In der Mathematik bedeutet das Wort "Algebra", wenn es sich auf eine Struktur bezieht, häufig einen Vektorraum oder mit einer zusätzlichen bilinearen Operation ausgestattetes Modul. Algebra in der universalen Algebra sind viel allgemeiner: Sie sind eine allgemeine Verallgemeinerung aller algebraischen Strukturen. In beiden Zusammenhängen ist eine Subalgebra eine Teilmenge einer Algebra, die unter allen seinen Operationen und dem Tragen der veranlassten Operationen geschlossen ist.

Subalgebra für Algebra über einen Ring oder Feld

Eine Subalgebra einer Algebra über einen Ersatzring oder Feld ist ein Vektor-Subraum, der unter der Multiplikation von Vektoren geschlossen wird. Die Beschränkung der Algebra-Multiplikation macht es eine Algebra über denselben Ring oder Feld. Dieser Begriff gilt auch für die meisten Spezialisierungen, wo die Multiplikation zusätzliche Eigenschaften z.B zu assoziativen Algebra befriedigen muss oder Algebra Zu liegen. Nur für unital Algebra ist dort ein stärkerer Begriff der unital Subalgebra, für die es auch erforderlich ist, dass die Einheit der Subalgebra die Einheit der größeren Algebra ist.

Beispiel

2×2-matrices über den reals bilden eine unital Algebra auf die offensichtliche Weise. 2×2-matrices, für den alle Einträge Null abgesehen von der ersten auf der Diagonale sind, bilden eine Subalgebra. Es ist auch unital, aber es ist nicht eine unital Subalgebra.

Subalgebra in der universalen Algebra

In der universalen Algebra ist eine Subalgebra einer Algebra A eine Teilmenge S von, der auch die Struktur einer Algebra desselben Typs hat, wenn die algebraischen Operationen auf S eingeschränkt werden. Wenn die Axiome einer Art algebraischer Struktur durch equational Gesetze beschrieben werden, wie normalerweise der Fall in der universalen Algebra ist, dann besteht das einzige Ding, das überprüft werden muss, darin, dass S unter den Operationen geschlossen wird.

Einige Autoren denken Algebra mit teilweisen Funktionen. Es gibt verschiedene Weisen, Subalgebra für diese zu definieren. Eine andere Generalisation von Algebra soll Beziehungen erlauben. Diese allgemeineren Algebra werden gewöhnlich Strukturen genannt, und sie werden in der Mustertheorie und in der theoretischen Informatik studiert. Für Strukturen mit Beziehungen gibt es Begriffe von schwachen und veranlasster Unterbauten.

Beispiel

Zum Beispiel ist die Standardunterschrift für Gruppen in der universalen Algebra (× 1). (Inversion und Einheit sind erforderlich, um die richtigen Begriffe des Homomorphismus zu bekommen, und so dass die Gruppengesetze als Gleichungen ausgedrückt werden können.) Deshalb ist eine Untergruppe einer Gruppe G eine Teilmenge S solchen G dass:

• die Identität e G gehört S (so dass S unter der Identität unveränderliche Operation geschlossen wird);
• wann auch immer x S, so x gehört (so dass S unter dem inversen Betrieb geschlossen wird);
• wann auch immer x und y S, so x * y gehören (so dass S unter der Multiplikationsoperation der Gruppe geschlossen wird).