Ein mathematisches Modell ist eine Beschreibung eines Systems mit mathematischen Konzepten und Sprache. Der Prozess, ein mathematisches Modell zu entwickeln, wird das mathematische Modellieren genannt. Mathematische Modelle werden nicht nur in den Naturwissenschaften (wie Physik, Biologie, Erdwissenschaft, Meteorologie) und Technikdisziplinen (z.B Informatik, künstliche Intelligenz), sondern auch in den Sozialwissenschaften (wie Volkswirtschaft, Psychologie, Soziologie und Staatswissenschaft) verwendet; Physiker, Ingenieure, Statistiker, Operationsforschungsanalytiker und Wirtschaftswissenschaftler verwenden mathematische Modelle am umfassendesten. Ein Modell kann helfen, ein System zu erklären und die Effekten von verschiedenen Bestandteilen zu studieren, und Vorhersagen über das Verhalten zu machen.

Mathematische Modelle können viele Formen, einschließlich, aber nicht beschränkt auf dynamische Systeme, statistische Modelle, Differenzialgleichungen oder Spiel theoretische Modelle annehmen. Diese und anderen Typen von Modellen können mit einem gegebenen Modell überlappen, das eine Vielfalt von abstrakten Strukturen einschließt. Im Allgemeinen können mathematische Modelle logische Modelle einschließen, so weit Logik als ein Teil der Mathematik genommen wird. In vielen Fällen hängt die Qualität eines wissenschaftlichen Feldes ab, wie gut die mathematischen auf der theoretischen Seite entwickelten Modelle mit Ergebnissen von Repeatable-Experimenten übereinstimmen. Fehlen Sie der Abmachung zwischen theoretischen mathematischen Modellen, und experimentelle Maße führt häufig zu wichtigen Fortschritten, weil bessere Theorien entwickelt werden.

Beispiele von mathematischen Modellen

• Viele tägliche ohne einen Gedanken ausgeführte Tätigkeiten sind Gebrauch von mathematischen Modellen. Ein geografischer Karte-Vorsprung eines Gebiets der Erde auf eine kleine, Flugzeug-Oberfläche ist ein Modell, das zu vielen Zwecken wie Planung des Reisens verwendet werden kann.
• Eine andere einfache Tätigkeit sagt die Position eines Fahrzeugs von seiner anfänglichen Position, Richtung und Geschwindigkeit des Reisens mit der Gleichung voraus, dass Entfernung gereist ist, ist das Produkt der Zeit und Geschwindigkeit. Das ist als Koppeln, wenn verwendet, mehr formell bekannt. Das mathematische Modellieren verlangt auf diese Weise formelle Mathematik nicht notwendigerweise; wie man gezeigt hat, haben Tiere Koppeln verwendet.
• Bevölkerungswachstum. Ein einfacher (obwohl ungefähr) Modell des Bevölkerungswachstums ist das Malthuswachstumsmodell. Ein ein bisschen realistischeres und größtenteils verwendetes Bevölkerungswachstumsmodell ist die logistische Funktion und seine Erweiterungen.
• Modell einer Partikel in einem potenziellen Feld. In diesem Modell betrachten wir eine Partikel als seiend ein Punkt der Masse, die eine Schussbahn im Raum beschreibt, der durch eine Funktion modelliert wird, die seine Koordinaten im Raum als eine Funktion der Zeit gibt. Das potenzielle Feld wird durch eine Funktion V gegeben: R  R und die Schussbahn ist eine Lösung der Differenzialgleichung

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:Note dieses Modell nimmt die Partikel an, ist eine Punkt-Masse, die, wie man sicher bekannt, in vielen Fällen falsch ist, in denen wir dieses Modell verwenden; zum Beispiel, als ein Modell der planetarischen Bewegung.

• Modell des vernünftigen Verhaltens für einen Verbraucher. In diesem Modell nehmen wir an, dass ein Verbraucher liegt, hat eine Wahl von n Waren 1,2..., n jeder mit einem Marktpreis p, p..., p etikettiert. Wie man annimmt, hat der Verbraucher eine grundsätzliche Dienstprogramm-Funktion U (Kardinal im Sinn, dass sie numerische Werte Dienstprogrammen zuteilt), abhängig von den Beträgen von Waren x, x..., x verbraucht. Das Modell nimmt weiter an, dass der Verbraucher ein Budget M hat, die verwendet wird, um einen Vektoren x, x..., x auf solche Art und Weise zu kaufen, um U (x, x..., x) zu maximieren. Das Problem des vernünftigen Verhaltens in diesem Modell wird dann ein Optimierungsproblem, das ist:

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:: Thema:

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: Dieses Modell ist in der allgemeinen Gleichgewicht-Theorie verwendet worden, um besonders Existenz und Leistungsfähigkeit von Pareto des Wirtschaftsgleichgewichts zu zeigen. Jedoch ist die Tatsache, dass diese besondere Formulierung numerische Werte Niveaus der Befriedigung zuteilt, die Quelle der Kritik (und verspotten Sie sogar). Jedoch ist es nicht eine wesentliche Zutat der Theorie, und wieder ist das eine Idealisierung.

• Nachbarfühlendes Modell erklärt die Pilzbildung vom am Anfang chaotischen Pilznetz.
• Informatik: Modelle in Computernetzen, Datenmodelle, erscheinen Modell...
• Mechanik: Bewegung des Rakete-Modells...

Das Modellieren verlangt das Auswählen und Identifizieren relevanter Aspekte einer Situation in der echten Welt.

Einige Anwendungen

Seit prähistorischen Zeiten sind einfache Modelle wie Karten verwendet worden.

Häufig, wenn Ingenieure ein System analysieren, das zu kontrollieren oder zu optimieren ist, verwenden sie ein mathematisches Modell. In der Analyse können Ingenieure ein beschreibendes Modell des Systems als eine Hypothese dessen bauen, wie das System arbeiten oder versuchen konnte zu schätzen, wie ein unerwartetes Ereignis das System betreffen konnte. Ähnlich in der Kontrolle eines Systems können Ingenieure Probevorführung verschiedene Kontrollannäherungen in Simulationen.

Ein mathematisches Modell beschreibt gewöhnlich ein System durch eine Reihe von Variablen und eine Reihe von Gleichungen, die Beziehungen zwischen den Variablen herstellen.

Variablen können von vielen Typen sein; echt oder Zahlen der ganzen Zahl, boolean Werte oder Schnuren, zum Beispiel.

Die Variablen vertreten einige Eigenschaften des Systems, zum Beispiel, gemessene Systemproduktionen häufig in der Form von Signalen, Daten, Schalter und Ereignis-Ereignis (ja/no) zeitlich festlegend.

Das wirkliche Modell ist der Satz von Funktionen, die die Beziehungen zwischen den verschiedenen Variablen beschreiben.

Bausteine

Es gibt sechs grundlegende Gruppen von Variablen nämlich: Entscheidungsvariablen, Eingangsvariablen, Zustandsgrößen, exogenous Variablen, zufällige Variablen und Produktionsvariablen. Da es viele Variablen jedes Typs geben kann, werden die Variablen allgemein durch Vektoren vertreten.

Entscheidungsvariablen sind manchmal als unabhängige Variablen bekannt. Variablen von Exogenous sind manchmal als Rahmen oder Konstanten bekannt.

Die Variablen sind von einander ziemlich abhängig, wie die Zustandsgrößen von der Entscheidung, dem Eingang, den zufälligen und exogenous Variablen abhängig sind. Außerdem sind die Produktionsvariablen vom Staat des Systems (vertreten durch die Zustandsgrößen) abhängig.

Ziele und Einschränkungen des Systems und seiner Benutzer können als Funktionen der Produktionsvariablen oder Zustandsgrößen vertreten werden. Die objektiven Funktionen werden von der Perspektive des Benutzers des Modells abhängen. Abhängig vom Zusammenhang ist eine objektive Funktion auch bekannt als ein Index der Leistung, wie es ein Maß von Interesse dem Benutzer ist. Obwohl es keine Grenze zur Zahl von objektiven Funktionen und Einschränkungen gibt, die ein Modell haben kann, werden das Verwenden oder das Optimieren des Modells beteiligter (rechenbetont), als die Zahl zunimmt.

