In der Logik und Probetheorie ist natürlicher Abzug eine Art Proberechnung, in der das logische Denken durch mit der "natürlichen" Weise nah verbundene Interferenzregeln ausgedrückt wird vernünftig zu urteilen. Das hebt sich von den axiomatischen Systemen ab, die stattdessen Axiome so viel wie möglich verwenden, um die logischen Gesetze des deduktiven Denkens auszudrücken.

Motivation

Natürlicher Abzug ist aus einem Zusammenhang der Unzufriedenheit mit dem axiomatizations des deduktiven Denkens gewachsen, das für die Systeme von Hilbert, Frege und Russell üblich ist (sieh z.B, System von Hilbert). Solche axiomatizations wurden von Russell und Whitehead in ihrer mathematischen Abhandlung Principia Mathematica am berühmtesten verwendet. Angespornt durch eine Reihe von Seminaren in Polen 1926 durch Łukasiewicz, der eine natürlichere Behandlung der Logik verteidigt hat, hat Jaśkowski die frühsten Versuche des Definierens eines natürlicheren Abzugs zuerst 1929 mit einer diagrammatischen Notation gemacht, und später seinen Vorschlag in einer Folge von Papieren 1934 und 1935 aktualisierend. Seine Vorschläge haben zu verschiedenen Notationen geführt

solcher als Fitch-artige Rechnung (oder die Diagramme von Fitch) oder die Methode des Munds voll der z.B. Lemmon hat eine Variante genannt System L gegeben.

Der natürliche Abzug in seiner modernen Form wurde vom deutschen Mathematiker Gentzen 1935 in einer Doktorarbeit unabhängig vorgeschlagen, die an die Fakultät von mathematischen Wissenschaften der Universität von Göttingen geliefert ist. Der Begriff wurde natürlicher Abzug (oder eher, sein deutscher gleichwertiger natürliches Schließen) in dieser Zeitung ins Leben gerufen:

Gentzen wurde durch einen Wunsch motiviert, die Konsistenz der Zahlentheorie zu gründen. Er war unfähig, das Hauptergebnis zu beweisen, das für das Konsistenz-Ergebnis, den Kürzungsbeseitigungslehrsatz - Hauptsatz - direkt für den Natürlichen Abzug erforderlich ist. Aus diesem Grund hat er sein alternatives System, die folgende Rechnung eingeführt, für die er Hauptsatz sowohl für die klassische als auch intuitionistic Logik beweist. In einer Reihe von Seminaren 1961 und 1962 Prawitz hat eine umfassende Zusammenfassung von natürlichen Abzug-Rechnungen gegeben, und hat viel Arbeit von Gentzen mit folgenden Rechnungen ins natürliche Abzug-Fachwerk transportiert. Seine 1965-Monografie Natürlicher Abzug: Eine probetheoretische Studie sollte eine Bezugsarbeit am natürlichen Abzug werden, und hat Anwendungen für den modalen und die Logik der zweiten Ordnung eingeschlossen.

Im natürlichen Abzug wird ein Vorschlag aus einer Sammlung von Propositionen durch die Verwendung von Interferenzregeln wiederholt abgeleitet. Das in diesem Artikel präsentierte System ist eine geringe Schwankung der Formulierung von Gentzen oder Prawitz, aber mit einer näheren Anhänglichkeit an der Beschreibung von Martin-Löf von logischen Urteilen und Bindewörtern (Martin-Löf, 1996).

Urteile und Vorschläge

Ein Urteil ist etwas, was, d. h. ein Gegenstand von Kenntnissen kenntlich ist. Es ist offensichtlich, wenn man es tatsächlich weiß. So "regnet es" ist ein Urteil, das für denjenigen offensichtlich ist, der weiß, dass es wirklich regnet; in diesem Fall kann man Beweise für das Urteil sogleich finden, indem man außerhalb des Fensters schaut oder aus dem Haus geht. In der mathematischen Logik jedoch sind Beweise häufig nicht als direkt erkennbar, aber eher abgeleitet aus grundlegenderen offensichtlichen Urteilen. Der Prozess des Abzugs ist, was einen Beweis einsetzt; mit anderen Worten ist ein Urteil offensichtlich, wenn man einen Beweis dafür hat.

Die wichtigsten Urteile in der Logik sind von der Form "A ist wahr". Der Brief Standplätze für jeden Ausdruck, der einen Vorschlag vertritt; die Wahrheitsurteile verlangen so ein primitiveres Urteil: "A ist ein Vorschlag". Viele andere Urteile sind studiert worden; zum Beispiel "Ist A falsch" (sieh klassische Logik), "A ist in der Zeit t wahr" (sieh zeitliche Logik), "A ist notwendigerweise wahr" oder "A vielleicht wahr ist" (sieh modale Logik), "das Programm M hat Typ τ" (sieh Programmiersprachen und Typ-Theorie), "Ist A von den verfügbaren Mitteln erreichbar" (sieh geradlinige Logik), und viele andere. Um mit anzufangen, werden wir uns mit den einfachsten zwei Urteilen "A beschäftigen ist ein Vorschlag", und "A ist wahr" hat als "Eine Stütze" und "Ein wahrer" beziehungsweise abgekürzt.

Das Urteil "Eine Stütze" definiert die Struktur von gültigen Beweisen von A, der der Reihe nach die Struktur von Vorschlägen definiert. Deshalb sind die Interferenzregeln für dieses Urteil manchmal als Bildungsregeln bekannt. Um zu illustrieren, wenn wir zwei Vorschläge A und B haben (d. h. sind die Urteile "Eine Stütze" und "B Stütze" offensichtlich), dann bilden wir den zusammengesetzten Vorschlag A und B, geschrieben symbolisch als "". Wir können das in der Form einer Interferenzregel schreiben:

Diese Interferenzregel ist schematisch: A und B kann mit jedem Ausdruck realisiert werden. Die allgemeine Form einer Interferenzregel ist:

wo jeder ein Urteil ist und die Interferenzregel "Namen" genannt wird. Die Urteile über der Linie sind als Propositionen bekannt, und diejenigen unter der Linie sind Beschlüsse. Andere allgemeine logische Vorschläge sind Trennung , Ablehnung , Implikation , und die logische Konstante-Wahrheit und Lüge . Ihre Bildungsregeln sind unten.

