Es gibt mehrere wohl bekannte Lehrsätze in der als der Darstellungslehrsatz von Riesz bekannten Funktionsanalyse. Sie werden zu Ehren von Frigyes Riesz genannt.

Der Hilbert Raumdarstellungslehrsatz

Dieser Lehrsatz stellt eine wichtige Verbindung zwischen einem Raum von Hilbert und seinem (dauernden) Doppelraum her: Wenn das zu Grunde liegende Feld die reellen Zahlen ist, sind die zwei isometrisch isomorph; wenn das Feld die komplexen Zahlen ist, sind die zwei isometrisch antiisomorph. (Anti-) ist Isomorphismus ein besonderer natürlicher, wie als nächstes beschrieben wird.

Lassen Sie, ein Raum von Hilbert zu sein, und zu lassen zeigen seinen Doppelraum an, aus dem ganzen dauernden geradlinigen functionals von ins Feld bestehend, oder. Wenn ein Element, dann die Funktion ist, die durch definiert ist

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wo das Skalarprodukt des Raums von Hilbert anzeigt, ist ein Element dessen. Der Riesz Darstellungslehrsatz stellt fest, dass jedes Element dessen einzigartig in dieser Form geschrieben werden kann.

Lehrsatz. Kartografisch darzustellen

:

ist ein isometrischer (anti-) Isomorphismus, dass bedeutend:

ist

• bijektiv.
• Die Normen dessen und stimmen zu:.

ist

• zusätzlich:.
• Wenn das Grundfeld, dann für alle reellen Zahlen ist.
• Wenn das Grundfeld ist, dann für alle komplexen Zahlen, wo die komplizierte Konjugation dessen anzeigt.

Die umgekehrte Karte dessen kann wie folgt beschrieben werden. In Anbetracht eines Elements ist die orthogonale Ergänzung des Kerns dessen ein eindimensionaler Subraum dessen. Nehmen Sie ein Nichtnullelement in diesem Subraum und gehen Sie unter. Dann.

Historisch wird der Lehrsatz häufig gleichzeitig Riesz und Fréchet 1907 zugeschrieben (sieh Verweisungen).

In der mathematischen Behandlung der Quant-Mechanik kann der Lehrsatz als eine Rechtfertigung für die populäre Notation des Büstenhalters-ket gesehen werden. Wenn der Lehrsatz hält, hat jeder ket einen entsprechenden Büstenhalter, und die Ähnlichkeit ist eindeutig.

Der Darstellungslehrsatz für geradlinigen functionals darauf

Der folgende Lehrsatz vertritt positiven geradlinigen functionals auf, der Raum von dauernden kompakt unterstützten Komplex-geschätzten Funktionen auf einem lokal kompakten Raum von Hausdorff. Die Sätze von Borel in der folgenden Behauptung beziehen sich auf den durch die offenen Sätze erzeugten σ-algebra.

Eine Nichtverneinung zählbar Zusatz Maß von Borel auf einem lokal kompakten Raum von Hausdorff ist wenn und nur wenn regelmäßig

• Für jeden Satz von Borel,

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• Die Beziehung

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hält, wann auch immer offen ist, oder wenn Borel ist und

Lehrsatz. Lassen Sie X ein lokal kompakter Raum von Hausdorff sein. Für jeden positiven geradlinigen funktionellen ψ auf C (X) gibt es einen einzigartigen Borel regelmäßiges Maß μ auf X solch dass

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für den ganzen f in C (X).

Eine Annäherung, um Theorie zu messen, ist, mit einem Maß von Radon, definiert als ein positiver geradliniger funktioneller auf C (X) anzufangen. Das ist der von Bourbaki angenommene Weg; es nimmt wirklich natürlich dass X Anfang-Leben als ein topologischer Raum, aber nicht einfach als ein Satz an. Für lokal kompakte Räume wird eine Integrationstheorie dann wieder erlangt.

