In der Mathematik ist ein befohlenes Paar (a, b) ein Paar von mathematischen Gegenständen. Im befohlenen Paar (a, b), der Gegenstand zu sein, hat den ersten Zugang und den Gegenstand b der zweite Zugang des Paares genannt. Wechselweise werden die Gegenstände die ersten und zweiten Koordinaten, oder den verlassenen und die richtigen Vorsprünge des befohlenen Paares genannt. Die Ordnung, in der die Gegenstände im Paar erscheinen, ist bedeutend: Das befohlene Paar (a, b) ist vom befohlenen Paar (b, a) wenn = b verschieden.

Befohlene Paare werden auch 2-dimensionale 2-Tupel-Vektoren oder Folgen der Länge 2 genannt. Die Einträge eines befohlenen Paares können andere befohlene Paare sein, die rekursive Definition von bestellten N-Tupeln (geordnete Listen von N-Gegenständen) ermöglichend. Zum Beispiel kann das bestellte dreifache (a, b, c) als (a, (b, c)) definiert werden, d. h., weil ein Paar in einem anderen genistet hat.

Kartesianische Produkte und binäre Beziehungen (und folglich die allgegenwärtigen Funktionen) werden in Bezug auf befohlene Paare definiert.

Allgemeinheiten

Lassen Sie und seien Sie befohlene Paare. Dann ist die Eigenschaft (oder definierend) Eigentum des befohlenen Paares:

:

Der Satz aller befohlenen Paare, deren erster Zugang in einem Satz X ist, und dessen zweiter Zugang in einem Satz Y ist, wird das Kartesianische Produkt X und Y genannt, und X×Y geschrieben. Eine binäre Beziehung zwischen Sätzen X und Y ist eine Teilmenge

X×Y.

Wenn man die Notation zu einem verschiedenen Zweck verwenden möchte (wie Bezeichnung offener Zwischenräume auf der Linie der reellen Zahl), kann das befohlene Paar durch die verschiedene Notation angezeigt werden

Das Definieren des befohlenen Paares, das Mengenlehre verwendet

Das obengenannte charakteristische Eigentum von befohlenen Paaren ist alles, was erforderlich ist, die Rolle von befohlenen Paaren in der Mathematik zu verstehen. Folglich kann das befohlene Paar als ein primitiver Begriff genommen werden, dessen verbundenes Axiom das charakteristische Eigentum ist. Das war die Annäherung, die von der Gruppe von N. Bourbaki in seiner Theorie von Sätzen genommen ist, veröffentlicht 1954, lange nachdem Kuratowski seine Verminderung (unten) entdeckt hat. Die Definition von Kuratowski wurde in der zweiten Ausgabe der Theorie von Sätzen, veröffentlicht 1970 hinzugefügt.

Wenn man zugibt, dass Mengenlehre ein ansprechendes Fundament der Mathematik ist, dann müssen alle mathematischen Gegenstände als Sätze von einer Sorte definiert werden. Folglich, wenn das befohlene Paar als primitiv nicht genommen wird, muss es als ein Satz definiert werden. Mehrere mit dem Satz theoretische Definitionen des befohlenen Paares werden unten gegeben.

Die Definition von Wiener

Norbert Wiener hat den ersten Satz theoretische Definition des befohlenen Paares 1914 vorgeschlagen:

:

\left\{\\left\{\left\{a\right\}, \, \emptyset \right\}, \, \left\{\\left\{b\right\}\\right\}\\right\}. </Mathematik>

Er hat bemerkt, dass diese Definition es möglich gemacht hat, die Typen von Principia Mathematica als Sätze zu definieren. Principia Mathematica hatte Typen, und folglich Beziehungen des ganzen arities, als primitiv genommen.

Wiener verwendet

Die Definition von Hausdorff

Über dieselbe Zeit wie Wiener (1914) hat Felix Hausdorff seine Definition vorgeschlagen:

:

"wo 1 und 2 zwei verschiedene Gegenstände sind, die von a und b verschieden sind".

