Eine Brachistochrone-Kurve (Gr. , brachistos - das kürzeste, , chronos - Zeit), oder Kurve des schnellsten Abstiegs, ist die Kurve zwischen zwei Punkten, die in kleinster Zeit durch einen einem Punkt ähnlichen Körper bedeckt wird, der am ersten Punkt mit der Nullgeschwindigkeit anfängt und beschränkt wird, die Kurve zum zweiten Punkt, unter der Handlung des unveränderlichen Ernstes und dem Annehmen keiner Reibung voranzukommen.

Der brachistochrone ist der cycloid

In Anbetracht zwei Punkte A und B, mit nicht tiefer als B, gibt es gerade ein umgekehrt cycloid, der mit dem unendlichen Hang durchgeht, auch durch B geht und maximale Punkte zwischen A und B nicht hat. Umgekehrte cycloid dieser Einzelheit ist eine Brachistochrone-Kurve. Die Kurve hängt von der Masse des Körpers oder in großer Zahl von der Gravitationskonstante nicht ab.

Das Problem kann mit den Werkzeugen von der Rechnung von Schwankungen behoben werden.

Wenn der Körper eine anfängliche Geschwindigkeit an A gegeben wird, oder wenn Reibung in Betracht gezogen wird, wird sich die Kurve, die Zeit minimiert, von derjenigen unterscheiden, die oben beschrieben ist.

Die Lösung von Johann Bernoulli

Gemäß dem Grundsatz von Fermat: Der wirkliche Pfad zwischen zwei von einem Lichtstrahl genommenen Punkten ist derjenige, der in kleinster Zeit überquert wird. Johann Bernoulli hat diesen Grundsatz verwendet, um die Brachistochrone-Kurve abzuleiten, indem er die Schussbahn eines Lichtstrahls in einem Medium wo die Geschwindigkeit von leichten Zunahmen im Anschluss an eine unveränderliche vertikale Beschleunigung (dieser des Ernstes g) gedacht hat.

Das Bewahrungsgesetz kann verwendet werden, um die Geschwindigkeit eines Körpers in einem unveränderlichen Schwerefeld als auszudrücken:

:

wo y die vertikale Entfernung vertritt, ist der Körper gefallen. Durch die Bewahrung der Energie hängt die Geschwindigkeit der Bewegung des Körpers entlang einer willkürlichen Kurve von der horizontalen Versetzung nicht ab.

Johann Bernoulli hat bemerkt, dass das Gesetz der Brechung eine Konstante der Bewegung für einen Lichtstrahl in einem Medium der variablen Dichte gibt:

:

wo v die Konstante ist und den Winkel der Schussbahn in Bezug auf das vertikale vertritt.

Die Gleichungen erlauben uns oben, zwei Schlüsse zu ziehen:

1. Am Anfall, wenn die Partikel-Geschwindigkeit Null ist, muss der Winkel Null sein. Folglich ist die Brachistochrone-Kurve Tangente zum vertikalen am Ursprung.
2. Die Geschwindigkeit erreicht einen maximalen Wert, wenn die Schussbahn horizontal und der Winkel θ = 90 ° wird.

Um Dinge einfach zu halten, können wir annehmen, dass die Partikel (oder der Balken) mit Koordinaten (x, y) vom Punkt (0,0) abweicht und Höchstgeschwindigkeit nach einem Fallen eine vertikale Entfernung D erreicht. Also,

:.

Das Umordnen von Begriffen im Gesetz der Brechung und des Quadrierens gibt:

:

der für dx in Bezug auf dy gelöst werden kann:

:.

Das Ersetzen von den Ausdrücken für v und v gibt oben:

:

der die Differenzialgleichung eines umgekehrten cycloid ist, der durch einen Kreis des Diameters D erzeugt ist.

Der Bruder von Johann Jakob hat gezeigt, wie 2. Differenziale verwendet werden können, um die Bedingung für kleinste Zeit zu erhalten. Eine modernisierte Version des Beweises ist wie folgt. Wenn wir eine unwesentliche Abweichung vom Pfad von kleinster Zeit dann, für das Differenzialdreieck gebildet durch die Versetzung entlang dem Pfad und die horizontalen und vertikalen Versetzungen, machen

:.

Auf der Unterscheidung mit befestigtem dy kommen wir,

:.

