In der mathematischen Analyse ist Vertrieb (oder verallgemeinerte Funktionen) Gegenstände, die Funktionen verallgemeinern. Vertrieb macht es möglich, Funktionen zu unterscheiden, deren Ableitungen im klassischen Sinn nicht bestehen. Insbesondere irgendwelcher lokal integrable Funktion hat eine Verteilungsableitung. Vertrieb wird weit verwendet, um verallgemeinerte Lösungen teilweiser Differenzialgleichungen zu formulieren. Wo eine klassische Lösung nicht bestehen oder sehr schwierig sein kann zu gründen, ist eine Vertriebslösung einer Differenzialgleichung häufig viel leichter. Vertrieb ist auch in der Physik und Technik wichtig, wo viele Probleme natürlich zu Differenzialgleichungen führen, deren Lösungen oder anfängliche Bedingungen Vertrieb wie der Delta-Vertrieb von Dirac sind.

Verallgemeinerte Funktionen wurden von Sergei Sobolev 1935 eingeführt. Sie wurden gegen Ende der 1940er Jahre von Laurent Schwartz wiedereingeführt, der eine umfassende Theorie des Vertriebs entwickelt hat.

Grundidee

Vertrieb ist eine Klasse von geradlinigen functionals, die eine Reihe von Testfunktionen (herkömmliche und wohl erzogene Funktionen) auf den Satz von reellen Zahlen kartografisch darstellen. Im einfachsten Fall ist der Satz von betrachteten Testfunktionen D(R), der der Satz von Funktionen von R bis R ist zwei Eigenschaften zu haben:

• Die Funktion ist (ungeheuer differentiable) glatt;
• Die Funktion hat Kompaktunterstützung (z.B, ist außerhalb eines begrenzten Zwischenraums identisch Null-).

Dann ist ein Vertrieb d von D(R) bis R geradlinig kartografisch darzustellen. Anstatt d (&phi zu schreiben;), wo φ ist eine Testfunktion in D(R), es ist herkömmlich, um zu schreiben. Ein einfaches Beispiel eines Vertriebs ist das Delta von Dirac δ, definiert durch

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Es gibt aufrichtigen mappings sowohl von lokal integrable Funktionen als auch von Wahrscheinlichkeitsvertrieb zum entsprechenden Vertrieb, wie besprochen, unten. Jedoch kann nicht der ganze Vertrieb auf diese Weise gebildet werden.

Nehmen Sie das an

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ist lokal integrable Funktion, und lassen Sie

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seien Sie eine Testfunktion in D(R). Wir können dann einen entsprechenden Vertrieb T definieren durch:

:.

Dieses Integral ist eine reelle Zahl, die geradlinig und unaufhörlich abhängt. Das deutet die Voraussetzung an, dass ein Vertrieb geradlinig und über den Raum von Testfunktionen D(R) dauernd sein sollte, der die Definition vollendet. In einem herkömmlichen Missbrauch der Notation kann f verwendet werden, um sowohl die ursprüngliche Funktion f als auch den Vertrieb T zu vertreten, ist darauf zurückzuführen gewesen.

Ähnlich, wenn P ein Wahrscheinlichkeitsvertrieb auf dem reals und &phi ist; ist eine Testfunktion, dann kann ein entsprechender Vertrieb T definiert werden durch:

:

Wieder hängt dieses Integral unaufhörlich und geradlinig &phi ab; so dass T tatsächlich ein Vertrieb ist.

Solcher Vertrieb kann mit reellen Zahlen multipliziert werden und kann zusammen hinzugefügt werden, so bilden sie einen echten Vektorraum. Im Allgemeinen ist es nicht möglich, eine Multiplikation für den Vertrieb zu definieren, aber Vertrieb kann mit ungeheuer differentiable Funktionen multipliziert werden.

Es ist wünschenswert, eine Definition für die Ableitung eines Vertriebs zu wählen, der, mindestens für den Vertrieb abgeleitet lokal integrable Funktionen, das Eigentum dass (T)' = T hat. Wenn eine Testfunktion ist, können wir dem zeigen

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das Verwenden der Integration durch Teile und die Anmerkung, dass da φ Null außerhalb eines begrenzten Satzes ist. Das weist darauf hin, dass, wenn S ein Vertrieb ist, wir seine Ableitung 'durch definieren sollten

:.

Es stellt sich heraus, dass das die richtige Definition ist; es erweitert die gewöhnliche Definition der Ableitung, jeder Vertrieb wird ungeheuer differentiable, und die üblichen Eigenschaften von Ableitungen halten.

