Herr Michael Francis Atiyah, (geboren am 22. April 1929) ist ein britischer Mathematiker, der in der Geometrie arbeitet.

Atiyah ist im Sudan und Ägypten aufgewachsen, aber hat den grössten Teil seines akademischen Lebens im Vereinigten Königreich an Oxford und Cambridge, und in den Vereinigten Staaten am Institut für die Fortgeschrittene Studie ausgegeben. Er ist Präsident der Königlichen Gesellschaft (1990-1995), Master der Dreieinigkeitsuniversität, Cambridges (1990-1997), des Kanzlers der Universität Leicesters (1995-2005) und des Präsidenten der Königlichen Gesellschaft Edinburghs (2005-2008) gewesen. Er ist zurzeit pensioniert, und ist ein Honorarprofessor an der Universität Edinburghs.

Die mathematischen Mitarbeiter von Atiyah schließen Raoul Bott, Friedrich Hirzebruch und Isadore Singer ein, und seine Studenten schließen Graeme Segal, Nigel Hitchin und Simon Donaldson ein. Zusammen mit Hirzebruch hat er die Fundamente für die topologische K-Theorie, ein wichtiges Werkzeug in der algebraischen Topologie gelegt, die, informell das Sprechen, Wege beschreibt, auf die Räume gedreht werden können. Sein am besten bekanntes Ergebnis, der Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz, wurde mit Singer 1963 bewiesen und wird im Zählen der Zahl von unabhängigen Lösungen von Differenzialgleichungen weit verwendet. Etwas von seiner neueren Arbeit wurde durch die theoretische Physik, in besonderem instantons und Monopolen begeistert, die für einige feine Korrekturen in der Quant-Feldtheorie verantwortlich sind. Ihm wurde dem Feldorden 1966, die Medaille von Copley 1988 und der Preis von Abel 2004 verliehen.

Lebensbeschreibung

Atiyah ist in Hampstead, London, dem libanesischen Schriftsteller Edward Atiyah und Scot Jean Atiyah (née Levens) geboren gewesen. Patrick Atiyah, Professor des Gesetzes, ist sein Bruder; er hat einen anderen Bruder, Joe, und eine Schwester, Selma. Er ist zur Grundschule in der Diözesanschule in Khartoum, der Sudan (1934-1941) und zur Höheren Schule in der Universität von Viktoria in Kairo und Alexandria (1941-1945) gegangen; die Schule wurde auch durch den europäischen Adel besucht, der durch den Zweiten Weltkrieg und einige zukünftige Führer von arabischen Nationen versetzt ist. Er ist zur Grundschule von England und Manchester für seine HSC-Studien (1945-1947) zurückgekehrt und hat seinen nationalen Dienst mit den Königlichen Elektrischen und Mechanischen Ingenieuren (1947-1949) getan. Sein Student und Aufbaustudium haben in der Dreieinigkeitsuniversität, Cambridge (1949-1955) stattgefunden. Er war ein Doktorstudent von William V. D. Hodge und wurde einem Doktorat 1955 für eine These genannt Einige Anwendungen Topologischer Methoden in der Algebraischen Geometrie zuerkannt.

Atiyah hat Lily Brown am 30. Juli 1955 geheiratet, mit der er drei Söhne hat. Er hat das Studienjahr 1955-1956 am Institut für die Fortgeschrittene Studie, Princeton ausgegeben, ist dann zur Universität von Cambridge zurückgekehrt, wo er ein Forschungsmit- und Helfer-Vortragender (1957-1958), dann ein Universitätsvortragender und der Tutorgefährte in der Pembroke Universität (1958-1961) war. 1961 hat er sich zur Universität Oxfords bewegt, wo er ein Leser und der professorale Gefährte in der Universität von St. Katharina (1961-1963) war. Er ist der Savilian Professor der Geometrie und ein professoraler Gefährte der Neuen Universität, Oxford von 1963 bis 1969 geworden. Er hat dann eine dreijährige Professur am Institut für die Fortgeschrittene Studie in Princeton aufgenommen, nach dem er nach Oxford als ein Königlicher Gesellschaftsforschungsprofessor und der professorale Gefährte der Universität von St. Katharina zurückgekehrt ist. Er war Präsident Londons Mathematische Gesellschaft von 1974 bis 1976.

Atiyah ist auf der internationalen Szene, zum Beispiel als Präsident der Pugwash Konferenzen für die Wissenschaft und Weltangelegenheiten von 1997 bis 2002 aktiv gewesen. Er hat auch zum Fundament der Tafel von InterAcademy auf Internationalen Problemen, der Vereinigung von europäischen Akademien (ALLEA) und European Mathematical Society (EMS) beigetragen.

Innerhalb des Vereinigten Königreichs wurde er an der Entwicklung des Instituts von Isaac Newton für Mathematische Wissenschaften in Cambridge beteiligt und war sein erster Direktor (1990-1996). Er war Präsident der Königlichen Gesellschaft (1990-1995), Master der Dreieinigkeitsuniversität, Cambridges (1990-1997), des Kanzlers der Universität Leicesters (1995-2005) und des Präsidenten der Königlichen Gesellschaft Edinburghs (2005-2008). Er ist jetzt pensioniert und ist ein Honorarprofessor an der Universität Edinburghs.

