In der Mathematik und mehr spezifisch abstrakten Algebra der Begriff bezieht sich algebraische Struktur allgemein auf einen willkürlichen Satz mit einer oder mehr finitary darauf definierten Operationen.

Allgemeine Beispiele von Strukturen schließen Gruppen, Ringe, Felder und Gitter ein. Kompliziertere algebraische Strukturen können durch das Einführen vielfacher Operationen, verschiedener zu Grunde liegender Sätze, oder durch das Ändern der Definieren-Axiome definiert werden. Beispiele von komplizierteren Strukturen schließen Vektorräume, Module und Algebra ein.

Die Eigenschaften von spezifischen algebraischen Strukturen werden im als abstrakte Algebra bekannten Zweig studiert. Die allgemeine Theorie von algebraischen Strukturen ist in der universalen Algebra formalisiert worden. Kategorie-Theorie wird verwendet, um die Beziehungen zwischen zwei oder mehr Klassen von algebraischen Strukturen häufig verschiedener Arten zu studieren. Zum Beispiel studiert Theorie von Galois die Verbindung zwischen bestimmten Feldern und Gruppen, algebraischen Strukturen von zwei verschiedenen Arten.

In einem geringen Missbrauch der Notation kann sich der Ausdruck "Struktur" auch nur auf die Operationen auf einer Struktur und nicht den zu Grunde liegenden Satz selbst beziehen. Zum Beispiel kann die Gruppe als ein Satz gesehen werden, der mit einer algebraischen Struktur, nämlich die Operation ausgestattet wird.

Übersicht

In der vollen Allgemeinheit können algebraische Strukturen eine beliebige Zahl von Sätzen und opertions höher arity einschließen, aber dieser Artikel konzentriert sich auf binäre Operationen auf einem oder zwei Sätzen. Die Beispiele sind keineswegs eine ganze Liste, aber sie werden gemeint, um eine vertretende Liste zu sein. Längere Listen von algebraischen Strukturen können in den Außenverbindungen und innerhalb der Algebraischen Struktur-Kategorie gefunden werden. Strukturen werden in der ungefähren Ordnung der zunehmenden Kompliziertheit verzeichnet.

Beispiele

Ein Satz mit Operationen

Einfache Strukturen: Keine binäre Operation:

• Satz: Eine degenerierte algebraische Struktur, die keine Operationen hat.
• Angespitzter Satz: S hat ein oder ausgezeichnetere Elemente, häufig 0, 1, oder beide.
• Unäres System: S und eine einzelne unäre Operation über S.
• Spitzes unäres System: ein unäres System mit S ein spitzer Satz.

Gruppenähnliche Strukturen: Eine binäre Operation. Die binäre Operation kann durch jedes Symbol, oder ohne Symbol (Nebeneinanderstellung) angezeigt werden, wie für die gewöhnliche Multiplikation von reellen Zahlen getan wird.

• Magma oder groupoid: S und eine einzelne binäre Operation über S.
• Halbgruppe: ein assoziatives Magma. Eine Halbgruppe mit der Identität ist ein monoid
• Gruppe: ein monoid mit einer unären Operation (Gegenteil), umgekehrte Elemente verursachend. Gruppen von Abelian sind ein wichtiger Typ der Gruppe.
• Halbgitter: Eine Halbgruppe, deren Operation idempotent und auswechselbar ist. Die binäre Operation kann genannt werden, entweder sich zu treffen oder sich anzuschließen.

Ringähnliche Strukturen oder Ringoids: Zwei binäre Operationen, häufig genannt Hinzufügung und Multiplikation, mit dem Multiplikationsverteilen über die Hinzufügung.

• Halbring: Ein solcher ringoid, dass S ein monoid unter jeder Operation ist. Wie man normalerweise annimmt, ist Hinzufügung auswechselbar und assoziativ, und die zusätzliche Identität befriedigt 0x=0 für den ganzen x.
• Naher Ring: Ein Halbring, dessen Zusatz monoid nicht notwendigerweise auswechselbar ist.
• Ring: Ein Halbring, dessen zusätzliche Gruppe eine Gruppe von Abelian ist.
• Lügen Sie Ring: Ein ringoid, dessen Zusatz monoid eine abelian Gruppe ist, aber dessen multiplicative Operation die Identität von Jacobi aber nicht associativity befriedigt.
• Ring von Boolean: ein Ersatzring mit der idempotent Multiplikationsoperation.
• Algebra von Kleene: ein Halbring mit der idempotent Hinzufügung und einer unären Operation, dem Stern von Kleene, zusätzliche Eigenschaften befriedigend.
• *-algebra: ein Ring mit einer zusätzlichen unären Operation (*) Zufriedenheit von zusätzlichen Eigenschaften.