Das Klassifizieren mathematischer Modelle

Viele mathematische Modelle können auf einige der folgenden Weisen klassifiziert werden:

1. Geradlinig gegen den nichtlinearen: Mathematische Modelle werden gewöhnlich durch Variablen zusammengesetzt, die Abstraktionen von Mengen von Interesse in den beschriebenen Systemen und Maschinenbediener sind, die diesen Variablen folgen, die algebraische Maschinenbediener, Funktionen, Differenzialoperatoren usw. sein können. Wenn alle Maschinenbediener in einer mathematischen Musterausstellungsstück-Linearität, das resultierende mathematische Modell als geradlinig definiert wird. Wie man betrachtet, ist ein Modell sonst nichtlinear. Die Frage der Linearität und Nichtlinearität ist vom Zusammenhang abhängig, und geradlinige Modelle können nichtlineare Ausdrücke in ihnen haben. Zum Beispiel, in einem statistischen geradlinigen Modell, wird es angenommen, dass eine Beziehung in den Rahmen geradlinig ist, aber es kann in den Prophet-Variablen nichtlinear sein. Ähnlich, wie man sagt, ist eine Differenzialgleichung geradlinig, wenn sie mit geradlinigen Differenzialoperatoren geschrieben werden kann, aber sie kann noch nichtlineare Ausdrücke darin haben. In einem mathematischen Programmiermodell, wenn die objektiven Funktionen und Einschränkungen völlig durch geradlinige Gleichungen vertreten werden, dann wird das Modell als ein geradliniges Modell betrachtet. Wenn ein oder mehr von den objektiven Funktionen oder Einschränkungen mit einer nichtlinearen Gleichung vertreten werden, dann ist das Modell als ein nichtlineares Modell bekannt. Nichtlinearität, sogar in ziemlich einfachen Systemen, wird häufig mit Phänomenen wie Verwirrung und Nichtumkehrbarkeit vereinigt. Obwohl es Ausnahmen gibt, neigen nichtlineare Systeme und Modelle dazu, schwieriger zu sein, zu studieren als geradlinige. Eine einheitliche Methode zu nichtlinearen Problemen ist linearization, aber das kann problematisch sein, wenn man versucht, Aspekte wie Nichtumkehrbarkeit zu studieren, die an die Nichtlinearität stark gebunden werden.
2. Deterministisch gegen (stochastischen) probabilistic: Ein deterministisches Modell ist dasjenige, in dem jeder Satz von variablen Staaten durch Rahmen im Modell und durch Sätze von vorherigen Staaten dieser Variablen einzigartig bestimmt wird. Deshalb führen deterministische Modelle denselben Weg für einen gegebenen Satz von anfänglichen Bedingungen durch. Umgekehrt, in einem stochastischen Modell, ist Zufälligkeit da, und variable Staaten werden durch einzigartige Werte, aber eher durch den Wahrscheinlichkeitsvertrieb nicht beschrieben.
3. Statisch gegen den dynamischen: Ein statisches Modell ist für das Element der Zeit nicht verantwortlich, während ein dynamisches Modell tut. Dynamische Modelle werden normalerweise mit Unterschied-Gleichungen oder Differenzialgleichungen vertreten.
4. Getrennt dagegen. Dauernd: Ein getrenntes Modell zieht die Funktion der Zeit nicht in Betracht und verwendet gewöhnlich Zeitfortschritt-Methoden, während ein Dauerndes Modell tut. Dauernde Modelle werden normalerweise mit f (t) vertreten, und die Änderungen werden über dauernde Zeitabstände widerspiegelt.
5. Deduktiv, induktiv, oder das Schwimmen: Ein deduktives Modell ist eine logische auf einer Theorie gestützte Struktur. Ein induktives Modell entsteht aus empirischen Ergebnissen und Generalisation von ihnen. Das Schwimmmodell ruht weder auf Theorie noch auf Beobachtung, aber ist bloß die Beschwörung der erwarteten Struktur. Die Anwendung der Mathematik in Sozialwissenschaften außerhalb der Volkswirtschaft ist für grundlose Modelle kritisiert worden. Die Anwendung der Katastrophe-Theorie in der Wissenschaft ist als ein Schwimmmodell charakterisiert worden.

A priori Information

Mathematische modellierende Probleme werden häufig eingeteilt in den schwarzen Kasten oder die weißen Kasten-Modelle, gemäß verwendet, wie viel a priori Information vom System verfügbar ist. Ein Modell des schwarzen Kastens ist ein System, dessen es keine a priori verfügbare Information gibt. Ein Modell des weißen Kastens (auch genannt Glaskasten oder klaren Kasten) ist ein System, wo die ganze notwendige Information verfügbar ist. Praktisch sind alle Systeme irgendwo zwischen den Modellen des schwarzen Kastens und weißen Kastens, so ist dieses Konzept nur als ein intuitiver Führer nützlich, um der Annäherung zu entscheiden, zu nehmen.

