In der Mathematik sind Funktionen von Bessel, die zuerst vom Mathematiker Daniel Bernoulli definiert sind und von Friedrich Bessel verallgemeinert sind, kanonische Lösungen y (x) der Differenzialgleichung von Bessel:

:

für eine willkürliche reelle Zahl oder komplexe Zahl α (die Ordnung der Funktion von Bessel); die allgemeinsten und wichtigen Fälle sind für α eine ganze Zahl oder halbganze Zahl.

Obwohl α und − dieselbe Differenzialgleichung erzeugen, ist es herkömmlich, um verschiedene Funktionen von Bessel für diese zwei Ordnungen zu definieren (z.B, so dass die Funktionen von Bessel größtenteils glatte Funktionen von α sind). Funktionen von Bessel sind auch bekannt als Zylinderfunktionen oder zylindrische Obertöne, weil sie in der Lösung der Gleichung von Laplace in zylindrischen Koordinaten gefunden werden.

Anwendungen der Funktion von Bessel

Die Gleichung von Bessel entsteht, wenn sie trennbare Lösungen der Gleichung von Laplace und der Gleichung von Helmholtz in zylindrischen oder kugelförmigen Koordinaten findet. Funktionen von Bessel sind deshalb für viele Probleme der Welle-Fortpflanzung und statischen Potenziale besonders wichtig. Im Beheben von Problemen in zylindrischen Koordinatensystemen erhält man Funktionen von Bessel der Ordnung der ganzen Zahl (α = n); in kugelförmigen Problemen erhält man Ordnungen der halbganzen Zahl (α = n + ½). Zum Beispiel:

• Elektromagnetische Wellen in einem zylindrischen Wellenleiter
• Hitzeleitung in einem zylindrischen Gegenstand
• Weisen des Vibrierens eines dünnen Rundschreibens (oder Ring-) künstliche Membran (wie eine Trommel oder anderer membranophone)
• Verbreitungsprobleme auf einem Gitter
• Lösungen der radialen Gleichung von Schrödinger (in kugelförmigen und zylindrischen Koordinaten) für eine freie Partikel
• Das Lösen für Muster der akustischen Radiation

Funktionen von Bessel haben auch nützliche Eigenschaften für andere Probleme wie Signalverarbeitung (z.B, sieh FM-Synthese, Fenster Kaiser oder Filter von Bessel).

Definitionen

Da das eine Differenzialgleichung der zweiten Ordnung ist, muss es zwei linear unabhängige Lösungen geben. Abhängig von Verhältnissen, jedoch, sind verschiedene Formulierungen dieser Lösungen günstig, und die verschiedenen Schwankungen werden unten beschrieben.

Funktionen von Bessel der ersten Art: J

Funktionen von Bessel der ersten Art, angezeigt als J (x), sind Lösungen der Differenzialgleichung von Bessel, die am Ursprung (x = 0) für die ganze Zahl α begrenzt sind und abweichen, weil sich x Null für die negative nichtganze Zahl α nähert. Der Lösungstyp (z.B, ganze Zahl oder nichtganze Zahl) und Normalisierung von J (x) wird durch seine Eigenschaften unten definiert. Es ist möglich, die Funktion durch seine Reihenentwicklung von Taylor um x = 0 zu definieren:

:

wo Γ (z) die Gammafunktion, eine Generalisation der Factorial-Funktion zu Werten der nichtganzen Zahl ist. Die Graphen von Funktionen von Bessel sind grob schwingendem Sinus oder Kosinus-Funktionen ähnlich, die proportional zu 1 /  x verfallen (sieh auch ihre asymptotischen Formen unten), obwohl ihre Wurzeln nicht allgemein periodisch sind, außer asymptotisch für den großen x. (Zeigt die Reihe von Taylor an, dass −J (x) die Ableitung von J (x) ist, viel wie −sin ist x die Ableitung weil x; mehr allgemein kann die Ableitung von J (x) in Bezug auf J (x) durch die Identität unten ausgedrückt werden.)

