Identische Partikeln, auch genannt nicht zu unterscheidende oder nicht wahrnehmbare Partikeln, sind Partikeln, die von einander sogar im Prinzip nicht bemerkenswert sein können. Arten von identischen Partikeln schließen elementare Partikeln wie Elektronen, und, mit einigen Klauseln, zerlegbare Partikeln wie Atome und Moleküle ein.

Es gibt zwei Hauptkategorien von identischen Partikeln: Bosons, der Quant-Staaten und fermions teilen kann, die Quant-Staaten wegen des Ausschluss-Grundsatzes von Pauli nicht teilen. Beispiele von bosons sind Fotonen, gluons, phonons, und Helium 4 Atome. Beispiele von fermions sind Elektronen, neutrinos, Quarke, Protone und Neutronen und Helium 3 Atome.

Die Tatsache, dass Partikeln identisch sein können, hat wichtige Folgen in der statistischen Mechanik. Berechnungen in der statistischen Mechanik verlassen sich auf probabilistic Argumente, die dazu empfindlich sind, ob die Gegenstände, die studieren werden, identisch sind. Infolgedessen stellen identische Partikeln deutlich verschiedenes statistisches Verhalten von unterscheidbaren Partikeln aus. Zum Beispiel ist der indistinguishability von Partikeln als eine Lösung des sich vermischenden Paradoxes von Gibbs vorgeschlagen worden.

Das Unterscheiden zwischen Partikeln

Es gibt zwei Wege, auf die zwischen Partikeln unterscheiden könnte. Die erste Methode verlässt sich auf Unterschiede in den inneren physikalischen Eigenschaften der Partikeln, wie Masse, elektrische Anklage und Drehung. Wenn Unterschiede bestehen, können wir zwischen den Partikeln unterscheiden, indem wir die relevanten Eigenschaften messen. Jedoch ist es eine empirische Tatsache, dass mikroskopische Partikeln derselben Arten völlig gleichwertige physikalische Eigenschaften haben. Zum Beispiel hat jedes Elektron im Weltall genau dieselbe elektrische Anklage; das ist, warum wir von solch einem Ding wie "die Anklage des Elektrons" sprechen können.

Selbst wenn die Partikeln gleichwertige physikalische Eigenschaften haben, dort bleibt eine zweite Methode, um zwischen Partikeln zu unterscheiden, der ist, die Schussbahn jeder Partikel zu verfolgen. So lange wir die Position jeder Partikel mit der unendlichen Präzision messen können (selbst wenn die Partikeln kollidieren), würde es keine Zweideutigkeit geben, über die Partikel der ist.

Das Problem mit dieser Annäherung besteht darin, dass sie den Grundsätzen der Quant-Mechanik widerspricht. Gemäß der Quant-Theorie besitzen die Partikeln bestimmte Positionen während der Perioden zwischen Maßen nicht. Statt dessen werden sie durch wavefunctions geregelt, die die Wahrscheinlichkeit geben, eine Partikel an jeder Position zu finden. Da Zeit geht, neigen die wavefunctions dazu, sich auszubreiten und zu überlappen. Sobald das geschieht, wird es unmöglich, in einem nachfolgenden Maß zu bestimmen, welche von den Partikel-Positionen denjenigen entspricht, die früher gemessen sind. Wie man dann sagt, sind die Partikeln nicht zu unterscheidend.

Quant mechanische Beschreibung von identischen Partikeln

Symmetrische und antisymmetrische Staaten

Wir werden jetzt den obengenannten Diskussionsbeton mit dem Formalismus machen, der im Artikel über die mathematische Formulierung der Quant-Mechanik entwickelt ist.

