In der Mathematik und Statistik die Arithmetik bösartig, oder sind einfach das bösartige oder durchschnittliche, wenn der Zusammenhang klar ist, die Haupttendenz einer Sammlung von Zahlen, die als die Summe der durch die Größe der Sammlung geteilten Zahlen genommen sind. Die Sammlung ist häufig der Beispielraum eines Experimentes. Der Begriff "Arithmetik-bösartiger" wird in der Mathematik und Statistik bevorzugt, weil es hilft, es von anderen Mitteln solcher als das geometrische und bösartige harmonische zu unterscheiden.

Zusätzlich zur Mathematik und Statistik wird die bösartige Arithmetik oft in Feldern wie Volkswirtschaft, Soziologie und Geschichte verwendet, obwohl es in fast jedem akademischen Feld einigermaßen verwendet wird. Zum Beispiel pro Kopf gibt BIP eine Annäherung des arithmetischen durchschnittlichen Einkommens einer Bevölkerung einer Nation.

Während die bösartige Arithmetik häufig verwendet wird, um Haupttendenzen zu melden, ist es nicht ein robuster statistischer, bedeutend, dass es außerordentlich unter Einfluss outliers ist. Namentlich, für den schiefen Vertrieb, kann die bösartige Arithmetik nicht mit jemandes Begriff "der Mitte" harmonieren, und robuste Statistik wie die Mittellinie kann eine bessere Beschreibung der Haupttendenz sein.

Definition

Nehmen Sie an, dass wir Beispielraum haben. Dann wird die bösartige Arithmetik über die Gleichung definiert

Wenn die Liste eine statistische Bevölkerung ist, dann wird die bösartige von dieser Bevölkerung eine bösartige Bevölkerung genannt. Wenn die Liste eine statistische Probe ist, nennen wir das resultierende statistische eine bösartige Probe.

Die einer Variable bösartige Arithmetik wird häufig durch eine Bar angezeigt, zum Beispiel (gelesen "x Bar") würde der bösartige von einem Beispielraum sein.

Das Motivieren von Eigenschaften

Die bösartige Arithmetik hat mehrere Eigenschaften, die sie nützlich, besonders wenn ein Maß der Haupttendenz machen. Diese schließen ein:

• Wenn Zahlen bösartig X, dann haben. Seitdem ist die Entfernung von einer gegebenen Zahl bis das bösartige, eine Weise, dieses Eigentum zu interpretieren, besteht darin, sagend dass die Zahlen links vom bösartigen durch die Zahlen rechts vom bösartigen erwogen werden. Das bösartige ist die einzige einzelne Zahl, für die der residuals diesen Weg Summe zur Null definiert hat.
• Wenn es erforderlich ist, eine einzelne Nummer X als eine Schätzung für den Wert von Zahlen zu verwenden, dann tut die bösartige Arithmetik das am besten, im Sinne der Minderung der Summe von Quadraten (x − X) des residuals. (Hieraus folgt dass das bösartige auch der beste einzelne Prophet ist im Sinne, die niedrigste Wurzel quadratisch gemachter Mittelfehler zu haben.)
• Für eine Normalverteilung ist die bösartige Arithmetik sowohl der Mittellinie als auch der Weise, den anderen Maßnahmen der Haupttendenz gleich.

Probleme

Die bösartige Arithmetik kann als die Mittellinie missdeutet werden, um anzudeuten, dass die meisten Werte höher oder niedriger sind, als wirklich der Fall ist. Wenn Elemente im Beispielraum arithmetisch, wenn gelegt, in eine Ordnung zunehmen, dann ist der arithmetische und Mitteldurchschnitt gleich. Denken Sie zum Beispiel den Beispielraum {1,2,3,4}. Der Durchschnitt ist 2.5, wie die Mittellinie ist. Jedoch, wenn wir einen Beispielraum denken, der in einen arithmetischen Fortschritt, solcher als {1,2,4,8,16} nicht eingeordnet werden kann, kann sich der arithmetische und Mitteldurchschnitt bedeutsam unterscheiden. In diesem Fall ist der arithmetische Durchschnitt 6.2, und die Mittellinie ist 4. Wenn man auf den arithmetischen Durchschnitt eines Beispielraums schaut, muss man bemerken, dass sich der durchschnittliche Wert bedeutsam von den meisten Werten im Beispielraum ändern kann.

Es gibt Anwendungen dieses Phänomenes in vielen Feldern. Zum Beispiel, seit den 1980er Jahren im mittleren USA-Einkommen hat langsamer zugenommen als der arithmetische Durchschnitt des Einkommens. Forscher, die sich mit Frequenzdaten befassen, müssen auch sorgfältig sein, wenn sie zusammenfassende Statistik wie Mittel oder Mittellinie melden. Wo ein Phänomen im Allgemeinen (zum Beispiel, Notraumbesuche unter der allgemeinen Bevölkerung) selten ist, aber oft in einigen Menschen vorkommt (zum Beispiel, fordern Sie Teufel heraus), dann kann der Mittelwert viel niedriger sein als die Mittellinie.

Winkel

Besondere Sorge muss genommen werden, wenn man zyklische Daten wie Phasen oder Winkel verwendet. Naiv gibt die Einnahme der Arithmetik, die von 1 ° und 359 ° bösartig ist, ein Ergebnis von 180 ° nach.

Das ist aus zwei Gründen falsch:

• Erstens werden Winkelmaße nur bis zu einem Faktor von 360 ° (oder 2π definiert, wenn man in radians misst). So konnte man als diesen 1 ° und −1°, oder 1 ° und 719 ° leicht nennen - von denen jeder einen verschiedenen Durchschnitt gibt.
• Zweitens, in dieser Situation, sind 0 ° (gleichwertig, 360 °) geometrisch ein besserer durchschnittlicher Wert: Es gibt niedrigere Streuung darüber (die Punkte sind sowohl 1 ° davon als auch 179 ° von 180 °, dem vermeintlichen Durchschnitt).

In der allgemeinen Anwendung wird solch ein Versehen zum durchschnittlichen Wert führen, der künstlich an die Mitte der numerischen Reihe herangeht. Eine Lösung dieses Problems ist, die Optimierungsformulierung zu verwenden (nämlich, um das bösartige als der Mittelpunkt zu um definieren: Der Punkt, über den die niedrigste Streuung hat), und definieren den Unterschied als eine Modulentfernung wieder (d. h., die Entfernung auf dem Kreis: So ist die Modulentfernung zwischen 1 ° und 359 ° 2 °, nicht 358 °).

Siehe auch

• Angenommener bösartiger
• Durchschnitt
• Haupttendenz
• Entfernungsbelasteter Vorkalkulator
• Einigkeit sagt voraus
• Empirisches Maß
• Fréchet haben vor
• Verallgemeinerter bösartiger
• Geometrisches Mittel
• Harmonischer bösartiger
• Ungleichheit der Arithmetik und geometrischen Mittel
• Ungleichheit von Ky Fan
• Bösartiger
• Mittellinie
• Weise
• Die Ungleichheit von Muirhead
• Probe bösartig und Kovarianz
• Beispielgröße
• Standardabweichung
• Zusammenfassende Statistik
• Abweichung

Weiterführende Literatur

• Darrell Huff, Wie man mit der Statistik, Victor Gollancz, 1954 lügt (internationale Standardbuchnummer 0 393 31072 8).

Referenzliste

Links

• Berechnungen und Vergleiche zwischen Arithmetik und geometrischem Mittel von zwei Zahlen