\frac {A\hbox {Stütze} \qquad B\hbox {Stütze}} {Ein \vee B\hbox {Stütze} }\\\vee_F

\qquad

\frac {A\hbox {Stütze} \qquad B\hbox {Stütze}} {Ein \supset B\hbox {Stütze} }\\\supset_F

\qquad

\frac {\\hbox {}} {\\top\hbox {Stütze} }\\\top_F

\qquad

\frac {\\hbox {}} {\\bot\hbox {Stütze} }\\\bot_F

</Mathematik>\qquad

\frac {A\hbox {Stütze}} {\\neg A\hbox {Stütze} }\\\neg_F

</Mathematik>

Einführung und Beseitigung

Jetzt besprechen wir "Ein wahres" Urteil. Interferenzregeln, die ein logisches Bindewort im Beschluss einführen, sind als Einführungsregeln bekannt. Um Verbindungen einzuführen, d. h., "A und B wahr" für Vorschläge A und B aufzuhören, verlangt man Beweise für "Einen wahren" und "B wahr". Als eine Interferenzregel:

\frac {A\hbox {wahrer} \qquad B\hbox {wahr}} {Ein \wedge B\hbox {wahrer} }\\\wedge_I

</Mathematik>

Es muss verstanden werden, dass in solchen Regeln die Gegenstände Vorschläge sind. D. h. die obengenannte Regel ist wirklich eine Abkürzung für:

\frac {A\hbox {Stütze} \qquad B\hbox {Stütze} \qquad A\hbox {wahrer} \qquad B\hbox {wahr}} {Ein \wedge B\hbox {wahrer} }\\\wedge_I

</Mathematik>

Das kann auch geschrieben werden:

\frac {Ein \wedge B\hbox {Stütze} \qquad A\hbox {wahrer} \qquad B\hbox {wahr}} {Ein \wedge B\hbox {wahrer} }\\\wedge_I

</Mathematik>

In dieser Form kann die erste Proposition durch die Bildungsregel zufrieden sein, die ersten zwei Propositionen der vorherigen Form gebend. In diesem Artikel werden wir die "Stütze"-Urteile elidieren, wo sie verstanden werden. Im nullary Fall kann man Wahrheit von keinen Propositionen ableiten.

\frac {\\} {\\top\hbox {wahrer} }\\\top_I

</Mathematik>

Wenn die Wahrheit eines Vorschlags auf mehr als eine Weise gegründet werden kann, hat das entsprechende Bindewort vielfache Einführungsregeln.

\frac {A\hbox {wahr}} {Ein \vee B\hbox {wahrer} }\\\vee_ {I1 }\

\qquad

\frac {B\hbox {wahr}} {Ein \vee B\hbox {wahrer} }\\\vee_ {I2 }\

</Mathematik>

Bemerken Sie, dass im nullary Fall, d. h., für die Lüge, es keine Einführungsregeln gibt. So kann man Lüge aus einfacheren Urteilen nie ableiten.

Doppel-zu Einführungsregeln sind Beseitigungsregeln zu beschreiben, wie man Information über einen zusammengesetzten Vorschlag in die Information über seine Bestandteile dekonstruiert. So, von "Einem  B wahr" können wir "Einen wahren" und "B wahr" schließen:

\frac {Ein \wedge B\hbox {wahr}} {A\hbox {wahrer} }\\\wedge_ {E1 }\

\qquad

\frac {Ein \wedge B\hbox {wahr}} {B\hbox {wahrer} }\\\wedge_ {E2 }\

</Mathematik>

Da ein Beispiel des Gebrauches der Schlussfolgerung herrscht, denken Sie commutativity der Verbindung. Wenn Ein  B wahr ist, dann ist B  A wahr; diese Abstammung kann durch das Bestehen von Interferenzregeln auf solch eine Mode gezogen werden, wie Propositionen einer niedrigeren Schlussfolgerung den Beschluss der folgenden höheren Schlussfolgerung vergleichen.

\cfrac {\\cfrac {Ein \wedge B\hbox {wahr}} {B\hbox {wahrer} }\\\wedge_ {E2}

\qquad

\cfrac {Ein \wedge B\hbox {wahr}} {A\hbox {wahrer} }\\\wedge_ {E1} }\

{B \wedge A\hbox {wahrer} }\\\wedge_I

</Mathematik>

Die Schlussfolgerung glaubt, dass wir gesehen haben, bis jetzt sind nicht genügend, um die Regeln der Implikationseinführung oder Trennungsbeseitigung festzusetzen; für diese brauchen wir einen allgemeineren Begriff der hypothetischen Abstammung.

Hypothetische Abstammungen

Eine durchdringende Operation in der mathematischen Logik urteilt von Annahmen vernünftig. Denken Sie zum Beispiel die folgende Abstammung:

\cfrac {Ein \wedge \left (B \wedge C \right) \wahr} {\\cfrac {B \wedge C \wahr} {B \wahr} \wedge_ {E_1}} \wedge_ {E_2 }\

</Mathematik>

Diese Abstammung gründet die Wahrheit von B als solcher nicht; eher gründet es die folgende Tatsache:

:If Ein  (B  C) ist dann B wahr, ist wahr.

In der Logik sagt man "das Annehmen, dass Ein  (B  C) wahr ist, zeigen wir, dass B wahr ist"; mit anderen Worten hängt das Urteil "B wahr" vom angenommenen Urteil "Ein  (B  C) wahr" ab. Das ist eine hypothetische Abstammung, die wir wie folgt schreiben:

\begin {Matrix-}\

Ein \wedge \left (B \wedge C \right) \wahr \\

\vdots \\

B \wahrer

\end {Matrix-}\

</Mathematik>

Die Interpretation ist: "B wahr ist von Einem  (B  C) wahr ableitbar". Natürlich in diesem spezifischen Beispiel wissen wir wirklich die Abstammung "B wahr" von "Einem  (B  C) wahr", aber im Allgemeinen können wir nicht die Abstammung a priori wissen. Die allgemeine Form einer hypothetischen Abstammung ist:

\begin {Matrix-}\

D_1 \quad D_2 \cdots D_n \\

\vdots \\

J

\end {Matrix-}\</Mathematik>

Jede hypothetische Abstammung hat eine Sammlung von vorhergehenden Abstammungen (der D) geschrieben über die Spitzenlinie und ein succedent über das Endergebnis geschriebenes Urteil (J). Jede der Propositionen kann selbst eine hypothetische Abstammung sein. (Für die Einfachheit behandeln wir ein Urteil als eine Abstammung der Proposition weniger.)