Für die nichtganze Zahl sind α, die Funktionen J (x) und J (x) linear unabhängig, und sind deshalb die zwei Lösungen der Differenzialgleichung. Andererseits, für die ganze Zahl bestellen α, die folgende Beziehung ist gültig (bemerken Sie, dass die Gammafunktion unendlich für negative Argumente der ganzen Zahl wird):

:

Das bedeutet, dass die zwei Lösungen nicht mehr linear unabhängig sind. In diesem Fall, wie man dann findet, ist die zweite linear unabhängige Lösung die Funktion von Bessel der zweiten Art, wie besprochen, unten.

Die Integrale von Bessel

Eine andere Definition der Funktion von Bessel, für Werte der ganzen Zahl dessen, ist das mögliche Verwenden einer integrierten Darstellung:

:

Eine andere integrierte Darstellung ist:

:

Das war die Annäherung, die Bessel verwendet hat, und aus dieser Definition er mehrere Eigenschaften der Funktion abgeleitet hat. Die Definition kann zu Ordnungen der nichtganzen Zahl durch (für) erweitert werden

:

\frac {1} {\\Pi} \int_0^\\Pi \cos (\alpha\tau-x \sin\tau) \, d\tau

- \frac {\\Sünde (\alpha\pi)} {\\Pi} \int_0^\\infty

e^ {-x \sinh (t) - \alpha t} \, dt, </Mathematik>

oder für durch

:

J_\alpha (x) = \frac {1} {2^ {\\Alpha 1 }\\Gamma (\alpha + \frac {1} {2}) \sqrt {\\Pi }\\, x^\\Alpha} \int_0^x (x^2-\tau^2) ^ {\\alpha-1/2 }\\weil \tau \, d\tau.

</Mathematik>

Beziehung zur hypergeometrischen Reihe

Die Bessel-Funktionen können in Bezug auf die verallgemeinerte hypergeometrische Reihe als ausgedrückt werden

:

Dieser Ausdruck ist mit der Entwicklung von Funktionen von Bessel in Bezug auf die Funktion von Bessel-Clifford verbunden.

Beziehung zu Polynomen von Laguerre

In Bezug auf die Polynome von Laguerre und den willkürlich gewählten Parameter kann die Funktion von Bessel als ausgedrückt werden

:

Funktionen von Bessel der zweiten Art: Y

Die Bessel Funktionen der zweiten Art, die durch Y (x) angezeigt ist, sind Lösungen der Differenzialgleichung von Bessel. Sie haben eine Eigenartigkeit am Ursprung (x = 0).

Y (x) wird manchmal auch die Funktion von Neumann genannt, und wird gelegentlich stattdessen durch N (x) angezeigt. Für die nichtganze Zahl α ist es mit J (x) verbunden durch:

:

Im Fall vom Auftrag n der ganzen Zahl wird die Funktion durch die Einnahme der Grenze als eine nichtganze Zahl α definiert neigt zu 'n':

:

Es gibt auch eine entsprechende integrierte Formel (für),

:

\frac {1} {\\Pi} \int_0^\\Pi \sin (x \sin\theta - n\theta) \, d\theta

- \frac {1} {\\Pi} \int_0^\\infty

\left [e^ {n t} + (-1) ^n e^ {-n t} \right]

e^ {-x \sinh t} \, dt. </Mathematik>

Y (x) ist als die zweite linear unabhängige Lösung der Gleichung von Bessel notwendig, wenn α eine ganze Zahl ist. Aber Y (x) hat mehr Bedeutung als das. Es kann als ein 'natürlicher' Partner von J (x) betrachtet werden. Siehe auch den Paragraph auf Funktionen von Hankel unten.