Kollaborationen

Atiyah hat mit vielen anderen Mathematikern zusammengearbeitet. Seine drei Hauptkollaborationen waren mit Raoul Bott auf dem Atiyah-Bott Fixpunktsatz und vielen anderen Themen, mit Isadore M. Singer auf dem Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz, und mit Friedrich Hirzebruch auf der topologischen K-Theorie, von denen alle er sich am Institut für die Fortgeschrittene Studie in Princeton 1955 getroffen hat. Seine anderen Mitarbeiter schließen J. Frank Adams (Problem von Hopf invariant), Jürgen Berndt (projektive Flugzeuge), Roger Bielawski (Problem der Beere-Robbins), Howard Donnelly (L-Funktionen), Vladimir G. Drinfeld (instantons), Johan L. Dupont (Eigenartigkeiten von Vektorfeldern), Lars Gårding (Hyperbeldifferenzialgleichungen), Nigel J. Hitchin (Monopolen), William V. D. Hodge (Integrale der zweiten Art), Michael Hopkins (K-Theorie), Lisa Jeffrey (topologischer Lagrangians), John D. S. Jones (Yang-Mühle-Theorie), Juan Maldacena (M Theorie), Yuri I. Manin (instantons), Nick S. ein. Manton (Skyrmions), Vijay K. Patodi (Geisterhafte Asymmetrie), A. N. Pressley (Konvexität), Elmer Rees (Vektor-Bündel), Wilfried Schmid (getrennte Reihe-Darstellungen), Graeme Segal (equivariant K-Theorie), Alexander Shapiro (Algebra von Clifford), L. Smith (homotopy Gruppen von Bereichen), Paul Sutcliffe (Polyeder), David O. Tall (Lambda-Ringe), John A. Todd (Sammelleitungen von Stiefel), Cumrun Vafa (M Theorie), Richard S. Ward (instantons) und Edward Witten (M Theorie, topologische Quant-Feldtheorien).

Seine spätere Forschung über Maß-Feldtheorien, besonders Yang-Mühle-Theorie, hat wichtige Wechselwirkungen zwischen Geometrie und Physik am meisten namentlich in der Arbeit von Edward Witten stimuliert.

Viele Studenten von Atiyah schließen ein

Peter Braam 1987,

Simon Donaldson 1983,

K. David Elworthy 1967,

Howard Fegan 1977,

Eric Grunwald 1977,

Nigel Hitchin 1972,

Lisa Jeffrey 1991,

Frances Kirwan 1984,

Peter Kronheimer 1986,

Ruth Lawrence 1989,

George Lusztig 1971,

Jack Morava 1968,

Michael Murray 1983,

Peter Newstead 1966,

Ian R. Porteous 1961,

John Roe 1985,

Brian Sanderson 1963,

Rolph Schwarzenberger 1960,

Graeme Segal 1967,

David Tall 1966,

und Graham White 1982.

Andere zeitgenössische Mathematiker, die Atiyah beeinflusst haben, schließen Roger Penrose, Lars Hörmander, Alain Connes und Jean-Michel Bismut ein. Atiyah hat gesagt, dass der Mathematiker er am meisten bewundert war Hermann Weyl, und dass seine Lieblingsmathematiker aus der Zeit vor dem 20. Jahrhundert Bernhard Riemann und William Rowan Hamilton waren.

Mathematische Arbeit

Die sechs Volumina von gesammelten Papieren von Atiyah schließen den grössten Teil seiner Arbeit, abgesehen von seinem Ersatzalgebra-Lehrbuch und einigen seit 2004 geschriebenen Arbeiten ein.

Algebraische Geometrie (1952-1958)

Die frühen Papiere von Atiyah auf der algebraischen Geometrie (und einige allgemeine Papiere) werden im ersten Volumen seiner gesammelten Arbeiten nachgedruckt.

Weil sich ein Student Atiyah für die klassische projektive Geometrie interessiert hat, und sein erstes Papier geschrieben hat: ein kurzes Zeichen auf gedrehtem cubics. Er hat Forschung unter W. V. D. Hodge angefangen und hat den Preis des Schmieds für 1954 für eine mit dem Bündel theoretische Annäherung an geherrschte Oberflächen gewonnen, die Atiyah dazu ermuntert haben, in der Mathematik weiterzumachen, anstatt auf seine anderen Interessen — Architektur und Archäologie umzuschalten.

Seine Doktorarbeit mit Hodge war auf einer mit dem Bündel theoretischen Annäherung an die Theorie von Solomon Lefschetz von Integralen der zweiten Art auf algebraischen Varianten, und ist auf eine Einladung hinausgelaufen, das Institut für die Fortgeschrittene Studie in Princeton seit einem Jahr zu besuchen. Während in Princeton er Vektor-Bündel auf einer elliptischen Kurve klassifiziert hat (die Klassifikation von Grothendieck von Vektor-Bündeln auf einer Klasse 0 Kurve erweiternd), indem er gezeigt hat, dass jedes Vektor-Bündel eine Summe von (im Wesentlichen einzigartigen) unzerlegbaren Vektor-Bündeln ist, und dann zeigend, dass der Raum von unzerlegbaren Vektor-Bündeln des gegebenen Grads und der positiven Dimension mit der elliptischen Kurve identifiziert werden kann. Er hat auch doppelte Punkte auf Oberflächen studiert, das erste Beispiel eines Misserfolgs, eine spezielle birational Transformation von 3 Falten anführend, die später in der Arbeit von Mori an minimalen Modellen für 3 Falten schwer verwendet wurde. Der Misserfolg von Atiyah kann auch verwendet werden, um zu zeigen, dass die universale gekennzeichnete Familie von K3-Oberflächen non-Hausdorff ist.

K Theorie (1959-1974)

Die Arbeiten von Atiyah an der K-Theorie, einschließlich seines Buches auf der K-Theorie werden im Band 2 seiner gesammelten Arbeiten nachgedruckt.

Das einfachste Beispiel eines Vektor-Bündels ist das Band von Möbius (geschildert rechts): Ein Streifen von Papier mit einer Drehung darin, die eine Reihe 1 Vektor-Bündel über einen Kreis (der Kreis in der Frage vertritt, die die Mittelachse des Bandes von Möbius ist). K-Theorie ist ein Werkzeug, um mit höheren dimensionalen Entsprechungen dieses Beispiels, oder mit anderen Worten zu arbeiten, um höher dimensionalen twistings zu beschreiben: Elemente der K-Gruppe eines Raums werden durch Vektor-Bündel darüber vertreten, so vertritt das Band von Möbius ein Element der K-Gruppe eines Kreises.