Der Begriff des hypothetischen Urteils wird als das Bindewort der Implikation verinnerlicht. Die Einführung und Beseitigungsregeln sind wie folgt.

\cfrac {\

\begin {Matrix-}\

\cfrac {} {\wahr} u \\

\vdots \\

B \wahrer

\end {Matrix-}\

} {Ein \supset B \wahr} \supset_ {I^u }\

\qquad \cfrac {Ein \supset B \wahrer \quad \wahr} {B \wahr} \supset_E

</Mathematik>

In der Einführungsregel wird genannter u des vorangegangenen Ereignisses im Beschluss entladen. Das ist ein Mechanismus, für das Spielraum der Hypothese abzugrenzen: Sein alleiniger Grund für die Existenz ist, "B wahr" zu gründen; es kann zu keinem anderen Zweck verwendet werden, und insbesondere es kann unter der Einführung nicht verwendet werden. Als ein Beispiel, denken Sie die Abstammung "Eines  (B  (Ein  B)) wahr":

\cfrac {\\cfrac {\\cfrac {\wahr} u \quad \cfrac {B \wahr} w\{Ein \wedge B \wahrer }\\wedge_I} {\

\cfrac {B \supset \left (Ein \wedge B \right) \wahr} {\

Ein \supset \left (B \supset \left (Ein \wedge B \right) \right) \wahrer

} \supset_ {I^u }\

} \supset_ {I^w }\

</Mathematik>

Diese volle Abstammung hat keine unbefriedigten Propositionen; jedoch sind Subabstammungen hypothetisch. Zum Beispiel ist die Abstammung "B  (Ein  B) wahr" mit dem vorangegangenen Ereignis "Ein wahrer" hypothetisch (hat u genannt).

Mit hypothetischen Abstammungen können wir jetzt die Beseitigungsregel für die Trennung schreiben:

\cfrac {\

Ein \vee B \hbox {wahrer }\

\quad

\begin {Matrix-}\ \cfrac {} {\wahr} u \\ \vdots \\

C \wahrer

\end {Matrix-}\ \quad \begin {Matrix-}\

\cfrac {} {B \wahr} w \\

\vdots \\ C \wahrer \end {Matrix-}\

} {C \wahr} \vee_ {E^ {u, w} }\

</Mathematik>

In Wörtern, wenn Ein  B wahr ist, und können wir C wahr sowohl von Einem wahren als auch vom wahren B abstammen, dann ist C tatsächlich wahr. Bemerken Sie, dass diese Regel entweder Zu einem wahren oder zu wahrem B nicht verpflichtet. Im Null-Ary-Fall, d. h. für die Lüge erhalten wir die folgende Beseitigungsregel:

\frac {\\perp wahr} {C \wahr} \perp_E

</Mathematik>

Das wird als gelesen: Wenn Lüge wahr ist, dann ist jeder Vorschlag C wahr.

Ablehnung ist der Implikation ähnlich.

\cfrac {\ \begin {Matrix-}\ \cfrac {} {\wahr} u \\ \vdots \\

p \wahrer

\end {Matrix-}\

} {\\lnot \wahr} \lnot_ {I^ {u, p} }\

\qquad

\cfrac {\\lnot \wahrer \quad \wahr} {C \wahr} \lnot _E

</Mathematik>

Die Einführungsregel entlädt sowohl den Namen der Hypothese u als auch den succedent p, d. h. der Vorschlag p muss im Beschluss A nicht vorkommen. Da diese Regeln schematisch sind, ist die Interpretation der Einführungsregel: Wenn von "Einem wahren" wir für jeden Vorschlag p abstammen können, dass "p wahr", dann muss A, d. h., "nicht Ein wahrer falsch sein". Für die Beseitigung, wenn sowohl A als auch, wie man zeigt, nicht A wahr sind, dann gibt es einen Widerspruch, in welchem Fall jeder Vorschlag C wahr ist. Weil die Regeln für die Implikation und Ablehnung so ähnlich sind, sollte es ziemlich leicht sein zu sehen, dass nicht A und Ein   gleichwertig sind, d. h. jeder ist vom anderen ableitbar.

Konsistenz, Vollständigkeit und normale Formen

Wie man

sagt, entspricht eine Theorie, wenn Lüge (von keinen Annahmen) nicht nachweisbar ist und abgeschlossen ist, wenn jeder Lehrsatz das nachweisbare Verwenden der Interferenzregeln der Logik ist. Diese sind Behauptungen über die komplette Logik, und werden gewöhnlich an einen Begriff eines Modells gebunden. Jedoch gibt es lokale Begriffe der Konsistenz und Vollständigkeit, die rein syntaktische Kontrollen über die Interferenzregeln sind, und keine Bitten an Modelle verlangen. Der erste von diesen ist lokale Konsistenz, auch bekannt als lokaler reducibility, der sagt, dass jede Abstammung, die eine Einführung eines Bindewortes gefolgt sofort von seiner Beseitigung enthält, in eine gleichwertige Abstammung ohne diesen Umweg verwandelt werden kann. Es ist eine Kontrolle in großer Zahl von Beseitigungsregeln: Sie müssen nicht so stark sein, dass sie Kenntnisse einschließen, die nicht bereits in seinen Propositionen enthalten sind. Als ein Beispiel, denken Sie Verbindungen.

------u------w

Ein wahrer B wahrer

------------------I

Ein  B wahrer

----------E

Ein wahrer

</td>

------u

Ein wahrer

</td> </tr> </Tisch>

Doppel-sagt lokale Vollständigkeit, dass die Beseitigungsregeln stark genug sind, um ein Bindewort in die für seine Einführungsregel passenden Formen zu zersetzen. Wieder für Verbindungen:

----------u

Ein  B wahrer

</td>

----------u----------u

Ein  B wahr Ein  B wahrer

----------E----------E

Ein wahrer B wahrer

-----------------------I

Ein  B wahrer

</td> </tr> </Tisch>

Diese Begriffe entsprechen genau zu β-reduction (die Beta-Verminderung) und η-conversion (eta Konvertierung) in der Lambda-Rechnung mit dem Isomorphismus des Currys-Howard. Durch die lokale Vollständigkeit sehen wir, dass jede Abstammung zu einer gleichwertigen Abstammung umgewandelt werden kann, wo das Hauptbindewort eingeführt wird. Tatsächlich, wenn die komplette Abstammung dieser Einrichtung von von Einführungen gefolgtem eliminations folgt, dann, wie man sagt, ist es normal. In einer normalen Abstammung geschehen alle eliminations über Einführungen. Im grössten Teil der Logik hat jede Abstammung eine gleichwertige normale Abstammung, genannt eine normale Form. Die Existenz von normalen Formen ist allgemein hart, verwendenden natürlichen Abzug allein zu beweisen, obwohl solche Rechnungen wirklich in der Literatur am meisten namentlich durch Dag Prawitz 1961 bestehen; sieh sein Buch Natürlicher Abzug: eine probetheoretische Studie, A&W Stockholm 1965, keine internationale Standardbuchnummer. Es ist viel leichter, das indirekt mittels einer folgenden Rechnungspräsentation ohne Kürzung zu zeigen.

