In der Vektor-Rechnung ist del ein Vektor-Differenzialoperator, der gewöhnlich durch das nabla Symbol &nabla vertreten ist;. wenn angewandt, auf eine auf einem eindimensionalen Gebiet definierte Funktion zeigt es seine Standardableitung, wie definiert, in der Rechnung an. Wenn angewandt, auf ein Feld (eine Funktion, die auf einem mehrdimensionalen Gebiet definiert ist), kann del den Anstieg (lokal steilster Hang) eines Skalarfeldes, der Abschweifung eines Vektorfeldes oder der Locke (Folge) eines Vektorfeldes abhängig von der Weise anzeigen, wie es angewandt wird.

Genau genommen ist del nicht ein spezifischer Maschinenbediener, aber eher eine günstige mathematische Notation für jene drei Maschinenbediener, die viele Gleichungen leichter macht, zu schreiben und sich zu erinnern. Das del Symbol kann als ein Vektor von Maschinenbedienern der partiellen Ableitung und seine drei möglichen Bedeutungen — Anstieg, Abschweifung interpretiert werden, und Locke — kann als das Produkt von Skalaren, Punktprodukt und Kreuzprodukt beziehungsweise des del "Maschinenbedieners" mit dem Feld formell angesehen werden. Diese formellen Produkte pendeln mit anderen Maschinenbedienern oder Produkten nicht notwendigerweise.

Definition

Im dreidimensionalen Kartesianischen Koordinatensystem R mit Koordinaten (x, y, z), wird del in Bezug auf Maschinenbediener der partiellen Ableitung als definiert

:

wo die Einheitsvektoren in ihren jeweiligen Richtungen sind.

Obwohl diese Seite hauptsächlich del in drei Dimensionen behandelt, kann diese Definition zum n-dimensional Euklidischen Raum R verallgemeinert werden. Im Kartesianischen Koordinatensystem mit Koordinaten (x, x..., x), ist del:

:

wo die Standardbasis in diesem Raum ist.

Kompakter, mit der Summierungsnotation von Einstein, wird del als geschrieben

:

Del kann auch in anderen Koordinatensystemen ausgedrückt werden, zum Beispiel del in zylindrischen und kugelförmigen Koordinaten zu sehen.

Gebrauch von Notational

Del wird als eine Schnellschrift-Form verwendet, um viele lange mathematische Ausdrücke zu vereinfachen. Es wird meistens verwendet, um Ausdrücke für den Anstieg, die Abschweifung, die Locke, die Richtungsableitung und Laplacian zu vereinfachen.

Anstieg

Die Vektor-Ableitung eines Skalarfeldes f wird den Anstieg genannt, und es kann als vertreten werden:

:

Es weist immer in der Richtung auf die größte Zunahme von f hin, und es hat einen Umfang, der der maximalen Rate der Zunahme am Punkt - gerade wie eine Standardableitung gleich ist. Insbesondere wenn ein Hügel als eine Höhe-Funktion über ein Flugzeug h definiert wird (x, y), wird der 2. Vorsprung des Anstiegs an einer gegebenen Position ein Vektor im xy-plane (Sorte von ähnlichen ein Pfeil auf einer Karte) sein, entlang der steilsten Richtung hinweisend. Der Umfang des Anstiegs ist der Wert dieses steilsten Hangs.

Insbesondere diese Notation ist stark, weil die Anstieg-Produktregel sehr ähnlich dem 1d-Ableitungsfall aussieht:

:

Jedoch erweisen sich die Regeln für Punktprodukte nicht, wie illustriert, einfach zu sein, durch:

:

Abschweifung

Die Abschweifung eines Vektorfeldes

ist eine Skalarfunktion, die als vertreten werden kann:

:

Die Abschweifung ist grob ein Maß einer Zunahme eines Vektorfeldes in der Richtung, die es anspitzt; aber genauer ist es ein Maß der Tendenz dieses Feldes, zusammenzulaufen zu oder von einem Punkt zurückzutreiben.

Die Macht der del Notation wird durch die folgende Produktregel gezeigt:

:

Die Formel für das Vektorprodukt ist ein bisschen weniger intuitiv, weil dieses Produkt nicht auswechselbar ist:

:

Locke

Die Locke eines Vektorfeldes ist eine Vektor-Funktion, die als vertreten werden kann:

:

Die Locke an einem Punkt ist zum Drehmoment auf der Achse proportional, dem ein winziges Feuerrad unterworfen würde, wenn es an diesem Punkt in den Mittelpunkt gestellt würde.

Die Vektorprodukt-Operation kann als eine Pseudodeterminante vergegenwärtigt werden:

:

Wieder wird die Macht der Notation durch die Produktregel gezeigt:

:

Leider erweist sich die Regel für das Vektorprodukt nicht, einfach zu sein:

:

Richtungsableitung

Die Richtungsableitung eines Skalarfeldes f (x, y, z) in der Richtung

wird als definiert:

:

Das gibt die Änderung eines Feldes f in der Richtung auf a. In der Maschinenbediener-Notation kann das Element in Parenthesen als eine einzelne zusammenhängende Einheit betrachtet werden; flüssige Dynamik verwendet diese Tagung umfassend, es die convective Ableitung - die "bewegende" Ableitung der Flüssigkeit nennend.