Topologische K-Theorie wurde von Atiyah und Friedrich Hirzebruch entdeckt, die durch den Beweis von Grothendieck des Grothendieck-Riemann-Roch Lehrsatzes und die Arbeit von Bott am Periodizitätslehrsatz begeistert wurden. Dieses Papier hat nur die zeroth K-Gruppe besprochen; sie, kurz nachdem erweitert, es zu K-Gruppen aller Grade, das erste (nichttriviale) Beispiel einer verallgemeinerten cohomology Theorie anführend.

Mehrere Ergebnisse haben gezeigt, dass die kürzlich eingeführte K-Theorie in mancher Hinsicht stärker war als gewöhnliche cohomology Theorie. Atiyah und Todd haben K-Theorie verwendet, die niedrigeren gefundenen Grenzen mit gewöhnlichem cohomology durch Borel und Serre für die Zahl von James zu verbessern, beschreibend, wenn eine Karte von einer komplizierten Sammelleitung von Stiefel bis einen Bereich eine böse Abteilung hat. (Adams und Bewilligungsspaziergänger haben später gezeigt, dass das bestimmte, das von Atiyah und Todd gefunden ist, bestmöglich war.) haben Atiyah und Hirzebruch K-Theorie verwendet, einige Beziehungen zwischen Operationen von Steenrod und Klassen von Todd zu erklären, die Hirzebruch ein paar Jahre vorher bemerkt hatte. Die ursprüngliche Lösung von Hopf invariant Problem-Operationen durch J. F. Adams war sehr lang und mit sekundären cohomology Operationen kompliziert. Atiyah hat gezeigt, wie primäre Operationen in der K-Theorie verwendet werden konnten, um eine kurze Lösung zu geben, die nur einige Linien, nimmt

und in der gemeinsamen Arbeit mit Adams hat auch Entsprechungen des Ergebnisses an der sonderbaren Blüte bewiesen.

Die Atiyah-Hirzebruch geisterhafte Folge verbindet den gewöhnlichen cohomology eines Raums zu seiner verallgemeinerten cohomology Theorie. (Atiyah und Hirzebruch haben den Fall der K-Theorie, aber ihre Methode-Arbeiten für alle cohomology Theorien verwendet).

Atiyah hat gezeigt, dass für eine begrenzte Gruppe G die K-Theorie seines Klassifizieren-Raums, BG, zur Vollziehung seines Charakter-Rings isomorph ist:

:

Dasselbe Jahr sie haben das Ergebnis für G irgendwelcher kompakt verbunden bewiesen, Liegt Gruppe. Obwohl bald das Ergebnis zu allen erweitert werden konnte, pressen zusammen Liegen Gruppen durch das Verbinden von Ergebnissen von der These von Graeme Segal, diese Erweiterung wurde kompliziert. Jedoch wurde ein einfacherer und allgemeinerer Beweis durch das Einführen equivariant der K-Theorie, d. h. Gleichwertigkeitsklassen von G-Vektor-Bündeln über einen KompaktG-Raum X erzeugt. Es wurde gezeigt, dass unter passenden Bedingungen die Vollziehung der equivariant K-Theorie X zur gewöhnlichen K-Theorie eines Raums, der fibred über BG mit der Faser X isomorph ist:

:

Das ursprüngliche Ergebnis ist dann als eine Folgeerscheinung durch die Einnahme X gefolgt, um ein Punkt zu sein: Die linke Seite ist zur Vollziehung von R (G) und das Recht auf K (BG) abgenommen. Sieh Atiyah-Segal Vollziehungslehrsatz für mehr Details.

Er hat neue verallgemeinerte Homologie definiert, und cohomology Theorien haben bordism und cobordism genannt und haben darauf hingewiesen, dass viele der tiefen Ergebnisse auf cobordism von Sammelleitungen, die von R. Thom, C. T. C. Wall gefunden sind, und andere als Behauptungen über diese cohomology Theorien natürlich wiederinterpretiert werden konnten. Einige dieser cohomology Theorien, im besonderen Komplex cobordism, haben sich erwiesen, einige der stärksten cohomology bekannten Theorien zu sein.

Er hat die J-Gruppe J (X) eines begrenzten Komplexes X, definiert als die Gruppe der stabilen Faser homotopy Gleichwertigkeitsklassen von Bereich-Bündeln vorgestellt; das wurde später im Detail von J. F. Adams in einer Reihe von Papieren studiert, zur Vermutung von Adams führend.

Mit Hirzebruch hat er den Grothendieck-Riemann-Roch Lehrsatz zu kompliziertem analytischem embeddings erweitert, und in einer verwandten Zeitung haben sie gezeigt, dass die Vermutung von Hodge für integrierten cohomology falsch ist. Die Vermutung von Hodge für vernünftigen cohomology, ist bezüglich 2008, eines ungelösten Hauptproblems.

Der Periodizitätslehrsatz von Bott war ein Hauptthema in der Arbeit von Atiyah an der K-Theorie, und er ist wiederholt dazu zurückgekehrt, den Beweis mehrere Male nacharbeitend, um es besser zu verstehen. Mit Bott hat er einen elementaren Beweis ausgearbeitet, und hat eine andere Version davon in seinem Buch gegeben. Mit Bott und Shapiro hat er die Beziehung der Periodizität von Bott zur Periodizität von Algebra von Clifford analysiert; obwohl dieses Papier keinen Beweis des Periodizitätslehrsatzes hatte, wurde ein Beweis entlang ähnlichen Linien kurz später von R. Wood gefunden. In hat ihm einen Beweis von mehreren Generalisationen mit elliptischen Maschinenbedienern gefunden; dieser neue Beweis hat eine Idee verwendet, dass er gepflegt hat, einen besonders kurzen und leichten Beweis des ursprünglichen Periodizitätslehrsatzes von Bott zu geben.