Die ersten und höherwertigen Erweiterungen

Die Logik der früheren Abteilung ist ein Beispiel einer einzeln sortierten Logik, d. h., einer Logik mit einer einzelnen Art des Gegenstands: Vorschläge. Viele Erweiterungen dieses einfachen Fachwerks sind vorgeschlagen worden; in dieser Abteilung werden wir es mit einer zweiten Sorte von Personen oder Begriffen erweitern. Genauer werden wir eine neue Art des Urteils hinzufügen, "t ist ein Begriff" (oder "t Begriff"), wo t schematisch ist. Wir werden einen zählbaren Satz V von Variablen, ein anderer zählbarer Satz F Funktionssymbole befestigen, und Begriffe wie folgt bauen:

v  V

------Var-F

v nennen

</td>

f  F nennen t T-Begriff... t nennen

------------------------------------------App-F

f (t, t..., t) nennen

</td> </tr> </Tisch>

Für Vorschläge denken wir einen dritten zählbaren Satz P von Prädikaten, und definieren Atomprädikate über Begriffe mit der folgenden Bildungsregel:

φ  P t nennen T-Begriff... t nennen

------------------------------------------Pred-F

φ (t, t..., t) stützen

</td> </tr> </Tisch>

Außerdem fügen wir ein Paar von gemessenen Vorschlägen hinzu: universal () und existenziell ():

------u

x nennen

Eine Stütze

----------F

x. Eine Stütze

</td> ------u x nennen Eine Stütze

----------F

x. Eine Stütze

</td> </tr> </Tisch>

Diese gemessenen Vorschläge haben die folgende Einführung und Beseitigungsregeln.

------u

ein Begriff

[a/x] Ein wahrer

------------I

x. Ein wahrer

</td>

x. Ein wahrer t nennt

--------------------E

[t/x] Ein wahrer

</td> </tr>

[t/x] Ein wahrer

------------I

x. Ein wahrer

</td>

------u------------v

ein Begriff [a/x] Ein wahrer

x. Ein wahrer C wahrer

--------------------------E

C wahrer

</td> </tr> </Tisch>

In diesen Regeln, der Notation [t/x] Standplätze für den Ersatz von t für jedes (sichtbare) Beispiel von x in A, Festnahme vermeidend; sieh den Artikel über die Lambda-Rechnung für mehr Detail über diese Standardoperation. Wie zuvor treten die Exponenten auf dem Namen für die Bestandteile ein, die entladen werden: Der Begriff ein Können nicht kommt im Beschluss von I vor (sind solche Begriffe als eigenvariables oder Rahmen bekannt) und die Hypothesen haben u genannt, und v in E werden zur zweiten Proposition in einer hypothetischen Abstammung lokalisiert. Obwohl die Satzlogik von früheren Abteilungen entscheidbar war, hinzufügend, dass der quantifiers die Logik unentscheidbar macht.

Bis jetzt sind die gemessenen Erweiterungen erste Ordnung: Sie unterscheiden Vorschläge von den Arten von Gegenständen gemessen. Höherwertige Logik nimmt eine verschiedene Annäherung und hat nur eine einzelne Sorte von Vorschlägen. Die quantifiers haben als das Gebiet der Quantifizierung selbe Sorte von Vorschlägen, wie widerspiegelt, in den Bildungsregeln:

------u

p stützen

Eine Stütze ----------F

p. Eine Stütze

</td> ------u p stützen Eine Stütze ----------F

p. Eine Stütze

</td> </tr> </Tisch>

Eine Diskussion der Einführung und Beseitigungsformen für die höherwertige Logik ist außer dem Spielraum dieses Artikels. Es ist möglich, Zwischenerste Ordnung und höherwertige Logik zu sein. Zum Beispiel hat Logik der zweiten Ordnung zwei Arten von Vorschlägen, einer freundlicher Quantitätsbestimmung über Begriffe und der zweiten freundlichen Quantitätsbestimmung über Vorschläge der ersten Art.

Verschiedene Präsentationen des natürlichen Abzugs

Baumähnliche Präsentationen

Die sich entladenden Anmerkungen von Gentzen, die verwendet sind, um hypothetisches Urteil zu verinnerlichen, können durch das Darstellen von Beweisen als ein Baum von Folgen Γ statt eines Baums wahre Urteile vermieden werden.

Folgende Präsentationen

Die Darstellungen von Jaśkowski des natürlichen Abzugs haben zu verschiedenen Notationen wie Fitch-artige Rechnung (oder die Diagramme von Fitch) oder die Methode des Munds voll der z.B geführt. Lemmon hat eine Variante genannt System L gegeben.

Beweise und Typ-Theorie

Die Präsentation des natürlichen Abzugs hat sich bis jetzt auf die Natur von Vorschlägen konzentriert, ohne eine formelle Definition eines Beweises zu geben. Um den Begriff des Beweises zu formalisieren, verändern wir die Präsentation von hypothetischen Abstammungen ein bisschen. Wir etikettieren die vorangegangenen Ereignisse mit Probevariablen (von einem zählbaren Satz V von Variablen), und schmücken den succedent mit dem wirklichen Beweis. Die vorangegangenen Ereignisse oder Hypothesen werden vom succedent mittels eines Drehkreuzes getrennt. Diese Modifizierung geht manchmal unter dem Namen von lokalisierten Hypothesen. Das folgende Diagramm fasst die Änderung zusammen.

----u----u...----u

J J J

J

</td>

u:J, u:J..., u:J J

</td> </tr> </Tisch>

Die Sammlung von Hypothesen wird als Γ geschrieben, wenn ihre genaue Zusammensetzung nicht wichtig ist.

