:This-Artikel bespricht Quant-Theorie und Relativität. Für anderen Gebrauch, sieh Ähnlichkeitsgrundsatz (Begriffserklärung).

In der Physik stellt der Ähnlichkeitsgrundsatz fest, dass das Verhalten von Systemen, die durch die Theorie der Quant-Mechanik (oder durch die alte Quant-Theorie) beschrieben sind, klassische Physik in der Grenze von großen Quantenzahlen wieder hervorbringt. Mit anderen Worten sagt es, dass für große Bahnen und für große Energien Quant-Berechnungen mit klassischen Berechnungen übereinstimmen müssen.

Der Grundsatz wurde von Niels Bohr 1920 formuliert, obwohl er vorher davon schon in 1913 im Entwickeln seines Modells des Atoms Gebrauch gemacht hatte.

Der Begriff wird auch mehr allgemein gebraucht, um die Idee zu vertreten, dass eine neue Theorie die Ergebnisse von älteren festen Theorien in jenen Gebieten wieder hervorbringen sollte, wo die alten Theorien arbeiten.

Quant-Mechanik

Die Regeln der Quant-Mechanik sind im Beschreiben mikroskopischer Gegenstände, Atome und elementarer Partikeln hoch erfolgreich. Aber makroskopische Systeme, wie Frühlinge und Kondensatoren, werden durch klassische Theorien wie klassische Mechanik und klassische Elektrodynamik genau beschrieben. Wenn Quant-Mechanik auf makroskopische Gegenstände anwendbar sein sollte, muss es etwas Grenze geben, in der Quant-Mechanik zur klassischen Mechanik abnimmt. Der Ähnlichkeitsgrundsatz von Bohr fordert, dass klassische Physik und Quant-Physik dieselbe Antwort geben, wenn die Systeme groß werden.

Die Bedingungen, unter denen Quant und klassische Physik zustimmen, werden die Ähnlichkeitsgrenze oder die klassische Grenze genannt. Bohr hat eine raue Vorschrift für die Ähnlichkeitsgrenze zur Verfügung gestellt: Es kommt vor, wenn die Quantenzahlen, die das System beschreiben, groß sind. Eine mehr sorgfältig ausgearbeitete Analyse der mit dem Quant klassischen Ähnlichkeit (QCC) im Wavepacket-Verbreiten führt zur Unterscheidung zwischen dem robusten "hat QCC eingeschränkt", und zerbrechlich "hat über QCC ausführlich berichtet". "Eingeschränkter QCC" bezieht sich auf die ersten zwei Momente des Wahrscheinlichkeitsvertriebs und ist wahr, selbst wenn die Welle-Pakete beugen, während "ausführlicher QCC" glatte Potenziale verlangt, die sich über Skalen ändern, die viel größer sind als die Wellenlänge, die ist, was Bohr gedacht hat.

Die neue Quant-Theorie nach 1925 ist in zwei verschiedenen Formulierungen gekommen. In der Matrixmechanik wurde der Ähnlichkeitsgrundsatz darin gebaut und wurde verwendet, um die Theorie zu bauen. In Schrödingers klassischem Verhalten der Annäherung ist nicht klar, weil sich die Wellen ausgebreitet haben, als sie sich bewegen. Sobald die Gleichung von Schrödinger eine probabilistic Interpretation gegeben wurde, hat Ehrenfest gezeigt, dass Newtonsche Gesetze durchschnittlich halten: Das Quant statistischer Erwartungswert der Position und des Schwungs folgt Newtonschen Gesetzen.

Der Ähnlichkeitsgrundsatz ist eines der Werkzeuge, die für Physiker verfügbar sind, um Quant-Theorien entsprechend der Wirklichkeit auszuwählen. Die Grundsätze der Quant-Mechanik sind breit: Staaten eines physischen Systems bilden einen komplizierten Vektorraum, und physische observables werden mit Maschinenbedienern von Hermitian identifiziert, die diesem Raum von Hilbert folgen. Der Ähnlichkeitsgrundsatz beschränkt die Wahlen auf diejenigen, die klassische Mechanik in der Ähnlichkeitsgrenze wieder hervorbringen.