Wenn α eine ganze Zahl außerdem ist, wie ähnlich der Fall für die Funktionen der ersten Art war, ist die folgende Beziehung gültig:

:

Sowohl J (x) als auch Y (x) sind holomorphic Funktionen von x auf der komplizierten Flugzeug-Kürzung entlang der negativen echten Achse. Wenn α eine ganze Zahl ist, sind die Funktionen von Bessel J komplette Funktionen von x. Wenn x fest gehalten wird, dann sind die Funktionen von Bessel komplette Funktionen von α.

Funktionen von Hankel: H, H

Eine andere wichtige Formulierung der zwei linear unabhängigen Lösungen der Gleichung von Bessel ist die Funktionen von Hankel H (x) und H (x), definiert durch:

::

wo ich die imaginäre Einheit bin. Diese geradlinigen Kombinationen sind auch bekannt als Funktionen von Bessel der dritten Art; sie sind zwei linear unabhängige Lösungen der Differenzialgleichung von Bessel. Sie werden nach Hermann Hankel genannt.

Die Wichtigkeit von Funktionen von Hankel der ersten und zweiten Art liegt

mehr in der theoretischen Entwicklung aber nicht in der Anwendung. Diese Formen der geradlinigen Kombination befriedigen zahlreiche einfach aussehende Eigenschaften, wie asymptotische Formeln oder integrierte Darstellungen. Hier, 'einfach' bedeutet ein Äußeres des Faktors der Form. Wie man denken kann, erscheint die Bessel Funktion der zweiten Art dann als der imaginäre Teil der Funktionen von Hankel natürlich.

Die Hankel-Funktionen werden verwendet, um äußer - und sich nach innen fortpflanzende zylindrische Welle-Lösungen der zylindrischen Wellengleichung, beziehungsweise (oder umgekehrt, abhängig von der Zeichen-Tagung für die Frequenz) auszudrücken.

Mit den vorherigen Beziehungen können sie als ausgedrückt werden:

::

wenn α eine ganze Zahl ist, muss die Grenze berechnet werden. Die folgenden Beziehungen sind gültig, ob α eine ganze Zahl ist oder nicht:

::

Die Hankel-Funktionen lassen die folgenden integrierten Darstellungen zu für:

::

wo die Integrationsgrenzen Integration entlang einer Kontur anzeigen, die wie folgt gewählt werden kann: Von &minus; bis 0 entlang der negativen echten Achse, von 0 bis ±iπ entlang der imaginären Achse, und von ±iπ bis +  ±iπ entlang einer Kontur passen zur echten Achse an.

Modifizierte Bessel-Funktionen: Ich, K

Die Bessel-Funktionen sind sogar für komplizierte Argumente x gültig, und ein wichtiger spezieller Fall ist der eines rein imaginären Arguments. In diesem Fall werden die Lösungen der Gleichung von Bessel die modifizierten Funktionen von Bessel (oder gelegentlich die Hyperbelfunktionen von Bessel) der ersten und zweiten Art genannt, und werden durch einige dieser gleichwertigen Alternativen definiert:

::

Diese werden gewählt, um für echte und positive Argumente x reellwertig zu sein. Die Reihenentwicklung, weil ich (x) so dem für J (x), aber ohne das Wechseln (&minus;1) Faktor ähnlich bin.

Ich (x) und K (x) sind die zwei linear unabhängigen Lösungen der Gleichung von modifiziertem Bessel:

:

Verschieden von den gewöhnlichen Funktionen von Bessel, die als Funktionen eines echten Arguments schwingen, bauen ich und K exponential an und verfallen Funktionen beziehungsweise. Wie die gewöhnliche Funktion von Bessel J geht die Funktion I zur Null an x = 0 für α> 0 und ist an x = 0 für α = 0 begrenzt. Analog weicht K an x = 0 ab.