Um Beweise ausführlich zu machen, bewegen wir vom Probewenigerurteil "Einen wahren" zu einem Urteil: "π ist ein Beweis (Ein wahrer)", der symbolisch als "π geschrieben wird: Ein wahrer". Im Anschluss an die Standardannäherung werden Beweise mit ihren eigenen Bildungsregeln für das Urteil "π Beweis" angegeben. Der einfachstmögliche Beweis ist der Gebrauch einer etikettierten Hypothese; in diesem Fall sind die Beweise das Etikett selbst.

u  V

-------Probe-F

u Beweis

</td>

---------------------hyp

u:A wahrer u: Ein wahrer

</td> </tr> </Tisch>

Für die Kürze werden wir das Judgemental-Etikett weglassen, das im Rest dieses Artikels wahr ist, d. h., "Γ π zu schreiben:". Lassen Sie uns einige der Bindewörter mit ausführlichen Beweisen nochmals prüfen. Für die Verbindung schauen wir auf den Einführungsregel-I, um die Form von Beweisen der Verbindung zu entdecken: Sie müssen ein Paar von Beweisen der zwei conjuncts sein. So:

π-Beweis π Beweis

--------------------Paar-F

(π, π) Beweis

</td>

Γ π: EIN Γ π: B

------------------------I

Γ (π, π): EIN  B

</td> </tr> </Tisch>

Die Beseitigung herrscht über E, und E wählen entweder den verlassenen oder das verbundene Recht aus; so sind die Beweise ein Paar von Vorsprüngen - erst (fst) und zweit (snd).

π-Beweis

-----------Fst-F

fst π Beweis

</td>

Γ π: EIN  B

-------------E

Γ fst π: Ein

</td> </tr> π-Beweis

-----------Snd-F

snd π Beweis

</td> Γ π: EIN  B -------------E

Γ snd π: B

</td> </tr> </Tisch>

Für die Implikation lokalisiert die Einführungsform oder bindet die Hypothese, das schriftliche Verwenden eines λ; das entspricht dem entladenen Etikett. In der Regel, "tritt Γ, u:A" für die Sammlung von Hypothesen Γ zusammen mit der zusätzlichen Hypothese u ein.

π-Beweis

------------λ-F

λu. π-Beweis

</td>

Γ, u:A π: B

-----------------I

Γ λu. π: Ein  B

</td> </tr>

π-Beweis π Beweis

-------------------App-F

π π Beweis

</td>

Γ π: EIN  B Γ π: EIN

----------------------------E

Γ π π: B

</td> </tr> </Tisch>

Mit Beweisen verfügbar ausführlich kann man manipulieren und über Beweise vernünftig urteilen. Die Schlüsseloperation auf Beweisen ist der Ersatz eines Beweises für eine in einem anderen Beweis verwendete Annahme. Das ist als ein Ersatz-Lehrsatz allgemein bekannt, und kann durch die Induktion auf der Tiefe (oder Struktur) des zweiten Urteils bewiesen werden.

Ersatz-Lehrsatz: Wenn Γ π: A und Γ, u:A π: B, dann Γ [π/u] π: B.

Bis jetzt das Urteil "Γ π:" Hat eine rein logische Interpretation gehabt. In der Typ-Theorie wird die logische Ansicht gegen eine mehr rechenbetonte Ansicht von Gegenständen ausgetauscht. Vorschläge in der logischen Interpretation werden jetzt als Typen und Beweise als Programme in der Lambda-Rechnung angesehen. So die Interpretation "π:" Ist "das Programm π hat Typ A". Die logischen Bindewörter werden auch ein verschiedenes Lesen gegeben: Verbindung wird als Produkt (×), Implikation als der Funktionspfeil () usw. angesehen. Die Unterschiede sind nur jedoch kosmetisch. Typ-Theorie hat eine natürliche Abzug-Präsentation in Bezug auf die Bildung, Einführung und Beseitigungsregeln; tatsächlich kann der Leser leicht wieder aufbauen, was als einfache Typ-Theorie von den vorherigen Abteilungen bekannt ist.

Der Unterschied zwischen Logik und Typ-Theorie ist in erster Linie eine Verschiebung des Fokus von den Typen (Vorschläge) zu den Programmen (Beweise). Typ-Theorie interessiert sich hauptsächlich für die Konvertierbarkeit oder reducibility von Programmen. Für jeden Typ gibt es kanonische Programme dieses Typs, die nicht zu vereinfachend sind; diese sind als kanonische Formen oder Werte bekannt. Wenn jedes Programm auf eine kanonische Form reduziert werden kann, dann, wie man sagt, normalisiert die Typ-Theorie (oder normalisiert schwach). Wenn die kanonische Form einzigartig ist, dann, wie man sagt, normalisiert die Theorie stark. Normalisability ist eine seltene Eigenschaft von den meisten nichttrivialen Typ-Theorien, die eine große Abfahrt von der logischen Welt ist. (Rufen Sie zurück, dass jede logische Abstammung eine gleichwertige normale Abstammung hat.) Den Grund zu skizzieren: In Typ-Theorien, die rekursive Definitionen zulassen, ist es möglich, Programme zu schreiben, die nie zu einem Wert abnehmen; solche sich schlingenden Programme können allgemein jeder Typ gegeben werden. Insbesondere das sich schlingende Programm hat Typ , obwohl es keinen logischen Beweis " wahr" gibt. Deshalb die Vorschläge als Typen; Beweise als Programm-Paradigma arbeiten nur in einer Richtung, wenn überhaupt: Interpretation einer Typ-Theorie als eine Logik gibt allgemein eine inkonsequente Logik.

Wie Logik hat Typ-Theorie viele Erweiterungen und Varianten, einschließlich der ersten Ordnung und höherwertigen Versionen. Ein interessanter Zweig der Typ-Theorie, die als abhängige Typ-Theorie bekannt ist, erlaubt quantifiers, sich über Programme selbst zu erstrecken. Diese gemessenen Typen werden als Π und Σ statt  und  geschrieben, und haben die folgenden Bildungsregeln:

Γ Ein Typ Γ, x:A Typ B

-----------------------------Π-F

Γ Πx:A. Typ B

</td>

Γ Ein Typ Γ, x:A Typ B

----------------------------Σ-F

Γ Σx:A. Typ B

</td> </tr> </Tisch>

Diese Typen sind Verallgemeinerungen des Pfeils und der Produkttypen, beziehungsweise, wie bezeugt, durch ihre Einführung und Beseitigungsregeln.