Und schließlich Umordnen von Begriffen, gibt

:

wo der letzte Teil gerade die Änderung in der Entfernung für die gegebene Änderung rechtzeitig für 2. Differenziale ist. Denken Sie jetzt die Änderungen entlang den zwei benachbarten Pfaden in der Zahl unten, für die die horizontale Trennung zwischen Pfaden entlang der Hauptlinie dx (dasselbe für beide die oberen und niedrigeren Differenzialdreiecke) ist. Entlang den alten und neuen Pfaden sind die Teile, die sich unterscheiden,

::

Für den Pfad von kleinste Male diesen Zeiten sind so für ihren Unterschied gleich, den wir, bekommen

:

Und die Bedingung für kleinste Zeit, ist

:

Geschichte

Johann Bernoulli hat das Problem des brachistochrone den Lesern von Acta Eruditorum im Juni 1696 aufgeworfen. Er hat seine Lösung in der Zeitschrift im Mai des folgenden Jahres veröffentlicht und hat bemerkt, dass die Lösung dieselbe Kurve wie die Tautochrone-Kurve von Huygens ist. Nach dem Abstammen der Differenzialgleichung für die Kurve durch die Methode, die oben gegeben ist, hat er fortgesetzt zu zeigen, dass es wirklich einen cycloid nachgibt. Aber sein Beweis wird durch die Tatsache beschädigt, dass er eine einzelne Konstante statt der drei Konstanten, v, 2g und D oben verwendet. Fünf Mathematiker haben mit Lösungen erwidert: Isaac Newton, Jakob Bernoulli (der Bruder von Johann), Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus und Guillaume de l'Hôpital. Vier der Lösungen (l'Hôpitals ausschließend), wurden in derselben Ausgabe der Zeitschrift wie Johann Bernoulli veröffentlicht. In seiner Zeitung hat Jakob Bernoulli einen Beweis der Bedingung für kleinste Zeit gegeben, die dem oben vor der Vertretung ähnlich ist, dass seine Lösung ein cycloid ist.

In einem Versuch, seinen Bruder zu übertreffen, hat Jakob Bernoulli eine härtere Version des brachistochrone Problems geschaffen. Im Lösen davon hat er neue Methoden entwickelt, die von Leonhard Euler darin raffiniert wurden, was die Letzteren (1766) die Rechnung von Schwankungen genannt haben. Joseph-Louis de Lagrange hat wirklich weiter gearbeitet, der auf moderne unendlich kleine Rechnung hinausgelaufen ist.

Galileo hat versucht, ein ähnliches Problem für den Pfad des schnellsten Abstiegs von einem Punkt bis eine Wand in seinen Zwei Neuen Wissenschaften 1638 zu beheben. Er zieht den Schluss (der Dritte Tag, Lehrsatz 22, Stütze. 36), dass der Kreisbogen eines Kreises schneller ist als jede Zahl seiner Akkorde,

: "Vom Vorangehen ist ihm möglich abzuleiten, dass der schnellste Pfad von allen [lationem omnium velocissimam], von einem Punkt bis einen anderen, nicht der kürzeste Pfad, nämlich, eine Gerade, aber der Kreisbogen eines Kreises ist.

:...

:Consequently näher nähert sich das eingeschriebene Vieleck ein Kreis ist kürzer die Zeit, die für den Abstieg von bis C erforderlich ist. Was für den Quadranten bewiesen worden ist, hält auch für kleinere Kreisbogen für wahr; das Denken ist dasselbe."

Wir werden früher in den Gesprächen (gerade nach dem Lehrsatz 6) von möglichen Scheinbeweisen und dem Bedürfnis nach einer "höheren Wissenschaft gewarnt." In diesem Dialog prüft Galileo seine eigene Arbeit nach. Die wirkliche Lösung des Problems von Galileo ist ein halber cycloid. Galileo hat den cycloid studiert und hat ihm seinen Namen gegeben, aber die Verbindung dazwischen und seinem Problem musste auf Fortschritte in der Mathematik warten.

Siehe auch

• Rechnung von Schwankungen
• Identität von Beltrami
• Cycloid
• Tautochrone biegen
• Kettenlinie
• Gleichförmig beschleunigte Bewegung

Links

• Courbe Brachistrocrone (in Französisch mit ausgezeichneten belebten Beispielen)
• Der Brachistochrone, Pfeifer-Allee-Mathematik.
• Tabelle IV vom Artikel von Bernoulli in Acta Eruditorum 1697
• Brachistochrones durch das Problem von Michael Trott und Brachistochrone durch o.k. Arik, Wolfram-Demonstrationsprojekt.
• Das Brachistochrone Problem an MacTutor