Beispiel: Rufen Sie Zurück, dass das Delta von Dirac (so genannte Delta-Funktion von Dirac) der durch definierte Vertrieb ist

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Es ist die Ableitung des Vertriebs entsprechend der Schritt-Funktion von Heaviside H: Weil jeder Test &phi fungiert;

::

so. Bemerken Sie wegen der Kompaktunterstützung. Ähnlich ist die Ableitung des Deltas von Dirac der Vertrieb

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Dieser letzte Vertrieb ist unser erstes Beispiel eines Vertriebs, der weder aus einer Funktion noch aus einem Wahrscheinlichkeitsvertrieb abgeleitet wird.

Testfunktionen und Vertrieb

In der Fortsetzung wird der reellwertige Vertrieb auf einer offenen Teilmenge U R formell definiert. Mit geringen Modifizierungen kann man auch Komplex-geschätzten Vertrieb definieren, und man kann R durch jede (parakompakte) glatte Sammelleitung ersetzen.

Der erste Gegenstand zu definieren ist der Raum D (U) von Testfunktionen auf U. Sobald das definiert wird, ist es dann notwendig, es mit einer Topologie durch das Definieren der Grenze einer Folge von Elementen von D (U) auszustatten. Der Raum des Vertriebs wird dann als der Raum von dauerndem geradlinigem functionals auf D (U) gegeben.

Testfunktionsraum

Der Raum D (U) Testfunktionen auf U wird wie folgt definiert. Eine Funktion φ: U , wie man sagt, hat R Kompaktunterstützung, wenn dort eine Kompaktteilmenge K solchen U dass &phi besteht; (x) = 0 für den ganzen x in U \K. Die Elemente von D (U) sind ungeheuer differentiable Funktionen φ: U  R mit der Kompaktunterstützung - auch bekannt als Beule-Funktionen. Das ist ein echter Vektorraum. Es kann eine Topologie durch das Definieren der Grenze einer Folge von Elementen von D (U) gegeben werden. Eine Folge (φ) in D, wie man sagt, läuft (U) zu &phi zusammen;  D (U), wenn die folgenden zwei Bedingungen halten:

• Es gibt einen Kompaktsatz K  U, die Unterstützungen von allen φ: enthaltend

::

• Für jeden Mehrindex α, die Folge von partiellen Ableitungen Dφ neigt gleichförmig zu

Dφ.

Mit dieser Definition D wird (U) ein ganzer lokal konvexer topologischer Vektorraum, der das Eigentum von Heine-Borel befriedigt. Wenn U eine zählbare verschachtelte Familie von offenen Teilmengen von U mit Kompaktverschlüssen, dann ist

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wo D der Satz aller glatten Funktionen mit der Unterstützung ist, die in K liegt. Die Topologie auf D (U) ist die Endtopologie der Familie von verschachtelten metrischen Räumen D, und so D ist (U) ein LF-Raum. Die Topologie ist nicht metrizable durch den Kategorie-Lehrsatz von Baire, da D (U) die Vereinigung von Subräumen der ersten Kategorie in D (U) ist.

Vertrieb

Ein Vertrieb auf U ist ein geradliniger funktioneller S: D (U)  R (oder S: D (U)  C), solch dass

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für jede konvergente Folge φ in D (U). Der Raum des ganzen Vertriebs auf U wird durch D' (U) angezeigt. Gleichwertig ist der Vektorraum D' (U) der dauernde Doppelraum des topologischen Vektorraums D (U).

Die Doppelpaarung zwischen einem Vertrieb S in D′ (U) und eine Testfunktion φ in D wird (U) mit Winkelklammern so angezeigt:

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Ausgestattet mit weak-* Topologie ist der Raum D' (U) ein lokal konvexer topologischer Vektorraum. Insbesondere eine Folge (S) in D' (U) läuft zu einem Vertrieb S wenn und nur wenn zusammen

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weil der ganze Test &phi fungiert;. das ist der Fall, wenn, und nur wenn S gleichförmig zu S auf allen begrenzten Teilmengen von D (U) zusammenläuft. (Eine Teilmenge E D (U) wird begrenzt, wenn dort eine Kompaktteilmenge K U und Zahlen d solch dass jeder &phi besteht; in E hat seine Unterstützung in K und ließ seine n-ten Ableitungen durch d begrenzen.)

