Integration ist die grundlegende Operation in der Integralrechnung. Während Unterscheidung leichte Regeln hat, durch die die Ableitung einer komplizierten Funktion durch das Unterscheiden seiner einfacheren Teilfunktionen gefunden werden kann, tut Integration nicht, so sind Tische bekannter Integrale häufig nützlich. Diese Seite verzeichnet einige der allgemeinsten Antiableitungen.

Historische Entwicklung von Integralen

Eine Kompilation einer Liste von Integralen (Integraltafeln) und Techniken der Integralrechnung wurde vom deutschen Mathematiker Meyer Hirsch 1810 veröffentlicht. Diese Tische wurden im Vereinigten Königreich 1823 neu veröffentlicht. Umfassendere Tische wurden 1858 vom holländischen Mathematiker David de Bierens de Haan kompiliert. Eine neue Ausgabe wurde 1862 veröffentlicht. Diese Tische, die hauptsächlich Integrale von Elementarfunktionen enthalten, sind im Gebrauch bis zur Mitte des 20. Jahrhunderts geblieben. Sie wurden dann durch die viel umfassenderen Tische von Gradshteyn und Ryzhik ersetzt. In Gradshteyn und Ryzhik werden Integrale, die aus dem Buch von de Bierens entstehen, durch BI angezeigt.

Nicht alle Ausdrücke der geschlossenen Form haben Antiableitungen der geschlossenen Form; diese Studie bildet das Thema der Differenzialtheorie von Galois, die von Joseph Liouville in den 1830er Jahren und 1840er Jahren am Anfang entwickelt wurde, zum Lehrsatz von Liouville führend, der klassifiziert, welche Ausdrücke Form-Antiableitungen geschlossen haben. Ein einfaches Beispiel einer Funktion ohne eine geschlossene Form-Antiableitung ist e, dessen Antiableitung (bis zu Konstanten) die Fehlerfunktion ist.

Seit 1968 gibt es den Algorithmus von Risch, um unbestimmte Integrale zu bestimmen, die im Begriff von Elementarfunktionen normalerweise mit einem Computeralgebra-System ausgedrückt werden können. Integrale, die mit Elementarfunktionen nicht ausgedrückt werden können, können symbolisch mit allgemeinen Funktionen wie die G-Funktion von Meijer manipuliert werden.

Listen von Integralen

Mehr Detail kann auf den folgenden Seiten für die Listen von Integralen gefunden werden:

• Liste von Integralen von vernünftigen Funktionen
• Liste von Integralen von vernunftwidrigen Funktionen
• Liste von Integralen von trigonometrischen Funktionen
• Liste von Integralen von umgekehrten trigonometrischen Funktionen
• Liste von Integralen von Hyperbelfunktionen
• Liste von Integralen von umgekehrten Hyperbelfunktionen
• Liste von Integralen von Exponentialfunktionen
• Liste von Integralen von logarithmischen Funktionen
• Die Liste von Integralen von Gaussian fungiert

Gradshteyn, Ryzhik, Jeffrey, der Tisch von Zwillinger von Integralen, Reihe und Produkten enthalten eine große Sammlung von Ergebnissen. Ein noch größerer, Mehrvolumen-Tisch ist die Integrale und Reihe durch Prudnikov, Brychkov und Marichev (mit Bänden 1-3, die Integrale verzeichnen, und Reihe von elementaren und speziellen Funktionen, Band 4-5 ist Tische von Laplace verwandelt sich). Kompaktere Sammlungen können in z.B Brychkov, Marichev, den Tischen von Prudnikov von Unbestimmten Integralen, oder als Kapitel in den CRC Mathematischen Standardtischen und Formeln von Zwillinger, Bronstein und dem Handbuch von Semendyayev der Mathematik (Springer) und Benutzerhandbuch von Oxford zur Mathematik gefunden werden (Oxford Univ. Drücken Sie), und andere mathematische Handbücher.

Andere nützliche Mittel schließen Abramowitz und Stegun und das Manuskript-Projekt von Bateman ein. Beide Arbeiten enthalten viele Identität bezüglich spezifischer Integrale, die mit dem relevantesten Thema organisiert werden, anstatt in einen getrennten Tisch gesammelt zu werden. Zwei Volumina des Manuskriptes von Bateman sind zum Integral spezifisch verwandelt sich.

Es gibt mehrere Websites, die Tische von Integralen und Integralen auf Verlangen haben. Wolfram-Alpha kann Ergebnisse, und für einige einfachere Ausdrücke, auch die Zwischenstufen der Integration zeigen. Wolfram-Forschung bedient auch einen anderen Online-Dienst, das Wolfram Mathematica Online-Integrator.

Integrale von einfachen Funktionen

C wird für eine willkürliche Konstante der Integration verwendet, die nur bestimmt werden kann, wenn etwas über den Wert des Integrals an einem Punkt bekannt ist. So hat jede Funktion eine unendliche Zahl von Antiableitungen.

Diese Formeln setzen nur in einer anderen Form die Behauptungen im Tisch von Ableitungen fest.