Index-Theorie (1963-1984)

Die Arbeit von Atiyah an der Index-Theorie wird in Bänden 3 und 4 seiner gesammelten Arbeiten nachgedruckt.

Der Index eines Differenzialoperatoren ist nah mit der Zahl von unabhängigen Lösungen verbunden (genauer, es sind die Unterschiede der Zahlen von unabhängigen Lösungen des Differenzialoperatoren und seines adjoint). Es gibt viele harte und grundsätzliche Probleme in der Mathematik, die auf das Problem leicht reduziert werden kann, die Zahl von unabhängigen Lösungen eines Differenzialoperatoren so zu finden, wenn man einige Mittel hat, den Index eines Differenzialoperatoren zu finden, können diese Probleme häufig behoben werden. Das ist, was der Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz tut: Es gibt eine Formel für den Index von bestimmten Differenzialoperatoren in Bezug auf topologische invariants, die ziemlich kompliziert aussehen, aber in der Praxis gewöhnlich aufrichtig sind, um zu rechnen.

Mehrere tiefe Lehrsätze, wie der Hirzebruch-Riemann-Roch Lehrsatz, sind spezielle Fälle des Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatzes. Tatsächlich hat der Index-Lehrsatz ein stärkeres Ergebnis gegeben, weil sein Beweis für alle komplizierten Kompaktsammelleitungen gegolten hat, während der Beweis von Hirzebruch nur für projektive Sammelleitungen gearbeitet hat. Es gab auch viele neue Anwendungen: Ein typischer berechnet die Dimensionen der Modul-Räume von instantons. Der Index-Lehrsatz kann auch "rückwärts" geführt werden: Der Index ist offensichtlich eine ganze Zahl, so muss die Formel dafür auch eine ganze Zahl geben, die manchmal feine integrality Bedingungen auf invariants von Sammelleitungen gibt. Ein typisches Beispiel davon ist der Lehrsatz von Rochlin, der aus dem Index-Lehrsatz folgt.

Das Index-Problem für elliptische Differenzialoperatoren wurde 1959 von Gel'fand aufgeworfen. Er hat den homotopy invariance des Index bemerkt, und hat um eine Formel darum mittels topologischen invariants gebeten. Einige der Motivieren-Beispiele haben den Lehrsatz von Riemann-Roch und seine Generalisation der Hirzebruch-Riemann-Roch Lehrsatz und der Unterschrift-Lehrsatz von Hirzebruch eingeschlossen. Hirzebruch und Borel hatten den integrality der  Klasse einer Drehungssammelleitung bewiesen, und Atiyah hat vorgeschlagen, dass dieser integrality erklärt werden konnte, ob es der Index des Maschinenbedieners von Dirac war (der von Atiyah und Sänger 1961 wieder entdeckt wurde).

Die erste Ansage des Atiyah-Sänger-Lehrsatzes war ihre 1963-Zeitung. Der in dieser Ansage kurz gefasste Beweis wurde durch den Beweis von Hirzebruch des Hirzebruch-Riemann-Roch Lehrsatzes begeistert und wurde von ihnen nie veröffentlicht, obwohl es im Buch von Palais beschrieben wird. Ihr erster veröffentlichter Beweis war dem Beweis von Grothendieck des Grothendieck-Riemann-Roch Lehrsatzes ähnlicher, die cobordism Theorie des ersten Beweises mit der K-Theorie ersetzend, und sie haben diese Annäherung verwendet, um Beweise von verschiedenen Generalisationen in einer Folge von Papieren von 1968 bis 1971 zu geben.

Statt gerade eines elliptischen Maschinenbedieners kann man eine Familie von elliptischen Maschinenbedienern als parametrisiert durch einen Raum Y betrachten. In diesem Fall ist der Index ein Element der K-Theorie von Y, aber nicht eine ganze Zahl. Wenn die Maschinenbediener in der Familie echt sind, dann liegt der Index in der echten K-Theorie von Y. Das gibt ein bisschen Extrainformation, wie die Karte aus der echten K Theorie von Y zum Komplex K Theorie nicht immer injective ist.

Mit Bott hat Atiyah eine Entsprechung der Formel des festen Punkts von Lefschetz für elliptische Maschinenbediener gefunden, die Zahl von Lefschetz eines Endomorphismus eines elliptischen Komplexes in Bezug auf eine Summe über die festen Punkte des Endomorphismus gebend. Als spezielle Fälle hat ihre Formel die Charakter-Formel von Weyl und mehrere neue Ergebnisse über elliptische Kurven mit der komplizierten Multiplikation eingeschlossen, von denen einige von Experten am Anfang bezweifelt wurden.

Atiyah und Segal haben diesen festen Punkt-Lehrsatz mit dem Index-Lehrsatz wie folgt verbunden.

Wenn es eine Kompaktgruppenhandlung einer Gruppe G auf der Kompaktsammelleitung X gibt, mit dem elliptischen Maschinenbediener pendelnd, dann kann man gewöhnliche K Theorie im Index-Lehrsatz mit der equivariant K-Theorie ersetzen.

Für triviale Gruppen G gibt das den Index-Lehrsatz, und für eine begrenzte Gruppe G, mit isolierten festen Punkten handelnd, er gibt dem Atiyah-Bott befestigten Punkt-Lehrsatz. Im Allgemeinen gibt es den Index als eine Summe über feste Punkt-Subsammelleitungen der Gruppe G.

Atiyah hat ein Problem gefragt unabhängig von Hörmander und Gel'fand, darüber behoben, ob komplizierte Mächte von analytischen Funktionen Vertrieb definieren. Atiyah hat die Entschlossenheit von Hironaka von Eigenartigkeiten verwendet, um darauf bejahend zu antworten. Eine geniale und elementare Lösung wurde in ungefähr derselben Zeit von J. Bernstein gefunden, und von Atiyah besprochen.