Laplacian

Der Laplace Maschinenbediener ist ein Skalarmaschinenbediener, der entweder auf den Vektoren oder auf die Skalarfelder angewandt werden kann; es wird als definiert:

:

Der Laplacian ist überall in der modernen mathematischen Physik allgegenwärtig, in der Gleichung von Laplace, der Gleichung von Poisson, der Hitzegleichung, der Wellengleichung und der Gleichung von Schrödinger erscheinend - um einige zu nennen.

Tensor-Ableitung

Del kann auch auf ein Vektorfeld mit dem Ergebnis angewandt werden, das ein Tensor ist. Die Tensor-Ableitung eines Vektorfeldes ist ein 9-Begriffe-Tensor der zweiten Reihe, aber kann einfach als angezeigt werden, wo das dyadische Produkt vertritt. Diese Menge ist zum Umstellen der Matrix von Jacobian des Vektorfeldes in Bezug auf den Raum gleichwertig.

Für eine kleine Versetzung wird durch die Änderung im Vektorfeld gegeben:

:

Die zweiten Ableitungen

Eine einfache Karte, die alle Regeln zeichnet, die den zweiten Ableitungen gehören.

D, C, G, L und CC treten für Abschweifung, Locke, Anstieg, Laplacian und Locke der Locke beziehungsweise ein.

Pfeile zeigen Existenz der zweiten Ableitungen an. Der blaue Kreis in der Mitte vertritt Locke der Locke, wohingegen die anderen zwei roten Kreise bösartig (gesaust) sind, dass DD und GG nicht bestehen.

]]

Wenn del auf einem Skalar oder Vektoren funktioniert, allgemein werden ein Skalar oder Vektor zurückgegeben. Wegen der Ungleichheit von Vektorprodukten (Skalar, Punkt, Kreuz) verursacht eine Anwendung von del bereits drei Hauptableitungen: Der Anstieg (Skalarprodukt), Abschweifung (punktieren Produkt), und Locke (Kreuzprodukt). Die Verwendung dieser drei Sorten von Ableitungen wieder zu einander gibt die fünf möglichen zweiten Ableitungen, für ein Skalarfeld f oder ein Vektorfeld v; der Gebrauch Skalarlaplacian und Vektoren Laplacian gibt noch zwei:

:::::::

Diese sind von Interesse hauptsächlich, weil sie nicht immer einzigartig oder von einander unabhängig sind. So lange die Funktionen wohl erzogen sind, sind zwei von ihnen immer Null:

::

Zwei von ihnen sind immer gleich:

:

Die 3 restlichen Vektor-Ableitungen sind durch die Gleichung verbunden:

:

Und einer von ihnen kann sogar mit dem Tensor-Produkt ausgedrückt werden, wenn die Funktionen wohl erzogen sind:

:

Vorsichtsmaßnahmen

Die meisten obengenannten Vektor-Eigenschaften (abgesehen von denjenigen, die sich ausführlich auf die unterschiedlichen Eigenschaften zum Beispiel von del, die Produktregel verlassen) verlassen sich nur auf die Symbol-Neuordnung und müssen notwendigerweise halten, ob del durch einen anderen Vektoren ersetzt wird. Das ist ein Teil des enormen Werts, der im Vertreten dieses Maschinenbedieners als ein Vektor in seinem eigenen Recht gewonnen ist.

Obwohl Sie häufig del durch einen Vektoren ersetzen und eine Vektor-Identität erhalten können, jene Identität intuitiv machend, ist die Rückseite nicht notwendigerweise zuverlässig, weil del nicht häufig pendelt.

Ein Gegenbeispiel, das sich auf den Misserfolg von del verlässt zu pendeln:

::

::

:::

:::::

Ein Gegenbeispiel, das sich auf die Differenzialeigenschaften von del verlässt:

::::::

Zentral zu diesen Unterscheidungen ist die Tatsache, dass del nicht einfach ein Vektor ist; es ist ein Vektor-Maschinenbediener. Wohingegen ein Vektor ein Gegenstand sowohl mit einem genauen numerischen Umfang als auch mit Richtung ist, hat del keinen genauen Wert für keinen, bis es erlaubt wird, auf etwas zu funktionieren.

Deshalb muss Identität, die del einschließt, mit der Sorge, mit sowohl der Vektor-Identität als auch Unterscheidungsidentität wie die Produktregel abgeleitet werden.

Siehe auch

• Del in zylindrischen und kugelförmigen Koordinaten
• Die Gleichungen von Maxwell
• Navier-schürt Gleichungen
• Tisch von mathematischen Symbolen
• Vektor-Rechnungsidentität

Links

• Ein Überblick über den unpassenden Gebrauch von  in der Vektor-Analyse (1994) Tai, Chen