Das geometrische Mittel, in der Mathematik, ist ein Typ von bösartigen oder durchschnittlichen, der die Haupttendenz oder den typischen Wert einer Reihe von Zahlen anzeigt.

Ein geometrisches Mittel wird häufig verwendet, wenn man verschiedene Sachen - Entdeckung einer einzelnen "Zahl des Verdiensts" für diese Sachen vergleicht - wenn jeder Artikel vielfache Eigenschaften hat, die verschiedene numerische Reihen haben. Zum Beispiel kann das geometrische Mittel einen bedeutungsvollen "Durchschnitt" geben, um zwei Gesellschaften zu vergleichen, die jeder an 0 bis 5 für ihre Umweltnachhaltigkeit abgeschätzt werden, und an 0 bis 100 für ihre finanzielle Lebensfähigkeit abgeschätzt werden. Wenn eine bösartige Arithmetik statt eines geometrischen Mittels verwendet wurde, wird die finanzielle Lebensfähigkeit mehr Gewicht gegeben, weil seine numerische Reihe größer ist - so macht eine kleine Prozentsatz-Änderung in der Finanzschätzung (z.B von 80 bis 90 gehend), einen viel größeren Unterschied in der Arithmetik bösartig als eine große Prozentsatz-Änderung in der Umweltnachhaltigkeit (z.B von 2 bis 5 gehend). Der Gebrauch eines geometrischen Mittels "normalisiert" die Reihen, die durchschnittliche, so dass keine Reihe die Gewichtung beherrscht, und eine gegebene Prozentsatz-Änderung in einigen der Eigenschaften dieselbe Wirkung auf das geometrische Mittel hat. Also, eine 20-%-Änderung in der Umweltnachhaltigkeit von 4 bis 4.8 hat dieselbe Wirkung auf das geometrische Mittel wie eine 20-%-Änderung in der finanziellen Lebensfähigkeit von 60 bis 72.

Das geometrische Mittel ist der bösartigen Arithmetik ähnlich, außer dass die Zahlen multipliziert werden und dann die n-te Wurzel (wo n die Zählung von Zahlen im Satz ist) des resultierenden Produktes, wird genommen.

Zum Beispiel, das geometrische Mittel von zwei Zahlen, sagen 2 und 8, ist gerade die Quadratwurzel ihres Produktes; das ist. Als ein anderes Beispiel, das geometrische Mittel der drei Nummern 4, 1 und der 1/32 ist die Würfel-Wurzel ihres Produktes (1/8), der 1/2 ist; das ist.

Mehr allgemein, wenn die Zahlen sind, befriedigt das geometrische Mittel

:

und folglich

:

Der letzte Ausdruck stellt fest, dass der Klotz des geometrischen Mittels die des Klotzes der Zahlen bösartige Arithmetik ist.

Das geometrische Mittel kann auch in Bezug auf die Geometrie verstanden werden. Das geometrische Mittel von zwei Zahlen, a und b, ist die Länge einer Seite eines Quadrats, dessen Gebiet dem Gebiet eines Rechtecks mit Seiten von Längen a und b gleich ist. Ähnlich ist das geometrische Mittel von drei Zahlen, a, b, und c, die Länge einer Seite eines Würfels, dessen Volumen dasselbe als dieser eines cuboid mit Seiten ist, deren Längen den drei gegebenen Zahlen gleich sind.

Das geometrische Mittel gilt nur für positive Zahlen. Es wird auch häufig für eine Reihe von Zahlen verwendet, deren Werte gemeint werden, um zusammen multipliziert zu werden, oder in der Natur, wie Daten auf dem Wachstum der menschlichen Bevölkerung oder den Zinssätzen einer Finanzinvestition Exponential-sind.

Das geometrische Mittel ist auch eines der drei klassischen Pythagoreischen Mittel, zusammen mit der oben erwähnten Arithmetik bösartig und die bösartige Harmonische. Für alle positiven Dateien, die mindestens ein Paar von ungleichen Werten enthalten, ist die bösartige Harmonische immer meist der drei Mittel, während die bösartige Arithmetik immer von den drei am größten ist und das geometrische Mittel immer zwischen ist (sieh Ungleichheit der Arithmetik und geometrischen Mittel.)