Als eine Anwendung des equivariant Index-Lehrsatzes haben Atiyah und Hirzeburch gezeigt, dass Sammelleitungen mit wirksamen Kreishandlungen verschwindende Â-Klasse haben. (Lichnerowicz hat gezeigt, dass, wenn eine Sammelleitung eine metrische von der positiven Skalarkrümmung dann hat, die Â-Klasse verschwindet.)

Mit Elmer Rees hat Atiyah das Problem der Beziehung zwischen topologischen und holomorphic Vektor-Bündeln auf dem projektiven Raum studiert. Sie haben den einfachsten unbekannten Fall gelöst, indem sie gezeigt haben, dass die ganze Reihe 2 Vektor-Bündel über den 3-Räume-projektiven eine holomorphic Struktur hat. Horrocks hatte vorher einige nichttriviale Beispiele solcher Vektor-Bündel gefunden, die später von Atiyah in seiner Studie von instantons auf dem 4-Bereiche-verwendet wurden.

Atiyah, Bott und Vijay K. Patodi haben einen neuen Beweis des Index-Lehrsatzes mit der Hitzegleichung gegeben.

Wenn der Sammelleitung erlaubt wird, Grenze zu haben, dann müssen einige Beschränkungen auf das Gebiet des elliptischen Maschinenbedieners gestellt werden, um einen begrenzten Index zu sichern. Diese Bedingungen können lokal sein (wie das Verlangen, dass die Abteilungen im Gebiet an der Grenze verschwinden) oder mehr komplizierte globale Bedingungen (wie das Verlangen, dass die Abteilungen im Gebiet eine Differenzialgleichung lösen). Der lokale Fall wurde von Atiyah und Bott ausgearbeitet, aber sie haben gezeigt, dass viele interessante Maschinenbediener (z.B, der Unterschrift-Maschinenbediener) lokale Grenzbedingungen nicht zulassen. Um diese Maschinenbediener zu behandeln, haben Atiyah, Patodi und Singer globale Grenzbedingungen eingeführt, die zur Befestigung eines Zylinders zur Sammelleitung entlang der Grenze und dann dem Einschränken des Gebiets zu jenen Abteilungen gleichwertig sind, die quadratischer integrable entlang dem Zylinder sind, und auch Atiyah-Patodi-Singer eta invariant eingeführt haben. Das ist auf eine Reihe von Papieren auf der geisterhaften Asymmetrie hinausgelaufen, die später in der theoretischen Physik insbesondere in der Arbeit von Witten an Anomalien unerwartet verwendet wurden.

Die grundsätzlichen Lösungen geradliniger teilweiser Hyperbeldifferenzialgleichungen haben häufig Lücken von Petrovsky: Gebiete, wo sie identisch verschwinden. Diese wurden 1945 von mir studiert. G. Petrovsky, der topologische Bedingungen gefunden hat, die beschreiben, welche Gebiete Lücken waren.

In der Kollaboration mit Bott und Lars Gårding hat Atiyah drei Papieren die Arbeit von aktualisierendem und verallgemeinerndem Petrovsky geschrieben.

Atiyah hat gezeigt, wie man den Index-Lehrsatz zu einigen Nichtkompaktsammelleitungen erweitert, die von einer getrennten Gruppe mit dem Kompaktquotienten gefolgt sind. Der Kern des elliptischen Maschinenbedieners ist im allgemeinen Unendliche dimensional in diesem Fall, aber es ist möglich, einen begrenzten Index mit der Dimension eines Moduls über eine Algebra von von Neumann zu bekommen; dieser Index ist im Allgemeinen aber nicht geschätzte ganze Zahl echt. Diese Version wird den L Index-Lehrsatz genannt, und wurde von Atiyah und Schmid verwendet, um einen geometrischen Aufbau, mit dem Quadrat integrable harmonischer spinors der getrennten Reihe-Darstellungen von Harish-Chandra von halbeinfachen Lüge-Gruppen zu geben. Im Laufe dieser Arbeit haben sie einen elementareren Beweis des Hauptsatzes von Harish-Chandra auf dem lokalen integrability von Charakteren von Lüge-Gruppen gefunden.

Mit H. Donnelly und mir. Sänger, er hat die Formel von Hirzebruch erweitert (den Unterschrift-Defekt an Spitzen von Hilbert Moduloberflächen zu Werten von L-Funktionen verbindend), von echten quadratischen Feldern bis alle völlig echten Felder.

Maß-Theorie (1977-1985)

Viele seiner Papiere auf der Maß-Theorie und den verwandten Themen werden im Band 5 seiner gesammelten Arbeiten nachgedruckt. Ein allgemeines Thema dieser Papiere ist die Studie von Modul-Räumen von Lösungen bestimmter nichtlinearer teilweiser Differenzialgleichungen, insbesondere die Gleichungen für instantons und Monopole. Das schließt häufig Entdeckung einer feinen Ähnlichkeit zwischen Lösungen zwei anscheinend ziemlich verschiedener Gleichungen ein. Ein frühes Beispiel davon, das Atiyah wiederholt verwendet hat, ist der Penrose verwandeln sich, der manchmal Lösungen einer nichtlinearen Gleichung über eine echte Sammelleitung in Lösungen einiger geradliniger holomorphic Gleichungen über eine verschiedene komplizierte Sammelleitung umwandeln kann.