Weil Quant-Mechanik nur klassische Mechanik in einer statistischen Interpretation wieder hervorbringt, und weil die statistische Interpretation nur die Wahrscheinlichkeiten von verschiedenen klassischen Ergebnissen gibt, hat Bohr behauptet, dass klassische Physik aus der Quant-Physik ebenso nicht erscheint, dass klassische Mechanik als eine Annäherung der speziellen Relativität an kleinen Geschwindigkeiten erscheint. Er hat behauptet, dass klassische Physik unabhängig von der Quant-Theorie besteht und daraus nicht abgeleitet werden kann. Seine Position besteht darin, dass es unpassend ist, die Erfahrungen von Beobachtern zu verstehen, die rein Quant mechanische Begriffe wie wavefunctions verwenden, weil die verschiedenen Staaten der Erfahrung eines Beobachters klassisch definiert werden, und kein Quant mechanisches Analogon haben. Die Verhältniszustandinterpretation der Quant-Mechanik ist ein Versuch, die Erfahrung von Beobachtern zu verstehen, die nur Quant mechanische Begriffe verwenden. Niels Bohr war ein früher Gegner solcher Interpretationen.

Viele dieser Begriffsprobleme lösen sich jedoch in der mit der Phaseraumformulierung der Quant-Mechanik auf, wo dieselben Variablen mit derselben Interpretation verwertet werden, um sowohl Quant als auch klassische Mechanik zu beschreiben.

Andere wissenschaftliche Theorien

Der Begriff "Ähnlichkeits-Grundsatz" wird in einem allgemeineren Sinn gebraucht, die Verminderung einer neuen wissenschaftlichen Theorie zu einer früheren wissenschaftlichen Theorie in passenden Verhältnissen zu bedeuten. Das verlangt, dass die neue Theorie alle Phänomene unter Verhältnissen erklärt, für die, wie man bekannt, die vorhergehende Theorie, die "Ähnlichkeitsgrenze" gültig war.

Zum Beispiel befriedigt die spezielle Relativität von Einstein den Ähnlichkeitsgrundsatz, weil es zur klassischen Mechanik in der Grenze von Geschwindigkeiten abnimmt, die im Vergleich zur Geschwindigkeit des Lichtes (Beispiel unten) klein sind. Allgemeine Relativität nimmt zum Newtonischen Ernst in der Grenze von schwachen Schwerefeldern ab. Die Theorie von Laplace der himmlischen Mechanik nimmt Kepler ab, wenn interplanetarische Wechselwirkungen ignoriert werden, und Kepler den equant von Ptolemy in einem Koordinatensystem wieder hervorbringt, wo die Erde stationär ist. Statistische Mechanik bringt Thermodynamik wieder hervor, wenn die Zahl von Partikeln groß ist. In der Biologie bringt Chromosom-Erbe-Theorie die Gesetze von Mendel des Erbes im Gebiet wieder hervor, dass die geerbten Faktoren Protein-Codiergene sind.

In der Größenordnung von dort, um eine Ähnlichkeit zu sein, muss die frühere Theorie ein Gebiet der Gültigkeit haben — es muss unter einigen Bedingungen arbeiten. Nicht alle Theorien haben ein Gebiet der Gültigkeit. Zum Beispiel gibt es keine Grenze, wo die Mechanik von Newton zu Aristoteles Mechanik abnimmt, weil Aristoteles Mechanik, obwohl akademisch lebensfähig, seit 18 Jahrhunderten, kein Gebiet der Gültigkeit hat.

