In der Mathematik ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung eine Beziehung, die, lose das Sprechen, einen Satz verteilt, so dass jedes Element des Satzes ein Mitglied von einer und nur einer Zelle der Teilung ist. Zwei Elemente des Satzes werden gleichwertig betrachtet (in Bezug auf die Gleichwertigkeitsbeziehung), wenn, und nur wenn sie Elemente derselben Zelle sind. Die Kreuzung irgendwelcher zwei verschiedenen Zellen ist leer; die Vereinigung aller Zellen kommt dem ursprünglichen Satz gleich.

Notation

Obwohl verschiedene Notationen überall in der Literatur verwendet werden, um anzuzeigen, dass zwei Elemente a und b eines Satzes in Bezug auf eine Gleichwertigkeitsbeziehung R gleichwertig sind, sind die allgemeinsten "ein ~ b" und "ein  b", die verwendet werden, wenn R die offensichtliche Beziehung ist, die und Schwankungen "eines ~ b", "ein  b" oder "aRb" Verweise wird anbringt.

Definition

Wie man

sagt, ist eine gegebene binäre Beziehung ~ auf einem Satz A eine Gleichwertigkeitsbeziehung, wenn, und nur wenn es reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Gleichwertig, für den ganzen a, b und c in A:

• ein ~ a. (Reflexivity)
• wenn ein ~ b dann b ~ a. (Symmetrie)
• wenn ein ~ b und b ~ c dann ein ~ c. (Transitivity)

Zusammen mit der Beziehung wird ~ einen setoid genannt. Die Gleichwertigkeitsklasse unter ~, angezeigt, wird als definiert.

Reflexivity folgt aus Symmetrie und transitivity, wenn für jedes Element aA, dort ein anderes Element bA solch besteht, dass a~b hält. Jedoch folgt reflexivity aus Symmetrie und transitivity allein nicht. Lassen Sie zum Beispiel A der Satz von ganzen Zahlen sein, und zwei Elemente von A verbunden sein zu lassen, wenn sie beide gerade Zahlen sind. Diese Beziehung ist klar symmetrisch und transitiv, aber im Hinblick auf die Existenz von ungeraden Zahlen ist es nicht reflexiv.

Lassen Sie andererseits A der Satz von ganzen Zahlen sein, und zwei Elemente von A verbunden sein zu lassen, wenn ihr Unterschied gleich ist. Das ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung, die die ganzen Zahlen in zwei Gleichwertigkeitsklassen, sogar und sonderbaren ganzen Zahlen verteilt.

Beispiele

Gleichwertigkeitsbeziehungen

Der folgende ist alle Gleichwertigkeitsbeziehungen:

• "Ist" auf dem Satz von reellen Zahlen gleich
• "Hat denselben Geburtstag wie" auf dem Satz aller Leute.
• "Ist" auf dem Satz aller Dreiecke ähnlich.
• "Ist zu" auf dem Satz aller Dreiecke kongruent.
• "Ist zu, modulo n" auf den ganzen Zahlen kongruent.
• "Hat dasselbe Image unter einer Funktion" auf den Elementen des Gebiets der Funktion.
• "Hat denselben absoluten Wert" auf dem Satz von reellen Zahlen
• "Hat denselben Kosinus" auf dem Satz aller Winkel.
• "Ist zu" auf dem Satz von Subräumen eines affine Raums parallel.

Beziehungen, die nicht Gleichwertigkeiten sind

• Die Beziehung "" zwischen reellen Zahlen ist reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch. Zum Beispiel beziehen 7  5 diese 5  7 nicht ein. Es, ist jedoch, eine teilweise Ordnung.
• Die Beziehung "hat einen gemeinsamen Faktor, der größer ist als 1 mit" zwischen natürlichen Zahlen, die größer sind als 1, ist reflexiv und symmetrisch, aber nicht transitiv. (Beispiel: Die natürlichen Zahlen 2 und 6 haben einen gemeinsamen Faktor, der größer ist als 1, und 6 und 3 haben einen gemeinsamen Faktor, der größer ist als 1, aber 2 und 3 haben keinen gemeinsamen Faktor, der größer ist als 1).
• Die leere Beziehung R auf einem nichtleeren Satz X (d. h. aRb ist nie wahr), ist ausdruckslos symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv. (Wenn X auch dann R leer ist, ist reflexiv.)
• Die Beziehung "ist" zwischen reellen Zahlen ungefähr gleich, selbst wenn genauer definiert, nicht eine Gleichwertigkeitsbeziehung ist, weil, obwohl reflexiv und symmetrisch es nicht transitiv ist, da vielfache kleine Änderungen anwachsen können, um eine große Änderung zu werden. Jedoch, wenn die Annäherung asymptotisch zum Beispiel durch den Ausspruch definiert wird, dass zwei Funktionen f und g in der Nähe von einem Punkt ungefähr gleich sind, wenn die Grenze von f-g 0 an diesem Punkt ist, dann definiert das eine Gleichwertigkeitsbeziehung.
• Die Beziehung "ist Geschwister" (hat gepflegt, Paare von verschiedenen Leuten zu implizieren, die dieselben Eltern haben) auf dem Satz aller Menschen, ist nicht eine Gleichwertigkeitsbeziehung. Obwohl siblinghood symmetrisch ist (wenn A Geschwister von B ist, dann ist B Geschwister von A), und transitiv auf irgendwelchen 3 verschiedenen Menschen (wenn A Geschwister von B ist und C Geschwister von B ist, dann ist A Geschwister von C, zur Verfügung gestellter A ist nicht C), es ist (Ein Können nicht nicht reflexiv, Geschwister von A sein). Die kleine Modifizierung, "ist Geschwister dessen, oder ist dieselbe Person wie", ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung.