Funktionen als Vertrieb

Der Funktions-ƒ: U  wird R lokal integrable genannt, wenn es Lebesgue integrable über jede Kompaktteilmenge K U ist. Das ist eine große Klasse von Funktionen, die alle dauernden Funktionen und alle L-Funktionen einschließt. Die Topologie auf D (U) wird auf solch eine Mode definiert, wie irgendwelcher lokal integrable Funktions-ƒ einen dauernden geradlinigen funktionellen auf D (U) - d. h. ein Element D&prime nachgibt; (U) - angezeigt hier durch T, dessen Wert auf dem Test &phi fungiert; wird von integriertem Lebesgue gegeben:

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Herkömmlich missbraucht man Notation, indem man sich T mit dem ƒ identifiziert, vorausgesetzt dass keine Verwirrung, und so die Paarung zwischen dem ƒ und &phi entstehen kann; wird häufig geschrieben

:

Wenn ƒ und g zwei lokal integrable Funktionen sind, dann sind der verbundene Vertrieb T und T demselben Element von D' (U) gleich, wenn, und nur wenn ƒ und g fast überall gleich sind (sieh zum Beispiel,). Auf eine ähnliche Weise misst jeder Radon μ auf U definiert ein Element von D' (U), dessen Wert auf dem Test &phi fungieren; ist φ dμ. Als oben ist es herkömmlich, um Notation zu missbrauchen und zu schreiben, dass die Paarung zwischen Radon μ und eine Testfunktion &phi misst; als. Umgekehrt, wie gezeigt, in einem Lehrsatz durch Schwartz (ähnlich dem Darstellungslehrsatz von Riesz), ist jeder Vertrieb, der auf nichtnegativen Funktionen nichtnegativ ist, dieser Form für ein (positives) Maß von Radon.

Die Testfunktionen sind selbst lokal integrable, und so definieren Sie Vertrieb. Als solcher sind sie in D' (U) in Bezug auf die Topologie auf D' (U) im Sinn dass für jeden Vertrieb S  D' (U) dicht, es gibt eine Folge φ  D (U) solch dass

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für den ganzen ψ  D (U). Das folgt sofort vom Hahn-Banach Lehrsatz, seitdem durch eine elementare Tatsache über schwache Topologien der Doppel-von D' (U) mit seinem weak-* Topologie ist der Raum D (U). Das kann auch konstruktiver durch ein Gehirnwindungsargument bewiesen werden.

Operationen auf dem Vertrieb

Viele Operationen, die auf glatten Funktionen mit der Kompaktunterstützung definiert werden, können auch für den Vertrieb definiert werden. Im Allgemeinen, wenn

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ist von Vektorräumen geradlinig kartografisch darzustellen, der in Bezug auf weak-* Topologie dauernd ist, dann ist es möglich, T dazu zu erweitern, kartografisch darzustellen

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durch den Übergang zur Grenze. (Diese Annäherung arbeitet für allgemeineren nichtlinearen mappings ebenso, vorausgesetzt dass, wie man annimmt, sie gleichförmig dauernd sind.)

In der Praxis, jedoch, ist es günstiger, Operationen auf dem Vertrieb mittels des Umstellens (oder adjoint Transformation) zu definieren . Wenn T: D (U)  D ist (U) ein dauernder geradliniger Maschinenbediener, dann ist das Umstellen ein Maschinenbediener T: D (U)  D (U) solch dass

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für alle φ ψ  D (U). Wenn solch ein Maschinenbediener T besteht und dauernd ist, dann kann der ursprüngliche Maschinenbediener T zum Vertrieb erweitert werden, indem er definiert

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Unterscheidung

Wenn T: D (U)  D wird (U) durch die partielle Ableitung gegeben

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Durch die Integration durch Teile, wenn φ und ψ sind in D (U), dann

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so dass T = −T. Das ist eine dauernde geradlinige Transformation D (U)  D (U). Also, wenn S  D' (U) ein Vertrieb ist, dann wird die partielle Ableitung von S in Bezug auf die Koordinate x durch die Formel definiert

:

weil der ganze Test φ fungiert. Auf diese Weise ist jeder Vertrieb ungeheuer differentiable, und die Ableitung in der Richtung x ist ein geradliniger Maschinenbediener auf D′ (U). Im Allgemeinen, wenn α = (α..., α) ein willkürlicher Mehrindex ist und  den verbundenen Mischmaschinenbediener der partiellen Ableitung, die partielle Mischableitung S des Vertriebs S  D&prime anzeigt; (U) wird durch definiert

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Die Unterscheidung des Vertriebs ist ein dauernder Maschinenbediener auf D' (U); das ist ein wichtiges und wünschenswertes Eigentum, das durch die meisten anderen Begriffe der Unterscheidung nicht geteilt wird.