Γ, x:A π: B

--------------------ΠI

Γ λx. π: Πx:A. B

</td>

Γ π: Πx:A. B Γ π: Ein

-----------------------------ΠE

Γ π π: [π/x] B

</td> </tr> </Tisch>

Γ π: Ein Γ, x:A π: B

-----------------------------ΣI

Γ (π, π): Σx:A. B

</td>

Γ π: Σx:A. B

----------------ΣE

Γ fst π: Ein</td> Γ π: Σx:A. B

------------------------ΣE

Γ snd π: [fst π/x] B

</td> </tr> </Tisch>

Die abhängige Typ-Theorie in der vollen Allgemeinheit ist sehr stark: Es ist im Stande, fast jedes denkbare Eigentum von Programmen direkt in den Typen des Programms auszudrücken. Diese Allgemeinheit kommt an einem steilen Preis - überprüfend, dass ein gegebenes Programm eines gegebenen Typs ist, ist unentscheidbar. Deshalb erlauben abhängige Typ-Theorien in der Praxis Quantifizierung über willkürliche Programme nicht, aber schränken eher auf Programme eines gegebenen entscheidbaren Index-Gebiets, zum Beispiel ganze Zahlen, Schnuren oder geradlinige Programme ein.

Da abhängige Typ-Theorien Typen erlauben, von Programmen abzuhängen, besteht eine natürliche Frage zu fragen darin, ob es für Programme möglich ist, von Typen oder einer anderer Kombination abzuhängen. Es gibt viele Arten von Antworten auf solche Fragen. Eine populäre Annäherung in der Typ-Theorie soll Programmen erlauben, über Typen, auch bekannt als parametrischen polymorphism gemessen zu werden; dessen gibt es zwei Hauptarten: Wenn Typen und Programme getrennt behalten werden, dann herrscht man vor ein etwas wohl erzogeneres System hat aussagenden polymorphism genannt; wenn die Unterscheidung zwischen Programm und Typ verschmiert wird, erhält man die mit dem Typ theoretische Entsprechung der höherwertigen Logik, auch bekannt als impredicative polymorphism. Verschiedene Kombinationen der Abhängigkeit und polymorphism sind in der Literatur, das berühmteste Wesen der Lambda-Würfel von Henk Barendregt betrachtet worden.

Die Kreuzung der Logik und Typ-Theorie ist ein riesengroßes und aktives Forschungsgebiet. Neue Logik wird gewöhnlich in einem allgemeinen Typ theoretische Einstellung formalisiert, die als ein logisches Fachwerk bekannt ist. Populäres modernes logisches Fachwerk wie die Rechnung von Aufbauten und LF basiert auf der höherwertigen abhängigen Typ-Theorie, mit verschiedenen Umtauschen in Bezug auf die Entscheidbarkeit und ausdrucksvolle Macht. Dieses logische Fachwerk wird selbst immer als natürliche Abzug-Systeme angegeben, der ein Testament zur Vielseitigkeit der natürlichen Abzug-Annäherung ist.

Klassische und modale Logik

Für die Einfachheit ist die Logik präsentiert bis jetzt intuitionistic gewesen. Klassische Logik erweitert intuitionistic Logik mit einem zusätzlichen Axiom oder Grundsatz der ausgeschlossenen Mitte:

:For jeder Vorschlag p, der Vorschlag p  ¬ p ist wahr.

Diese Behauptung ist nicht offensichtlich entweder eine Einführung oder eine Beseitigung; tatsächlich schließt es zwei verschiedene Bindewörter ein. Die ursprüngliche Behandlung von Gentzen der ausgeschlossenen Mitte hat eine der folgenden drei (gleichwertigen) Formulierungen vorgeschrieben, die bereits in analogen Formen in den Systemen von Hilbert und Heyting da gewesen sind:

--------------XM

Ein  ¬ Ein wahrer

</td>

¬¬ Ein wahrer

----------XM

Ein wahrer</td>

--------u

¬ Ein wahrer

p wahrer

------XM

Ein wahrer</td> </tr> </Tisch>

(XM ist bloß XM, der in Bezug auf E. ausgedrückt ist), Diese Behandlung der ausgeschlossenen Mitte, zusätzlich dazu nicht einwandfrei von einer Einstellung eines Puristen zu sein, führt zusätzliche Komplikationen in der Definition von normalen Formen ein.

Eine verhältnismäßig befriedigendere Behandlung des klassischen natürlichen Abzugs in Bezug auf die Einführung und Beseitigungsregeln allein wurde zuerst von Parigot 1992 in der Form genannten λμ einer Rechnung des klassischen Lambdas vorgeschlagen. Die Schlüsselscharfsinnigkeit seiner Annäherung sollte ein mit der Wahrheit zentrisches Urteil Ein wahrer durch einen mehr klassischen Begriff ersetzen, der an die folgende Rechnung erinnernd ist: In der lokalisierten Form, statt Γ A, hat er Γ Δ, mit Δ eine Sammlung von Γ ähnlichen Vorschlägen verwendet. Γ wurde als eine Verbindung und Δ als eine Trennung behandelt. Diese Struktur wird im Wesentlichen direkt von klassischen folgenden Rechnungen gehoben, aber die Neuerung in λμ sollte eine rechenbetonte Bedeutung klassischen natürlichen Abzug-Beweisen in Bezug auf einen callcc oder einen Mechanismus des Werfens/Fangs geben, der im LISPELN und seinen Nachkommen gesehen ist. (Siehe auch: Kontrolle der ersten Klasse.)

Eine andere wichtige Erweiterung war für die modale und andere Logik, die mehr braucht als gerade das grundlegende Urteil der Wahrheit. Diese wurden zuerst, für die alethic modale Logik S4 und S5 in einem natürlichen Abzug-Stil von Prawitz 1965 beschrieben, und haben einen großen Körper der zusammenhängenden Arbeit seitdem angesammelt. Um ein einfaches Beispiel anzuführen, verlangt der modale LogikS4 ein neues Urteil, "Ein gültiger", der in Bezug auf die Wahrheit kategorisch ist:

:If "Ein wahrer" unter keinen Annahmen der Form "B wahr", dann "Ein gültiger".