Integrale mit einer Eigenartigkeit

Wenn es eine Eigenartigkeit in der Funktion gibt, die solch wird integriert, dass das Integral unbestimmt wird, d. h. es ist nicht Lebesgue integrable, dann C braucht nicht dasselbe an beiden Seiten der Eigenartigkeit zu sein. Die Formen nehmen unten normalerweise den Hauptwert von Cauchy um eine Eigenartigkeit im Wert von C an, aber das ist nicht im Allgemeinen notwendig. Zum Beispiel in

::

es gibt eine Eigenartigkeit an 0, und das Integral wird unendlich dort. Wenn das Integral oben verwendet würde, um ein bestimmtes Integral zwischen-1 und 1 zu geben, würde die Antwort 0 sein. Das ist jedoch nur der Wert, der den Hauptwert von Cauchy für das Integral um die Eigenartigkeit annimmt. Wenn die Integration im komplizierten Flugzeug getan würde, würde das Ergebnis vom Pfad um den Ursprung abhängen, in diesem Fall trägt die Eigenartigkeit iπ bei, wenn sie einen Pfad über dem Ursprung und iπ für einen Pfad unter dem Ursprung verwendet. Eine Funktion auf der echten Linie konnte einen völlig verschiedenen Wert von C auf beiden Seiten des Ursprungs als verwenden in:

:

Vernünftige Funktionen

:more-Integrale: Liste von Integralen von vernünftigen Funktionen

Diese vernünftigen Funktionen haben eine non-integrable Eigenartigkeit an 0 für einen  1.

:: (Die Quadratur-Formel von Cavalieri):::: Mehr allgemein,::\end {Fälle} </Mathematik>:

Exponentialfunktionen

:more-Integrale: Liste von Integralen von Exponentialfunktionen

::

Logarithmen

:more-Integrale: Liste von Integralen von logarithmischen Funktionen

::

Trigonometrische Funktionen

:more-Integrale: Liste von Integralen von trigonometrischen Funktionen

:::::

:: (Sieh Integriert der schneidenden Funktion. Dieses Ergebnis war eine wohl bekannte Vermutung im 17. Jahrhundert.)

::::::::

:: (sieh integriert der Sekante kubiert)

::

Umgekehrte trigonometrische Funktionen

:more-Integrale: Liste von Integralen von umgekehrten trigonometrischen Funktionen

::::

Hyperbelfunktionen

:more-Integrale: Liste von Integralen von Hyperbelfunktionen

::::::

Umgekehrte Hyperbelfunktionen

:more-Integrale: Liste von Integralen von umgekehrten Hyperbelfunktionen

:

x\\operatorname {arsinh} \, x-\sqrt {X^2+1} +C </Mathematik>

:

x\\operatorname {arcosh} \, x-\sqrt {x+1} \, \sqrt {x-1} +C </Mathematik>

:

x\\operatorname {artanh} \, x +\frac {\\ln\left (1-x^2\right)} {2} +C </Mathematik>

:

x\\operatorname {arcoth} \, x +\frac {\\ln\left (1-x^2\right)} {2} +C </Mathematik>

:

x\\operatorname {arsech} \, x-2 \, \arctan\sqrt {\\frac {1-x} {1+x}} +C </Mathematik>

:

x\\operatorname {arcsch} \, x +\operatorname {artanh }\\sqrt {\\frac {1} {x^2} +1} +C </Mathematik>

Produkte von zu ihren zweiten Ableitungen proportionalen Funktionen

::::

Absolute Wertfunktionen

:::::::

Spezielle Funktionen

Ci, Si: Trigonometrische Integrale, Ei: Exponentialintegral, li: Logarithmische integrierte Funktion, erf: Fehlerfunktion

::::::

Bestimmte Integrale, die an Antiableitungen der geschlossenen Form Mangel haben

Es gibt einige Funktionen, deren Antiableitungen in der geschlossenen Form nicht ausgedrückt werden können. Jedoch können die Werte der bestimmten Integrale von einigen dieser Funktionen über einige allgemeine Zwischenräume berechnet werden. Einige nützliche Integrale werden unten gegeben.

: (sieh auch Gammafunktion)

: (Gaussian integriert)

: für a> 0

:

\frac {2n-1} {2a} \int_0^\\infty x^ {2 (n-1)} e^ {-a x^2 }\\, dx

\frac {(2n-1)!!} {2^ {n+1}} \sqrt {\\frac {\\Pi} {a^ {2n+1}} }\

\frac {(2n)!} {n! 2^ {2n+1}} \sqrt {\\frac {\\Pi} {a^ {2n+1}} }\

</Mathematik> für a> 0, n ist 1, 2, 3... und!! ist der doppelte factorial.

: wenn a> 0

:

\frac {n} {ein} \int_0^\\infty x^ {2n-1} e^ {-a x^2 }\\, dx

\frac {n!} {2 A^ {n+1} }\

</Mathematik> für a> 0, n = 0, 1, 2....