Gewöhnlich ist es vorzuziehend, so viel a priori Information wie möglich zu verwenden, um das Modell genauer zu machen. Deshalb werden die Modelle des weißen Kastens gewöhnlich leichter betrachtet, weil, wenn Sie die Information richtig dann verwendet haben, sich das Modell richtig benehmen wird. Häufig kommt die a priori Information in Formen, den Typ von Funktionen zu wissen, die verschiedene Variablen verbinden. Zum Beispiel, wenn wir ein Modell dessen machen, wie eine Medizin in einem menschlichen System arbeitet, wissen wir, dass gewöhnlich der Betrag der Medizin im Blut eine exponential verfallende Funktion ist. Aber wir werden noch mit mehreren unbekannten Rahmen verlassen; wie schnell beläuft sich die Medizin Zerfall, und wie ist der anfängliche Betrag der Medizin im Blut? Dieses Beispiel ist deshalb nicht völlig Modell des weißen Kastens. Diese Rahmen müssen durch einige Mittel geschätzt werden, bevor man das Modell verwenden kann.

In Modellen des schwarzen Kastens versucht man, sowohl die funktionelle Form von Beziehungen zwischen Variablen als auch die numerischen Rahmen in jenen Funktionen zu schätzen. Das Verwenden der a priori Information wir konnten zum Beispiel mit einer Reihe von Funktionen enden, die wahrscheinlich das System entsprechend beschreiben konnten. Wenn es keine a priori Information gibt, würden wir versuchen, Funktionen so allgemein zu verwenden, wie möglich, um alle verschiedenen Modelle zu bedecken. Eine häufig verwendete Annäherung für Modelle des schwarzen Kastens ist Nervennetze, die gewöhnlich Annahmen über eingehende Daten nicht machen. Das Problem mit dem Verwenden eines großen Satzes von Funktionen, ein System zu beschreiben, besteht darin, dass das Schätzen der Rahmen immer schwieriger wird, wenn der Betrag von Rahmen (und verschiedene Typen von Funktionen) zunimmt.

Subjektive Information

Manchmal ist es nützlich, subjektive Information in ein mathematisches Modell zu vereinigen. Das kann gestützt auf der Intuition, der Erfahrung oder dem Sachverständigengutachten getan werden, oder hat auf der Bequemlichkeit der mathematischen Form gestützt. Statistik von Bayesian stellt ein theoretisches Fachwerk zur Verfügung, um solche Subjektivität in eine strenge Analyse zu vereinigen: Man gibt einen vorherigen Wahrscheinlichkeitsvertrieb an (der subjektiv sein kann) und dann diesen auf empirischen Daten gestützten Vertrieb aktualisiert. Ein Beispiel dessen, wenn solche Annäherung notwendig sein würde, ist eine Situation, in der ein Experimentator eine Münze ein bisschen biegt und sie einmal wirft, registrierend, ob sie Köpfe heraufkommt, und dann die Aufgabe gegeben wird, die Wahrscheinlichkeit vorauszusagen, dass der folgende Flip Köpfe heraufkommt. Nach dem Verbiegen der Münze ist die wahre Wahrscheinlichkeit, dass die Münze Köpfe heraufkommen wird, unbekannt, so würde der Experimentator eine willkürliche Entscheidung (vielleicht treffen müssen, indem er auf die Gestalt der Münze schaut) worüber vorheriger Vertrieb zu verwenden. Die Integration der subjektiven Information ist in diesem Fall notwendig, um eine genaue Vorhersage der Wahrscheinlichkeit zu bekommen, da sonst man 1 oder 0 als die Wahrscheinlichkeit des folgenden Flips schätzen würde, der Köpfe ist, die sich fast sicher irren würden.

Kompliziertheit

Im Allgemeinen schließt Musterkompliziertheit einen Umtausch zwischen Einfachheit und Genauigkeit des Modells ein. Das Rasiermesser von Occam ist ein für das Modellieren besonders wichtiger Grundsatz; die wesentliche Idee, die das unter Modellen mit grob der gleichen prophetischen Macht ist, die einfachste ist am wünschenswertesten. Während zusätzliche Kompliziertheit gewöhnlich den Realismus eines Modells verbessert, kann es das Modell schwierig machen, zu verstehen und zu analysieren, und kann auch rechenbetonte Probleme einschließlich der numerischen Instabilität aufwerfen. Thomas Kuhn behauptet, dass weil Wissenschaft fortschreitet, neigen Erklärungen dazu, komplizierter zu werden, bevor eine Paradigma-Verschiebung radikale Vereinfachung anbietet.