Zwei integrierte Formeln für die modifizierten Funktionen von Bessel sind (für):

::

Modifizierte Bessel-Funktionen und können in Bezug darauf vertreten werden schnell ist Integrale zusammengelaufen

:

\left (1 +\frac {4x^2} {3 }\\Recht) \sqrt {1 +\frac {x^2} {3}} \right] \dx </Mathematik>

:

\int_0^\\infty \, \frac {3+2x^2} {\\sqrt {1+x^2/3} }\

\exp \left [-\xi \left (1 +\frac {4x^2} {3 }\\Recht) \sqrt {1 +\frac {x^2} {3}} \right] \dx </Mathematik>

Die modifizierte Funktion von Bessel der zweiten Art ist auch durch die jetzt seltenen Namen genannt worden:

• Funktion von Basset nach Alfred Barnard Basset
• Modifizierte Bessel Funktion der dritten Art
• Modifizierte Hankel fungieren
• Macdonald fungieren

Kugelförmige Bessel-Funktionen: j, y

Wenn

sie die Gleichung von Helmholtz in kugelförmigen Koordinaten durch die Trennung von Variablen löst, hat die radiale Gleichung die Form:

:

Die zwei linear unabhängigen Lösungen dieser Gleichung werden die kugelförmigen Funktionen von Bessel j und y genannt, und sind mit den gewöhnlichen Funktionen von Bessel J und Y verbunden durch:

::

wird auch angezeigt oder η; einige Autoren nennen diese Funktionen die kugelförmigen Funktionen von Neumann.

Die kugelförmigen Funktionen von Bessel können auch als (die Formeln von Rayleigh) geschrieben werden:

::

Die erste kugelförmige Funktion von Bessel ist auch bekannt als die (unnormalisierte) Sinc-Funktion. Die ersten paar kugelförmigen Funktionen von Bessel sind:

::::und::::

x} {x}-\left (\frac {15} {x^ {2}}-1\right) \frac {\\sündigen x\{x}. </Mathematik>

Die allgemeine Identität ist

:

\begin {richten }\aus

J_ {n +\frac 1 2} (x) = \sqrt {\\frac 2 {\\Pi x\}\\sum_ {i=0} ^\\frac {n+1} 2 (-1) ^ {n-i} & \left [\sin (x) \left (\frac 2 x\right) ^ {n-2i} \frac {(n-i)!} {ich!} {-\frac 1 2-i \choose n-2i} \right. \\

& \left. {} - \cos (x) \left (\frac 2 x\right) ^ {n+1-2i} \frac {(n-i)!} {ich!} ich {-\frac 1 2-i \choose n-2i+1 }\\Recht],

\end {richten }\aus

</Mathematik>

(wie man versteht, ist die obere Grenze der Summierung die größte ganze Zahl weniger als oder gleich (n+1)/2); eine geschlossene Form, die das Polynom von Laguerre (vgl das Polynom von Bessel) und andere Darstellungen verwendet, wird durch zur Verfügung gestellt

:

&= \frac {n! E^ {-x}} {\\sqrt\pi (2x) ^ {n +\frac12} }\\sum_ {k=2n+1} ^\\infty {k-n-1\choose n }\\frac {(2x) ^k} {k! }\\\

&= \frac {e^x} {\\sqrt {2\pi x}} (-1) ^ {n+1 }\\sum_ {k=n} ^\\infty \frac {(-2x) ^ {k+1} k!} {(k-n)! (k+n+1)!} {richten}.\end </Mathematik> {aus}

Das Erzeugen der Funktion

Die kugelförmigen Funktionen von Bessel haben die Erzeugen-Funktionen

::

Differenzialbeziehungen

Im folgenden ist einige für

:

Kugelförmige Hankel-Funktionen: h

Es gibt auch kugelförmige Entsprechungen der Funktionen von Hankel:

::

Tatsächlich gibt es einfache Ausdrücke der geschlossenen Form für die Funktionen von Bessel der Ordnung der halbganzen Zahl in Bezug auf die trigonometrischen Standardfunktionen, und deshalb für die kugelförmigen Funktionen von Bessel. Insbesondere für natürliche Zahlen n:

:

und ist das kompliziert-verbundene davon (für den echten). Es, folgt zum Beispiel, dem und und so weiter.