Lassen Sie n einen ganzen Satz von (getrennten) Quantenzahlen anzeigen, um Staaten der einzelnen Partikel anzugeben (zum Beispiel, für die Partikel in einem Kasten-Problem wir können n nehmen, um der gequantelte Welle-Vektor des wavefunction zu sein.) Für die Einfachheit, betrachten Sie ein System als zusammengesetzt aus zwei identischen Partikeln. Nehmen Sie an, dass eine Partikel im Staat n ist, und ein anderer im Staat n ist. Wie ist der Quant-Staat des Systems? Intuitiv sollte es sein

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der einfach die kanonische Weise ist, eine Basis für einen Tensor-Produktraum des vereinigten Systems von den individuellen Räumen zu bauen. Jedoch bezieht dieser Ausdruck die Fähigkeit ein, die Partikel mit n als "Partikel 1" und die Partikel mit n als "Partikel 2" zu identifizieren. Wenn die Partikeln nicht zu unterscheidend sind, ist das definitionsgemäß unmöglich; jede Partikel kann in jedem Staat sein. Es erweist sich aus Gründen, die schließlich in der Quant-Feldtheorie gestützt sind, die wir haben müssen:

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Staaten, wo das eine Summe ist, sind als symmetrisch bekannt; Staaten, die den Unterschied einschließen, werden antisymmetrisch genannt. Mehr völlig haben symmetrische Staaten die Form

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während antisymmetrische Staaten die Form haben

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Bemerken Sie, dass, wenn n und n dasselbe sind, der antisymmetrische Ausdruck Null gibt, die kein Zustandvektor sein kann, weil es nicht normalisiert werden kann. Mit anderen Worten in antisymmetrischen staatlichen zwei können identische Partikeln nicht dieselben Staaten der einzelnen Partikel besetzen. Das ist als der Ausschluss-Grundsatz von Pauli bekannt, und es ist der grundsätzliche Grund hinter den chemischen Eigenschaften von Atomen und der Stabilität der Sache.

Austauschsymmetrie

Die Wichtigkeit von symmetrischen und antisymmetrischen Staaten basiert schließlich auf empirischen Beweisen. Es scheint, eine Tatsache der Natur zu sein, dass identische Partikeln Staaten einer Mischsymmetrie wie nicht besetzen

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Es gibt wirklich eine Ausnahme zu dieser Regel, die wir später besprechen werden. Andererseits können wir zeigen, dass die symmetrischen und antisymmetrischen Staaten gewissermaßen, durch das Überprüfen einer besonderen Symmetrie der als Austauschsymmetrie bekannten Staaten der vielfachen Partikel speziell sind.

Lassen Sie uns einen geradlinigen Maschinenbediener P, genannt den Austauschmaschinenbediener definieren. Wenn es einem Tensor-Produkt von zwei Zustandvektoren folgt, tauscht es die Werte der Zustandvektoren aus:

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P ist sowohl Hermitian als auch einheitlich. Weil es einheitlich ist, können wir es als ein Symmetrie-Maschinenbediener betrachten. Wir können diese Symmetrie als die Symmetrie unter dem Austausch von Etiketten beschreiben, die den Partikeln (d. h., der einzelnen Partikel Räume von Hilbert) beigefügt sind.

Klar, P ² = 1 (der Identitätsmaschinenbediener), so sind die eigenvalues von P +1 und −1. Die entsprechenden Eigenvektoren sind die symmetrischen und antisymmetrischen Staaten:

::

Mit anderen Worten sind symmetrische und antisymmetrische Staaten unter dem Austausch von Partikel-Etiketten im Wesentlichen unverändert: Sie werden nur mit einem Faktor +1 oder −1 multipliziert, anstatt sonst wohin im Raum von Hilbert "rotieren gelassen" zu werden. Das zeigt an, dass die Partikel-Etiketten keine physische Bedeutung in Übereinstimmung mit unserer früheren Diskussion über indistinguishability haben.

