In der Mathematik und theoretischen Physik ist die funktionelle Ableitung eine Generalisation der Richtungsableitung. Während der Letztere in Bezug auf einen Vektoren in begrenzten Dimensionen differenziert, differenziert der erstere in Bezug auf eine dauernde Funktion. Beide von diesen können als Erweiterungen der einfachen eindimensionalen Ableitung in der üblichen Rechnung angesehen werden. Die mathematisch formelle Behandlung ist das Thema der Funktionsanalyse.

Definition

In Anbetracht einer mannigfaltigen M das Darstellen (dauernde/glatte/mit bestimmte Grenzbedingungen/usw.) fungiert φ und ein funktioneller F definiert als

::

die funktionelle Ableitung von F, angezeigt, ist ein solcher Vertrieb, der für den ganzen Test f fungiert

:\begin {richten }\aus

\left\langle \frac {\\Delta F [\varphi (x)]} {\\delta\varphi (x)}, f (x) \right\rangle

&= \int \frac {\\Delta F [\varphi (x)]} {\\delta\varphi (x')} f (x') dx' \\

&= \lim_ {\\varepsilon\to 0 }\\frac {F [\varphi (x) + \varepsilon f (x)]-F [\varphi (x)]} {\\varepsilon} \\

&= \left.\frac {d} {d\epsilon} F [\varphi +\epsilon f] \right |_ {\\epsilon=0}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das Verwenden der ersten Schwankung, im Platz von Erträgen die erste Schwankung; das ist dem ähnlich, wie das Differenzial beim Anstieg erhalten wird. Das Verwenden einer Funktion mit der Einheitsnorm gibt die Richtungsableitung entlang dieser Funktion nach.

In der Physik ist es üblich, die Delta-Funktion von Dirac im Platz einer allgemeinen Testfunktion zu verwenden, für die funktionelle Ableitung am Punkt nachzugeben (das ist ein Punkt der ganzen funktionellen Ableitung, wie eine partielle Ableitung ein Bestandteil des Anstiegs ist):

:

</Mathematik>

Das arbeitet in Fällen, wenn formell als eine Reihe (oder mindestens bis zur ersten Ordnung) darin ausgebreitet werden kann. Die Formel ist jedoch nicht mathematisch streng, seitdem wird gewöhnlich nicht sogar definiert.

Formelle Beschreibung

Die Definition einer funktionellen Ableitung kann mathematischer genau und formell durch das Definieren des Raums von Funktionen sorgfältiger gemacht werden. Zum Beispiel, wenn der Raum von Funktionen ein Banachraum ist, wird die funktionelle Ableitung bekannt als die Ableitung von Fréchet, während man die Ableitung von Gâteaux auf allgemeineren lokal konvexen Räumen verwendet. Bemerken Sie, dass die wohl bekannten Räume von Hilbert spezielle Fälle von Banachräumen sind. Die mehr formelle Behandlung erlaubt vielen Lehrsätzen von der gewöhnlichen Rechnung und Analyse, zu entsprechenden Lehrsätzen in der Funktionsanalyse, sowie zahlreichen neuen festzusetzenden Lehrsätzen verallgemeinert zu werden.

Das Verwenden des Deltas fungiert als eine Testfunktion

Die Definition, die oben gegeben ist, basiert auf einer Beziehung, die für alle Testfunktionen f hält, so könnte man denken, dass sie auch halten sollte, wenn f gewählt wird, um eine Sonderaufgabe wie die Delta-Funktion zu sein. Jedoch ist der Letztere nicht eine gültige Testfunktion.

In der Definition beschreibt die funktionelle Ableitung wie die funktionellen Änderungen infolge eines Kleingeldes in der kompletten Funktion. Die besondere Form der Änderung darin wird nicht angegeben, aber es sollte sich über den ganzen Zwischenraum strecken, auf dem definiert wird. Die Beschäftigung der besonderen Form der durch die Delta-Funktion gegebenen Unruhe hat die Bedeutung, die nur im Punkt geändert wird. Abgesehen von diesem Punkt gibt es keine Schwankung darin.