Die kugelförmigen Funktionen von Hankel erscheinen in Problemen, die Kugelwelle-Fortpflanzung zum Beispiel in der Mehrpol-Vergrößerung des elektromagnetischen Feldes einschließen.

Riccati-Bessel Funktionen: S, C, &xi; &zeta;

Riccati-Bessel Funktionen unterscheiden sich nur ein bisschen von kugelförmigen Funktionen von Bessel:

::::

Sie befriedigen die Differenzialgleichung:

:

Diese Differenzialgleichung und die Riccati-Bessel Lösungen, entstehen im Problem des Zerstreuens von elektromagnetischen Wellen durch einen Bereich, der als Mie bekannt ist, der sich nach der ersten veröffentlichten Lösung durch Mie (1908) zerstreut. Sieh z.B, Du (2004) für neue Entwicklungen und Verweisungen.

Im Anschluss an Debye (1909) wird die Notation manchmal statt verwendet

.

Asymptotische Formen

Die Bessel-Funktionen haben die folgenden asymptotischen Formen für nichtnegativen α. Für kleine Argumente

::

\frac {2} {\\Pi} \left [\ln (x/2) + \gamma \right] & \text {wenn} \alpha=0 \\\\

- \frac {\\Gamma (\alpha)} {\\Pi} \left (\frac {2} {x} \right) ^\\Alpha & \text {wenn} \alpha> 0

\end {Fälle} </Mathematik>

wo die Euler-Mascheroni Konstante (0.5772...) ist und die Gammafunktion anzeigt. Für große Argumente werden sie:

:

\cos \left (x-\frac {\\alpha\pi} {2} - \frac {\\Pi} {4} \right) </Mathematik>

:

\sin \left (x-\frac {\\alpha\pi} {2} - \frac {\\Pi} {4} \right). </Mathematik>

(Für α = 1/2 diese Formeln sind genau; sieh die kugelförmigen Funktionen von Bessel oben.) Asymptotische Formen für die anderen Typen der Funktion von Bessel folgen aufrichtig von den obengenannten Beziehungen. Zum Beispiel, für den großen, werden die modifizierten Funktionen von Bessel:

::

Ähnlich sind die letzten Ausdrücke wenn genau.

Für kleine Argumente

::

- \ln (x/2) - \gamma & \text {wenn} \alpha=0 \\\\

\frac {\\Gamma (\alpha)} {2} \left (\frac {2} {x} \right) ^\\Alpha & \text {wenn} \alpha> 0.

\end {Fälle} </Mathematik>

Eigenschaften

Weil ganze Zahl befiehlt, dass α = n, J häufig über eine Reihe von Laurent für eine Erzeugen-Funktion definiert wird:

:

eine Annäherung, die von P. A. Hansen 1843 verwendet ist. (Das kann zur Ordnung der nichtganzen Zahl durch die Kontur-Integration oder anderen Methoden verallgemeinert werden.) Eine andere wichtige Beziehung für Ordnungen der ganzen Zahl ist die Jacobi-Wut-Vergrößerung:

:und:

der verwendet wird, um eine Flugzeug-Welle als eine Summe von zylindrischen Wellen auszubreiten, oder die Reihe von Fourier eines Ton-abgestimmten FM-Signals zu finden.

Mehr allgemein, eine Reihe

:

wird Vergrößerung von Neumann von ƒ genannt. Die Koeffizienten dafür haben die ausführliche Form

:

wo das Polynom von Neumann ist.

Ausgewählte Funktionen lassen die spezielle Darstellung zu

:

mit

:

wegen der orthogonality Beziehung

Mehr allgemein, wenn ƒ einen Zweigpunkt in der Nähe vom Ursprung solch einer Natur das dann hat

:

oder

:

wo ƒs ist, verwandeln sich Laplace.

