In der Logik ist ein logisches Bindewort (hat auch einen logischen Maschinenbediener genannt), ein Symbol, oder Wort hat gepflegt, zwei oder mehr Sätze (entweder von einem formellen oder von einer natürlichen Sprache) auf eine grammatisch gültige Weise, solch zu verbinden, dass der Sinn des erzeugten zusammengesetzten Satzes nur von den ursprünglichen Sätzen abhängt.

Die allgemeinsten logischen Bindewörter sind binäre Bindewörter (auch hat dyadische Bindewörter genannt), die sich zwei Sätzen anschließen, von denen als der operands der Funktion gedacht werden kann. Auch allgemein, wie man betrachtet, ist Ablehnung ein unäres Bindewort.

Logische Bindewörter zusammen mit quantifiers sind die zwei Haupttypen von logischen Konstanten, die in formellen Systemen wie Satzlogik und Prädikat-Logik verwendet sind.

Auf der Sprache

Natürliche Sprache

In der Grammatik von natürlichen Sprachen können zwei Sätze durch eine grammatische Verbindung angeschlossen werden, um sich grammatisch zusammengesetzter Satz zu formen. Einige, aber nicht alle diese grammatischen Verbindungen sind Wahrheitsfunktionen. Denken Sie zum Beispiel die folgenden Sätze:

:A: Jack ist der Hügel gestiegen.

:B: Jill ist der Hügel gestiegen.

:C: Jack ist gestiegen der Hügel und Jill sind der Hügel gestiegen.

:D: Jack ist der Hügel gestiegen, so ist Jill der Hügel gestiegen.

Die Wörter und und sind auch grammatische Verbindungen, die sich den Sätzen (A) und (B) anschließen, um die zusammengesetzten Sätze (C) und (D) zu bilden. Und in (C) ist ein logisches Bindewort, da die Wahrheit von (C) durch (A) und (B) völlig bestimmt wird: Es würde keinen Sinn haben (A) und (B) zu versichern, aber (C) zu bestreiten. Jedoch so in (D) ist nicht ein logisches Bindewort, da es ziemlich angemessen sein würde (A) und (B) zu versichern, aber (D) zu bestreiten: Vielleicht, schließlich, ist Jill der Hügel gestiegen, um einen Eimer von Wasser herbeizuholen, nicht weil Jack der Hügel überhaupt gestiegen war.

Verschiedene englische Wörter und Wortpaare drücken logische Bindewörter aus, und einige von ihnen sind synonymisch. Beispiele (mit dem Namen der Beziehung in Parenthesen) sind:

• "und" (Verbindung)
• "oder" (Trennung)
• "entweder... oder" (exklusive Trennung)
• "bezieht" (Implikation) "ein"
• "wenn... dann" (Implikation)
• "wenn und nur wenn" (Gleichwertigkeit)
• "nur wenn" (Implikation)
• "nur für den Fall" (Gleichwertigkeit)
• "aber" (Verbindung)
• "jedoch" (Verbindung)
• "nicht beide" (NAND)
• "weder... noch" (NOCH)

Das Wort "nicht" (Ablehnung) und die Ausdrücke "ist es falsch, dass" (Ablehnung) und "es nicht der Fall ist, die" (Ablehnung) auch ein logisches Bindewort ausdrücken - wenn auch sie auf eine einzelne Behauptung angewandt werden, und zwei Behauptungen nicht verbinden.

Formelle Sprachen

Auf formellen Sprachen werden Wahrheitsfunktionen durch eindeutige Symbole vertreten. Diese Symbole werden "logische Bindewörter", "logische Maschinenbediener", "Satzmaschinenbediener", oder, in der klassischen Logik, "mit der Wahrheit funktionelle Bindewörter" genannt. Sieh gut gebildete Formel für die Regeln, die neuen gut gebildeten Formeln erlauben, durch das Verbinden anderen gut gebildeten Formeln mit mit der Wahrheit funktionellen Bindewörtern gebaut zu werden.

Logische Bindewörter können verwendet werden, um mehr als zwei Behauptungen zu verbinden, so kann man über "-ary logisches Bindewort" sprechen.