Multiplikation nach einer glatten Funktion

Wenn M: U  ist R ungeheuer differentiable Funktion, und S ist ein Vertrieb auf U, dann wird die Produktmillisekunde durch (die Millisekunde) definiert (φ) = S (mφ), weil der ganze Test &phi fungiert;. diese Definition fällt mit der umstellen Transformation von zusammen

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für φ  D (U). Then, für jeden Test fungieren ψ\

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so dass T = T. Die Multiplikation eines Vertriebs S nach der glatten Funktion M wird deshalb durch definiert

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Unter der Multiplikation nach glatten Funktionen, D' (U) ist ein Modul über den Ring C (U). Mit dieser Definition der Multiplikation nach einer glatten Funktion bleibt die gewöhnliche Produktregel der Rechnung gültig. Jedoch entsteht mehrere ungewöhnliche Identität auch.

Zum Beispiel wird der Delta-Vertrieb von Dirac δ auf R durch definiert

 δ, φ = φ (0),

so dass mδ = M (0) δ. Seine Ableitung wird durch δ ', φ = −, &phi gegeben;'  = −' (0). Aber das Produkt mδ' der M und des δ' ist der Vertrieb

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Diese Definition der Multiplikation macht es auch möglich, die Operation eines geradlinigen Differenzialoperatoren mit glatten Koeffizienten auf einem Vertrieb zu definieren. Ein geradliniger Differenzialoperator nimmt einen Vertrieb S  D' (U) zu einem anderen Vertrieb, der durch eine Summe der Form gegeben ist

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Der Raum D' (U) ist ein D-Modul in Bezug auf die Handlung des Rings von geradlinigen Differenzialoperatoren.

Zusammensetzung mit einer glatten Funktion

Let S, ein Vertrieb auf einem offenen Satz U  R. Let V sein, ein offener Satz in R und F sein: V  U. Dann, vorausgesetzt dass F ein Untertauchen ist, ist es möglich, zu definieren

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Das ist die Zusammensetzung des Vertriebs S mit F, und wird auch das Hemmnis von S entlang F, manchmal schriftlicher genannt

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Das Hemmnis wird häufig F angezeigt, aber diese Notation riskiert Verwirrung mit dem obengenannten Gebrauch '*', um das Umstellen anzuzeigen, geradlinig kartografisch darzustellen.

Die Bedingung, dass F, ein Untertauchen sein, zur Voraussetzung gleichwertig ist, dass die Ableitung von Jacobian dF (x) von F eine surjective geradlinige Karte für jeden x  V ist. Ein notwendiger (aber nicht genügend) Bedingung, um F zum Vertrieb zu erweitern, ist, dass F ist offen kartografisch darzustellen. Der umgekehrte Funktionslehrsatz stellt sicher, dass ein Untertauchen diese Bedingung befriedigt.

Wenn F ein Untertauchen ist, dann wird F auf dem Vertrieb durch die Entdeckung der umstellen Karte definiert. Die Einzigartigkeit dieser Erweiterung wird versichert, da F ein dauernder geradliniger Maschinenbediener auf D (U). Existence jedoch ist, verlangt das Verwenden der Änderung der Variable-Formel, der umgekehrte Funktionslehrsatz (lokal) und eine Teilung des Einheitsarguments; sieh.

Im speziellen Fall, wenn F ein diffeomorphism von einer offenen Teilmenge ist, geben V von R auf eine offene Teilmenge U der R Änderung von Variablen unter dem Integral

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In diesem besonderen Fall, dann, wird F durch die umstellen Formel definiert:

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Lokalisierung des Vertriebs

Es gibt keine Weise, den Wert eines Vertriebs in D' (U) an einem besonderen Punkt von U zu definieren. Jedoch, wie mit Funktionen der Fall ist, schränkt der Vertrieb auf U ein, um Vertrieb auf offenen Teilmengen von U zu geben. Außerdem wird Vertrieb im Sinn lokal bestimmt, dass ein Vertrieb auf allen U von einem Vertrieb auf einem offenen Deckel von U gesammelt werden kann, der einige Vereinbarkeitsbedingungen auf dem Übergreifen befriedigt. Solch eine Struktur ist als ein Bündel bekannt.