Wir haben erwähnt, dass P Hermitian ist. Infolgedessen kann es als ein erkennbare vom System betrachtet werden, was bedeutet, dass wir im Prinzip ein Maß durchführen können, um herauszufinden, ob ein Staat symmetrisch oder antisymmetrisch ist. Außerdem zeigt die Gleichwertigkeit der Partikeln an, dass Hamiltonian in einer symmetrischen Form wie geschrieben werden kann

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Es ist möglich zu zeigen, dass solche Hamiltonians die Umwandlungsbeziehung befriedigen

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Gemäß der Gleichung von Heisenberg bedeutet das, dass der Wert von P eine Konstante der Bewegung ist. Wenn der Quant-Staat (antisymmetrisch) am Anfang symmetrisch ist, wird es symmetrisch (antisymmetrisch) bleiben, weil sich das System entwickelt. Mathematisch sagt das, dass der Zustandvektor auf einen der zwei eigenspaces von P beschränkt wird und nicht erlaubt wird, sich über den kompletten Raum von Hilbert zu erstrecken. So könnten wir ebenso das eigenspace als der wirkliche Raum von Hilbert des Systems behandeln. Das ist die Idee hinter der Definition des Raums von Fock.

Fermions und bosons

Die Wahl der Symmetrie oder Antisymmetrie wird durch die Arten der Partikel bestimmt. Zum Beispiel müssen wir immer symmetrische Staaten verwenden, wenn wir Fotonen oder Helium 4 Atome und antisymmetrische Staaten beschreiben, wenn wir Elektronen oder Protone beschreiben.

Partikeln, die symmetrische Staaten ausstellen, werden bosons genannt. Wie wir sehen werden, hat die Natur von symmetrischen Staaten wichtige Folgen für die statistischen Eigenschaften von aus vielen identischen bosons zusammengesetzten Systemen. Diese statistischen Eigenschaften werden als Statistik von Bose-Einstein beschrieben.

Partikeln, die antisymmetrische Staaten ausstellen, werden fermions genannt. Wie wir gesehen haben, verursacht Antisymmetrie den Ausschluss-Grundsatz von Pauli, der identischen fermions davon verbietet, denselben Quant-Staat zu teilen. Systeme von vielen identischen fermions werden durch die Fermi-Dirac Statistik beschrieben.

Parastatistiken sind auch möglich.

In bestimmten zweidimensionalen Systemen kann gemischte Symmetrie vorkommen. Diese exotischen Partikeln sind als anyons bekannt, und sie folgen Bruchstatistik. Experimentelle Beweise für die Existenz von anyons bestehen in der Bruchquant-Saal-Wirkung, ein Phänomen, das im zweidimensionalen Elektronbenzin beobachtet ist, das die Inversionsschicht von MOSFETs bildet. Es gibt einen anderen Typ von statistischen, bekannten als Flechte-Statistiken, die mit Partikeln bekannt als plektons vereinigt werden.

Der Drehungsstatistik-Lehrsatz verbindet die Austauschsymmetrie von identischen Partikeln zu ihrer Drehung. Es stellt fest, dass bosons Drehung der ganzen Zahl haben, und fermions Drehung der halbganzen Zahl haben. Anyons besitzen Bruchdrehung.

N Partikeln

Die obengenannte Diskussion verallgemeinert sogleich zum Fall von N Partikeln. Nehmen Sie an, dass wir N Partikeln mit Quantenzahlen n, n..., n haben. Wenn die Partikeln bosons sind, besetzen sie einen völlig symmetrischen Staat, der unter dem Austausch irgendwelcher zwei Partikel-Etiketten symmetrisch ist:

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Hier wird die Summe alle verschiedenen Staaten unter Versetzungen p übernommen, N Elemente folgend. Die zur Summe verlassene Quadratwurzel ist ein unveränderliches Normalisieren. Die Menge n tritt für die Zahl von Zeiten ein jeder der Staaten der einzelnen Partikel erscheint im N-Partikel-Staat.

In derselben Ader besetzen fermions völlig antisymmetrische Staaten:

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Hier sgn ist (p) die Unterschrift jeder Versetzung (d. h. +1, wenn p aus einer geraden Zahl von Umstellungen, und −1, wenn seltsam, zusammengesetzt wird.) Bemerken, dass wir den Πn-Begriff weggelassen haben, weil jeder Staat der einzelnen Partikel nur einmal in einem Fermionic-Staat erscheinen kann. Sonst würde die Summe wieder Null wegen der Antisymmetrie sein, so einen physisch unmöglichen Staat vertretend. Das ist der Ausschluss-Grundsatz von Pauli für viele Partikeln.