Häufig will ein Physiker wissen, wie eine Menge das elektrische Potenzial an der Position sagt, wird durch das Ändern einer anderen Menge betroffen, sagen Sie die Dichte der elektrischen Anklage an der Position. Das Potenzial an einer gegebenen Position ist eine funktionelle von der Dichte, d. h. in Anbetracht einer besonderen Dichte-Funktion und eines Punkts im Raum, man kann eine Zahl schätzen, die das Potenzial dieses Punkts im Raum wegen der angegebenen Dichte-Funktion vertritt. Da wir uns dafür interessieren, wie sich diese Zahl über alle Punkte im Raum ändert, behandeln wir das Potenzial als eine Funktion dessen. Zum Witz,

:

D. h. für jeden ist das Potenzial ein funktionelle davon. Die Definition der funktionellen Ableitung, anwendend

:\begin {richten }\aus

\left\langle \frac {\\Delta F [\rho]} {\\Delta \rho (r')}, f (r') \right\rangle

& {} = \frac {d} {d\varepsilon} \left. \frac {1} {4\pi\epsilon_0} \int \frac {\\rho (r') + \varepsilon f (r')} \mathrm {d} r' \right |_ {\\varepsilon=0} \\

& {} = \frac {1} {4\pi\epsilon_0} \int \frac {f (r')} \mathrm {d} r' \\

& {} = \left\langle \frac {1} {4\pi\epsilon_0|r-r' |}, f (r') \right\rangle.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Also,

:

\frac {\\Delta V(r)} {\\Delta \rho (r')} = \frac {1} {4\pi\epsilon_0|r-r' |}.

</Mathematik>

Jetzt können wir die funktionelle Ableitung bewerten an und zu sehen, wie das Potenzial daran wegen einer kleinen Schwankung in der Dichte daran geändert wird, aber im Allgemeinen ist die unbewertete Form wahrscheinlich nützlicher.

Beispiele

Wir geben eine Formel, um eine allgemeine Klasse von functionals abzuleiten, der als das Integral einer Funktion und seiner Ableitungen geschrieben werden kann. Das ist eine Generalisation der Euler-Lagrange Gleichung: Tatsächlich wurde die funktionelle Ableitung in der Physik innerhalb der Abstammung der Gleichung von Lagrange der zweiten Art vom Grundsatz von kleinster Handlung in der Mechanik von Lagrangian (das 18. Jahrhundert) eingeführt. Die ersten drei Beispiele werden unten von der Dichte funktionelle Theorie (das 20. Jahrhundert), das vierte von der statistischen Mechanik (das 19. Jahrhundert) genommen.

Formel für das Integral einer Funktion und seiner Ableitungen

In Anbetracht einer funktionellen von der Form

:

mit dem Verschwinden an den Grenzen kann das Skalarprodukt der funktionellen Ableitung mit einer Funktion geschrieben werden

:\begin {richten }\aus

\left\langle \frac {\\Delta F [\rho]} {\\delta\rho}, \phi \right\rangle

& {} = \frac {d} {d\varepsilon} \left. \int f (\mathbf {r}, \rho + \varepsilon \phi, \nabla\rho +\varepsilon\nabla\phi) \, d\mathbf {r} \right |_ {\\varepsilon=0} \\

& {} = \int \left (\frac {\\teilweiser f} {\\partial\rho} \phi + \frac {\\teilweise f\{\\partial\nabla\rho} \cdot \nabla\phi \right) d\mathbf {r} \\

& {} = \int \left [\frac {\\teilweiser f} {\\partial\rho} \phi + \nabla \cdot \left (\frac {\\teilweiser f} {\\partial\nabla\rho} \phi \right) - \left (\nabla \cdot \frac {\\teilweiser f} {\\partial\nabla\rho} \right) \phi \right] d\mathbf {r} \\