Beschränkung

Lassen Sie U und V offene Teilmengen von R mit V  U sein. Lässt E: D (V)  D (U), der Maschinenbediener sein, der durch die Null eine gegebene glatte Funktion erweitert, die kompakt in V zu einer glatten Funktion kompakt unterstützt ist, die im größeren Satz U unterstützt ist. Dann wird die Beschränkung, die ρ kartografisch darstellt, definiert, um das Umstellen von E zu sein. So für jeden Vertrieb S  D' (U) ist die Beschränkung ρ S ein Vertrieb im Doppelraum D' (V) definiert durch

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weil der ganze Test &phi fungiert;  D (V).

Wenn U = V, die Beschränkung zu V weder injective noch surjective nicht ist. Fehlen Sie surjectivity folgt, da Vertrieb zur Grenze V explodieren kann. Zum Beispiel, wenn U = R und V = (0,2), dann der Vertrieb

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ist in D' (V), aber lässt keine Erweiterung auf D' (U) zu.

Unterstützung eines Vertriebs

Lassen Sie S  D′ (U), ein Vertrieb auf einem offenen Satz U sein. Dann, wie man sagt, verschwindet S auf einem offenen Satz V von U, wenn S im Kern des Beschränkungskarte-ρ liegt. Ausführlich verschwindet S auf V wenn

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weil der ganze Test &phi fungiert;  C (U) mit der Unterstützung in V. Let V, ein maximaler offener Satz sein, auf dem der Vertrieb S verschwindet; d. h., V ist die Vereinigung jedes offenen Satzes, auf dem S verschwindet. Die Unterstützung von S ist die Ergänzung V in U. So

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Der Vertrieb S hat Kompaktunterstützung, wenn seine Unterstützung ein Kompaktsatz ist. Ausführlich hat S Kompaktunterstützung, wenn es eine Kompaktteilmenge K solchen U gibt, die für jeden Test &phi fungieren; wessen Unterstützung völlig außerhalb K ist, haben wir S (φ) = 0. Kompakt unterstützter Vertrieb definiert dauernde geradlinige Funktionen auf dem Raum C (U); die Topologie auf C (U) wird solch definiert, dass eine Folge des Tests &phi fungiert; läuft zu 0 wenn und nur wenn alle Ableitungen &phi zusammen; laufen Sie gleichförmig zu 0 auf jeder Kompaktteilmenge von U zusammen. Umgekehrt kann es gezeigt werden, dass jeder dauernde geradlinige funktionelle auf diesem Raum einen Vertrieb der Kompaktunterstützung definiert.

Gehärteter Vertrieb und Fourier verwandeln sich

Indem

man einen größeren Raum von Testfunktionen verwendet, kann man den gehärteten Vertrieb, einen Subraum von D' (R) definieren. Dieser Vertrieb ist nützlich, wenn man studiert, der Fourier verwandeln sich in der Allgemeinheit: Der ganze gehärtete Vertrieb lässt sich einen Fourier verwandeln, aber nicht der ganze Vertrieb haben denjenigen.

Der Raum von Testfunktionen verwendet hier, der so genannte Raum von Schwartz S(R), ist der Funktionsraum von allen ungeheuer differentiable Funktionen, die an der Unendlichkeit zusammen mit allen partiellen Ableitungen schnell abnehmen. So ist im Raum von Schwartz vorausgesetzt, dass jede Ableitung φ multipliziert mit jeder Macht von |x, läuft zu 0 für |x   zusammen. Diese Funktionen bilden einen ganzen topologischen Vektorraum mit einer angemessen definierten Familie von Halbnormen. Lassen Sie genauer

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für α, β Mehrindizes der Größe n. Dann φ ist eine Funktion von Schwartz wenn alle Werte

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Die Familie von Halbnormen p definiert eine lokal konvexe Topologie auf dem Schwartz-Raum. Die Halbnormen, sind tatsächlich, Normen auf dem Raum von Schwartz, da Funktionen von Schwartz glatt sind. Der Raum von Schwartz ist metrizable und abgeschlossen. Weil der Fourier Änderungsunterscheidung durch x in die Multiplikation durch x und umgekehrt umgestaltet, deutet diese Symmetrie an, dass die Transformationen von Fourier einer Funktion von Schwartz auch eine Funktion von Schwartz sind.