Diese Staaten sind so dass normalisiert worden

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Maße von identischen Partikeln

Nehmen Sie an, dass wir ein System von N bosons (fermions) im symmetrischen (antisymmetrischen) Staat haben

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und wir führen ein Maß eines anderen Satzes von getrenntem observables, M durch. Im Allgemeinen würde das ein Ergebnis M für eine Partikel, M für eine andere Partikel und so weiter nachgeben. Wenn die Partikeln bosons (fermions), der Staat sind, nachdem das Maß symmetrisch (antisymmetrisch) bleiben muss, d. h.

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Die Wahrscheinlichkeit, ein besonderes Ergebnis für die M Maß zu erhalten, ist

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Wir können dem zeigen

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der nachprüft, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ist. Bemerken Sie, dass wir die Summe auf bestellte Werte der M..., M einschränken müssen, um sicherzustellen, dass wir nicht zählen, jede Mehrpartikel setzen mehr fest als einmal.

Darstellung von Wavefunction

Bis jetzt haben wir mit getrenntem observables gearbeitet. Wir werden jetzt die Diskussion zu dauerndem observables, wie die Position x erweitern.

Rufen Sie zurück, dass ein eigenstate eines dauernden erkennbaren einen unendlich kleinen Wertbereich des erkennbaren, kein einziger Wert als mit getrenntem observables vertritt. Zum Beispiel, wenn eine Partikel in einem Staat | ψ , die Wahrscheinlichkeit der Entdeckung ist, dass es in einem Gebiet des Volumens dx, eine Position x umgebend, ist

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Infolgedessen werden die dauernden eigenstates |x  zur Delta-Funktion statt der Einheit normalisiert:

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Wir können symmetrische und antisymmetrische Mehrpartikel-Staaten aus dauerndem eigenstates ebenso wie zuvor bauen. Jedoch ist es üblich, um ein verschiedenes unveränderliches Normalisieren zu verwenden:

::

Wir können dann einen Vielkörper wavefunction, schreiben

</tr>

</tr>

</tr></tr>

</Tisch>

wo die einzelne Partikel wavefunctions wie gewöhnlich durch definiert wird

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Das wichtigste Eigentum dieser wavefunctions ist das, irgendwelche zwei der Koordinatenvariablen austauschend, ändert den wavefunction durch nur plus oder minus das Zeichen. Das ist die Manifestation der Symmetrie und Antisymmetrie in der wavefunction Darstellung:

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\Psi^ {(S)} _ {n_1 \cdots n_N} (\cdots x_i \cdots x_j\cdots) =

\Psi^ {(S)} _ {n_1 \cdots n_N} (\cdots x_j \cdots x_i \cdots)

</Mathematik>:

\Psi^ {(A)} _ {n_1 \cdots n_N} (\cdots x_i \cdots x_j\cdots) = -

\Psi^ {(A)} _ {n_1 \cdots n_N} (\cdots x_j \cdots x_i \cdots)

</Mathematik>

Der Vielkörper wavefunction hat die folgende Bedeutung: Wenn das System am Anfang in einem Staat mit Quantenzahlen n..., n ist, und wir ein Positionsmaß, die Wahrscheinlichkeit durchführen zu finden, dass Partikeln in unendlich kleinen Volumina nahe x, x..., x sind

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Der Faktor von N! kommt aus unserem unveränderlichen Normalisieren, der so dass, analog mit der einzelnen Partikel wavefunctions, gewählt worden ist

:

Weil jedes Integral über alle möglichen Werte von x läuft, erscheint jeder Mehrpartikel-Staat N! Zeiten mit dem Integral. Mit anderen Worten wird die mit jedem Ereignis vereinigte Wahrscheinlichkeit über N gleichmäßig verteilt! gleichwertige Punkte im integrierten Raum. Weil es gewöhnlich günstiger ist, mit uneingeschränkten Integralen zu arbeiten, als eingeschränkte, haben wir unser Normalisieren gewählt, das unveränderlich ist, um das zu widerspiegeln.