Definition von Kuratowski

1921 hat Kuratowski die jetzt akzeptierte Definition des befohlenen Paares (a, b) angeboten:

:

Bemerken Sie, dass diese Definition verwendet wird, selbst wenn das erste und die zweiten Koordinaten identisch sind:

:

In Anbetracht eines befohlenen Paares p ist das Eigentum "x die erste Koordinate von p" kann als formuliert werden:

:

Das Eigentum "x ist die zweite Koordinate von p" kann als formuliert werden:

:

Im Fall, dass der verlassene und die richtigen Koordinaten identisch sind, ist das verbundene Recht trivial wahr, seitdem Y  ist Y nie der Fall.

Das ist, wie wir die erste Koordinate eines Paares herausziehen können (die Notation für die willkürliche Kreuzung und willkürliche Vereinigung verwendend):

:

Das ist, wie die zweite Koordinate herausgezogen werden kann:

:

Varianten

Die obengenannte Definition von Kuratowski des befohlenen Paares ist darin "entsprechend" es befriedigt das charakteristische Eigentum, dass ein befohlenes Paar, nämlich das befriedigen muss. Es gibt andere Definitionen der ähnlichen oder kleineren Kompliziertheit, die ebenso entsprechend sind:

Rückseite ist bloß eine triviale Variante der Definition von Kuratowski, und weil solcher von keinem weiteren Interesse ist. kurz ist so genannt, weil man zwei aber nicht drei Paare von geschweiften Klammern verlangt. Beweis, der kurz das charakteristische Eigentum befriedigt, verlangt das Zermelo-Fraenkel Mengenlehre-Axiom der Regelmäßigkeit Außerdem, wenn man den mit dem Standardsatz theoretischen Aufbau der natürlichen Zahlen akzeptiert, dann 2 wird als der Satz {0, 1} = {0, {0}} definiert, der vom Paar (0, 0) nicht zu unterscheidend ist. Und doch ist ein anderer Nachteil des kurzen Paares die Tatsache, dass, selbst wenn a und b desselben Typs sind, die Elemente des kurzen Paares nicht sind.

Beweis, dass Definitionen das charakteristische Eigentum befriedigen

Erweisen Sie sich: (a, b) = (c, d) wenn und nur wenn = c und b = d.

Kuratowski: </br>

Wenn. Wenn = c und b = d, dann =. So (a, b) = (c, d).

Nur wenn. Zwei Fälle: = b, und ein  b.

Wenn = b:

: (a, b) = = =

: (c, d) = =

:Thus {c} = {c, d} =, der = c und = d einbezieht. Durch die Hypothese, = b. Folglich b = d.

Wenn ein  b, dann (a, b) = (c, d) bezieht = ein.

:Suppose {c, d} =. Dann c = d = a, und so = = =

:Suppose {c} = {a, b}. Dann = b = c, der auch &ne widerspricht; b.

:Therefore {c} =, so dass c = a und {c, d} = {a, b}.

:If d = wahr, dann {c, d} = {a,} = &ne zu sein; {a, b}, ein Widerspruch. So d = ist b, so dass = c und b = d der Fall.

Rückseite: </br>

(a, b) = = = (b, a).

Wenn. Wenn (a, b) = (c, d),

(b, a) = (d, c). Deshalb b = d und = c.

Nur wenn. Wenn = c und b = d, dann =.

So (a, b) = (c, d).

Kurz:

Wenn: Offensichtlich.

Nur wenn: Denken Sie {a, {a, b}} = {c, {c, d}}.

Dann in der linken Seite, und so in der rechten Seite zu sein.

Weil gleiche Sätze gleiche Elemente haben, muss einer = c oder = {c, d} der Fall sein.

:If = {c, d}, dann durch das ähnliche Denken als oben, {a, b} ist in der rechten Seite, so {a, b} = c oder {a, b} = {c, d}.

