In der Mathematik bestehen die Differenzialgleichungen von Cauchy-Riemann in der komplizierten Analyse, genannt nach Augustin Cauchy und Bernhard Riemann, aus einem System von zwei teilweisen Differenzialgleichungen, die zufrieden sein müssen, ob wir wissen, dass eine komplizierte Funktion komplizierter differentiable ist. Außerdem sind die Gleichungen notwendige und genügend Bedingungen für die komplizierte Unterscheidung, sobald wir annehmen, dass seine echten und imaginären Teile differentiable echte Funktionen von zwei Variablen sind. Dieses Gleichungssystem ist zuerst in der Arbeit von Jean le Rond D'Alembert erschienen. Später hat Leonhard Euler dieses System mit den analytischen Funktionen verbunden. dann verwendet diese Gleichungen, um seine Theorie von Funktionen zu bauen. Die Doktorarbeit von Riemann auf der Theorie von Funktionen ist 1851 erschienen.

Die Gleichungen von Cauchy-Riemann auf einem Paar von reellwertigen Funktionen von zwei echten Variablen u (x, y) und v (x, y) sind die zwei Gleichungen:

: (1a)

und

: (1b)

Normalerweise werden u und v genommen, um die echten und imaginären Teile beziehungsweise einer Komplex-geschätzten Funktion einer einzelnen komplizierten Variable z=x+iy, f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) zu sein. Nehmen Sie an, dass u und v an einem Punkt in einer offenen Teilmenge dessen echt-differentiable sind, der als Funktionen von dazu betrachtet werden kann. Das deutet an, dass die partiellen Ableitungen von u und v bestehen (obwohl sie nicht dauernd zu sein brauchen) und wir kleinen Schwankungen von f geradlinig näher kommen können. Dann f = u + ist iv an diesem Punkt kompliziert-differentiable, wenn, und nur wenn die partiellen Ableitungen von u und v die Gleichungen von Cauchy-Riemann (1a) und (1b) an diesem Punkt befriedigen. Die alleinige Existenz von partiellen Ableitungen, die die Gleichungen von Cauchy-Riemann befriedigen, ist nicht genug, um Komplex differentiability an diesem Punkt zu sichern. Es ist notwendig sicherzustellen, dass u und v echter differentiable sind, der eine stärkere Bedingung ist als die Existenz der partiellen Ableitungen, aber es ist nicht notwendig, Kontinuität dieser partiellen Ableitungen zu verlangen.

Holomorphy ist das Eigentum einer komplizierten Funktion, differentiable an jedem Punkt einer offenen und verbundenen Teilmenge zu sein (das wird ein Gebiet herbeigerufen). Folglich können wir behaupten, dass eine komplizierte Funktion f, dessen echte und imaginäre Teile u und v echte-differentiable Funktionen sind, holomorphic ist, wenn, und nur wenn Gleichungen (1a) und (1b) überall im Gebiet zufrieden sind, dass wir uns befassen.

Der Grund, warum Euler und einige andere Autoren die Gleichungen von Cauchy-Riemann mit analyticity verbinden, besteht darin, dass ein Hauptlehrsatz in der komplizierten Analyse sagt, dass Holomorphic-Funktionen analytisch sind und umgekehrt. Das bedeutet, dass, in der komplizierten Analyse, eine Funktion, die in einem ganzen Gebiet (holomorphic) kompliziert-differentiable ist, dasselbe als eine analytische Funktion ist. Das ist für echte Differentiable-Funktionen nicht wahr.

Interpretation und neue Darlegung

Die Gleichungen sind eine Weise, auf die Bedingung auf einer Funktion zu schauen, differentiable im Sinne der komplizierten Analyse zu sein: Mit anderen Worten fassen sie den Begriff der Funktion einer komplizierten Variable mittels der herkömmlichen Differenzialrechnung kurz zusammen. In der Theorie gibt es mehrere andere Hauptweisen, auf diesen Begriff zu schauen, und die Übersetzung der Bedingung in andere Sprache ist häufig erforderlich.

Conformal mappings

Erstens können die Gleichungen von Cauchy-Riemann in der komplizierten Form geschrieben werden

: (2)

In dieser Form entsprechen die Gleichungen strukturell zur Bedingung, dass die Matrix von Jacobian von der Form ist

:

\begin {pmatrix }\

a &-b \\

b & \; \; ein

\end {pmatrix},

</Mathematik>

wo und. Eine Matrix dieser Form ist die Matrixdarstellung einer komplexen Zahl. Geometrisch ist solch eine Matrix immer die Zusammensetzung einer Folge mit einem Schuppen, und in besonderen Konserve-Winkeln. Folglich bewahrt eine Funktion, die die Gleichungen von Cauchy-Riemann mit einer Nichtnullableitung befriedigt, den Winkel zwischen Kurven im Flugzeug. D. h. die Gleichungen von Cauchy-Riemann sind die Bedingungen für eine Funktion, conformal zu sein.