& {} = \int \left [\frac {\\teilweiser f} {\\partial\rho} \phi - \left (\nabla \cdot \frac {\\teilweiser f} {\\partial\nabla\rho} \right) \phi \right] d\mathbf {r} \\

& {} = \left\langle \frac {\\teilweise f\{\\partial\rho} - \nabla \cdot \frac {\\teilweise f\{\\partial\nabla\rho }\\, \phi \right\rangle,

\end {richten }\aus</Mathematik>

wo, in der dritten Linie, an den Integrationsgrenzen angenommen wird. So ist die funktionelle Ableitung

:

\frac {\\Delta F [\rho]} {\\delta\rho} = \frac {\\teilweise f\{\\partial\rho} - \nabla \cdot \frac {\\teilweise f\{\\partial\nabla\rho }\

</Mathematik>

oder, den Ausdruck ausführlicher, schreibend

:

\frac {\\Delta F [\rho (\mathbf {r})]} {\\delta\rho (\mathbf {r})} = \frac {\\teilweise} {\\partial\rho (\mathbf {r})} f (\mathbf {r}, \rho (\mathbf {r}), \nabla\rho (\mathbf {r})) - \nabla \cdot \frac {\\teilweise} {\\partial\nabla\rho (\mathbf {r})} f (\mathbf {r}, \rho (\mathbf {r}), \nabla\rho (\mathbf {r}))

</Mathematik>

Das obengenannte Beispiel ist zum besonderen Fall spezifisch, dass das funktionelle von der Funktion und seinem Anstieg nur abhängt. Im allgemeineren Fall, dass das funktionelle von höheren Ordnungsableitungen abhängt, d. h.

:

F [\rho (\mathbf {r})] = \int f (\mathbf {r}, \rho (\mathbf {r}), \nabla\rho (\mathbf {r}), \nabla^2\rho (\mathbf {r}), \dots, \nabla^N\rho (\mathbf {r})) \, d\mathbf {r},

</Mathematik>

wo ein Tensor ist, dessen Bestandteile alle Maschinenbediener der partiellen Ableitung der Ordnung, d. h. damit sind, gibt eine analoge Anwendung der Definition nach

:\begin {richten }\aus

\frac {\\Delta F [\rho]} {\\Delta \rho} & {} = \frac {\\teilweise f\{\\partial\rho} - \nabla \cdot \frac {\\teilweise f\{\\teilweise (\nabla\rho)} + \nabla^2 \cdot \frac {\\teilweise f\{\\partial\left (\nabla^2\rho\right)} + \dots + (-1) ^N \nabla^N \cdot \frac {\\teilweise f\{\\partial\left (\nabla^N\rho\right)} \\

& {} = \sum_ {i=0} ^N (-1) ^ {ich }\\Nabla^i \cdot \frac {\\teilweiser f} {\\partial\left (\nabla^i\rho\right)}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Thomas-Fermi kinetische funktionelle Energie

Das Modell von Thomas-Fermi von 1927 hat eine kinetische Energie verwendet, die für ein aufeinander nichtwirkendes gleichförmiges Elektronbenzin in einem ersten Versuch der mit der Dichte funktionellen Theorie der elektronischen Struktur funktionell ist:

:

hängt nur von der Anklage-Dichte ab und hängt von seinem Anstieg nicht ab, Laplacian oder andere höherwertige Ableitungen (functionals wie das werden "lokal" genannt). Deshalb,

:

Funktionelle Ampere-Sekunde-Potenzial-Energie

Für den klassischen Teil des Potenzials haben Thomas und Fermi die Ampere-Sekunde-Potenzial-Energie funktioneller verwendet

:

Wieder, hängt nur von der Anklage-Dichte ab und hängt von seinem Anstieg, Laplacian oder anderen höherwertigen Ableitungen nicht ab (d. h. es ist ein "Vorortszug" funktionell). Deshalb,