Eine andere Weise, die Funktionen von Bessel zu definieren, ist die Darstellungsformel von Poisson und die Mehler-Sonine Formel:

:

&= \frac 2 d u, \end {richten} </Mathematik> {aus}

wo &nu;> &minus;1/2 und z ist eine komplexe Zahl. Diese Formel ist besonders nützlich, wenn sich das Arbeiten mit Fourier verwandelt.

Die Funktionen J, Y, H, und H befriedigen alle die Wiederauftreten-Beziehungen:

::

wo Z J, Y anzeigt, H, oder H. (Wird diese zwei Identität häufig verbunden, z.B hinzugefügt oder abgezogen, um verschiedene andere Beziehungen nachzugeben.) Auf diese Weise, zum Beispiel, kann man Funktionen von Bessel von höheren Ordnungen (oder höheren Ableitungen) gegeben die Werte an niedrigeren Ordnungen schätzen (oder Ableitungen senken). Insbesondere hieraus folgt dass:

::

Modifizierte Bessel-Funktionen folgen ähnlichen Beziehungen:

:und:

Die Wiederauftreten-Beziehung liest

::

wo C mich oder eK anzeigt. Diese Wiederauftreten-Beziehungen sind für getrennte Verbreitungsprobleme nützlich.

Weil die Gleichung von Bessel (selbst adjungierter) Hermitian wird, wenn es durch x geteilt wird, müssen die Lösungen eine orthogonality Beziehung für passende Grenzbedingungen befriedigen. Insbesondere hieraus folgt dass:

:

\frac {\\delta_ {M, n}} {2} [J_ {\\alpha+1} (u_ {\\Alpha, M})] ^2

\frac {\\delta_ {M, n}} {2} [J_ {\\Alpha} '(u_ {\\Alpha, M})] ^2, \! </Mathematik>

wo α> &minus;1, δ das Delta von Kronecker ist, und u die M th Null von J (x) ist. Diese orthogonality Beziehung kann dann verwendet werden, um die Koeffizienten in der Reihe von Fourier-Bessel herauszuziehen, wo eine Funktion in der Basis der Funktionen J (x u) für festen α und unterschiedliche M ausgebreitet wird.

Eine analoge Beziehung für die kugelförmigen Funktionen von Bessel folgt sofort:

:

\frac {\\delta_ {M, n}} {2} [j_ {\\alpha+1} (u_ {\\Alpha, M})] ^2 \! </math>

Eine andere orthogonality Beziehung ist die Verschluss-Gleichung:

:

für α> &minus;1/2, und wo δ die Delta-Funktion von Dirac ist. Dieses Eigentum wird verwendet, um eine willkürliche Funktion von einer Reihe von Funktionen von Bessel mittels Hankel zu bauen, verwandeln sich. Für die kugelförmigen Funktionen von Bessel ist die orthogonality Beziehung:

:

für α>

&minus;1.

Ein anderes wichtiges Eigentum der Gleichungen von Bessel, das aus der Identität von Abel folgt, schließt Wronskian der Lösungen ein:

:

wo A und B irgendwelche zwei Lösungen der Gleichung von Bessel sind, und C ein unveränderlicher Unabhängiger von x ist (der von α und von den besonderen Funktionen von Bessel betrachtet abhängt). Zum Beispiel, wenn = J und B = Y, dann ist C 2/π. Das hält auch für die modifizierten Funktionen von Bessel; zum Beispiel, wenn = ich und B = K, dann C &minus;1. sind

(Es gibt eine Vielzahl anderer bekannter Integrale und Identität, die hier nicht wieder hervorgebracht wird, aber die in den Verweisungen gefunden werden kann.)