Berechnung

Durch das geometrische Mittel einer Datei wird gegeben:

:

Das geometrische Mittel einer Datei ist weniger als die bösartige Arithmetik der Datei, wenn alle Mitglieder der Datei nicht gleich sind, in welchem Fall die geometrischen und arithmetischen Mittel gleich sind. Das erlaubt die Definition des arithmetischen geometrischen Mittels, eine Mischung der zwei, die immer zwischen liegt.

Das geometrische Mittel ist auch das arithmetisch-harmonische bösartige im Sinn das, wenn zwei Folgen (a) und (h) definiert werden:

:und:

dann wird a und h zum geometrischen Mittel von x und y zusammenlaufen.

Das kann leicht von der Tatsache gesehen werden, dass die Folgen wirklich zu einer allgemeinen Grenze zusammenlaufen (der durch den Bolzano-Weierstrass Lehrsatz gezeigt werden kann), und die Tatsache, dass geometrisches Mittel bewahrt wird:

:

Das Ersetzen des arithmetischen und harmonischen, das durch ein Paar der verallgemeinerten Mittel des Gegenteils, begrenzte Hochzahlen bösartig ist, gibt dasselbe Ergebnis nach.

Beziehung mit der von Logarithmen bösartigen Arithmetik

Durch das Verwenden logarithmischer Identität, um die Formel umzugestalten, können die Multiplikationen als eine Summe und die Macht als eine Multiplikation ausgedrückt werden.

:

Das wird manchmal den Klotz-Durchschnitt genannt. Es schätzt einfach die Arithmetik, die der Logarithmus-umgestalteten Werte (d. h., die Arithmetik bösartig ist, die auf der Klotz-Skala bösartig ist), und verwendet dann den exponentiation, um die Berechnung in die ursprüngliche Skala zurückzugeben, d. h. es ist der verallgemeinerte f-mean mit f (x) = loggen x. Zum Beispiel kann das geometrische Mittel 2 und 8 als berechnet werden:

:

wo b jede Basis eines Logarithmus (allgemein 2, e oder 10) ist.

Beziehung mit der arithmetischen Mittel- und Mittel-Bewahrausbreitung

Wenn eine Reihe nichtidentischer Zahlen einer Mittel-Bewahrausbreitung unterworfen wird — d. h. werden zwei oder mehr Elemente des Satzes einzeln" von einander "ausgebreitet, während man die Arithmetik bösartig unverändert — dann verlässt, das geometrische Mittel nimmt immer ab.

Berechnung in der unveränderlichen Zeit

In Fällen, wo das geometrische Mittel verwendet wird, um die durchschnittliche Wachstumsrate von etwas Menge und die anfänglichen und endgültigen Werte und von dieser Menge zu bestimmen, sind bekannt, das Produkt der gemessenen Wachstumsrate an jedem Schritt braucht nicht genommen zu werden. Statt dessen ist das geometrische Mittel einfach

:

wo die Zahl von Schritten von der Initiale bis Endstaat ist.

Wenn die Werte sind, dann ist die Wachstumsrate zwischen dem Maß und. Das geometrische Mittel dieser Wachstumsraten ist gerade

:

Eigenschaften

Das grundsätzliche Eigentum des geometrischen Mittels, das, wie man beweisen kann, für irgendwelchen anderes bösartiges falsch ist, ist

GM\left (\frac {X_i} {Y_i }\\Recht) = \frac {GM (X_i)} {GM (Y_i) }\

</Mathematik>

Das macht das geometrische Mittel das einzige richtige bösartige, als Mittelwertbildung Ergebnisse normalisiert hat, der Ergebnisse ist, die als Verhältnisse präsentiert werden, um in Werten Verweise anzubringen. Das ist der Fall, wenn es Computerleistung in Bezug auf einen Bezugscomputer präsentiert, oder wenn es einen einzelnen durchschnittlichen Index von mehreren heterogenen Quellen (zum Beispiel Lebenserwartung, Ausbildungsjahre und Säuglingssterblichkeit) schätzt. In diesem Drehbuch, mit dem arithmetischen oder bösartigen harmonischen würde die Rangordnung der Ergebnisse abhängig davon ändern, was als eine Verweisung verwendet wird. Nehmen Sie zum Beispiel den folgenden Vergleich der Ausführungszeit von Computerprogrammen:

Die Arithmetik und geometrischen Mittel "geben zu", dass Computer C am schnellsten ist. Jedoch, indem wir passend normalisierte Werte präsentieren und die bösartige Arithmetik verwenden, können wir jeden der anderen zwei Computer zeigen, um am schnellsten zu sein. Das Normalisieren durch das Ergebnis von A gibt als der schnellste Computer gemäß der bösartigen Arithmetik:

während das Normalisieren durch das Ergebnis von B B als der schnellste Computer gemäß der bösartigen Arithmetik gibt:

In allen Fällen bleibt die durch das geometrische Mittel gegebene Rangordnung dasselbe als mit unnormalisierten Werten erhaltenes dasjenige.

Anwendungen

Proportionales Wachstum

Das geometrische Mittel ist passender als die Arithmetik, die bösartig ist, um proportionales Wachstum, beides Exponentialwachstum (unveränderliches proportionales Wachstum) zu beschreiben und Wachstum zu ändern; im Geschäft ist das geometrische Mittel von Wachstumsraten als die zusammengesetzte jährliche Wachstumsrate (CAGR) bekannt. Das geometrische Mittel des Wachstums im Laufe Perioden gibt die gleichwertige unveränderliche Wachstumsrate nach, die denselben Endbetrag nachgeben würde.

Nehmen Sie an, dass ein Orangenbaum 100 Orangen ein Jahr und dann 180, 210 und 300 die folgenden Jahre nachgibt, so ist das Wachstum 80 %, 16.6666 % und 42.8571 % für jedes Jahr beziehungsweise. Das Verwenden der bösartigen Arithmetik berechnet ein (geradliniges) durchschnittliches Wachstum von 46.5079 % (80 % + 16.6666 % + 42.8571 %, die durch 3 geteilt sind). Jedoch, wenn wir mit 100 Orangen anfangen und es um 46.5079 % jedes Jahr wachsen lassen, ist das Ergebnis 314 Orangen, nicht 300, so übertreibt der geradlinige Durchschnitt das Wachstum des Jahres-auf-jährig.

Statt dessen können wir das geometrische Mittel verwenden. Das Wachsen mit 80 % entspricht dem Multiplizieren mit 1.80, so nehmen wir das geometrische Mittel 1.80, 1.166666 und 1.428571, d. h.; so ist das "durchschnittliche" Wachstum pro Jahr 44.2249 %. Wenn wir mit 100 Orangen anfangen und die Zahl mit 44.2249 % jedes Jahr wachsen lassen, ist das Ergebnis 300 Orangen.

Anwendungen in den Sozialwissenschaften

Obwohl das geometrische Mittel in der Computerwissenschaft sozialer Statistik relativ selten gewesen ist, hat das Anfangen von 2010 des Mensch-Entwicklungsindex der Vereinten Nationen wirklich auf diese Weise der Berechnung umgeschaltet, mit der Begründung, dass es besser die nichtaustauschbare Natur der Statistik widerspiegelt hat, die wird kompiliert, und sich verglichen hat:

Geometrisches

:The-Mittel reduziert das Niveau von substitutability zwischen Dimensionen [] verglichen werden, und stellt zur gleichen Zeit sicher, dass ein 1-Prozent-Niedergang darin sagt, dass die Lebenserwartung bei der Geburt denselben Einfluss auf den HDI wie ein 1-Prozent-Niedergang in der Ausbildung oder dem Einkommen hat. So, als eine Basis für Vergleiche von Ergebnissen ist diese Methode auch von den inneren Unterschieden über die Dimensionen respektvoller als ein einfacher Durchschnitt.

Bemerken Sie, dass nicht alle Werte gepflegt haben zu rechnen, werden die HDI normalisiert; einige von ihnen haben stattdessen die Form. Das macht die Wahl des geometrischen Mittels weniger offensichtlich, als man von der "Eigenschaften"-Abteilung oben erwarten würde.

Aspekt-Verhältnisse

Das geometrische Mittel ist in der Auswahl eines Kompromiss-Aspekt-Verhältnisses im Film und Video verwendet worden: In Anbetracht zwei Aspekt-Verhältnisse stellt das geometrische Mittel von ihnen einen Kompromiss zwischen ihnen zur Verfügung, verdrehend oder beide in einem Sinn ebenso abschneidend. Konkret schneiden sich zwei gleiche Bereichsrechtecke (mit demselben Zentrum und parallelen Seiten) verschiedener Aspekt-Verhältnisse in einem Rechteck, dessen Aspekt-Verhältnis das geometrische Mittel und ihr Rumpf ist (kleinstes Rechteck, das sie beide enthält), ebenfalls hat Aspekt-Verhältnis ihr geometrisches Mittel.