Komplex differentiability

Nehmen Sie das an

:

ist eine Funktion einer komplexen Zahl z. Dann wird die komplizierte Ableitung von ƒ an einem Punkt z durch definiert

:

vorausgesetzt dass diese Grenze besteht.

Wenn diese Grenze besteht, dann kann sie durch die Einnahme der Grenze als h  0 entlang der echten Achse oder imaginären Achse geschätzt werden; in jedem Fall sollte es dasselbe Ergebnis geben. Sich entlang der echten Achse nähernd, findet man

:

Andererseits, sich entlang der imaginären Achse, nähernd

:

Die Gleichheit der Ableitung von entlang den zwei Äxten genommenem ƒ ist

:

die die Gleichungen von Cauchy-Riemann (2) am Punkt z sind.

Umgekehrt, wenn ƒ: C  ist C eine Funktion, die differentiable, wenn betrachtet, als eine Funktion auf R ist, dann ist ƒ komplizierter differentiable, wenn, und nur wenn die Gleichungen von Cauchy-Riemann halten. Mit anderen Worten, wenn u und v echte-differentiable Funktionen von zwei echten Variablen sind, offensichtlich ist u+iv eine (Komplex-geschätzte) echte-differentiable Funktion, aber u+iv ist kompliziert-differentiable, wenn, und nur wenn die Gleichungen von Cauchy-Riemann halten.

Tatsächlich, folgend, nehmen Sie an, dass ƒ eine komplizierte Funktion ist, die in einem offenen Satz Ω  C definiert ist. Dann, z = x + ich y für jeden z  Ω schreibend, kann man auch Ω als eine offene Teilmenge von R und ƒ als eine Funktion von zwei echten Variablen x und y betrachten, der Ω  R zu C kartografisch darstellt. Wir denken die Gleichungen von Cauchy-Riemann an z = 0 Annehmen-ƒ (z) = 0, gerade für die notational Einfachheit - der Beweis ist im allgemeinen Fall identisch. So nehmen Sie an, dass ƒ differentiable an 0, als eine Funktion von zwei echten Variablen von Ω bis C ist. Das ist zur Existenz von zwei komplexen Zahlen und gleichwertig (die die partiellen Ableitungen von ƒ sind) solch, dass wir die geradlinige Annäherung haben

:

wo und als Seitdem und der obengenannte als umgeschrieben werden kann

:

Das Definieren der zwei Ableitungen von Wirtinger als

:

die obengenannte Gleichheit kann als geschrieben werden

:

Für echte Werte haben wir, und für den rein imaginären haben wir folglich hat eine Grenze an 0 (d. h. ƒ ist komplizierter differentiable an 0), wenn und nur wenn. Aber das ist genau die Gleichungen von Cauchy-Riemann, so ist ƒ differentiable an 0, wenn, und nur wenn die Gleichungen von Cauchy-Riemann an 0 halten.

Unabhängigkeit des verbundenen Komplexes

Der obengenannte Beweis deutet eine andere Interpretation der Gleichungen von Cauchy-Riemann an. Der Komplex, der von z verbunden ist, angezeigt, wird durch definiert

:

für echten x und y. Die Gleichungen von Cauchy-Riemann können dann als eine einzelne Gleichung geschrieben werden

: (3)

durch das Verwenden der Ableitung von Wirtinger in Bezug auf die verbundene Variable. In dieser Form können die Gleichungen von Cauchy-Riemann als die Behauptung interpretiert werden, dass f der Variable unabhängig ist. Als solcher können wir analytische Funktionen als wahre Funktionen einer komplizierter Variable im Vergleich mit komplizierten Funktionen von zwei echten Variablen ansehen.

Physische Interpretation

Eine Interpretation der Gleichungen von Cauchy-Riemann schließt komplizierte Variablen direkt nicht ein. Nehmen Sie an, dass u und v die Gleichungen von Cauchy-Riemann in einer offenen Teilmenge von R befriedigen, und das Vektorfeld denken

:

betrachtet als ein (echter) Zwei-Bestandteile-Vektor. Dann behauptet die zweite Gleichung von Cauchy-Riemann (1b), dass das rotationsfrei ist:

:

Die erste Gleichung von Cauchy-Riemann (1a) behauptet, dass das Vektorfeld solenoidal (oder ohne Abschweifung) ist:

:

Beziehungsweise zum Lehrsatz von Green und dem Abschweifungslehrsatz Schulden habend, wird solch ein Feld notwendigerweise erhalten und von Quellen oder Becken frei, Nettofluss habend, der der Null durch jedes offene Gebiet gleich ist. (Diese zwei Beobachtungen verbinden sich als echte und imaginäre Teile im integrierten Lehrsatz von Cauchy.) In der flüssigen Dynamik ist solch ein Vektorfeld ein potenzieller Fluss. In magnetostatics, solches Vektorfeld-Modell statische magnetische Felder auf einem Gebiet des Flugzeugs, das keinen Strom enthält. In der Elektrostatik modellieren sie statische elektrische Felder in einem Gebiet des Flugzeugs, das keine elektrische Anklage enthält.