Schließlich ist es interessant zu bemerken, dass antisymmetrischer wavefunction als die Determinante einer Matrix geschrieben werden kann, die als eine Schieferdecker-Determinante bekannt ist:

:

\frac {1} {\\sqrt {N!}} \left

\begin {Matrix-}\

\psi_ {n_1} (x_1) & \psi_ {n_1} (x_2) & \cdots & \psi_ {n_1} (x_N) \\

\psi_ {n_2} (x_1) & \psi_ {n_2} (x_2) & \cdots & \psi_ {n_2} (x_N) \\

\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\

\psi_ {n_N} (x_1) & \psi_ {n_N} (x_2) & \cdots & \psi_ {n_N} (x_N) \\

\end {Matrix-}\

\right|

</Mathematik>

Statistische Eigenschaften

Statistische Effekten von indistinguishability

Der indistinguishability von Partikeln hat eine tiefe Wirkung auf ihre statistischen Eigenschaften. Um das zu illustrieren, lassen Sie uns ein System von N unterscheidbaren, aufeinander nichtwirkenden Partikeln denken. Lassen Sie wieder n den Staat (d. h. Quantenzahlen) der Partikel j anzeigen. Wenn die Partikeln dieselben physikalischen Eigenschaften, den Lauf des n über denselben Wertbereich haben. Lassen Sie ε (n) zeigen die Energie einer Partikel im Staat n an. Da die Partikeln nicht aufeinander wirken, ist die Gesamtenergie des Systems die Summe der Energien der einzelnen Partikel. Die Teilungsfunktion des Systems ist

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wo k die Konstante von Boltzmann ist und T die Temperatur ist. Wir können Faktor dieser Ausdruck, um zu erhalten

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wo

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Wenn die Partikeln identisch sind, ist diese Gleichung falsch. Denken Sie einen Staat des Systems, das durch die einzelnen Partikel-Staaten [n..., n] beschrieben ist. In der Gleichung für Z kommt jede mögliche Versetzung des n's einmal in der Summe vor, wenn auch jede dieser Versetzungen denselben Mehrpartikel-Staat beschreibt. Wir haben so die wirkliche Zahl von Staaten überaufgezählt.

Wenn wir die Möglichkeit vernachlässigen, auf Staaten überzugreifen, der gültig ist, wenn die Temperatur hoch ist, dann ist die Zahl von Zeiten wir zählen jeden Staat auf, ungefähr N!. Die richtige Teilungsfunktion ist

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Bemerken Sie, dass diese "hohe" Temperaturannäherung zwischen fermions und bosons nicht unterscheidet.

Die Diskrepanz in den Teilungsfunktionen von unterscheidbaren und nicht zu unterscheidenden Partikeln war schon zu Lebzeiten von das 19. Jahrhundert vor dem Advent der Quant-Mechanik bekannt. Es führt zu einer als das Paradox von Gibbs bekannten Schwierigkeit. Gibbs hat gezeigt, dass, wenn wir die Gleichung Z = ξ verwenden, das Wärmegewicht eines klassischen idealen Benzins ist

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wo V das Volumen des Benzins ist und f etwas Funktion von T allein ist. Das Problem mit diesem Ergebnis besteht darin, dass S nicht umfassend ist - wenn wir N und V verdoppeln, verdoppelt sich S entsprechend nicht. Solch ein System folgt den Postulaten der Thermodynamik nicht.

Gibbs hat auch dass mit Z = ξ/N gezeigt! verändert das Ergebnis zu

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der vollkommen umfassend ist. Jedoch ist der Grund für diese Korrektur zur Teilungsfunktion dunkel bis zur Entdeckung der Quant-Mechanik geblieben.