In einer Reihe von Papieren mit mehreren Autoren hat Atiyah den ganzen instantons auf 4 dimensionalem Euklidischem Raum klassifiziert. Es ist günstiger, instantons auf einem Bereich zu klassifizieren, weil das kompakt ist, und das zu classifing instantons auf dem Euklidischen Raum im Wesentlichen gleichwertig ist, weil das conformally Entsprechung zu einem Bereich ist und die Gleichungen für instantons conformally invariant sind. Mit Hitchin und Sänger hat er die Dimension des Modul-Raums von nicht zu vereinfachenden Selbstdoppelverbindungen (instantons) für jedes Grundsatz-Bündel über eine 4-dimensionale Kompaktsammelleitung von Riemannian berechnet. Zum Beispiel ist die Dimension des Raums von SU instantons der Reihe k> 0 8k−3. Um das zu tun, haben sie den Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz verwendet, um die Dimension des Tangente-Raums des Modul-Raums an einem Punkt zu berechnen; der Tangente-Raum ist im Wesentlichen der Raum von Lösungen eines elliptischen Differenzialoperatoren, der durch den linearization der nichtlinearen Yang-Mühle-Gleichungen gegeben ist. Diese Modul-Räume wurden später von Donaldson verwendet, um seinen invariants von 4 Sammelleitungen zu bauen.

Atiyah und Ward haben die Ähnlichkeit von Penrose verwendet, um die Klassifikation des ganzen instantons auf dem 4-Bereiche-zu einem Problem in der algebraischen Geometrie zu reduzieren. Mit Hitchin hat er Ideen von Horrocks verwendet, dieses Problem zu beheben, den ADHM Aufbau des ganzen instantons auf einem Bereich gebend; Manin und Drinfeld haben denselben Aufbau zur gleichen Zeit gefunden, zu einem gemeinsamen Vortrag von allen vier Autoren führend. Atiyah hat diesen Aufbau mit quaternions wiederformuliert und hat eine gemächliche Rechnung dieser Klassifikation von instantons auf dem Euklidischen Raum als ein Buch geschrieben.

Die Arbeit von Atiyah an instanton Modul-Räumen wurde in der Arbeit von Donaldson an der Theorie von Donaldson verwendet. Donaldson hat gezeigt, dass der Modul-Raum (Grad 1) instantons über einen kompakten einfach 4-Sammelleitungen-mit der positiven bestimmten Kreuzungsform in Verbindung gestanden hat, kann compactified sein, um einen cobordism zwischen der Sammelleitung und einer Summe von Kopien des komplizierten projektiven Raums zu geben. Er hat davon abgeleitet, dass die Kreuzungsform eine Summe dimensionaler sein muss, die zu mehreren sensationellen Anwendungen geführt haben, um 4 Sammelleitungen wie die Existenz von nichtgleichwertigen glatten Strukturen auf 4 dimensionalem Euklidischem Raum zu glätten. Donaldson hat fortgesetzt, die anderen von Atiyah studierten Modul-Räume zu verwenden, um Donaldson invariants zu definieren, der die Studie von glatten 4 Sammelleitungen revolutioniert hat und gezeigt hat, dass sie feiner als glatte Sammelleitungen in jeder anderen Dimension, und auch von topologischen 4 Sammelleitungen ziemlich verschieden waren. Atiyah hat einige von diesen beschrieben läuft auf ein Überblick-Gespräch hinaus.

Die Funktionen von Green für geradlinige teilweise Differenzialgleichungen können häufig durch das Verwenden vom Fourier gefunden werden verwandeln sich, um das in ein algebraisches Problem umzuwandeln. Atiyah hat eine nichtlineare Version dieser Idee verwendet. Er hat den Penrose verwendet verwandeln sich, um die Funktion von Green für den conformally invariant Laplacian in einen komplizierten analytischen Gegenstand umzuwandeln, der sich erwiesen hat, im Wesentlichen das diagonale Einbetten des Penroses twistor Raum in sein Quadrat zu sein. Das hat ihm erlaubt, eine ausführliche Formel für den conformally invariant die Funktion von Green auf einem 4-Sammelleitungen-zu finden.

In seiner Zeitung mit Jones hat er die Topologie des Modul-Raums von SU (2) instantons über einen 4-Bereiche-studiert. Sie haben gezeigt, dass die natürliche Karte von diesem Modul-Raum bis den Raum aller Verbindungen epimorphisms von Homologie-Gruppen in einer bestimmten Reihe von Dimensionen veranlasst und darauf hingewiesen hat, dass es Isomorphismus von Homologie-Gruppen in derselben Reihe von Dimensionen veranlassen könnte. Das ist bekannt als die Vermutung von Atiyah-Jones geworden, und wurde später von mehreren Mathematikern bewiesen.

Härter und M. S. Narasimhan hat den cohomology der Modul-Räume von stabilen Vektor-Bündeln über Oberflächen von Riemann durch das Zählen der Zahl von Punkten der Modul-Räume über begrenzte Felder, und dann das Verwenden der Vermutungen von Weil beschrieben, um den cohomology über die komplexen Zahlen wieder zu erlangen.

Atiyah und R. Bott haben Morsezeichen-Theorie und die Yang-Mühle-Gleichungen über eine Oberfläche von Riemann verwendet, um sich zu vermehren, und das Verlängern der Ergebnisse von Harder und Narasimhan.

Ein altes Ergebnis wegen Schurs und Horns stellt fest, dass der Satz von möglichen diagonalen Vektoren einer Matrix von Hermitian mit gegebenem eigenvalues der konvexe Rumpf aller Versetzungen des eigenvalues ist. Atiyah hat eine Generalisation davon bewiesen, das für alle durch einen Ring gefolgten Kompaktsymplectic-Sammelleitungen gilt, zeigend, dass das Image der Sammelleitung laut der Moment-Karte ein konvexes Polyeder ist, und mit Pressley eine zusammenhängende Generalisation unendlichen dimensionalen Schleife-Gruppen gegeben hat.