Allgemeine logische Bindewörter

Liste von allgemeinen logischen Bindewörtern

Allgemein verwendete logische Bindewörter schließen ein:

• Ablehnung (nicht): ¬ , ~
• Verbindung (und): , &, 
• Trennung (oder): 
• Materielle Implikation (wenn... dann): , ,
• Biconditional (wenn und nur wenn): , ,

Alternative Namen für biconditional sind "iff", "xnor" und "Bi-Implikation".

Zum Beispiel die Bedeutung der Behauptungen es regnet und bin ich zuhause wird umgestaltet, wenn die zwei mit logischen Bindewörtern verbunden werden:

• Es regnet, und ich bin zuhause (P Q)
• Wenn es regnet, dann bin ich zuhause (P Q)
• Wenn ich zuhause bin, dann regnet es (Q P)
• Ich bin zuhause, wenn, und nur wenn es (P Q) regnet
• Es regnet (P) nicht

Für die Behauptung P = regnet Es und Q = ich bin zuhause.

Es ist auch üblich zu denken, dass die immer wahre Formel und die immer falsche Formel verbindend ist:

• Wahre Formel (, 1 oder T)
• Falsche Formel (, 0, oder F)

Geschichte von Notationen

• Ablehnung: Das Symbol ¬ ist in Heyting 1929 erschienen. (vergleichen Sie sich mit dem Symbol von Frege in seinem Begriffsschrift); das Symbol ~ ist in Russell 1908 erschienen; eine alternative Notation soll eine horizontale Linie oben auf der Formel, als darin hinzufügen; eine andere alternative Notation soll ein Hauptsymbol als in P verwenden'.
• Verbindung: Das Symbol  ist in Heyting 1929 erschienen (vergleichen Sie sich mit dem Gebrauch von Peano der mit dem Satz theoretischen Notation der Kreuzung ); & ist mindestens in Schönfinkel 1924 erschienen;. kommt aus der Interpretation von Boole der Logik als eine elementare Algebra.
• Trennung: Das Symbol  ist in Russell 1908 erschienen (vergleichen Sie sich mit dem Gebrauch von Peano der mit dem Satz theoretischen Notation der Vereinigung ); das Symbol + wird auch trotz der Zweideutigkeit verwendet, die aus der Tatsache kommt, die + der gewöhnlichen elementaren Algebra ein exklusiver oder wenn interpretiert, logisch in einem Zwei-Elemente-Ring ist; pünktlich in der Geschichte + zusammen mit einem Punkt an der niedrigeren richtigen Ecke ist von Peirce, verwendet worden
• Implikation: Das Symbol  kann in Hilbert 1917 gesehen werden;  wurde von Russell 1908 verwendet (vergleichen Sie sich mit Peano hat C Notation umgekehrt); wurde in Vax verwendet.
• Biconditional: Das Symbol  wurde mindestens von Russell 1908 verwendet;  wurde mindestens von Tarski 1940 verwendet;  wurde in Vax verwendet; andere Symbole sind pünktlich in der Geschichte wie  in Gentzen, ~ in Schönfinkel oder  in Chazal erschienen.
• Wahr: Das Symbol 1 kommt aus der Interpretation von Boole der Logik als eine elementare Algebra über die Zwei-Elemente-Algebra von Boolean; andere Notationen schließen ein, um in Peano gefunden zu werden.
• Falsch: Das Symbol 0 kommt auch aus der Interpretation von Boole der Logik als ein Ring; andere Notationen schließen ein, um in Peano gefunden zu werden.

Einige Autoren haben Briefe für Bindewörter in einer Zeit der Geschichte verwendet:u. für die Verbindung ("der und" von Deutschem für "und") und o. für die Trennung ("der oder" von Deutschem für "oder") in früheren Arbeiten von Hilbert (1904); N für die Ablehnung, K für die Verbindung, für die Trennung, C für die Implikation, E für biconditional in Łukasiewicz (1929).