Multiplikationslehrsatz

Die Bessel-Funktionen folgen einem Multiplikationslehrsatz

:

\sum_ {n=0} ^\\infty \frac {1} {n! }\

\left (\frac {(1-\lambda^2) z} {2 }\\Recht) ^n

J_ {\\nu+n} (z)

</Mathematik>

wo und als willkürliche komplexe Zahlen genommen werden kann. Für eine ähnliche Form kann und so weiter gegeben werden

Die Hypothese von Bourget

Bessel selbst hat ursprünglich bewiesen, dass für natürliche Zahlen n die Gleichung J (x) = 0 eine unendliche Zahl von Lösungen in x hat. Wenn die Funktionen J (x) auf demselben Graphen aber geplant werden, scheint keine der Nullen, für verschiedene Werte von n abgesehen von der Null an x = 0 zusammenzufallen. Dieses Phänomen ist als die Hypothese von Bourget nach dem französischen Mathematiker des neunzehnten Jahrhunderts bekannt, der Funktionen von Bessel studiert hat. Spezifisch stellt es fest, dass für irgendwelche ganzen Zahlen n  0 und M  1, die Funktionen J (x) und J (x) keine allgemeinen Nullen außer derjenigen an x = 0 haben. Der Lehrsatz wurde von Siegel 1929 bewiesen.

Ausgewählte Identität

\Gamma (\nu) \cdot\sum_ {k

0\(-1) ^k J_ {\\nu+2k} (z) (\nu+2k) {-\nu \choose k }\

\Gamma (\nu+1) \cdot \sum_ {k

0 }\\frac 1 {k! }\\ist (\tfrac1 2z\right) ^k J_ {\\nu+k} (z) abgereist. </Mathematik>

Siehe auch

• Funktion von Bessel-Clifford
• Polynome von Bessel
• Verbreiter
• Reihe von Fourier-Bessel
• Hahn-Ex-Tonne q-Bessel fungiert
• Jackson q-Bessel fungiert
• Struve fungieren
• Kelvin fungiert
• Lommel fungiert
• Polynom von Lommel
• Polynom von Neumann
• Vibrationen einer kreisförmigen Trommel
• Wright hat Funktion von Bessel verallgemeinert
• Frequenzmodulation

Referenzen

• Arfken, George B. und Hans J. Weber, Mathematische Methoden für Physiker, 6. Ausgabe (Harcourt: San Diego, 2005). Internationale Standardbuchnummer 0-12-059876-0.
• Bayin, S.S. Mathematical Methods in der Wissenschaft und Technik, Wiley, 2006, Kapitel 6.
• Bayin, S.S. Hauptsache von Mathematischen Methoden in der Wissenschaft und Technik, Wiley, 2008, Kapitel 11.
• Bogenschütze, Offenherzige Einführung in Bessel-Funktionen (Dover: New York, 1958). Internationale Standardbuchnummer 0-486-60462-4.
• G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Ann. Phys. Leipzig 25 (1908), p. 377.
• B Spanien, M.G. Smith, Funktionen der mathematischen Physik, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Kapitel 9 befasst sich mit Funktionen von Bessel.
• N. M. Temme, Spezielle Funktionen. Eine Einführung in die Klassischen Funktionen der Mathematischen Physik, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1996. Internationale Standardbuchnummer 0-471-11313-1. Kapitel 9 befasst sich mit Funktionen von Bessel.
• Watson, G.N. Eine Abhandlung auf der Theorie von Bessel-Funktionen, der Zweiten Ausgabe, (1995) Universität von Cambridge Presse. Internationale Standardbuchnummer 0-521-48391-3.

Links

• Wolfram-Funktionsseiten auf Bessel J und Y-Funktionen, und modifiziertem Bessel I und K-Funktionen. Seiten schließen Formeln, Funktionsschätzer und das Plotten von Rechenmaschinen ein.
• Wolfram Mathworld - Funktionen von Bessel der ersten Art
• Bessel fungiert J, Y, ich und K im Librow-Funktionshandbuch.