Duistermaat und Heckman haben eine bemerkenswerte Formel gefunden, sagend, dass dem mit dem Stoß fortgeschrittenen des Maßes von Liouville einer Moment-Karte für eine Ring-Handlung genau durch die stationäre Phase-Annäherung gegeben wird (der im Allgemeinen gerade eine asymptotische Vergrößerung aber nicht genau ist). Atiyah und Bott haben gezeigt, dass das aus einer allgemeineren Formel in equivariant cohomology abgeleitet werden konnte, der eine Folge von wohl bekannten Lokalisierungslehrsätzen war. Atiyah hat gezeigt, dass die Moment-Karte nah mit der geometrischen invariant Theorie verbunden gewesen ist, und diese Idee später viel weiter von seinem Studenten F. Kirwan entwickelt wurde. Witten, kurz nachdem angewandt, hat die Duistermaat-Heckman Formel, um Räume zu schlingen, und gezeigt, dass das formell den Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz für den Maschinenbediener von Dirac gegeben hat; auf dieser Idee wurde von Atiyah Vorlesungen gehalten.

Mit Hitchin hat er an magnetischen Monopolen gearbeitet, und hat ihr Zerstreuen mit einer Idee von Nick Manton studiert. Sein Buch mit Hitchin gibt ein Detaillieren ihrer Arbeit an magnetischen Monopolen. Das Hauptthema des Buches ist eine Studie eines Modul-Raums von magnetischen Monopolen; das hat natürlichen Riemannian metrisch, und ein Stichpunkt ist, dass das metrisch abgeschlossen ist und hyperkahler. Das metrische wird dann verwendet, um das Zerstreuen von zwei Monopolen mit einem Vorschlag von N. Manton zu studieren, dass der geodätische Fluss auf dem Modul-Raum die niedrige Energieannäherung an das Zerstreuen ist. Zum Beispiel zeigen sie, dass ein Frontalzusammenstoß zwischen zwei Monopolen auf das 90-Grade-Zerstreuen mit der Richtung des Zerstreuens abhängig von den Verhältnisphasen der zwei Monopole hinausläuft. Er hat auch Monopole auf dem Hyperbelraum studiert.

Atiyah hat gezeigt, dass instantons in 4 Dimensionen mit instantons in 2 Dimensionen identifiziert werden kann, die viel leichter sind zu behandeln. Es gibt natürlich einen Fang: Im Gehen von 4 bis 2 Dimensionen ändert sich die Struktur-Gruppe der Maß-Theorie von einer begrenzten dimensionalen Gruppe zu einer unendlichen dimensionalen Schleife-Gruppe. Das führt ein anderes Beispiel an, wo sich die Modul-Räume von Lösungen zwei nichtlinearer teilweiser Differenzialgleichungen anscheinend ohne Beziehung erweisen, im Wesentlichen dasselbe zu sein.

Atiyah und Singer haben gefunden, dass Anomalien in der Quant-Feldtheorie in Bezug auf die Index-Theorie des Maschinenbedieners von Dirac interpretiert werden konnten; diese Idee ist später weit verwendet von Physikern geworden.

Spätere Arbeit (1986 vorwärts)

Viele der Zeitungen im 6. Volumen seiner gesammelten Arbeiten sind Überblicke, Todesanzeigen und allgemeine Gespräche. Seit seiner Veröffentlichung hat Atiyah fortgesetzt, einschließlich mehrerer Überblicke, eines populären Buches und einer anderen Zeitung mit Segal auf der gedrehten K-Theorie zu veröffentlichen.

Ein Papier ist eine ausführliche Studie der Funktion von Dedekind eta aus dem Gesichtswinkel von der Topologie und dem Index-Lehrsatz.

Mehrere seiner Papiere von ganzer dieser Zeitstudie die Verbindungen zwischen der Quant-Feldtheorie, den Knoten und der Theorie von Donaldson. Er hat das Konzept einer topologischen Quant-Feldtheorie eingeführt, die durch die Arbeit von Witten und die Definition von Segal einer conformal Feldtheorie begeistert ist. Sein Buch beschreibt den neuen Knoten invariants gefunden von Vaughan Jones und Edward Witten in Bezug auf topologische Quant-Feldtheorien, und sein Papier mit L. Jeffrey erklärt den Lagrangian von Witten das Geben vom Donaldson invariants.

Er hat skyrmions mit Nick Manton studiert, eine Beziehung mit magnetischen Monopolen und instantons findend, und eine Vermutung für die Struktur des Modul-Raums von zwei skyrmions als ein bestimmter Subquotient des Komplexes projektiv 3-Räume-gebend.

Mehrere Papiere wurden durch eine Frage von M. Berry begeistert (hat das Problem der Beere-Robbins genannt), wer gefragt hat, ob es eine Karte vom Konfigurationsraum von N-Punkten im 3-Räume-zur Fahne-Sammelleitung der einheitlichen Gruppe gibt. Atiyah hat eine bejahende Antwort auf diese Frage gegeben, aber hat gefunden, dass seine Lösung zu rechenbetont war und eine Vermutung studiert hat, die eine natürlichere Lösung geben würde. Er hat auch die Frage an die Gleichung von Nahm verbunden, und hat die Vermutung von Atiyah auf Konfigurationen eingeführt.

Mit Juan Maldacena und Cumrun Vafa und E. Witten hat er die Dynamik der M Theorie über Sammelleitungen mit G holonomy beschrieben. Diese Papiere scheinen, das erste Mal zu sein, dass Atiyah an außergewöhnlichen Lüge-Gruppen gearbeitet hat.

In seinen Zeitungen mit M. Hopkins und G. Segal ist er zu seinem früheren Interesse der K-Theorie zurückgekehrt, einige gedrehte Formen der K-Theorie mit Anwendungen in der theoretischen Physik beschreibend.