Andere Darstellungen

Andere Darstellungen der Gleichungen von Cauchy-Riemann entstehen gelegentlich in anderen Koordinatensystemen. Wenn (1a) und (1b) für ein differentiable Paar von Funktionen u und v, dann halten, so tun Sie

:

für jedes solches Koordinatensystem, dass das Paar orthonormal und positiv orientiert ist. Demzufolge, insbesondere im System von durch die polare Darstellung gegebenen Koordinaten, nehmen die Gleichungen dann die Form an

:

Das Kombinieren von diesen in eine Gleichung für den ƒ gibt

:

Gleichungen von Inhomogeneous

Die inhomogeneous Gleichungen von Cauchy-Riemann bestehen aus den zwei Gleichungen für ein Paar von unbekannten Funktionen u (x, y) und v (x, y) von zwei echten Variablen

::

für einige gegebene Funktionen α (x, y) und β (x, y) definiert in einer offenen Teilmenge von R. Diese Gleichungen werden gewöhnlich in eine einzelne Gleichung verbunden

:

wo f = u + iv und φ = (α + iβ)/2.

Wenn φ C ist, dann ist die inhomogeneous Gleichung in jedem begrenzten Gebiet D ausführlich lösbar, hat φ zur Verfügung gestellt ist auf dem Verschluss von D dauernd. Tatsächlich, durch Cauchy integrierte Formel,

:

für den ganzen ζ  D.

Generalisationen

Der Lehrsatz von Goursat und seine Generalisationen

Nehmen Sie an, dass das eine Komplex-geschätzte Funktion ist, die differentiable als eine Funktion ist. Dann behauptet der Lehrsatz von Goursat, dass ƒ in einem offenen komplizierten Gebiet Ω analytisch ist, wenn, und nur wenn es die Gleichung von Cauchy-Riemann im Gebiet befriedigt. Insbesondere dauernder differentiability von ƒ braucht nicht angenommen zu werden.

Die Hypothesen des Lehrsatzes von Goursat können bedeutsam geschwächt werden. Wenn in einem offenen Satz Ω und die partiellen Ableitungen von ƒ in Bezug auf x dauernd ist und y in Ω bestehen, und die Gleichungen von Cauchy-Riemann überall in Ω befriedigt, dann ist ƒ holomorphic (und so analytisch). Dieses Ergebnis ist der Lehrsatz von Looman-Menchoff.

Die Hypothese, dass ƒ den Gleichungen von Cauchy-Riemann überall im Gebiet Ω folgen, ist notwendig. Es ist möglich, eine dauernde Funktion zu bauen, die die Gleichungen von Cauchy-Riemann an einem Punkt befriedigt, aber der am Punkt nicht analytisch ist (z.B, ƒ (z) =. Ähnlich ist eine zusätzliche Annahme außer den Gleichungen von Cauchy-Riemann (wie Kontinuität) erforderlich, weil das folgende Beispiel illustriert

:

0& \mathrm {if\} z=0

\end {Fälle} </Mathematik>

der die Gleichungen von Cauchy-Riemann überall befriedigt, aber scheitert, an z = 0 dauernd zu sein.

Dennoch, wenn eine Funktion die Gleichungen von Cauchy-Riemann in einem offenen Satz in einem schwachen Sinn befriedigt, dann ist die Funktion analytisch. Genauer:

• Wenn ƒ (z) lokal integrable in einem offenen Gebiet Ω  C ist, und die Gleichungen von Cauchy-Riemann schwach befriedigt, dann stimmt ƒ fast überall mit einer analytischen Funktion in Ω zu.

Das ist tatsächlich ein spezieller Fall eines allgemeineren Ergebnisses auf der Regelmäßigkeit von Lösungen hypoelliptic teilweiser Differenzialgleichungen.

Mehrere Variablen

Es gibt Gleichungen von Cauchy-Riemann, passend verallgemeinert in der Theorie von mehreren komplizierten Variablen. Sie bilden ein bedeutendes überentschlossenes System von PDEs. Wie häufig formuliert, der D-Bar-Maschinenbediener

:

vernichtet Holomorphic-Funktionen. Das verallgemeinert am meisten direkt die Formulierung

:

wo

:

Bäcklund verwandeln sich

Angesehen als verbundene harmonische Funktionen sind die Gleichungen von Cauchy-Riemann ein einfaches Beispiel von Bäcklund verwandeln sich. Mehr komplizierter, allgemein nichtlinearer Bäcklund verwandelt sich, solcher als in der Gleichung des Sinus-Gordon, sind von großem Interesse in der Theorie von solitons und integrable Systemen.

Siehe auch

• Liste von komplizierten Analyse-Themen
• Der Lehrsatz von Morera
• .

. . ... . .

Außenverbindungen

• Gleichungsmodul von Cauchy-Riemann durch John H. Mathews