: (sieh auch Zahl von Bernoulli)

::

: (sieh sinc fungieren und Sinus integriert)

:

: (wenn n eine gleiche ganze Zahl und ist)

: (wenn eine sonderbare ganze Zahl und ist)

:

\frac {2 \pi} {2^n} \binom {n} {M} & | \alpha | = | \beta (2m-n) | \\

0 & \text {sonst }\

\end {Fälle} </Mathematik> (für ganze Zahlen damit und, sieh auch Binomischen Koeffizienten)

: (für die echte und natürliche Zahl, sieh auch Symmetrie)

:

(-1) ^ {(n+1)/2} (-1) ^m \frac {2 \pi} {2^n} \binom {n} {M} & n \text {seltsam}, \\alpha = \beta (2m-n) \\

0 & \text {sonst }\\end {Fälle} </Mathematik> (für ganze Zahlen damit und, sieh auch Binomischen Koeffizienten):

(-1) ^ {n/2} (-1) ^m \frac {2 \pi} {2^n} \binom {n} {M} & n \text {sogar}, \| \alpha | = | \beta (2m-n) | \\

0 & \text {sonst }\\end {Fälle} </Mathematik> (für ganze Zahlen damit und, sieh auch Binomischen Koeffizienten)

: (wo die Exponentialfunktion, und ist)

: (wo die Gammafunktion ist)

: (die Beta-Funktion)

: (wo die modifizierte Funktion von Bessel der ersten Art ist)

:

:, das ist mit der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion des T-Vertriebs des Studenten verbunden)

Die Methode der Erschöpfung stellt eine Formel für den allgemeinen Fall zur Verfügung, wenn keine Antiableitung besteht:

::

Der Traum des "College-Studenten"

:

\int_0^1 x^ {-x }\\, dx &= \sum_ {n=1} ^\\infty N^ {-n} && (= 1.29128599706266\dots) \\

\int_0^1 x^x \, dx &=-\sum_ {n=1} ^\\infty (-1) ^n N^ {-n} && (= 0.783430510712\dots)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

zugeschrieben Johann Bernoulli.

Siehe auch

• Unbestimmte Summe
• Unvollständige Gammafunktion
• Liste der mathematischen Reihe
• Liste von Grenzen
• Symbolische Integration
• M. Abramowitz und I.A. Stegun, Redakteure. Handbuch von Mathematischen Funktionen mit Formeln, Graphen und Mathematischen Tischen.
• I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, Redakteure. Tisch von Integralen, Reihe, und Produkten, der siebenten Ausgabe. Akademische Presse, 2007. Internationale Standardbuchnummer 978-0-12-373637-6. Errata. (Mehrere vorherige Ausgaben ebenso.)
• A.P. Prudnikov (А.П. Прудников), Yu. A. Brychkov (Ю.А. Брычков), O.I. Marichev (О.И. Маричев). Integrale und Reihe. Erstausgabe (Russisch), Band 1-5, Nauka, 19811986. Erstausgabe (Englisch, das aus dem Russen durch N.M. Queen übersetzt ist), Band 1-5, Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press, 1988-1992, internationale Standardbuchnummer 2-88124-097-6. Die zweite verbesserte Auflage (Russisch), Band 1-3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
• Yu. A. Brychkov (Ю.А. Брычков), Handbuch von Speziellen Funktionen: Ableitungen, Integrale, Reihe und Andere Formeln. Russische Ausgabe, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. Englische Ausgabe, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, internationale Standardbuchnummer 1 58488 956 X.
• Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematische Tische und Formeln, 31. Ausgabe. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. Internationale Standardbuchnummer 1-58488-291-3. (Viele frühere Ausgaben ebenso.)

Historisch

• Meyer Hirsch, Integraltafeln, oder, Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Berlin, 1810)
• Meyer Hirsch, Integrierte Tische, Oder, Eine Sammlung von Integrierten Formeln (Baynes und Sohn, London, 1823) [englische Übersetzung von Integraltafeln]
• David Bierens de Haan, Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
• Benjamin O. Pierce A kurzer Tisch von Integralen - verbesserte Auflage (Ginn & Co., Boston, 1899)

Außenverbindungen

Tische von Integralen

• S.O.S. Mathematik: Tische und Formeln (Warnung: Kann popunders dienen)
• Die Online-Mathematik von Paul bemerkt
• A. Dieckmann, Tisch von Integralen (Elliptische Funktionen, Quadratwurzeln, umgekehrte Tangenten und exotischere Funktionen): Unbestimmte Integrale bestimmte Integrale
• Der Mathemajor: Ein Tisch von Integralen
• O'Brien, Francis J. II. Integrale] Abgeleitete Integrale von logarithmischen und Exponentialfunktionen
• Regelbasierende Mathematik hat Genau unbestimmte Integrationsregeln definiert, die eine breite Klasse von integrands bedecken

Abstammungen

• V. H. Moll, die Integrale in Gradshteyn und Ryzhik

Online-Dienst

• Integrationsbeispiele für Wolfram Alpha

Offene Quellprogramme

• wxmaxima gui für die Symbolische und numerische Entschlossenheit von vielen mathematischen Problemen