Statistische Eigenschaften von bosons und fermions

Es gibt wichtige Unterschiede zwischen dem statistischen Verhalten von bosons und fermions, die durch die Statistik von Bose-Einstein und Fermi-Dirac Statistik beziehungsweise beschrieben werden. Grob das Sprechen, bosons haben eine Tendenz, in denselben Quant-Staat zu trampeln, der Phänomenen wie der Laser, die Kondensation von Bose-Einstein und die Superflüssigkeit unterliegt. Fermions werden andererseits davon verboten, Quant-Staaten zu teilen, Systeme wie das Benzin von Fermi verursachend. Das ist als der Pauli Ausschluss-Grundsatz bekannt, und ist für viel Chemie verantwortlich, da die Elektronen in einem Atom (fermions) nacheinander die vielen Staaten innerhalb von Schalen aber nicht dem ganzen Lügen in demselben niedrigsten Energiestaat füllen.

Wir können die Unterschiede zwischen dem statistischen Verhalten von fermions, bosons, und den unterscheidbaren Partikeln mit einem System von zwei Partikeln illustrieren. Lassen Sie uns die Partikeln A und B nennen. Jede Partikel kann in zwei möglichen Staaten, etikettiert bestehen und, die dieselbe Energie haben.

Wir lassen sich das zerlegbare System rechtzeitig entwickeln, mit einer lauten Umgebung aufeinander wirkend. Weil und Staaten energisch gleichwertig sind, kein Staat bevorzugt wird, so hat dieser Prozess die Wirkung von randomizing die Staaten. (Das wird im Artikel über die Quant-Verwicklung besprochen.) Nach einer Zeit wird das zerlegbare System eine gleiche Wahrscheinlichkeit haben, jeden der dafür verfügbaren Staaten zu besetzen. Wir messen dann die Partikel-Staaten.

Wenn A und B unterscheidbare Partikeln sind, dann hat das zerlegbare System vier verschiedene Staaten: und. Die Wahrscheinlichkeit, zwei Partikeln im Staat zu erhalten, ist 0.25; die Wahrscheinlichkeit, zwei Partikeln im Staat zu erhalten, ist 0.25; und die Wahrscheinlichkeit, eine Partikel im Staat und anderen im Staat zu erhalten, ist 0.5.

Wenn A und B identischer bosons sind, dann hat das zerlegbare System nur drei verschiedene Staaten: und. Wenn wir das Experiment durchführen, ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Partikeln im Staat zu erhalten, jetzt 0.33; die Wahrscheinlichkeit, zwei Partikeln im Staat zu erhalten, ist 0.33; und die Wahrscheinlichkeit, eine Partikel im Staat und anderen im Staat zu erhalten, ist 0.33. Bemerken Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, Partikeln in demselben Staat zu finden, relativ größer ist als im unterscheidbaren Fall. Das demonstriert die Tendenz von bosons "zu trampeln".

Wenn A und B identischer fermions sind, gibt es nur ein setzen verfügbar für das zerlegbare System fest: der völlig antisymmetrische Staat. Wenn wir das Experiment durchführen, finden wir unvermeidlich, dass eine Partikel im Staat ist und der andere im Staat ist.

Die Ergebnisse werden in der Tabelle 1 zusammengefasst:

Wie gesehen werden kann, stellt sogar ein System von zwei Partikeln verschiedene statistische Handlungsweisen zwischen unterscheidbaren Partikeln, bosons, und fermions aus. In den Artikeln über die Fermi-Dirac Statistik und Statistik von Bose-Einstein werden diese Grundsätze zur Vielzahl von Partikeln mit qualitativ ähnlichen Ergebnissen erweitert.