Überfülle

Solches logisches Bindewort als gegenteilige Implikation  ist wirklich dasselbe als mit getauschten Argumenten bedingtes Material, so ist das Symbol für die gegenteilige Implikation überflüssig. In einigen logischen Rechnungen (namentlich in der klassischen Logik) sind bestimmte im Wesentlichen verschiedene zusammengesetzte Behauptungen logisch gleichwertig. Weniger triviales Beispiel einer Überfülle ist eine klassische Gleichwertigkeit zwischen und. Deshalb braucht ein klassisches logisches System den bedingten Maschinenbediener "" nicht, wenn "¬" (nicht) und "" (oder) bereits im Gebrauch sind, oder den "" nur als ein syntaktischer Zucker für eine Zusammensetzung verwenden können, die eine Ablehnung und eine Trennung hat.

Es gibt sechzehn Funktionen von Boolean, die die Eingangswahrheitswerte und mit vierstelligen binären Produktionen vereinigen. Diese entsprechen möglichen Wahlen von binären logischen Bindewörtern für die klassische Logik. Die verschiedene Durchführung der klassischen Logik kann verschiedene funktionell ganze Teilmengen von Bindewörtern wählen.

Eine Annäherung soll einen minimalen Satz wählen, und andere Bindewörter durch eine logische Form, wie im Beispiel mit dem Material definieren, das oben bedingt ist.

Der folgende ist die minimalen funktionell ganzen Sätze von Maschinenbedienern in der klassischen Logik, deren arities 2 nicht zu weit gehen:

Ein Element: {}, {}.

Zwei Elemente: {¬}, {¬}, {, ¬}, {, ¬}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {¬}, {¬}, {}, {}, {}, {}.

Drei Elemente: {}, {}, {}, {}, {}, {}.

Sieh mehr Details über die funktionelle Vollständigkeit in der klassischen Logik an der Wahrheitsfunktion #Functional Vollständigkeit.

Eine andere Annäherung soll auf Gleichberechtigungsbindewörtern eines bestimmten günstigen verwenden und funktionell vollenden, aber nicht minimaler Satz. Diese Annäherung verlangt mehr Satzaxiome, und jede Gleichwertigkeit zwischen logischen Formen muss entweder ein Axiom oder nachweisbar als ein Lehrsatz sein.

Aber Intuitionistic-Logik hat die mehr komplizierte Situation. Seiner fünf Bindewörter {, , ,  ¬, } muss nur Ablehnung ¬ auf andere Bindewörter reduziert werden (sieh Details). Keine der Verbindung, der Trennung und des bedingten Materials ließ eine gleichwertige Form anderer vier logischer Bindewörter bauen.

Eigenschaften

Einige logische Bindewörter besitzen Eigenschaften, die in den Lehrsätzen ausgedrückt werden können, die das Bindewort enthalten. Einige jener Eigenschaften, die ein logisches Bindewort haben kann, sind:

• Associativity: Innerhalb eines Ausdrucks, der zwei oder mehr derselben assoziativen Bindewörter hintereinander enthält, ist die Ordnung der Operationen nicht von Bedeutung, so lange die Folge des operands nicht geändert wird.
• Commutativity: Der operands des Bindewortes kann getauscht werden, logische Gleichwertigkeit zum ursprünglichen Ausdruck bewahrend.
• Distributivity: Ein Bindewort, das dadurch angezeigt ist · verteilt über ein anderes Bindewort, das durch +, wenn für den ganzen operands angezeigt ist.
• Idempotence: Wann auch immer die operands der Operation dasselbe sind, ist die Zusammensetzung zum operand logisch gleichwertig.
• Absorption: Ein Paar von Bindewörtern, befriedigt das Absorptionsgesetz wenn für den ganzen operands.
• Monomuskeltonus: Wenn f (a..., a)  f (b..., b) für den ganzen a..., a, b..., b  {0,1} solch dass ein  b, ein  b..., ein  b. Z.B.
• Sympathie: Jede Variable macht immer einen Unterschied im Wahrheitswert der Operation, oder es macht nie einen Unterschied. Z.B.
• Dualität: Die Wahrheitswertzuweisungen für die Operation von oben bis unten auf seiner Wahrheitstabelle zu lesen, ist dasselbe als Einnahme der Ergänzung, den Tisch von demselben oder einem anderen Bindewort vom Boden bis Spitze zu lesen. Ohne Wahrheitstabellen aufzusuchen, kann es als formuliert werden. Z.B.
• Wahrheitsbewahrung: Die Zusammensetzung alle sind diejenigen Argument ist Tautologie, eine Tautologie selbst. Z.B, . (sieh Gültigkeit)
• Lüge-Bewahrung: Die Zusammensetzung alle sind diejenigen Argument ist Widersprüche, ein Widerspruch selbst. Z.B, , . (sieh Gültigkeit)
• Involutivity (für unäre Bindewörter):. Z.B Ablehnung in der klassischen Logik.

