbdirektes Produkt von N und H, schriftlich ist, oder dass sich G über N aufspaltet;

man sagt auch, dass G ein halbdirektes Produkt von H ist, der N oder sogar ein halbdirektes Produkt von H und N folgt. Um Zweideutigkeiten zu vermeiden, ist es ratsam, welch des anzugeben

zwei Untergruppen sind normal.

Elementare Tatsachen und Verwahrungen

Wenn G das halbdirekte Produkt der normalen Untergruppe N und der Untergruppe H ist, und sowohl N als auch H sind begrenzt, dann kommt die Ordnung von G dem Produkt der Ordnungen von N und H gleich.

Bemerken Sie, dass, im Vergleich mit dem Fall mit dem direkten Produkt, ein halbdirektes Produkt von zwei Gruppen im Allgemeinen nicht, einzigartig ist; wenn G und G  zwei Gruppen sind, die, sowohl isomorphe Kopien von N als eine normale Untergruppe als auch H als eine Untergruppe zu enthalten, und beide ein halbdirektes Produkt von N und H sind, dann folgt es dem nicht G und G  sind isomorph. Diese Bemerkung führt zu einem Erweiterungsproblem, die Möglichkeiten zu beschreiben.

Halbdirekte Produkte und Gruppenhomomorphismus

Lassen Sie G ein halbdirektes Produkt der normalen Untergruppe N und der Untergruppe H sein. Lassen Sie Aut (N) zeigen die Gruppe des ganzen automorphisms von N an. Die Karte φ: H  Aut (N) definiert durch φ (h) = ist φ, wo φ (n) = hnh für den ganzen h in H und n in N, ein Gruppenhomomorphismus. Zusammen bestimmen N, H und φ G bis zum Isomorphismus, weil wir uns jetzt zeigen.

In Anbetracht irgendwelcher zwei Gruppen N und H (nicht notwendigerweise Untergruppen einer gegebenen Gruppe) und ein Gruppenhomomorphismus: H  Aut (N), es gibt eine neue Gruppe (oder einfach), genannt das halbdirekte Produkt von N und H in Bezug auf, definiert wie folgt.

• Als ein Satz, ist das kartesianische Produkt N × H.
• Die Multiplikation von Elementen darin wird durch den Homomorphismus bestimmt. Die Operation ist

::

:defined durch

::

:for n, n in N und h, h in H.

Das definiert eine Gruppe, in der das Identitätselement ist (e, e) und das Gegenteil des Elements (n, h) ist ((n), h). Paare (n, e) bilden eine normale zu N isomorphe Untergruppe, während Paare (e, h) eine zu H isomorphe Untergruppe bilden. Die volle Gruppe ist ein halbdirektes Produkt jener zwei Untergruppen im Sinn, der oben gegeben ist.

Nehmen Sie umgekehrt an, dass uns eine Gruppe G mit einer normalen Untergruppe N und einer Untergruppe H, solch gegeben wird, dass jedes Element g G einzigartig in der Form g=nh geschrieben werden kann, wo n in N liegt und h in H liegt. Lassen Sie: H  Aut (N), der Homomorphismus sein, der durch (h) =, wo gegeben ist

:

für den ganzen n in N und h in H.

Dann ist G zum halbdirekten Produkt isomorph; der Isomorphismus sendet das Produkt nh an das Tupel (n, h). In G haben wir die Multiplikationsregel

:

Eine Version des zerreißenden Lemmas für Gruppen stellt fest, dass eine Gruppe G zu einem halbdirekten Produkt der zwei Gruppen N und H isomorph ist, wenn, und nur wenn dort eine kurze genaue Folge besteht

:

und ein Gruppenhomomorphismus γ: H  G solch dass, die Identitätskarte auf H. In diesem Fall: H  Aut wird (N) durch (h) =, wo gegeben

:

Wenn der triviale Homomorphismus ist, jedes Element von H zur Identität automorphism von N sendend, dann das direkte Produkt ist.

Beispiele

Die zweiflächige Gruppe D mit 2n Elemente ist zu einem halbdirekten Produkt der zyklischen Gruppen C und C isomorph. Hier folgt das Nichtidentitätselement von C C durch das Umkehren von Elementen; das ist ein automorphism, da C abelian ist. Die Präsentation für diese Gruppe ist:

:

Mehr allgemein wird ein halbdirektes Produkt irgendwelcher zwei zyklischen Gruppen mit dem Generator und mit dem Generator durch eine einzelne Beziehung mit und coprime, d. h. die Präsentation gegeben:

:

Wenn und coprime sind, ist ein Generator und

, folglich die Präsentation:

:

gibt eine der vorherigen isomorphe Gruppe.

Die grundsätzliche Gruppe der Flasche von Klein kann in der Form präsentiert werden

:

und ist deshalb ein halbdirektes Produkt der Gruppe von ganzen Zahlen, mit sich.

Die Euklidische Gruppe aller starren Bewegungen (Isometrien) des Flugzeugs (stellt f kartografisch dar: R  R solch, dass die Euklidische Entfernung zwischen x und y der Entfernung zwischen f (x) und f (y) für den ganzen x und y in R) gleichkommt, ist zu einem halbdirekten Produkt der abelian Gruppe R isomorph (der Übersetzungen beschreibt) und die Gruppe O (2) von orthogonalen 2×2 matrices (der Folgen und Nachdenken beschreibt, das den Ursprung befestigt hält). n ist eine Übersetzung, h eine Folge oder Nachdenken. Wenn sie eine Übersetzung und dann anwenden, entsprechen eine Folge oder Nachdenken Verwendung der Folge oder des Nachdenkens zuerst und dann einer Übersetzung durch den rotieren gelassenen oder widerspiegelten Übersetzungsvektoren (d. h. Verwendung der verbundenen von der ursprünglichen Übersetzung). Jede orthogonale Matrix handelt als ein automorphism auf R durch die Matrixmultiplikation.