:

Die zweite funktionelle Ableitung der funktionellen Ampere-Sekunde-Potenzial-Energie ist

:</Mathematik>

Weizsäcker kinetische funktionelle Energie

1935 hat von Weizsäcker vorgehabt, eine Anstieg-Korrektur zum Thomas-Fermi kinetische Energie hinzuzufügen, die funktionell ist, um es besser einer molekularen Elektronwolke anpassen zu lassen:

:

Jetzt hängt von der Anklage-Dichte und seinem Anstieg, deshalb ab

:

Das Schreiben einer Funktion als ein funktioneller

Bemerken Sie schließlich, dass jede Funktion in Bezug auf ein funktionelles Integral geschrieben werden kann. Zum Beispiel,

:

Das funktionell hängt von nur als die ersten zwei Beispiele oben ab (d. h. sie sind der ganze "Vorortszug"). Deshalb,

:

Wärmegewicht

Das Wärmegewicht einer getrennten zufälligen Variable ist eine funktionelle von der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion.

:\begin {richten }\aus

H [p (x)] =-\sum_x p (x) \log p (x)

\end {richten }\aus</Mathematik>

So,

:\begin {richten }\aus

\left\langle \frac {\\Delta H} {\\Delta p\, \phi \right\rangle

& {} = \sum_x \frac {\\Delta H [p (x)]} {\\Delta p (x')} \, \phi (x') \\

& {} = \left. \frac {d} {d\epsilon} H [p (x) + \epsilon\phi (x)] \right |_ {\\epsilon=0 }\\\

& {} =-\frac {d} {d\varepsilon} \left. \sum_x [p (x) + \varepsilon\phi (x)] \log [p (x) + \varepsilon\phi (x)] \right |_ {\\varepsilon=0} \\

& {} = \displaystyle-\sum_x [1 +\log p (x)] \phi (x) \\

& {} = \left\langle - [1 +\log p (x)], \phi \right\rangle.

\end {richten }\aus</Mathematik>

So,

:

\frac {\\Delta H} {\\Delta p\= - [1 +\log p (x)].

</Mathematik>

Exponential-

Lassen Sie

:

Das Verwenden des Deltas fungiert als eine Testfunktion,

:\begin {richten }\aus

\frac {\\Delta F [\varphi (x)]} {\\Delta \varphi (y)}

& {} = \lim_ {\\varepsilon\to 0 }\\frac {F [\varphi (x) + \varepsilon\delta (x-y)]-F [\varphi (x)]} {\\varepsilon }\\\

& {} = \lim_ {\\varepsilon\to 0 }\\frac {e^ {\\interne Nummer (\varphi (x) + \varepsilon\delta (x-y)) g (x) dx}-e^ {\\interne Nummer \varphi (x) g (x) dx}} {\\varepsilon }\\\

& {} = e^ {\\interne Nummer \varphi (x) g (x) dx }\\lim_ {\\varepsilon\to 0 }\\frac {e^ {\\varepsilon \int \delta (x-y) g (x) dx}-1} {\\varepsilon }\\\

& {} = e^ {\\interne Nummer \varphi (x) g (x) dx }\\lim_ {\\varepsilon\to 0 }\\frac {e^ {\\varepsilon g (y)}-1} {\\varepsilon }\\\

& {} = e^ {\\interne Nummer \varphi (x) g (x) dx} g (y).

\end {richten }\aus</Mathematik>So,:

• R. G. Parr, W. Yang, "Mit der Dichte funktionelle Theorie von Atomen und Molekülen", Presse der Universität Oxford, Oxford 1989.
• B. A. Frigyik, S. Srivastava und M. R. Gupta, Einführung in Funktionelle Ableitungen, UWEE Technologie-Bericht 2008-0001.

http://www.ee.washington.edu/research/guptalab/publications/functionalDerivativesIntroduction.pdf