Gitter-Strukturen: Zwei oder mehr binäre Operationen, einschließlich genannter Operationen treffen sich und schließen sich, verbunden durch das Absorptionsgesetz an.

• Ganzes Gitter: Ein Gitter, in dem sich willkürlich treffen und sich anschließt, besteht.
• Begrenztes Gitter: ein Gitter mit einem größten Element und kleinstem Element.
• Ergänztes Gitter: Ein begrenztes Gitter mit einer unären Operation, Fertigstellung, die durch die postüble Lage "'" angezeigt ist. Die Verbindungslinie eines Elements mit seiner Ergänzung ist das größte Element, und das Entsprechen der zwei Elemente ist kleinstes Element.
• Modulgitter: Ein Gitter, dessen Elemente die zusätzliche Modulidentität befriedigen.
• Verteilendes Gitter: Ein Gitter, in dem sich jeder dessen treffen und sich anschließen, verteilt über den anderen. Verteilende Gitter sind modular, aber das gegenteilige hält nicht.
• Algebra von Boolean: ein ergänztes verteilendes Gitter. Entweder dessen treffen sich oder Verbindungslinie kann in Bezug auf den anderen und Fertigstellung definiert werden. Wie man zeigen kann, ist das mit der ringähnlichen Struktur von demselben gleichwertig erwähnen oben.
• Algebra von Heyting: Ein begrenztes verteilendes Gitter mit einer zusätzlichen binären Operation, Verhältnispseudoergänzung, die durch das Infix "'" angezeigt ist, und durch die Axiome x'x=1, x (x'y) = xy, x' (yz) = (x'y) (x'z), (xy) 'z = (x'z) (y'z) geregelt ist.

Arithmetics: Zwei binäre Operationen, Hinzufügung und Multiplikation. S ist ein unendlicher Satz. Arithmetics werden unäre Systeme angespitzt, deren unäre Operation injective Nachfolger, und mit dem ausgezeichneten Element 0 ist.

• Arithmetik von Robinson. Hinzufügung und Multiplikation werden mittels des Nachfolgers rekursiv definiert. 0 ist das Identitätselement für die Hinzufügung, und vernichtet Multiplikation. Arithmetik von Robinson wird hier verzeichnet, wenn auch es eine Vielfalt wegen seiner Nähe zur Arithmetik von Peano ist.
• Arithmetik von Peano. Arithmetik von Robinson mit einem Axiom-Diagramm der Induktion. Der grösste Teil des Rings und Feldaxiome, die sich auf die Eigenschaften der Hinzufügung und Multiplikation beziehen, sind Lehrsätze der Arithmetik von Peano oder richtiger Erweiterungen davon.

Zwei Sätze mit Operationen

Einem Modul ähnliche Strukturen: Zerlegbare Systeme, die zwei Sätze einschließen und mindestens zwei binäre Operationen verwenden.

• Gruppe mit Maschinenbedienern: eine Gruppe G mit einem Satz Ω und eine binäre Operation ΩxGG Zufriedenheit bestimmter Axiome.
• Modul: eine Gruppe von Abelian M und ein Ring R, als Maschinenbediener auf der M handelnd. Die Mitglieder von R werden manchmal Skalare genannt, und die binäre Operation der Skalarmultiplikation ist eine Funktion RxMM, der mehrere Axiome befriedigt. Wenn sie die Ringoperationen aufzählen, haben diese Systeme mindestens drei Operationen.
• Vektorraum: Ein Modul, wo der Ring R ein Abteilungsring oder Feld ist.
• Abgestufter Vektorraum: Ein Vektorraum mit einer Zergliederung der direkten Summe, die den Raum in "Ränge" bricht.
• Quadratischer Raum: ein Vektorraum V über Feld F mit einer Funktion von V in F Zufriedenheit bestimmter Eigenschaften. Jeder quadratische Raum ist auch ein Skalarprodukt-Raum (sieh unten).

Einer Algebra ähnliche Strukturen: Zerlegbares System hat mehr als zwei Sätze, ein Ring R und ein freies R Modul M definiert. Die zwei Ringoperationen und die einzelne Modul-Operation aufzählend, kann das als ein System mit drei binären Operationen angesehen werden.

