In der Mathematik ist die Uniform boundedness Grundsatz oder Banach-Steinhaus Lehrsatz eines der grundsätzlichen Ergebnisse in der Funktionsanalyse. Zusammen mit dem Hahn-Banach Lehrsatz und dem offenen kartografisch darstellenden Lehrsatz wird es als einer der Ecksteine des Feldes betrachtet. In seiner grundlegenden Form behauptet es, dass für eine Familie von dauernden geradlinigen Maschinenbedienern (und so begrenzten Maschinenbedienern), wessen Gebiet ein Banachraum, pointwise ist, boundedness zur Uniform boundedness in der Maschinenbediener-Norm gleichwertig ist.

Der Lehrsatz wurde zuerst 1927 von Stefan Banach und Hugo Steinhaus veröffentlicht, aber es wurde auch unabhängig von Hans Hahn bewiesen.

Uniform boundedness Grundsatz

Die genaue Behauptung des Ergebnisses ist:

Lehrsatz. Lassen Sie X ein Banachraum und Y sein, ein normed Vektorraum sein. Nehmen Sie an, dass F eine Sammlung von dauernden geradlinigen Maschinenbedienern von X bis Y ist.

Die Uniform boundedness Grundsatz stellt das fest, wenn für den ganzen x in X wir haben

:

dann

:

Die Vollständigkeit X ermöglicht den folgenden kurzen Beweis mit dem Kategorie-Lehrsatz von Baire:

Beweis.

:Define die geschlossenen Sätze X mit n = 1, 2, 3, … durch

::

:By-Hypothese, die Vereinigung aller X ist X. Seitdem X ist ein Raum von Baire, einer der X, sagen Sie X, hat einen Innenpunkt (X werden Sätze geschlossen), d. h., dort besteht δ > 0 und ein y in X solch dass der ganze x ∈ X mit x − y. Wählen Sie jetzt einen willkürlichen z in X mit || z und folglich, für jeden Maschinenbediener T in der Familie F, T (z) ≤ T (y + z) + T (y) ≤ M + M = 2 M. Da z im Ball des Radius &delta willkürlich ist; hieraus folgt dass T ≤ 2m / δ für den ganzen T in F, der den Lehrsatz beweist.

Eine direkte Folge ist:

Folgeerscheinung. Wenn eine Folge von begrenzten Maschinenbedienern (T) zusammenläuft, besteht pointwise, d. h. lim T (x) für den ganzen x in X, dann definieren diese Pointwise-Grenzen einen begrenzten Maschinenbediener T.

Bemerken Sie, dass es nicht gefordert wird, über dem T zu T in der Maschinenbediener-Norm, d. h. gleichförmig auf begrenzten Sätzen zusammenläuft. (Jedoch, da {T} in der Maschinenbediener-Norm begrenzt wird, und der Grenze-Maschinenbediener T, ein Standard "3-&epsilon dauernd ist;" Schätzung zeigt, dass T zu T gleichförmig auf Kompaktsätzen zusammenläuft.)

Eine andere Folgeerscheinung ist, dass jede schwach begrenzte Teilmenge S in einem normed Raum Y begrenzt wird; tatsächlich definieren die Elemente von S begrenzte Familie eines pointwise von dauernden geradlinigen Formen auf dem Banachraum X = Y, dauernd Doppel-von Y. Durch die Uniform boundedness Grundsatz werden die Normen von Elementen von S, als functionals auf X, d. h. Normen im zweiten DoppelY, begrenzt. Aber für jeden s ∈ S fällt die Norm im zweiten Doppel-mit der Norm in Y durch eine Folge des Hahn-Banach Lehrsatzes zusammen.

Lassen Sie L (X, Y) zeigen die dauernden Maschinenbediener von X bis Y mit der Maschinenbediener-Norm an. Wenn die Sammlung F in L (X, Y), dann durch die Uniform boundedness Grundsatz, der Satz unbegrenzt

ist:ist

nicht leer. Tatsächlich ist es in X dicht. Die Ergänzung von R in X ist die zählbare Vereinigung von geschlossenen Sätzen ∪X. Durch das im Beweis des Lehrsatzes verwendete Argument ist jeder X nirgends dicht, d. h. die Teilmenge ∪X ist der ersten Kategorie. Deshalb ist R die Ergänzung einer Teilmenge der ersten Kategorie in einem Raum von Baire. Definitionsgemäß eines Raums von Baire sind solche Sätze (hat restliche Sätze genannt), dicht. Solches Denken führt zum Grundsatz der Kondensation von Eigenartigkeiten, die wie folgt formuliert werden können:

Lehrsatz. Lassen Sie X ein Banachraum, {Y} eine Folge von normed Vektorräumen und F eine unbegrenzte Familie in L (X, Y) sein. Dann der Satz

:ist

in X. dicht

Beweis.