Zum Beispiel, als wir den Flug eines Flugzeuges modelliert haben, konnten wir jeden mechanischen Teil des Flugzeuges in unser Modell einbetten und würden so fast Modell des weißen Kastens des Systems erwerben. Jedoch würden die rechenbetonten Kosten, solch einen riesigen Betrag des Details hinzuzufügen, den Gebrauch solch eines Modells effektiv hemmen. Zusätzlich würde die Unklarheit wegen eines allzu komplizierten Systems zunehmen, weil jeder getrennte Teil einen Betrag der Abweichung ins Modell veranlasst. Es ist deshalb gewöhnlich passend, einige Annäherungen zu machen, um das Modell auf eine vernünftige Größe zu reduzieren. Ingenieure können häufig einige Annäherungen akzeptieren, um ein robusteres und einfaches Modell zu bekommen. Zum Beispiel ist die klassische Mechanik des Newtons ein näher gekommenes Modell der echten Welt. Und doch, das Modell des Newtons ist für die meisten Situationen des gewöhnlichen Lebens, d. h. ziemlich genügend, so lange Partikel-Geschwindigkeiten ganz unter der Geschwindigkeit des Lichtes sind, und wir Makropartikeln nur studieren.

Ausbildung

Jedes Modell, das nicht reiner weißer Kasten ist, enthält einige Rahmen, die verwendet werden können, um das Modell an das System zu passen, das es beabsichtigt ist, um zu beschreiben. Wenn das Modellieren durch ein Nervennetz getan wird, wird die Optimierung von Rahmen Ausbildung genannt. Im herkömmlicheren Modellieren durch ausführlich gegebene mathematische Funktionen werden Rahmen durch die Kurve-Anprobe bestimmt.

Mustereinschätzung

Ein entscheidender Teil des Modellieren-Prozesses ist die Einschätzung dessen, ob ein gegebenes mathematisches Modell ein System genau beschreibt. Diese Frage kann schwierig sein zu antworten, weil sie mehrere verschiedene Typen der Einschätzung einschließt.

Passend zu empirischen Daten

Gewöhnlich überprüft der leichteste Teil der Mustereinschätzung, ob ein Modell experimentelle Maße oder andere empirische Daten passt. In Modellen mit Rahmen soll eine einheitliche Methode, um zu prüfen, den das passt, die Daten in zwei zusammenhanglose Teilmengen spalten: Lehrdaten und Überprüfungsdaten. Die Lehrdaten werden verwendet, um die Musterrahmen zu schätzen. Ein genaues Modell wird die Überprüfungsdaten nah vergleichen, wenn auch diese Daten nicht verwendet wurden, um die Parameter des Modells aufzustellen. Diese Praxis wird Quer-Gültigkeitserklärung in der Statistik genannt.

Das Definieren eines metrischen, um Entfernungen zwischen beobachteten und vorausgesagten Daten zu messen, ist ein nützliches Werkzeug, passendes Modell zu bewerten. In der Statistik, Entscheidungstheorie und einigen Wirtschaftsmodellen, spielt eine Verlust-Funktion eine ähnliche Rolle.

Während es ziemlich aufrichtig ist, um die Schicklichkeit von Rahmen zu prüfen, kann es schwieriger sein, die Gültigkeit der allgemeinen mathematischen Form eines Modells zu prüfen. Im Allgemeinen sind mehr mathematische Werkzeuge entwickelt worden, um die passenden von statistischen Modellen zu prüfen, als Modelle, die Differenzialgleichungen einschließen. Werkzeuge von der nichtparametrischen Statistik können manchmal verwendet werden, um zu bewerten, wie gut die Daten einen bekannten Vertrieb passen oder ein allgemeines Modell zu präsentieren, das nur minimale Annahmen über die mathematische Form des Modells macht.

Spielraum des Modells

Das Festsetzen des Spielraums eines Modells, d. h. die Bestimmung, worauf Situationen das Modell anwendbar sind, können weniger aufrichtig sein. Wenn das Modell gestützt auf einer Reihe von Daten gebaut wurde, muss man bestimmen, für die Systeme oder Situationen die bekannten Daten ein "typischer" Satz von Daten ist.

Die Frage dessen, ob das Modell gut die Eigenschaften des Systems zwischen Datenpunkten beschreibt, wird Interpolation genannt, und dieselbe Frage für Ereignisse oder Datenpunkte außerhalb der beobachteten Daten wird Extrapolation genannt.