• Algebra über einen Ring (auch R-Algebra): Ein freies Modul über einen Ersatzring R, der auch eine Ringstruktur trägt, die mit der Modul-Struktur vereinbar ist. Das schließt distributivity über die Hinzufügung und Linearität in Bezug auf die Multiplikation durch Elemente von R ein.
• Nichtassoziative Algebra: Ein freies Modul über einen Ersatzring, der mit einer Ringmultiplikationsoperation ausgestattet ist, die nicht notwendigerweise assoziativ ist. Häufig wird associativity durch eine verschiedene Identität, wie Wechsel, die Identität von Jacobi oder die Identität von Jordan ersetzt.
• Coalgebra: ein Vektorraum mit einem "comultiplication" definiert Doppel-zu dieser von assoziativen Algebra.
• Lügen Sie Algebra: Ein spezieller Typ der nichtassoziativen Algebra, deren Produkt die Identität von Jacobi befriedigt.
• Lügen Sie coalgebra: ein Vektorraum mit einem "comultiplication" definiert Doppel-zu dieser von Lüge-Algebra.
• Abgestufte Algebra: ein abgestufter Vektorraum mit einer mit dem Sortieren vereinbaren Algebra-Struktur. Die Idee besteht dass darin, wenn die Ränge von zwei Elementen a und b bekannt sind, dann ist der Rang von ab bekannt, und so die Position des Produktes wird ab in der Zergliederung bestimmt.
• Skalarprodukt-Raum: ein F Vektorraum V mit einer bilinearen binären Operation von VxVF.

Vier oder mehr binäre Operationen:

• Bialgebra: eine assoziative Algebra mit einer vereinbaren coalgebra Struktur.
• Lügen Sie bialgebra: eine Lüge-Algebra mit einer vereinbaren bialgebra Struktur.
• Algebra von Clifford: Eine abgestufte assoziative Algebra, die mit einem Außenprodukt und einem von mehreren möglichen Skalarprodukten ausgestattet ist. Außenalgebra und geometrische Algebra sind spezielle Fälle dieses Aufbaus.

Hybride Strukturen

Algebraische Strukturen können auch mit der zusätzlichen Struktur einer nichtalgebraischen Natur, wie eine teilweise Ordnung oder eine Topologie koexistieren. Die zusätzliche Struktur muss in einem Sinn mit der algebraischen Struktur vereinbar sein.

• Topologische Gruppe: eine Gruppe mit einer mit der Gruppenoperation vereinbaren Topologie.
• Lügen Sie Gruppe: eine topologische Gruppe mit einer vereinbaren glatten mannigfaltigen Struktur.
• Befohlene Gruppen, bestellte Ringe und bestellte Felder: jeder Typ der Struktur mit einer vereinbaren teilweisen Ordnung.
• Gruppe von Archimedean: Eine geradlinig befohlene Gruppe, für die das Eigentum von Archimedean hält.
• Topologischer Vektorraum: Ein Vektorraum, dessen M eine vereinbare Topologie hat.
• Vektorraum von Normed: ein Vektorraum mit einer vereinbaren Norm. Wenn solch ein Raum dann topologisch abgeschlossen ist, wird es einen Banachraum genannt.
• Raum von Hilbert: Ein Skalarprodukt-Raum über die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen, deren Skalarprodukt eine Banachraum-Struktur verursacht.
• Scheitelpunkt-Maschinenbediener-Algebra
• Algebra von Von Neumann: *-algebra Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert mit der schwachen Maschinenbediener-Topologie ausgestattet.

Universale Algebra

Algebraische Strukturen werden durch verschiedene Konfigurationen von Axiomen definiert. Universale Algebra studiert abstrakt solche Gegenstände. Eine Hauptzweiteilung ist zwischen Strukturen, die axiomatized völlig durch die Identität und Strukturen sind, die nicht sind. Wenn alle Axiome, die eine Klasse von Algebra definieren, Identität sind, dann ist die Klasse von Gegenständen eine Vielfalt (um mit der algebraischen Vielfalt im Sinne der algebraischen Geometrie nicht verwirrt zu sein).