Die homotopy Klasse

Um zu verstehen, warum wir die Statistik haben, die wir für Partikeln tun, müssen wir zuerst bemerken, dass Partikeln lokalisierte Erregung des Punkts sind, und dass Partikeln, die getrennt raummäßig sind, nicht aufeinander wirken. In einer Wohnung d-dimensional RaumM, zu jeder vorgegebenen Zeit, kann die Konfiguration von zwei identischen Partikeln als ein Element der M &times angegeben werden; M. Wenn es kein Übergreifen zwischen den Partikeln gibt, so dass sie nicht aufeinander wirken (zur gleichen Zeit, beziehen wir uns auf verzögerte Wechselwirkungen der Zeit hier nicht, die mit der Geschwindigkeit des Lichtes oder langsamer vermittelt werden), dann befassen wir uns mit dem Raum der Subraum mit zusammenfallenden entfernten Punkten. beschreibt die Konfiguration mit der Partikel I an und Partikel II daran. beschreibt die ausgewechselte Konfiguration. Mit identischen Partikeln sollte der Staat, der dadurch beschrieben ist, nicht zu unterscheidend sein (der nicht dasselbe Ding wie identisch IST!) vom Staat, der dadurch beschrieben ist. Wollen Blick auf die homotopy Klasse von dauernden Pfaden von dazu wir. Wenn M R ist, wo, dann hat diese homotopy Klasse nur ein Element. Wenn M R ist, dann hat diese homotopy Klasse zählbar viele Elemente (d. h. gegen den Uhrzeigersinn Austausch anderthalbmal eine Umdrehung, gegen den Uhrzeigersinn Austausch durch anderthalb Umdrehungen, zweieinhalb Umdrehungen, usw., im Uhrzeigersinn Austausch anderthalbmal eine Umdrehung, usw.). Insbesondere gegen den Uhrzeigersinn Austausch anderthalbmal ist eine Umdrehung NICHT homotopic zu im Uhrzeigersinn Austausch anderthalbmal eine Umdrehung. Letzt, wenn M R ist, dann ist diese homotopy Klasse leer. Offensichtlich, wenn M zu R nicht isomorph ist, können wir mehr komplizierte homotopy Klassen haben...

Was bedeutet das alles?

Wollen den ersten Blick auf den Fall wir. Dessen universaler Bedeckungsraum niemand anderer ist als sich nur hat zwei Punkte, die von nämlich selbst physisch nicht zu unterscheidend sind und. Also, der einzige erlaubte Austausch soll beide Partikeln tauschen. Das Durchführen dieses Austausches gibt uns zweimal wieder zurück. Wenn dieser Austausch auf eine Multiplikation durch +1 hinausläuft, dann haben wir Statistik von Bose, und wenn dieser Austausch auf eine Multiplikation durch &minus;1 hinausläuft, haben wir Statistik von Fermi.

Jetzt wie steht's mit R? Der universale Bedeckungsraum dessen hat ungeheuer viele Punkte, die davon physisch nicht zu unterscheidend sind. Das wird von der unendlichen zyklischen erzeugten Gruppe durch das Bilden gegen den Uhrzeigersinn Halbumdrehungsaustausch beschrieben. Verschieden vom vorherigen Fall, diesen Austausch durchführend, führt uns zweimal hintereinander zurück zum ursprünglichen Staat nicht. Also, solch ein Austausch kann auf eine Multiplikation durch exp (iθ) allgemein hinauslaufen (sein absoluter Wert ist 1 wegen unitarity...). Das wird anyonic Statistik genannt. Tatsächlich, sogar mit zwei UNTERSCHEIDBAREN Partikeln, wenn auch jetzt davon physisch unterscheidbar ist, wenn wir zum universalen Bedeckungsraum durchgehen, enden wir noch mit ungeheuer vielen Punkten, die vom ursprünglichen Punkt physisch nicht zu unterscheidend sind und der Austausch durch gegen den Uhrzeigersinn Folge durch eine volle Umdrehung erzeugt wird, die auf eine Multiplikation durch exp (iφ) hinausläuft. Dieser Phase-Faktor hier wird die gegenseitige Statistik genannt.

Bezüglich R, selbst wenn Partikel I und Partikel II identisch sind, können wir immer zwischen ihnen durch die Etiketten "die Partikel links" und "die Partikel rechts" unterscheiden. Es gibt keine Austausch-Symmetrie hier, und solche Partikeln werden plektons genannt.

Die Generalisation zu n identischen Partikeln gibt uns nichts qualitativ Neues, weil sie vom Austausch von zwei identischen Partikeln erzeugt werden.

Siehe auch

• Quasimengenlehre

Kommentare

Links

• Austausch von identischen und vielleicht nicht zu unterscheidenden Partikeln durch John S. Denker
• Identität und Individualität in der Quant-Theorie (Enzyklopädie von Stanford der Philosophie)