Der Raum des gehärteten Vertriebs wird als der (dauernde) Doppel-vom Raum von Schwartz definiert. Mit anderen Worten ist ein Vertrieb F ein gehärteter Vertrieb wenn und nur wenn

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ist

wann auch immer, wahr

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hält für alle Mehrindizes α, β.

Die Ableitung eines gehärteten Vertriebs ist wieder ein gehärteter Vertrieb. Gehärteter Vertrieb verallgemeinert das begrenzte (oder langsames Wachsen) lokal integrable Funktionen; der ganze Vertrieb mit der Kompaktunterstützung und alle Quadrat-Integrable-Funktionen sind gemilderter Vertrieb. Alle lokal integrable fungieren ƒ mit am grössten Teil polynomischen Wachstums, d. h. solch dass ƒ (x) = O (|x) für einen r, sind gemilderter Vertrieb. Das schließt alle Funktionen in L(R) für p  1 ein.

Der gehärtete Vertrieb kann auch als das langsame Wachsen charakterisiert werden. Diese Charakterisierung ist zum schnell fallenden Verhalten z.B der Testfunktionen Doppel-.

Um den Fourier zu studieren, verwandeln sich, es ist am besten, Komplex-geschätzte Testfunktionen und kompliziert-geradlinigen Vertrieb zu denken. Der gewöhnliche dauernde Fourier gestaltet F-Erträge dann ein automorphism des Funktionsraums von Schwartz um, und wir können den Fourier definieren verwandeln sich des gehärteten Vertriebs S durch (FS) (ψ) = S (Fψ) für jede Testfunktion ψ. FS ist so wieder ein gehärteter Vertrieb. Der Fourier verwandelt sich ist ein dauernder, geradliniger, bijektiver Maschinenbediener vom Raum des gehärteten Vertriebs zu sich. Diese Operation ist mit der Unterscheidung im Sinn das vereinbar

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und auch mit der Gehirnwindung: Wenn S ein gehärteter Vertrieb ist und ψ eine langsam Erhöhung ungeheuer differentiable Funktion auf R ist (das Meinen, dass alle Ableitungen von ψ höchstens so schnell wie Polynome anbauen), dann ist Sψ wieder

ein gehärteter Vertrieb und

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ist die Gehirnwindung von FS und Fψ. Insbesondere der Fourier verwandeln sich der Einheitsfunktion ist der δ Vertrieb.

Gehirnwindung

Unter einigen Verhältnissen ist es möglich, die Gehirnwindung einer Funktion mit einem Vertrieb oder sogar die Gehirnwindung von zwei Vertrieb zu definieren.

Die Gehirnwindung eines Tests fungiert mit einem Vertrieb

Wenn ƒ  D(R) eine kompakt unterstützte glatte Testfunktion ist, dann definiert die Gehirnwindung mit dem ƒ einen Maschinenbediener

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definiert durch den Cg = ƒ g, der geradlinig (und in Bezug auf die LF Raumtopologie auf D(R) dauernd ist.)

Gehirnwindung von ƒ mit einem Vertrieb S  D′ (R) kann durch die Einnahme des Umstellens von C hinsichtlich der Dualitätspaarung von D(R) mit dem Raum D&prime definiert werden; (R) des Vertriebs. Wenn ƒ, g, φ  D(R), dann durch den Lehrsatz von Fubini

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wo. Sich durch die Kontinuität ausstreckend, wird die Gehirnwindung von ƒ mit einem Vertrieb S durch definiert

:

weil der ganze Test φ  D(R) fungiert.

Eine alternative Weise, die Gehirnwindung eines Funktions-ƒ und eines Vertriebs S zu definieren, soll den Übersetzungsmaschinenbediener τ definiert auf Testfunktionen durch verwenden

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und erweitert durch das Umstellen zum Vertrieb auf die offensichtliche Weise. Die Gehirnwindung des kompakt unterstützten Funktions-ƒ und des Vertriebs S ist dann die Funktion, die für jeden x  R durch definiert ist

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Es kann gezeigt werden, dass die Gehirnwindung einer kompakt unterstützten Funktion und eines Vertriebs eine glatte Funktion ist. Wenn der Vertrieb S Kompaktunterstützung ebenso hat, dann ist ƒ S eine kompakt unterstützte Funktion, und der Gehirnwindungslehrsatz von Titchmarsh bezieht das ein

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wo ch den konvexen Rumpf anzeigt.