Identität ist das formulierte Verwenden von Gleichungen nur die Operationen, die die Struktur, und Variablen erlaubt, die über das relevante Weltall stillschweigend allgemein gemessen werden. Identität enthält keine Bindewörter, existenziell gemessene Variablen oder Beziehungen jeder Art außer den erlaubten Operationen. Die Studie von Varianten ist ein wichtiger Teil der universalen Algebra. Eine algebraische Struktur in einer Vielfalt kann als die Quotient-Algebra der Begriff-Algebra (auch genannt "absolut freie Algebra") geteilt durch die durch eine Reihe der Identität erzeugten Gleichwertigkeitsbeziehungen verstanden werden. Also, eine Sammlung von Funktionen mit gegebenen Unterschriften erzeugen eine freie Algebra, der Begriff Algebra T. In Anbetracht einer Reihe der equational Identität (die Axiome) kann man ihren symmetrischen, transitiven Verschluss E denken. Die Quotient-Algebra T/E ist dann die algebraische Struktur oder Vielfalt. So, zum Beispiel, haben Gruppen eine Unterschrift, die zwei Maschinenbediener enthält: die Multiplikationsmaschinenbediener-M, zwei Argumente und den umgekehrten Maschinenbediener i nehmend, ein Argument, und das Identitätselement e, eine Konstante nehmend, die als ein Maschinenbediener betrachtet werden kann, der Nullargumente nimmt. In Anbetracht eines (zählbaren) Satzes von Variablen x, y, z, usw. ist der Begriff Algebra die Sammlung aller möglichen Begriffe, die M, mich, e und die Variablen einschließen; also zum Beispiel würde M (ich (x), M (x, M (y, e))) ein Element des Begriffes Algebra sein. Eines der Axiome, die eine Gruppe definieren, ist die Identität M (x, ich (x)) = e; ein anderer ist M (x, e) = x. Die Axiome können als Bäume vertreten werden. Diese Gleichungen veranlassen Gleichwertigkeitsklassen auf der freien Algebra; die Quotient-Algebra hat dann die algebraische Struktur einer Gruppe.

Mehrere Nichtvielfalt-Strukturen scheitern, Varianten, weil auch zu sein:

1. Es ist notwendig, dass 0  1, 0, das zusätzliche Identitätselement und 1 seiend, ein multiplicative Identitätselement seiend, aber das ist eine Nichtidentität;
2. Strukturen wie Felder haben einige Axiome, die nur für Nichtnullmitglieder von S halten. Für eine algebraische Struktur, um eine Vielfalt zu sein, müssen seine Operationen für alle Mitglieder von S definiert werden; es kann keine teilweisen Operationen geben.

Strukturen, deren Axiome unvermeidlich Nichtidentität einschließen, sind unter den wichtigsten in Mathematik, z.B, Feldern und folglich auch Vektorräumen und Algebra. Obwohl Strukturen mit der Nichtidentität einen unbestrittenen algebraischen Geschmack behalten, leiden sie unter Defekt-Varianten haben nicht. Zum Beispiel ist das Produkt von zwei Feldern nicht ein Feld.

Kategorie-Theorie

Kategorie-Theorie ist ein anderes Werkzeug, um algebraische Strukturen zu studieren (sieh zum Beispiel, die Mac Lane 1998). Eine Kategorie ist eine Sammlung von Gegenständen mit verbundenem morphisms. Jede algebraische Struktur hat seinen eigenen Begriff des Homomorphismus, nämlich jede Funktion, die mit der Operation (En) vereinbar ist, die die Struktur definiert. Auf diese Weise verursacht jede algebraische Struktur eine Kategorie. Zum Beispiel hat die Kategorie von Gruppen alle Gruppen als Gegenstände und der ganze Gruppenhomomorphismus als morphisms. Diese konkrete Kategorie kann als eine Kategorie von Sätzen mit der zusätzlichen mit der Kategorie theoretischen Struktur gesehen werden. Ebenfalls ist die Kategorie von topologischen Gruppen (dessen morphisms der dauernde Gruppenhomomorphismus sind) eine Kategorie von topologischen Räumen mit der Extrastruktur. Ein vergesslicher functor zwischen Kategorien von algebraischen Strukturen "vergisst" einen Teil einer Struktur.

Es gibt verschiedene Konzepte in der Kategorie-Theorie, die versuchen, den algebraischen Charakter eines Zusammenhangs, zum Beispiel zu gewinnen

• algebraische Kategorie
• im Wesentlichen algebraische Kategorie
• präsentable Kategorie
• lokal präsentable Kategorie
• monadischer functors und Kategorien
• universales Eigentum.

Siehe auch

• freier Gegenstand
• Liste von algebraischen Strukturen
• Liste der ersten Ordnungstheorien
• Unterschrift

Eine Monografie verfügbar online:

Kategorie-Theorie:

Links

• Die Algebra-Strukturen von Jipsen. Schließt viele Strukturen nicht erwähnt hier ein.
• Seite von Mathworld auf der abstrakten Algebra.
• Enzyklopädie von Stanford der Philosophie: Algebra durch Vaughan Pratt.