Beispiele

Modell von Bohr

Wenn ein Elektron in einem Atom eine Bahn mit der Periode T vorwärtstreibt, wird sich die elektromagnetische Radiation jede Augenhöhlenperiode klassisch wiederholen. Wenn die Kopplung zum elektromagnetischen Feld schwach ist, so dass die Bahn sehr viel in einem Zyklus nicht verfällt, wird die Radiation in einem Muster ausgestrahlt, das jede Periode wiederholt, so dass sich die fourier verwandeln, wird Frequenzen haben, die nur Vielfachen von 1/T sind. Das ist das klassische Strahlengesetz: Die ausgestrahlten Frequenzen sind Vielfachen der ganzen Zahl von 1/T.

In der Quant-Mechanik muss diese Emission von Quanten des Lichtes sein. Die Frequenz der ausgestrahlten Quanten sollte Vielfachen der ganzen Zahl von 1/T sein, so dass klassische Mechanik eine ungefähre Beschreibung an großen Quantenzahlen ist. Das bedeutet, dass das Energieniveau entsprechend einer klassischen Bahn der Periode 1/T nahe gelegene Energieniveaus haben muss, die sich in der Energie durch h/T unterscheiden, und sie in der Nähe von diesem Niveau ebenso unter Drogeneinfluss sein sollten:

:

\Delta E_n = {h\over T (E_n) }\

</Mathematik>

Bohr ist beunruhigend gewesen, ob der Energieabstand 1/T am besten mit der Periode des Energiestaates oder oder etwas Durchschnitt berechnet werden sollte. Im Nachhinein gibt es kein Bedürfnis herumzureden, da diese Theorie nur die halbklassische Hauptannäherung ist.

Bohr hat kreisförmige Bahnen gedacht. Diese Bahnen müssen zu kleineren Kreisen klassisch verfallen, wenn sie Fotonen ausstrahlen. Der Niveau-Abstand zwischen kreisförmigen Bahnen kann mit der Ähnlichkeitsformel berechnet werden. Für ein Wasserstoffatom haben die klassischen Bahnen eine Periode T, der durch das dritte Gesetz von Kepler beschlossen wird, als zu klettern. Die Energieskalen als 1/r, so sagt die Niveau-Abstand-Formel dass:

:

\Delta E \propto {1 \over r^ {3\over 2}} \propto E^ {3 \over 2 }\

</Mathematik>

Es ist möglich, die Energieniveaus durch das rekursive Verzögern der Bahn durch die Bahn zu bestimmen, aber es gibt eine Abkürzung. Der winkelige Schwung L der kreisförmigen Bahn klettert als. Die Energie in Bezug auf den winkeligen Schwung ist dann

:

Das Annehmen, das Werte von L gequantelt hat, ist ebenso unter Drogeneinfluss, der Abstand zwischen benachbarten Energien ist

:

\Delta E \propto {1 \over (L+1) ^2} - {1 \over L^2} \approx {d \over dL} {1 \over L^2} = - {2 \over L^3} =-2 E^ {3 \over 2 }\

</Mathematik>

Der ist, was wir für den winkeligen Schwung ebenso unter Drogeneinfluss wollen. Wenn Sie die Konstanten nachgehen, ist der Abstand, so sollte der winkelige Schwung eine von vielfache ganze Zahl sein

:

L = {nh \over 2\pi} = n \hbar

</Mathematik>

Das ist, wie Bohr sein Modell erreicht hat. Da nur der Niveau-Abstand durch den Ähnlichkeitsgrundsatz bestimmt wird, konnten Sie immer hinzufügen, dass ein kleiner fester Ausgleich zur Quantenzahl---L genauso gut gewesen sein könnte. Bohr hat seine physische Intuition verwendet, um zu entscheiden, den Mengen am besten waren, um zu quanteln. Es ist ein Zeugnis zu seiner Sachkenntnis, dass er im Stande gewesen ist, so viel davon zu kommen, was nur die Hauptordnungsannäherung ist.