Als ein Beispiel der typischen Beschränkungen des Spielraums eines Modells, im Auswerten Newtonischer klassischer Mechanik, können wir bemerken, dass Newton seine Maße ohne fortgeschrittene Ausrüstung gemacht hat, so konnte er nicht Eigenschaften von Partikeln messen, die mit Geschwindigkeiten in der Nähe von der Geschwindigkeit des Lichtes reisen. Ebenfalls hat er die Bewegungen von Molekülen und anderen kleinen Partikeln, aber Makropartikeln nur nicht gemessen. Es ist dann nicht überraschend, dass sein Modell gut in diese Gebiete nicht extrapoliert, wenn auch sein Modell für die gewöhnliche Lebensphysik ziemlich genügend ist.

Philosophische Rücksichten

Viele Typen des Modellierens schließen implizit Ansprüche über die Kausalität ein. Das ist gewöhnlich (aber nicht immer) wahr von Modellen, die Differenzialgleichungen einschließen. Da der Zweck zu modellieren ist, unser Verstehen der Welt zu vergrößern, ruht sich die Gültigkeit eines Modells nicht nur auf seinem passenden zu empirischen Beobachtungen, sondern auch auf seiner Fähigkeit aus, zu Situationen oder Daten außer denjenigen zu extrapolieren, die ursprünglich im Modell beschrieben sind. Man kann behaupten, dass ein Modell wertlos ist, wenn es einen Einblick nicht gewährt, der übertrifft, was bereits von der direkten Untersuchung des Phänomenes bekannt ist, das wird studiert.

Ein Beispiel solcher Kritik ist das Argument, dass die mathematischen Modelle der Optimalen foraging Theorie Scharfsinnigkeit nicht anbieten, die die Beschlüsse des gesunden Menschenverstands der Evolution und anderen Kernprinzipien der Ökologie übertrifft.

Siehe auch

• Agent-basiertes Modell
• Lebensbegeisterte Computerwissenschaft hat Biologisch Computerwissenschaft begeistert
• Cliodynamics
• Computersimulation
• Begriffsmodell
• Entscheidungstechnik
• Liste der Computersimulierungssoftware
• Mathematische Biologie
• Mathematisches Diagramm
• Mathematische Modelle in der Physik
• Mathematische Psychologie
• Mathematische Soziologie

Weiterführende Literatur

Bücher

• Aris, Rutherford [1978] (1994). Mathematische modellierende Techniken, New York: Dover. Internationale Standardbuchnummer 0-486-68131-9
• Sauferei, E.A. [1978] (2000). Eine Einführung ins Mathematische Modellieren, New York: Dover. Internationale Standardbuchnummer 0 486 41180 X
• Lin, C.C. & Segel, L.A. (1988). Mathematik, die zu Deterministischen Problemen in den Naturwissenschaften, Philadelphia angewandt ist: SIAM. Internationale Standardbuchnummer 0-89871-229-7
• Gershenfeld, N. (1998) Die Natur des Mathematischen Modellierens, Universität von Cambridge internationale Pressestandardbuchnummer 0521570956.
• Yang, X.-S. (2008) das Mathematische Modellieren für Erdwissenschaften, Dunedin Akademisch, internationale Standardbuchnummer 1903765927.

Spezifische Anwendungen

• Peierls, Rudolf (Januar 1980) Musterbilden in der Physik, Zeitgenössischem Physik-Band 21 (1): 3-17.
• Korotayev A., Malkov A., Khaltourina D. (2006). Einführung in die Soziale Makrodynamik: Kompaktmakromodelle des Weltsystemwachstums. Moskau: URSS Redaktionelle internationale Standardbuchnummer 5-484-00414-4.

Links

Allgemeines Nachschlagewerk

• McLaughlin, Michael P. (1999)
• Patrone, F. Einführung ins Modellieren über Differenzialgleichungen, mit kritischen Bemerkungen.
• Plus der Lehrer und das Studentenpaket: Das Mathematische Modellieren. Bringt alle Artikel über das mathematische Modellieren von Plus, die Online-Mathematik-Zeitschrift zusammen, die durch das Millennium-Mathematik-Projekt an der Universität des Cambridges erzeugt ist.

Philosophischer Hintergrund

• Frigg, R. und S. Hartmann, Modelle in der Wissenschaft, in: Die Enzyklopädie von Stanford der Philosophie, (Ausgabe des Frühlings 2006)
• Griffiths, E. C. (2010) Was ist ein Modell?