Für die klassische und intuitionistic Logik "=" bedeutet Symbol, dass entsprechende Implikationen" …  …" und" …  …" für logische Zusammensetzungen als Lehrsätze sowohl bewiesen werden können, und das "" Symbol bedeutet, dass" …  …" für logische Zusammensetzungen eine Folge von entsprechenden" …  …" Bindewörter für Satzvariablen ist. Etwas von der vielgeschätzten Logik kann unvereinbare Definitionen der Gleichwertigkeit und Ordnung (entailment) haben.

Sowohl Verbindung als auch Trennung sind assoziativ, auswechselbar und idempotent in der klassischen Logik, den meisten Varianten der vielgeschätzten Logik und intuitionistic Logik. Dasselbe ist über distributivity der Verbindung über die Trennung und Trennung über die Verbindung, sowie für das Absorptionsgesetz wahr.

In der klassischen Logik und einigen Varianten der vielgeschätzten Logik sind Verbindung und Trennung Doppel-, und Ablehnung ist Selbstdoppel-, der Letztere ist auch in der intuitionistic Logik Selbstdoppel-.

Ordnung der Priorität

Als eine Weise, die Anzahl von notwendigen Parenthesen zu vermindern, kann man Prioritätsregeln einführen: ¬ hat höhere Priorität als, höher als, und höher als . Also zum Beispiel P Q ¬ R  ist S für (P (Q (¬ R)))  S kurz.

Hier ist ein Tisch, der eine allgemein verwendete Priorität von logischen Maschinenbedienern zeigt.

Die Ordnung der Priorität bestimmt, der verbindend das "Hauptbindewort" ist, wenn man eine Nichtatomformel interpretiert.

Informatik

Die mit der Wahrheit funktionelle Annäherung an logische Maschinenbediener wird als Logiktore in Digitalstromkreisen durchgeführt. Praktisch werden alle Digitalstromkreise (ist die Hauptausnahme SCHLUCK), von NAND, NOCH, NICHT, und Übertragungstore aufgebaut; sieh mehr Details in Wahrheit #Computer Wissenschaft fungieren. Logische Maschinenbediener über Bit-Vektoren (entsprechend begrenzten Algebra von Boolean) sind bitwise Operationen.

Aber nicht jeder Gebrauch eines logischen Bindewortes in der Programmierung hat semantischen Boolean. Zum Beispiel wird faule Berechnung manchmal für durchgeführt und, so sind diese Bindewörter nicht auswechselbar, wenn einige von Ausdrücken, Nebenwirkungen hat. Außerdem ist ein bedingter, der in einem Sinn dem materiellen bedingten Bindewort entspricht, im Wesentlichen non-Boolean, weil für den folgenden Q nicht durchgeführt wird, wenn das vorangegangene Ereignis P falsch ist (obwohl eine Zusammensetzung als Ganzes  "wahr" in solchem Fall erfolgreich ist). Das ist an intuitionist und Constructivist-Ansichten auf dem Material bedingt, aber nicht zu den der klassischen Logik näher.

Siehe auch

• Gebiet von Boolean
• Boolean fungieren
• Logik von Boolean
• GeBoolean-schätzte Funktion
• Liste von Algebra-Themen von Boolean
• Logischer unveränderlicher
• Modaler Maschinenbediener
• Satzrechnung
• Wahrheitstabelle
• Wahrheit schätzt

Referenzen

• Bocheński, Józef Maria (1959), Ein Précis der Mathematischen Logik, die aus den französischen und deutschen Ausgaben von Otto Bird, D. Reidel, Dordrecht, das Südliche Holland übersetzt ist.

Links

• John MacFarlane (2005), "Logische Konstanten", Enzyklopädie von Stanford der Philosophie.