Eindimensionales Potenzial

Die Ähnlichkeitsbedingung von Bohr kann für die Niveau-Energien in einem allgemeinen eindimensionalen Potenzial gelöst werden. Definieren Sie eine Menge J (E), der eine Funktion nur der Energie ist, und das Eigentum dass hat:

:

{DJ \over dE} = T

</Mathematik>

Das ist das Analogon des winkeligen Schwungs im Fall von den kreisförmigen Bahnen. Die durch den Ähnlichkeitsgrundsatz ausgewählten Bahnen sind diejenigen, die J=nh für die n ganze Zahl, seitdem folgen

:

\Delta E = E_ {n+1} - E_n = {dE \over DJ} (J_ {n+1} - J_n) = {1 \over T} \, \Delta J

</Mathematik>

Diese Menge J ist zu einer Variable θ kanonisch verbunden, der sich durch die Gleichungen von Hamilton der Bewegung mit der Zeit als der Anstieg der Energie mit J ändert. Da das der umgekehrten Periode zu jeder Zeit, die Variable θ Zunahmen fest von 0 bis 1 im Laufe einer Periode gleich ist.

Die Winkelvariable kommt zu sich nach 1 Einheit der Zunahme zurück, so ist die Geometrie des Phase-Raums in J, θ Koordinaten die eines Halbzylinders, der von an J = 0 bedeckt ist, der die unbewegliche Bahn am niedrigsten Wert der Energie ist. Diese Koordinaten sind genauso kanonisch wie x, p, aber die Bahnen sind jetzt Linien von unveränderlichem J statt verschachtelten ovoids im x-p Raum. Das durch eine Bahn eingeschlossene Gebiet ist invariant unter kanonischen Transformationen, so ist es dasselbe im x-p Raum als in J-θ. Aber in den J-θ-Koordinaten ist dieses Gebiet das Gebiet eines Zylinders des Einheitskreisumfangs zwischen 0 und J, oder gerade J. So ist J dem Gebiet gleich, das durch die Bahn in X-P-Koordinaten auch eingeschlossen ist:

:

J = \int_0^T p {d x \over dt }\\, dt

</Mathematik>

Die Quantization-Regel besteht darin, dass die Handlungsvariable J eine von h vielfache ganze Zahl ist.

Mehrperiodischer motion-Bohr-Sommerfeld quantization

Der Ähnlichkeitsgrundsatz von Bohr hat eine Weise zur Verfügung gestellt, die halbklassische Quantization-Regel für einen Grad des Freiheitssystems zu finden. Es war ein Argument für die alte Quant-Bedingung, die von derjenigen größtenteils unabhängig ist, die von Wien und Einstein entwickelt ist, der sich auf adiabatischen invariance konzentriert hat. Aber beide haben zu derselben Menge, der Handlung hingewiesen.

Bohr hat sich dagegen gesträubt, die Regel zu Systemen mit vielen Graden der Freiheit zu verallgemeinern. Dieser Schritt wurde von Sommerfeld gemacht, der die allgemeine Quantization-Regel für ein integrable System vorgeschlagen hat:

:

Jede Handlungsvariable ist eine getrennte ganze Zahl, eine getrennte Quantenzahl.

Diese Bedingung bringt die kreisförmige Bahn-Bedingung für zwei dimensionale Bewegung wieder hervor: Lassen Sie, Polarkoordinaten für ein Hauptpotenzial zu sein. Dann ist bereits eine Winkelvariable, und der kanonische verbundene Schwung ist L, der winkelige Schwung. So bringt die Quant-Bedingung für L die Regierung von Bohr wieder hervor:

:

\int_0^ {2\pi} L d\theta = 2\pi L = n h.