:: Wenn {a b} = c dann c in {c, d} = a ist und in c zu sein, und diese Kombination dem Axiom der Regelmäßigkeit widerspricht, weil {a, c} kein minimales Element unter der Beziehung "Element dessen hat."

:: Wenn {a, b} = {c, d}, dann eines Elements von a, von = {c, d} = {a, b} zu sein, wieder Regelmäßigkeit widersprechend.

:Hence = c muss halten.

Wieder sehen wir dass {a, b} = c oder {a, b} = {c, d}.

:The-Auswahl {a, b} = c und = c deutet an, dass c ein Element von c ist, Regelmäßigkeit widersprechend.

:So haben wir = c und {a, b} = {c, d}, und so: {b} = {a, b} \= {c, d} \{c} = {d}, so b = d.

Quine-Rosser Definition

Rosser (1953) hat eine Definition des befohlenen Paares, wegen Quine und des Verlangens einer vorherigen Definition der natürlichen Zahlen verwendet. Lassen Sie, der Satz von natürlichen Zahlen zu sein, und zu definieren

:

Die Verwendung dieser Funktion erhöht einfach jede natürliche Zahl in x. Insbesondere enthält die Nummer 0, so dass für irgendwelche Sätze x und y, nicht

:

Definieren Sie das befohlene Paar (A, B) als

:

Das Extrahieren aller Elemente des Paares, die 0 und aufmachende Erträge A nicht enthalten. Ebenfalls kann B von den Elementen des Paares wieder erlangt werden, die wirklich 0 enthalten.

In der Typ-Theorie und in Auswüchsen davon wie die axiomatische Mengenlehre NF hat das Quine-Rosser Paar denselben Typ wie seine Vorsprünge und wird folglich ein "Typ-Niveau" befohlenes Paar genannt. Folglich ist diese Definition im Vorteil, eine Funktion, definiert als eine Reihe von befohlenen Paaren zu ermöglichen, einen Typ nur 1 höher zu haben, als der Typ seiner Argumente. Diese Definition arbeitet nur, wenn der Satz von natürlichen Zahlen unendlich ist. Das ist in NF, aber nicht in der Typ-Theorie oder in NFU der Fall. J. Barkley Rosser hat gezeigt, dass die Existenz solch eines Typ-Niveaus befohlenes Paar (oder sogar eine "Typ-Aufhebung durch 1" befohlenes Paar) das Axiom der Unendlichkeit einbezieht. Für eine umfassende Diskussion des befohlenen Paares im Zusammenhang von Mengenlehren von Quinian, sieh Holmes (1998).

Morsezeichen-Definition

Mengenlehre der Morsezeichen-Kelley (Morsezeichen 1965) macht freien Gebrauch von richtigen Klassen. Morsezeichen haben das befohlene Paar definiert, so dass seine Vorsprünge richtige Klassen sowie Sätze sein konnten. (Die Definition von Kuratowski erlaubt das nicht.) Hat er zuerst befohlene Paare definiert, deren Vorsprünge Sätze auf die Weise von Kuratowski sind. Er hat dann das Paar (x, y) als wiederdefiniert, wo die Kartesianischen Teilprodukte Paare von Kuratowski auf Sätzen sind. Dieser zweite Schritt macht mögliche Paare, deren Vorsprünge richtige Klassen sind. Die Quine-Rosser Definition lässt oben auch richtige Klassen als Vorsprünge zu.

Kategorie-Theorie

Ein mit der Kategorie theoretisches Produkt Ein x B in einer Kategorie von Sätzen vertritt den Satz von befohlenen Paaren mit dem ersten Element, das aus A und die zweite Ankunft aus B kommt. In diesem Zusammenhang ist das charakteristische Eigentum oben eine Folge des universalen Eigentums des Produktes und der Tatsache, dass Elemente eines Satzes X mit morphisms von 1 (ein Element-Satz) zu X identifiziert werden können. Während verschiedene Gegenstände das universale Eigentum haben können, sind sie alle natürlich isomorph.