Dieses kategorische Urteil wird als ein unäres Bindewort (gelesen "notwendigerweise") mit der folgenden Einführung und den Beseitigungsregeln verinnerlicht:

Ein gültiger

--------Ich

Ein wahrer

</td> Ein wahrer

--------E

Ein wahrer</td> </tr> </Tisch>

Bemerken Sie, dass die Proposition "Ein gültiger" keine Definieren-Regeln hat; statt dessen wird die kategorische Definition der Gültigkeit in seinem Platz verwendet. Diese Weise wird klarer in der lokalisierten Form, wenn die Hypothesen ausführlich sind. Wir schreiben "Ω;Γ Ein wahrer", wo Γ die wahren Hypothesen wie zuvor enthält, und Ω gültige Hypothesen enthält. Rechts gibt es gerade ein einzelnes Urteil "Ein wahrer"; Gültigkeit ist hier nicht erforderlich seitdem "Ω Ein gültiger" ist definitionsgemäß dasselbe als "Ω; ein wahrer". Die Einführung und Beseitigungsformen sind dann:

Ω; π: Ein wahrer

--------------------Ich

Ω; Kasten π: Ein wahrer

</td>

Ω;Γ π: Ein wahrer

----------------------E

Ω;Γ Unkasten π: Ein wahrer

</td> </tr> </Tisch>

Die modalen Hypothesen haben ihre eigene Version der Hypothese-Regel und des Ersatz-Lehrsatzes.

-------------------------------gültiger-hyp

Ω, u: (Ein gültiger); Γ u: Ein wahrer

</td> </tr> </Tisch>

Modaler Ersatz-Lehrsatz: Wenn Ω; π: Ein wahrer und Ω, u: (Ein gültiger); Γ π: C wahr, dann Ω;Γ [π/u] π: C wahr.

Dieses Fachwerk, Urteile in verschiedene Sammlungen von Hypothesen, auch bekannt als in Zonen mehraufgeteilte oder polyadic Zusammenhänge zu trennen, ist sehr stark und ausziehbar; daran ist wegen vieler verschiedener modaler Logik, und auch wegen der geradlinigen und anderen Substrukturlogik gewandt worden, um einige Beispiele anzuführen. Jedoch können relativ wenige Systeme der modalen Logik direkt im natürlichen Abzug formalisiert werden. Probetheoretische Charakterisierungen dieser Systeme, Erweiterungen wie das Beschriften oder die Systeme der tiefen Schlussfolgerung zu geben.

Die Hinzufügung von Etiketten zu Formeln erlaubt viel feinere Kontrolle der Bedingungen, unter denen Regeln gelten, den flexibleren Techniken von analytischen Gemälden erlaubend, angewandt zu werden, wie im Fall vom etikettierten Abzug getan worden ist. Etiketten erlauben auch das Namengeben von Welten in der Semantik von Kripke; Simpson (1993) Geschenke eine einflussreiche Technik, um Rahmenbedingungen der modalen Logik in der Semantik von Kripke in die Schlussfolgerung umzuwandeln, herrscht in einer natürlichen Abzug-Formalisierung der hybriden Logik. Stouppa (2004) Überblicke die Anwendung vieler Probetheorien, wie Avrons Hyperfolgen und Pottingers und die Anzeigelogik von Belnap zu solcher modaler Logik als S5 und B.

Vergleich mit anderen Foundational-Annäherungen

Folgende Rechnung

Die folgende Rechnung ist die Hauptalternative zum natürlichen Abzug als ein Fundament der mathematischen Logik. Im natürlichen Abzug ist der Informationsfluss bidirektional: Beseitigung herrscht über Fluss-Information abwärts durch deconstruction und Einführungsregel-Fluss-Information aufwärts durch den Zusammenbau. So hat ein natürlicher Abzug-Beweis rein von unten nach oben oder das verfeinernde Lesen nicht, es unpassend für die Automation in der Probesuche machend. Um diese Tatsache zu richten, hat Gentzen 1935 seine folgende Rechnung vorgeschlagen, obwohl er es am Anfang als ein technisches Gerät beabsichtigt hat, für die Konsistenz der Prädikat-Logik zu klären. Kleene, bestellen Sie seinen Samen-1952 Einführung in Metamathematics vor (internationale Standardbuchnummer 0-7204-2103-9), hat die erste Formulierung der folgenden Rechnung im modernen Stil gegeben.

In der folgenden Rechnung haben alle Interferenzregeln ein rein von unten nach oben Lesen. Interferenzregeln können für Elemente an beiden Seiten des Drehkreuzes gelten. (Um vom natürlichen Abzug zu differenzieren, verwendet dieser Artikel einen doppelten Pfeil  statt des richtigen Stifts für Folgen.) Werden die Einführungsregeln des natürlichen Abzugs als richtige Regeln in der folgenden Rechnung angesehen und sind strukturell sehr ähnlich. Die Beseitigungsregeln verwandeln sich andererseits in linke Regeln in der folgenden Rechnung. Um ein Beispiel anzuführen, denken Sie Trennung; die richtigen Regeln sind vertraut:

Γ  EIN

---------R

Γ  EIN  B

</td>

Γ  B

---------R Γ  EIN  B</td> </tr> </Tisch>

Links:

Γ, u:A  C Γ, v:B  C

---------------------------L

Γ, w: (Ein  B)  C

</td> </tr> </Tisch>

Rufen Sie die E Regel des natürlichen Abzugs in der lokalisierten Form zurück:

Γ Ein  B Γ, u:A C Γ, v:B C

---------------------------------------E

Γ C

</td> </tr> </Tisch>

Der Vorschlag Ein  B, der der succedent einer Proposition in E ist, verwandelt sich in eine Hypothese des Beschlusses in der linken Regel L. So, verlassen Regeln kann als eine Art umgekehrte Beseitigungsregel gesehen werden. Diese Beobachtung kann wie folgt illustriert werden:

------hyp

|

| elim. herrscht

über |



---------------------- entsprechen



|

| Einleitung. Regeln

|

Beschluss

</td>

---------------------------init

 

| |

| verlassene Regeln | Recht herrschen

über | | Beschluss</td> </tr> </Tisch>

In der folgenden Rechnung werden der verlassene und die richtigen Regeln im Schloss-Schritt durchgeführt, bis man die anfängliche Folge erreicht, die dem Versammlungspunkt der Beseitigung und Einführungsregeln im natürlichen Abzug entspricht. Diese anfänglichen Regeln sind der Hypothese-Regel des natürlichen Abzugs oberflächlich ähnlich, aber in der folgenden Rechnung beschreiben sie eine Umstellung oder einen Händedruck eines linken und eines richtigen Vorschlags:

----------init

Γ, u:A  Ein

</td> </tr> </Tisch>

Die Ähnlichkeit zwischen der folgenden Rechnung und dem natürlichen Abzug ist ein Paar der Stichhaltigkeit und Vollständigkeitslehrsätze, die beide mittels eines induktiven Arguments nachweisbar sind.