Die orthogonale Gruppe O (n) des ganzen orthogonalen echten n×n matrices (intuitiv der Satz aller Folgen und Nachdenkens des n-dimensional Raums, das den Ursprung befestigt hält) ist zu einem halbdirekten Produkt der Gruppe SO (n) isomorph (aus dem ganzen orthogonalen matrices mit der Determinante 1, intuitiv die Folgen des n-dimensional Raums bestehend), und C. Wenn wir C als die multiplicative Gruppe von matrices {ich, R} vertreten, wo R ein Nachdenken des n dimensionalen Raums ist, der den Ursprung befestigt (d. h. eine orthogonale Matrix mit der Determinante das-1 Darstellen einer Involution), dann φ hält: C  Aut (SO (n)) wird durch φ (H) (N) = H N H für den ganzen H in C und N in SO (n) gegeben. Im nichttrivialen Fall (H ist nicht die Identität), bedeutet das, dass φ (H) Konjugation von Operationen durch das Nachdenken ist (eine Drehachse und die Richtung der Folge durch ihr "Spiegelimage" ersetzt werden).

Beziehung zu direkten Produkten

Nehmen Sie an, dass G ein halbdirektes Produkt der normalen Untergruppe N und der Untergruppe H ist. Wenn H auch in G, oder gleichwertig normal ist, wenn dort ein Homomorphismus G  N besteht, der die Identität auf N ist, dann ist G das direkte Produkt von N und H.

Vom direkten Produkt von zwei Gruppen N und H kann als das halbdirekte Außenprodukt von N und H in Bezug auf φ (h) = id für den ganzen h in H gedacht werden.

Bemerken Sie, dass in einem direkten Produkt die Ordnung der Faktoren nicht wichtig ist, seitdem N × ist H zu H × N isomorph. Das ist nicht der Fall für halbdirekte Produkte, weil die zwei Faktoren verschiedene Rollen spielen.

Generalisationen

Der Aufbau von halbdirekten Produkten kann viel weiter gestoßen werden. Das Produkt von Zappa-Szep von Gruppen ist eine Generalisation, die, in seiner inneren Version, nicht annimmt, dass jede Untergruppe normal ist. Es gibt auch einen Aufbau in der Ringtheorie, dem durchquerten Produkt von Ringen. Das wird natürlich gesehen, sobald man einen Gruppenring für ein halbdirektes Produkt von Gruppen baut. Es gibt auch die halbdirekte Summe von Lüge-Algebra. In Anbetracht einer Gruppenhandlung auf einem topologischen Raum gibt es ein entsprechendes durchquertes Produkt, das im Allgemeinen nichtauswechselbar sein wird, selbst wenn die Gruppe abelian ist. Diese Art des Rings (sieh durchquertes Produkt für einen zusammenhängenden Aufbau), kann die Rolle des Raums von Bahnen der Gruppenhandlung in Fällen spielen, wo diesem Raum durch herkömmliche topologische Techniken - zum Beispiel in der Arbeit von Alain Connes (vgl Nichtersatzgeometrie) nicht genähert werden kann.

Es gibt auch weit reichende Verallgemeinerungen in der Kategorie-Theorie. Sie zeigen, wie man fibred Kategorien von mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Kategorien baut. Das ist eine abstrakte Form des halbdirekten Außenproduktaufbaus.

Groupoids

Eine andere Verallgemeinerung ist für groupoids. Das kommt in der Topologie vor, weil, wenn eine Gruppe einem Raum folgt, es auch dem grundsätzlichen groupoid des Raums folgt. Das halbdirekte Produkt ist dann für die Entdeckung des grundsätzlichen groupoid des Bahn-Raums wichtig. Weil volle Details Kapitel 11 des Buches sehen, das unten, und auch einige Details im halbdirekten Produkt in ncatlab Verweise angebracht ist.

Kategorien von Abelian

Nichttriviale halbdirekte Produkte entstehen in abelian Kategorien wie die Kategorie von Modulen nicht. In diesem Fall zeigt das zerreißende Lemma, dass jedes halbdirekte Produkt ein direktes Produkt ist. So widerspiegelt die Existenz von halbdirekten Produkten einen Misserfolg der Kategorie, abelian zu sein.

Notation

Gewöhnlich wird das halbdirekte Produkt einer Gruppe H das Folgen einer Gruppe N (in den meisten Fällen durch die Konjugation als Untergruppen einer allgemeinen Gruppe) durch angezeigt oder. Jedoch können einige Quellen dieses Symbol mit der entgegengesetzten Bedeutung verwenden. Im Falle dass die Handlung ausführlich gemacht werden sollte, schreibt man auch. Eine Denkart über das Symbol ist als eine Kombination des Symbols für die normale Untergruppe und des Symbols für das Produkt .

Unicode verzeichnet vier Varianten:

:

Hier sagt die Beschreibung von Unicode des rtimes Symbols "richtigen normalen Faktor", im Gegensatz zu seiner üblichen Bedeutung in der mathematischen Praxis.

IM LATEX erzeugen die Befehle \rtimes und \ltimes die entsprechenden Charaktere.

Siehe auch

• Holomorph
• Subdirektes Produkt
• Kranz-Produkt

Referenzen

• R. Braun, Topologie und groupoids, Booksurge 2006. Internationale Standardbuchnummer 1-4196-2722-8