Historische Bemerkung: In seiner ursprünglichen Form durch F. Riesz (1909) stellt der Lehrsatz fest, dass jeder dauernde geradlinige funktionelle über den Raum C [0,1] von dauernden Funktionen im Zwischenraum [0,1] in der Form vertreten werden kann

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wo eine Funktion der begrenzten Schwankung auf dem Zwischenraum [0,1] ist, und das Integral ein integrierter Riemann-Stieltjes ist. Da es eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen Borel regelmäßige Maßnahmen im Zwischenraum und Funktionen der begrenzten Schwankung gibt (der jeder Funktion der begrenzten Schwankung das entsprechende Lebesgue-Stieltjes-Maß zuteilt, und das Integral in Bezug auf das Lebesgue-Stieltjes-Maß mit dem Riemann-Stieltjes übereinstimmt, der für dauernde Funktionen integriert ist), verallgemeinert der obengenannte festgesetzte Lehrsatz die ursprüngliche Behauptung von F. Riesz.

(Sieh Grau (1984), für eine historische Diskussion).

Der Darstellungslehrsatz für den Doppel-davon

Der folgende Lehrsatz, auch gekennzeichnet als der Lehrsatz von Riesz-Markov, gibt eine konkrete Realisierung des Doppelraums, der Satz von dauernden Funktionen, auf denen an der Unendlichkeit verschwinden. Die Sätze von Borel in der Behauptung des Lehrsatzes beziehen sich auch auf - durch die offenen Sätze erzeugte Algebra.

Wenn ein Komplex-geschätzter zählbar Zusatz Maß von Borel ist, ist regelmäßiger iff die Nichtverneinung zählbar zusätzliches Maß, ist wie definiert, oben regelmäßig.

Lehrsatz. Lassen Sie, ein lokal kompakter Raum von Hausdorff zu sein. Für irgendwelchen dauernd geradlinig funktionell auf gibt es einen einzigartigen regelmäßigen zählbar zusätzlichen Komplex Maß von Borel auf dem solchem dass

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für alle darin. Die Norm als ein geradliniger funktioneller ist die Gesamtschwankung dessen, der ist

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Schließlich, ist positiver iff das Maß ist nichtnegativ.

Bemerkung. Man könnte erwarten, dass durch den Hahn-Banach Lehrsatz für begrenzten geradlinigen functionals sich jeder begrenzte geradlinige funktionelle darauf auf genau eine Weise zu einem begrenzten geradlinigen funktionellen auf, das letzte Wesen der Verschluss in der Supremum-Norm ausstreckt, und dass aus diesem Grund die erste Behauptung das zweite einbezieht. Jedoch ist das erste Ergebnis für positiven geradlinigen functionals, nicht begrenzten geradlinigen functionals, so sind die zwei Tatsachen nicht gleichwertig.

Siehe auch

• Darstellungslehrsatz
• M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414-1416.
• F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409-1411.
• F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionnelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974-977.
• J. D. Gray, Das Formen des Darstellungslehrsatzes von Riesz: Ein Kapitel in der Geschichte der Analyse, des Archivs für die Geschichte in den Genauen Wissenschaften, Vol 31 (2) 1984-85, 127-187.
• Maß-Theorie von P. Halmos, D. Kombi Nostrand and Co., 1950.
• P. Halmos, Ein Hilbert Raumproblem-Buch, Springer, New York 1982 (enthält Problem 3 Version für Vektorräume mit Koordinatensystemen).
• D. G. Hartig, Der Riesz Darstellungslehrsatz wieder besucht, Amerikaner Mathematisch Monatlich, 90 (4), 277-280 (Eine Kategorie theoretische Präsentation als natürliche Transformation).
• Walter Rudin, Echte und Komplizierte Analyse, McGraw-Hügel, 1966, internationale Standardbuchnummer 0-07-100276-6.
• Beweis des Darstellungslehrsatzes von Riesz in Räumen von Hilbert auf Bourbawiki