Die:The-Ergänzung von R ist die zählbare Vereinigung

::

:of-Sätze der ersten Kategorie. Deshalb ist sein restlicher Satz R dicht.

Ein Beispiel: Pointwise-Konvergenz der Reihe von Fourier

Lassen Sie T der Kreis sein, und C (T) der Banachraum von dauernden Funktionen auf T mit der gleichförmigen Norm sein zu lassen. Mit der Uniform boundedness Grundsatz kann man zeigen, dass die Reihe von Fourier "normalerweise" pointwise für Elemente in C (T) nicht zusammenläuft.

Für ƒ in C (T) wird seine Reihe von Fourier durch definiert

:

\sum_ {k \in \mathbb {Z}} \hat {f} (k) \mathrm {e} ^ {ikx} = \sum_ {k \in \mathbb {Z} }\\frac {1} {2 \pi} \Bigl (\int_0 ^ {2 \pi} f (t) \mathrm {e} ^ {-ikt} dt \Bigr) \mathrm {e} ^ {ikx},

</Mathematik>

und die N-te symmetrische teilweise Summe ist

:

\sum_ {-N \leq k \leq N} \hat {f} (k) \mathrm {e} ^ {ikx}

\frac {1} {2 \pi} \int_0 ^ {2 \pi} f (t) D_N (x - t) \, dt,

</Mathematik>

wo D der N-te Dirichlet Kern ist. Befestigen Sie x in T und denken Sie die Konvergenz {S (&fnof;) (x)}. Das funktionelle &phi;: C (T) &rarr; C definiert durch

:

wird begrenzt. Die Norm &phi; im Doppel-von C (T), ist die Norm des unterzeichneten Maßes (2&pi) D (x&minus;t) dt, nämlich

:

\| \varphi_ {N, x} \| = \frac {1} {2 \pi} \int_0 ^ {2 \pi} | D_N (x-t) | \, dt = \frac {1} {2 \pi} \int_0 ^ {2 \pi} | D_N (s) | \, ds = \| D_N \| _ {L^1 (\mathbf {T})}.

</Mathematik>

Man kann das nachprüfen

:

\frac {1} {2 \pi} \int_0 ^ {2 \pi} | D_N (t) | \, dt \ge \int_0^\\Pi \frac {\\bigl |\sin\bigl ((N+1/2) t \bigr) \bigr |} t \, dt \rightarrow \infty.

</Mathematik>

So die Sammlung {&phi;} ist in C (T), der Doppel-von C (T). Therefore durch die Uniform boundedness Grundsatz für jeden x in T unbegrenzt, der Satz von dauernden Funktionen, deren Reihe von Fourier an x abweicht, ist in C (T) dicht.

Mehr kann durch die Verwendung des Grundsatzes der Kondensation von Eigenartigkeiten geschlossen werden. Lassen Sie {x} eine dichte Folge in T sein. Definieren Sie

:

auf die ähnliche Weise als oben. Der Grundsatz der Kondensation von Eigenartigkeiten sagt dann, dass der Satz von dauernden Funktionen, deren Reihe von Fourier an jedem x abweicht, in C (T) dicht ist (jedoch, die Reihe von Fourier einer dauernden Funktion &fnof; läuft zu &fnof zusammen; (x) für fast jeden x &isin; T, durch den Lehrsatz von Carleson).

Generalisationen

Die am wenigsten einschränkende Einstellung für die Uniform boundedness Grundsatz ist ein fassförmiger Raum, wo die folgende verallgemeinerte Version des Lehrsatzes hält:

• In Anbetracht eines fassförmigen Raums X und eines lokal konvexen Raums Y dann ist jede Familie von pointwise gesprungen dauernder geradliniger mappings von X bis Y ist equicontinuous (sogar gleichförmig equicontinuous).

Wechselweise hält die Behauptung auch, wann auch immer X ein Raum von Baire ist und Y ein lokal konvexer Raum ist.

beweist eine schwächere Form dieses Lehrsatzes mit Räumen von Fréchet aber nicht den üblichen Banachräumen. Spezifisch,

• Lassen Sie X ein Raum von Fréchet, Y ein normed Raum und H eine Reihe dauernder geradliniger mappings X in Y sein. Wenn

Siehe auch

• Fassförmiger Raum, ein topologischer Vektorraum mit minimalen Voraussetzungen für den Lehrsatz von Banach Steinhaus, um zu halten
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