Preise und Ehren

1966, als er siebenunddreißig Jahre alt war, wurde ihm dem Feldorden, für seine Arbeit in der sich entwickelnden K-Theorie, einem verallgemeinerten Fixpunktsatz von Lefschetz und dem Atiyah-Sänger-Lehrsatz verliehen, für den er auch den Preis von Abel gemeinsam mit Isadore Singer 2004 gewonnen hat.

Unter anderen Preisen hat er erhalten sind die Königliche Medaille der Königlichen Gesellschaft 1968, die Medaille von De Morgan Londons Mathematische Gesellschaft 1980, der Antonio Feltrinelli Prize vom Accademia Nazionale dei Lincei 1981, der König Faisal International Prize für die Wissenschaft 1987, die Medaille von Copley der Königlichen Gesellschaft 1988, die Medaille von Benjamin Franklin für das Ausgezeichnete Zu-Stande-Bringen in den Wissenschaften der amerikanischen Philosophischen Gesellschaft 1993, die hundertjährige Geburtsmedaille von Jawaharlal Nehru

der Nationalen Indianerwissenschaftsakademie 1993, der Medaille des Präsidenten vom Institut für die Physik 2008, Grande Médaille der französischen Akademie von Wissenschaften 2010 und dem Großartigen Officier französischen Légion d'honneur 2011.

Er wurde zu einem ausländischen Mitglied der Nationalen Akademie von Wissenschaften, der amerikanischen Kunstakademie und Wissenschaften (1969), der Academie des Sciences, Akademie Leopoldina, die Königliche schwedische Akademie, die Königliche irische Akademie, die Königliche Gesellschaft Edinburghs, die amerikanische Philosophische Gesellschaft, die Nationale Indianerwissenschaftsakademie, die chinesische Akademie der Wissenschaft, die australische Akademie der Wissenschaft, die russische Akademie der Wissenschaft, die ukrainische Akademie der Wissenschaft, die georgische Akademie der Wissenschaft, die Akademie von Venezuela der Wissenschaft, die norwegische Akademie der Wissenschaft und Briefe, die Königliche spanische Akademie der Wissenschaft, des Accademia dei Lincei und Moskaus Mathematische Gesellschaft gewählt.

Atiyah ist Ehrengraden von den Universitäten Bonns, Warwick, Durham, St. Andrews, Dublin, Chicago, Cambridge, Edinburgh, Essex, London, Sussex, Gent, dem Lesen, Helsinki, Salamanca, Montreal, Wales, Libanon, Königin (Kanada), Keele, Birmingham, UMIST, Braun, Heriot-Watt, Mexiko, Oxford, Hongkong (chinesische Universität), Die Offene Universität, amerikanische Universität Beiruts, die Technische Universität Kataloniens und Leicesters zuerkannt worden.

Atiyah wurde ein Ritter-Junggeselle 1983 gemacht und ein Mitglied der Ordnung des Verdiensts 1992 gemacht.

Der Michael Atiyah, der an der Universität Leicesters baut

und der Stuhl von Michael Atiyah in Mathematischen Wissenschaften an der amerikanischen Universität Beiruts wurde nach ihm genannt.

Referenzen

Bücher durch Atiyah

Dieser Paragraph verzeichnet alle von Atiyah geschriebenen Bücher; es lässt einige Bücher weg, die er editiert hat.

• . Ein klassisches Lehrbuch, das Standardersatzalgebra bedeckt.
• . Nachgedruckt als.

. Nachgedruckt als.. Nachgedruckt als.. Nachgedruckt als.

• .

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• . Erstausgabe (1967) nachgedruckt als.

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Ausgewählte Vorträge von Atiyah

• . Nachgedruckt darin.

. Nachgedruckt darin.. Nachgedruckt darin.

• . Nachgedruckt darin. Formulierung von Atiyah "Vermutung" auf der Vernunft der Zahlen von L-Betti.
• . Eine Ansage des Index-Lehrsatzes. Nachgedruckt darin.
• . Das gibt einen Beweis mit K Theorie statt cohomology. Nachgedruckt darin.
• . Das formuliert das Ergebnis als eine Art Lefschetz befestigter Punkt-Lehrsatz, mit equivariant K Theorie wieder. Nachgedruckt darin.
• . Dieses Papier zeigt, wie man sich von der K-Theorie-Version bis eine Version mit cohomology umwandelt. Nachgedruckt darin.
• Dieses Papier studiert Familien von elliptischen Maschinenbedienern, wo der Index jetzt ein Element der K-Theorie des Raums ist, der die Familie parametrisiert. Nachgedruckt darin.
• . Das studiert Familien von echten (aber nicht Komplex) elliptische Maschinenbediener, wenn man manchmal ein bisschen Extrainformation auspressen kann. Nachgedruckt darin.
• . Das setzt einen Lehrsatz fest, der die Zahl von Lefschetz eines Endomorphismus eines elliptischen Komplexes berechnet. Nachgedruckt darin.
• (nachgedruckt in) und. Nachgedruckt darin. Diese geben die Beweise, und einige Anwendungen der Ergebnisse haben in der vorherigen Zeitung bekannt gegeben.
• ; Nachgedruckt darin.
• ;. Nachgedruckt darin.

Andere Verweisungen

• . Nachgedruckt im Band 1 seiner gesammelten Arbeiten, p. 65-75, internationale Standardbuchnummer 0-387-13619-3. Auf der Seite 120 schlägt Gel'fand vor, dass der Index eines elliptischen Maschinenbedieners expressible in Bezug auf topologische Daten sein sollte.
• . Das beschreibt den ursprünglichen Beweis des Index-Lehrsatzes. (Atiyah und Singer haben nie ihren ursprünglichen Beweis selbst veröffentlicht, aber haben nur Versionen davon verbessert.)

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Links

• Michael Atiyah erzählt seine Lebensgeschichte am Web von Geschichten
• Die Feiern des 80. Geburtstages von Michael Atiyah in Edinburgh, am 20-24 April 2009
• Mathematische Nachkommen von Michael Atiyah