Stichhaltigkeit von  wrt.: Wenn Γ  A, dann Γ A.

Vollständigkeit von  wrt.: Wenn Γ A, dann Γ  A.

Es ist durch diese Lehrsätze klar, dass die folgende Rechnung den Begriff der Wahrheit nicht ändert, weil dieselbe Sammlung von Vorschlägen wahr bleibt. So kann man dieselben Probegegenstände wie zuvor in folgenden Rechnungsabstammungen verwenden. Als ein Beispiel, denken Sie die Verbindungen. Die richtige Regel ist zum Einführung Regel eigentlich identisch

Γ  π: EIN Γ  π: B

---------------------------R

Γ  (π, π): EIN  B

</td>

Γ π: EIN Γ π: B

-------------------------I

Γ (π, π): EIN  B

</td> </tr>

</Tisch>

Die linke Regel führt jedoch einige zusätzliche Ersetzungen durch, die in den entsprechenden Beseitigungsregeln nicht durchgeführt werden.

Γ, v: (Ein  B), u:A  π: C

--------------------------------L

Γ, v: (Ein  B)  [fst v/u] π: C

</td> Γ π: EIN  B -------------E Γ fst π: Ein</td> </tr>

Γ, v: (Ein  B), u:B  π: C

--------------------------------L

Γ, v: (Ein  B)  [snd v/u] π: C

</td> Γ π: EIN  B -------------E Γ snd π: B</td> </tr></Tisch>

Die Arten von in der folgenden Rechnung erzeugten Beweisen sind deshalb von denjenigen des natürlichen Abzugs ziemlich verschieden. Die folgende Rechnung erzeugt Beweise darin, was als der β-normal η-long Form bekannt ist, die einer kanonischen Darstellung der normalen Form des natürlichen Abzug-Beweises entspricht. Wenn man versucht, diese Beweise mit dem natürlichen Abzug selbst zu beschreiben, erhält man, was die Einschaltungsrechnung genannt wird (zuerst beschrieben von John Byrnes [3]), der verwendet werden kann, um den Begriff einer normalen Form für den natürlichen Abzug formell zu definieren.

Der Ersatz-Lehrsatz des natürlichen Abzugs nimmt die Form einer Strukturregel oder bekannten wie geschnittenen Strukturlehrsatzes in der folgenden Rechnung an.

Kürzung (Ersatz): Wenn Γ  π: A und Γ, u:A  π: C, dann Γ  [π/u] π: C.

Darin hat sich am meisten gut Logik benommen, Kürzung ist als eine Interferenzregel unnötig, obwohl es nachweisbar als ein Meta-Lehrsatz bleibt; die Überflüssigkeit der Kürzungsregel wird gewöhnlich als ein rechenbetonter Prozess präsentiert, der als Kürzungsbeseitigung bekannt ist. Das hat eine interessante Anwendung für den natürlichen Abzug; gewöhnlich ist es äußerst langweilig, um bestimmte Eigenschaften direkt im natürlichen Abzug wegen einer unbegrenzten Zahl von Fällen zu beweisen. Denken Sie zum Beispiel zu zeigen, dass ein gegebener Vorschlag im natürlichen Abzug nicht nachweisbar ist. Ein einfaches induktives Argument scheitert wegen Regeln wie E oder E, der willkürliche Vorschläge einführen kann. Jedoch wissen wir, dass die folgende Rechnung in Bezug auf den natürlichen Abzug abgeschlossen ist, so ist es genug, diesen unprovability in der folgenden Rechnung zu zeigen. Jetzt, wenn geschnitten als eine Interferenzregel nicht verfügbar ist, dann herrscht die ganze Folge entweder führen Sie ein Bindewort rechts oder den verlassenen ein, so wird die Tiefe einer folgenden Abstammung durch die Bindewörter im Endbeschluss völlig begrenzt. So ist Vertretung unprovability viel leichter, weil es nur eine begrenzte Zahl von Fällen gibt, um in Betracht zu ziehen, und jeder Fall völlig Subvorschläge des Beschlusses zusammengesetzt wird. Ein einfaches Beispiel davon ist der globale Konsistenz-Lehrsatz: " wahr" ist nicht nachweisbar. In der folgenden Rechnungsversion ist das offenbar wahr, weil es keine Regel gibt, die " " als ein Beschluss haben kann! Probetheoretiker ziehen häufig es vor, an folgenden Rechnungsformulierungen ohne Kürzung wegen solcher Eigenschaften zu arbeiten.

Siehe auch

Referenzen

Historische Verweisungen

• Stanaslaw Jaśkowski, 1934. Auf den Regeln von Annahmen in der Formalen Logik.
• Gerhard Gentzen, 1934/5. Untersuchungen uber das logische Schließen (englische Übersetzung Untersuchungen des Logischen Abzugs in Szabo)
• Alex Simpson, 1993. Die Probetheorie und Semantik der Intuitionistic Modalen Logik. Doktorarbeit, Universität Edinburghs.
• Phiniki Stouppa, 2004. Das Design von Modalen Probetheorien: Der Fall von S5. MSc These, Universität Dresdens.

Lehrbücher, Überblicke und co

• Jon Barwise und John Etchemendy, 2000. Sprachbeweis und Logik. CSLI (Universität der Chikagoer Presse) und New York: Sieben Brücke-Presse. Eine sanfte Einführung in die Logik der ersten Ordnung über den natürlichen Abzug, durch zwei erstklassige Logiker.
• Der Tutorenkurs von Jean Gallier auf der Konstruktiven Logik und den Getippten Lambda-Rechnungen,

ftp://ftp.cis.upenn.edu/pub/papers/gallier/conslog1.ps.

• Übersetzt und mit Anhängen von Paul Taylor und Yves Lafont.

• Vortrag bemerkt zu einem kurzen Kurs an Università degli Studi di Siena, April 1983.

Links

• Clemente, Daniel, "Einführung in den natürlichen Abzug."
• Domino Auf Säure. Natürlicher als ein Spiel von Dominos vergegenwärtigter Abzug.
• Pelletier, Jeff, "Eine Geschichte des natürlichen Abzugs und der elementaren Logiklehrbücher."
• Erhebung, Michel, ein Satzprover.