Im Aspekt-Verhältnis durch den SMPTE, 2.35 und 4:3 balancierend, ist das geometrische Mittel, und so 16:9 = 1.77 wurde... gewählt. Das wurde empirisch durch Kerns Mächte entdeckt, wer Rechtecke mit gleichen Gebieten ausgeschnitten hat und sie gestaltet hat, um jedes der populären Aspekt-Verhältnisse zu vergleichen. Wenn übergegriffen, mit ihren ausgerichteten Zentrum-Punkten hat er gefunden, dass alle jene Aspekt-Verhältnis-Rechtecke innerhalb eines Außenrechtecks mit einem Aspekt-Verhältnis 1.7:1 passen und sie alle auch ein kleineres allgemeines inneres Rechteck mit demselben Aspekt-Verhältnis 1.7:1 bedeckt haben. Der durch Mächte gefundene Wert ist genau das geometrische Mittel der äußersten Aspekt-Verhältnisse, (1.33:1) und CinemaScope (2.35:1), der zusammenfallend in der Nähe von 16:9 (1.78:1) ist. Bemerken Sie, dass die Zwischenverhältnisse keine Wirkung auf das Ergebnis, nur die zwei äußersten Verhältnisse haben.

Die Verwendung derselben Technik des geometrischen Mittels zu 16:9 und 4:3 trägt ungefähr (1.55...) Aspekt-Verhältnis, das als ein Kompromiss zwischen diesen Verhältnissen ebenfalls verwendet wird. In diesem Fall 14:9 ist genau die Arithmetik, die 16:9 und 4:3 = 12:9 bösartig ist, da 14 der Durchschnitt 16 und 12 ist, während das genaue geometrische Mittel nur die zwei verschiedenen Mittel, Arithmetik und geometrisch ist, sind ungefähr gleich, weil beide Zahlen genug 1 nah sind.

Geisterhafte Flachheit

In der Signalverarbeitung, geisterhaften Flachheit, wird ein Maß dessen, wie flach oder stachelig ein Spektrum ist, als das Verhältnis des geometrischen Mittels des Macht-Spektrums zu seiner bösartigen Arithmetik definiert.

Geometrie

Die Länge der Höhe eines rechtwinkligen Dreieckes von der Hypotenuse bis den richtigen Winkel, wo die Höhe auf der Hypotenuse rechtwinklig ist, ist das geometrische Mittel der zwei Segmente, in die die Hypotenuse geteilt wird.

In einer Ellipse ist die halbgeringe Achse das geometrische Mittel der maximalen und minimalen Entfernungen der Ellipse von einem Fokus; und die Halbhauptachse der Ellipse ist das geometrische Mittel der Entfernung vom Zentrum bis jeden Fokus und der Entfernung vom Zentrum bis irgendeinen directrix.

Siehe auch

• Arithmetik bedeutet
• Arithmetisches geometrisches Mittel
• Durchschnitt
• Verallgemeinerter bösartiger
• Geometrische Standardabweichung
• Harmonischer bösartiger
• Heronian haben vor
• Hyperbelkoordinaten
• Lognormalvertrieb
• Die Ungleichheit von Muirhead
• Produkt
• Pythagoreer hat vor
• Quadratischer bösartiger
• Rate der Rückkehr
• Belastetes geometrisches Mittel

Zeichen und Verweisungen

Links

• Berechnung des geometrischen Mittels von zwei Zahlen im Vergleich mit der arithmetischen Lösung
• Arithmetik und geometrische Mittel
• Wenn man das geometrische Mittel verwendet
• Praktische Lösungen, um geometrisches Mittel mit verschiedenen Arten von Daten zu berechnen
• Geometrisches Mittel auf MathWorld
• Geometrische Bedeutung des geometrischen Mittels
• Rechenmaschine des Geometrischen Mittels für größere Dateien
• Die Computerwissenschaft der richtigen Kongressverteilung mit dem Geometrischen Mittel