Vertrieb der Kompaktunterstützung

Es ist auch möglich, die Gehirnwindung von zwei Vertrieb S und T auf R zu definieren, vorausgesetzt dass einer von ihnen Kompaktunterstützung hat. Informell, um ST zu definieren, wo T Kompaktunterstützung hat, ist die Idee, die Definition der Gehirnwindung  zu einer geradlinigen Operation auf dem Vertrieb so dass die associativity Formel zu erweitern

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setzt fort, für alle Testfunktionen φ zu halten. beweist die Einzigartigkeit solch einer Erweiterung.

Es ist auch möglich, eine ausführlichere Charakterisierung der Gehirnwindung des Vertriebs zur Verfügung zu stellen. Nehmen Sie an, dass es T ist, der Kompaktunterstützung hat. Für jede Testfunktion φ in D(R), denken Sie die Funktion

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Es kann sogleich gezeigt werden, dass das eine glatte Funktion von x definiert, der außerdem Kompaktunterstützung hat. Die Gehirnwindung von S und T wird durch definiert

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Das verallgemeinert den klassischen Begriff der Gehirnwindung von Funktionen und ist mit der Unterscheidung im folgenden Sinn vereinbar:

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Diese Definition der Gehirnwindung bleibt gültig unter weniger einschränkenden Annahmen über S und T; sieh zum Beispiel und.

Vertrieb als Ableitungen von dauernden Funktionen

Die formelle Definition des Vertriebs stellt sie als ein Subraum eines sehr großen Raums, nämlich der topologische Doppel-von D (U) (oder S(R) für den gehärteten Vertrieb) aus. Es ist aus der Definition nicht sofort klar, wie exotisch ein Vertrieb sein könnte. Um auf diese Frage zu antworten, ist es aufschlussreich, um Vertrieb zu sehen, der von einem kleineren Raum, nämlich der Raum von dauernden Funktionen aufgebaut ist. Grob ist jeder Vertrieb lokal eine (vielfache) Ableitung einer dauernden Funktion. Eine genaue Version dieses Ergebnisses, das unten gegeben ist, hält für den Vertrieb der Kompaktunterstützung, den gemilderten Vertrieb und die allgemeinen Vertriebe. Im Allgemeinen enthält keine richtige Teilmenge des Raums des Vertriebs alle dauernden Funktionen und wird unter der Unterscheidung geschlossen. Das sagt, dass Vertrieb nicht besonders exotische Gegenstände ist; sie werden nur so kompliziert wie notwendige.

Gehärteter Vertrieb

Wenn ƒ  S′ (R) ist ein gehärteter Vertrieb, dann dort besteht ein unveränderlicher C> 0 und positive ganze Zahlen M und N solch das für alle Funktionen von Schwartz φ S (R)

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Diese Schätzung zusammen mit einigen Techniken von der Funktionsanalyse kann verwendet werden, um zu zeigen, dass es eine dauernde langsam zunehmende Funktion F und einen Mehrindex α solch dass gibt

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Kompakt unterstützter Vertrieb

Lassen Sie U ein offener Satz und K eine Kompaktteilmenge von U sein. Wenn ƒ ein auf K unterstützter Vertrieb ist, dann gibt es eine dauernde Funktion F kompakt unterstützt in U (vielleicht auf einem größeren Satz als K selbst) solch dass

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für einen Mehrindex α. Das folgt aus dem vorher angesetzten Ergebnis auf dem gehärteten Vertrieb mittels eines Lokalisierungsarguments.

Der Vertrieb mit dem Punkt unterstützt

Wenn ƒ Unterstützung an einem einzelnen Punkt {P} hat, dann ist ƒ tatsächlich eine begrenzte geradlinige Kombination von Verteilungsableitungen der δ-Funktion an P. D. h. dort besteht eine ganze Zahl M und komplizierte Konstanten für Vielindizes | α |  solche M dass

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wo τ der Übersetzungsmaschinenbediener ist.

Allgemeine Vertriebe

Eine Version des obengenannten Lehrsatzes hält lokal im folgenden Sinn. Lassen Sie S ein Vertrieb auf U sein. Dann kann man für jeden Mehrindex α eine dauernde Funktion g solch dass finden

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und dass jede Kompaktteilmenge K U die Unterstützungen nur begrenzt vieler g durchschneidet; deshalb, um den Wert von S für eine gegebene glatte Funktion f kompakt unterstützt in U zu bewerten, brauchen wir nur begrenzt viele g; folglich ist die unendliche Summe oben als ein Vertrieb bestimmt. Wenn der Vertrieb S der begrenzten Ordnung ist, dann kann man g auf solche Art und Weise wählen, dass nur begrenzt viele von ihnen Nichtnull sind.