</Mathematik>

Das hat Sommerfeld erlaubt, die Theorie von Bohr von kreisförmigen Bahnen zu elliptischen Bahnen zu verallgemeinern, zeigend, dass die Energieniveaus dasselbe sind. Er hat auch einige allgemeine Eigenschaften des Quants winkeligen Schwung gefunden, der paradox zurzeit geschienen ist. Eines dieser Ergebnisse war, dass der Z-Bestandteil des winkeligen Schwungs, die klassische Neigung einer Bahn hinsichtlich der Z-Achse, nur getrennte Werte, ein Ergebnis übernehmen konnte, das geschienen ist, Rotationsinvariance zu widersprechen. Das wurde Raum quantization eine Zeit lang genannt, aber dieser Begriff ist aus Bevorzugung mit der neuen Quant-Mechanik gefallen, da kein quantization des Raums beteiligt wird.

In der modernen Quant-Mechanik macht der Grundsatz der Überlagerung verständlich, dass Rotationsinvariance nicht verloren wird. Es ist möglich, Gegenstände mit getrennten Orientierungen rotieren zu lassen, um Überlagerungen anderer getrennter Orientierungen zu erzeugen, und das löst die intuitiven Paradoxe des Modells von Sommerfeld auf.

Das Quant harmonischer Oszillator

Hier ist eine Demonstration

von wie große Quantenzahlen klassisches (dauerndes) Verhalten verursachen können. Betrachten Sie das eindimensionale Quant als harmonischen Oszillator. Quant-Mechanik sagt uns, dass die Summe (kinetisch und potenziell) Energie des Oszillators, E, eine Reihe getrennter Werte hat:

:

wo die winkelige Frequenz des Oszillators ist. Jedoch, in einem klassischen harmonischen Oszillator wie ein Leitungsball hat dem Ende eines Frühlings angehaftet, wir nehmen keine Getrenntkeit wahr. Statt dessen scheint die Energie solch eines makroskopischen Systems, sich über ein Kontinuum von Werten zu ändern.

Wir können nachprüfen, dass unsere Idee von "makroskopischen" Systemen innerhalb der Ähnlichkeitsgrenze fällt. Die Energie des klassischen harmonischen Oszillators mit dem Umfang ist

:

So hat die Quantenzahl den Wert

:

Wenn wir typische Werte "der menschlichen Skala" M = 1 Kg, = 1 rad/s, und = 1 M, dann n  4.74&times;10 anwenden. Das ist eine sehr hohe Zahl, so ist das System tatsächlich in der Ähnlichkeitsgrenze.

Es ist einfach zu sehen, warum wir ein Kontinuum der Energie in dieser Grenze wahrnehmen. Mit = 1 rad/s ist der Unterschied zwischen jedem Energieniveau J, ganz darunter, was wir für makroskopische Systeme entdecken.

Relativistische kinetische Energie

Hier zeigen wir, dass der Ausdruck der kinetischen Energie von der speziellen Relativität willkürlich in der Nähe vom klassischen Ausdruck für Geschwindigkeiten wird, die viel langsamer sind als die Geschwindigkeit des Lichtes.

Die Massenenergie-Gleichung von Einstein

:

wo die Geschwindigkeit, die Geschwindigkeit des Körpers hinsichtlich des Beobachters ist, die Rest-Masse (die beobachtete Masse des Körpers an der Nullgeschwindigkeit hinsichtlich des Beobachters) ist, und die Geschwindigkeit des Lichtes ist.

Wenn die Geschwindigkeit Null ist, ist die Energie, die oben ausgedrückt ist, nicht Null, und vertritt die Rest-Energie:

:

Wenn der Körper in der Bewegung hinsichtlich des Beobachters ist, überschreitet die Gesamtenergie die Rest-Energie durch einen Betrag d. h. definitionsgemäß, die kinetische Energie:

:

Das Verwenden der Annäherung

:

::: für

wir kommen, wenn Geschwindigkeiten viel langsamer sind als dieses des Lichtes oder

der der Newtonische Ausdruck für die kinetische Energie ist.

Siehe auch

• Quant decoherence
• Klassische Grenze