Das Verwenden holomorphic fungiert als Testfunktionen

Der Erfolg der Theorie hat zu Untersuchung der Idee von der Hyperfunktion geführt, in der Räume von Holomorphic-Funktionen als Testfunktionen verwendet werden. Eine raffinierte Theorie, ist in der algebraischen Analyse des besonderen Mikio Satos, mit der Bündel-Theorie und mehreren komplizierten Variablen entwickelt worden. Das erweitert die Reihe von symbolischen Methoden, die in die strenge Mathematik, zum Beispiel Integrale von Feynman gemacht werden können.

Problem der Multiplikation

Eine mögliche Beschränkung der Theorie des Vertriebs (und Hyperfunktionen) ist, dass es eine rein geradlinige Theorie im Sinn ist, dass das Produkt von zwei Vertrieb (im Allgemeinen) nicht durchweg definiert werden kann, wie von Laurent Schwartz in den 1950er Jahren bewiesen worden ist. Zum Beispiel, wenn p.v. 1/x ist der durch den Rektor Wert von Cauchy erhaltene Vertrieb

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für alle φ  S(R) und δ ist der Delta-Vertrieb von Dirac dann

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aber

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so kann das Produkt eines Vertriebs nach einer glatten Funktion (der immer gut definiert wird) nicht zu einem assoziativen Produkt auf dem Raum des Vertriebs erweitert werden.

So können nichtlineare Probleme nicht im Allgemeinen aufgeworfen und so innerhalb der Vertriebstheorie allein nicht gelöst werden.

Im Zusammenhang der Quant-Feldtheorie, jedoch, können Lösungen gefunden werden. In mehr als zwei Raum-Zeit-Dimensionen ist das Problem mit dem regularization von Abschweifungen verbunden. Hier haben sich Henri Epstein und Vladimir Glaser mathematisch streng (aber äußerst technisch) kausale Unruhe-Theorie entwickelt. Das behebt das Problem in anderen Situationen nicht. Viele andere interessante Theorien sind nicht geradlinig, wie Navier-schürt zum Beispiel Gleichungen der flüssigen Dynamik.

Im Hinblick darauf mehrere sind nicht völlig befriedigende Theorien von Algebra von verallgemeinerten Funktionen entwickelt worden, unter dem (die vereinfachte) Algebra von Colombeau vielleicht im Gebrauch heute am populärsten ist.

Eine einfache Lösung des Multiplikationsproblems wird durch den Pfad integrierte Formulierung der Quant-Mechanik diktiert. Da das erforderlich ist, zur Theorie von Schrödinger der Quant-Mechanik gleichwertig zu sein, die invariant unter Koordinatentransformationen ist, muss dieses Eigentum durch Pfad-Integrale geteilt werden. Das befestigt alle Produkte des Vertriebs, wie gezeigt, dadurch. Das Ergebnis ist dazu gleichwertig, was aus dimensionalem regularization abgeleitet werden kann.

Siehe auch

Strom

• Algebra von Colombeau
• Gelfand verdreifachen
• Verallgemeinerte Funktion
• Homogener Vertrieb
• Hyperfunktion
• Malgrange-Ehrenpreis Lehrsatz
• Pseudodifferenzialmaschinenbediener
• Darstellungslehrsatz von Riesz
• Vage Topologie
• Schwache Lösung

... . . . . . . ..

Weiterführende Literatur

• M. J. Lighthill (1959). Einführung in die Analyse von Fourier und Verallgemeinerten Funktionen. Universität von Cambridge Presse. Internationale Standardbuchnummer 0-521-09128-4 (verlangt sehr wenige Kenntnisse der Analyse; definiert Vertrieb als Grenzen von Folgen von Funktionen unter Integralen)
• H. Kleinert, Pfad-Integrale in Quant-Mechanik, Statistik, Polymer-Physik, und Finanzmärkten, 4. Ausgabe, Welt Wissenschaftlich (Singapur, 2006) (auch verfügbar online hier). Sieh Kapitel 11, um Produkte des Vertriebs von der physischen Voraussetzung der Koordinate invariance zu definieren.
• V.S. Vladimirov (2002). Methoden der Theorie von verallgemeinerten Funktionen. Taylor & Francis. Internationale Standardbuchnummer 0-415-27356-0

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