Verbindungen zu anderen Beziehungen

• Eine teilweise Ordnung ist eine Beziehung, die reflexiv, antisymmetrisch, und transitiv ist.
• Eine Kongruenz-Beziehung ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung, deren Gebiet X auch der zu Grunde liegende Satz für eine algebraische Struktur ist, und die die zusätzliche Struktur respektiert. Im Allgemeinen spielen Kongruenz-Beziehungen die Rolle von Kernen des Homomorphismus, und der Quotient einer Struktur durch eine Kongruenz-Beziehung kann gebildet werden. In vielen wichtigen Fällen haben Kongruenz-Beziehungen eine alternative Darstellung als Unterbauten der Struktur, auf der sie definiert werden. Z.B entsprechen die Kongruenz-Beziehungen auf Gruppen den normalen Untergruppen.
• Gleichheit ist sowohl eine Gleichwertigkeitsbeziehung als auch eine teilweise Ordnung. Gleichheit ist auch die einzige Beziehung auf einem Satz, der reflexiv, symmetrisch und antisymmetrisch ist.
• Eine strenge teilweise Ordnung ist irreflexive, transitiv, und asymmetrisch.
• Eine teilweise Gleichwertigkeitsbeziehung ist transitiv und symmetrisch. Transitiv und symmetrisch beziehen reflexiv ein, wenn, und nur wenn für den ganzen aX, dort ein solcher bX dass a~b besteht.
• Eine reflexive und symmetrische Beziehung ist eine Abhängigkeitsbeziehung, wenn begrenzt, und eine Toleranz-Beziehung, wenn unendlich.
• Eine Vorordnung ist reflexiv und transitiv.

Bestimmtkeit unter einer Gleichwertigkeitsbeziehung

Wenn ~ eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf X ist, und P (x) ein Eigentum von Elementen X, solch dass ist, wann auch immer x ~ y, P (x) wahr ist, wenn P (y) wahr ist, dann, wie man sagt, ist das Eigentum P bestimmt oder eine Klasse invariant unter der Beziehung ~.

Ein häufiger besonderer Fall kommt vor, wenn f eine Funktion von X bis einen anderen Satz Y ist; wenn x ~ x andeutet, dass, wie man sagt, f (x) = f (x) dann f ein morphism für ~, eine Klasse invariant unter ~, oder einfach invariant unter ~ ist. Das kommt z.B in der Charakter-Theorie von begrenzten Gruppen vor. Der letzte Fall mit der Funktion f kann durch ein Ersatzdreieck ausgedrückt werden. Siehe auch invariant. Einige Autoren verwenden "vereinbar mit ~", oder gerade "respektiert ~" statt "invariant unter ~".

Mehr allgemein kann eine Funktion gleichwertige Argumente (unter einer Gleichwertigkeitsbeziehung ~) zu gleichwertigen Werten (unter einer Gleichwertigkeitsbeziehung ~) kartografisch darstellen. Solch eine Funktion ist als ein morphism von ~ bis ~ bekannt.

Gleichwertigkeitsklasse, Quotient, ist Teilung untergegangen

Lassen Sie X ein nichtleerer Satz sein und zu lassen. Einige Definitionen:

Gleichwertigkeitsklasse

Der Satz des ganzen a und b, für den ein ~ b hält, setzt eine Gleichwertigkeitsklasse X durch ~ zusammen. Lassen Sie zeigen die Gleichwertigkeitsklasse zu der ein Gehören an. Dann sind alle Elemente von X Entsprechung zu einander auch Elemente derselben Gleichwertigkeitsklasse.

Quotient ist untergegangen

Der Satz aller möglichen Gleichwertigkeitsklassen X durch ~, angezeigt, ist der Quotient-Satz X durch ~. Wenn X ein topologischer Raum ist, gibt es eine natürliche Weise, sich X / ~ in einen topologischen Raum zu verwandeln; sieh Quotient-Raum für die Details.

Vorsprung

Der Vorsprung von ~ ist die Funktion, die durch der Karte-Elemente X in ihre jeweiligen Gleichwertigkeitsklassen durch ~ definiert ist.

:Theorem auf Vorsprüngen: Lassen Sie die Funktion f: X → B, dass ein ~ b &rarr solch sein; f (a) = f (b). Dann gibt es eine einzigartige Funktion g: X / ~ → B, solch dass f = gπ. wenn f eine Surjektion und ein ~ b &harr ist; f (a) = f (b) dann ist g eine Bijektion.

Gleichwertigkeitskern

Der Gleichwertigkeitskern einer Funktion f ist die Gleichwertigkeitsbeziehung ~ definiert dadurch. Der Gleichwertigkeitskern einer Einspritzung ist die Identitätsbeziehung.

Teilung

Eine Teilung X ist ein Satz P von nichtleeren Teilmengen X, solch, dass jedes Element X ein Element eines einzelnen Elements von P ist. Jedes Element von P ist eine Zelle der Teilung. Außerdem sind die Elemente von P zusammenhangloser pairwise, und ihre Vereinigung ist X.

Das Aufzählen möglicher Teilungen

Lassen Sie X ein begrenzter Satz mit n Elementen sein. Seit jeder Gleichwertigkeitsbeziehung entsprechen mehr als X einer Teilung X, und umgekehrt, die Zahl von möglichen Gleichwertigkeitsbeziehungen auf X kommt der Zahl von verschiedenen Teilungen X gleich, der der n-te Bell Nummer B ist

:

wo der obengenannte eine der Weisen ist, die n-te Zahl von Bell zu schreiben.

Hauptsatz von Gleichwertigkeitsbeziehungen

Ein Schlüsselergebnis verbindet Gleichwertigkeitsbeziehungen und Teilungen:

• Eine Gleichwertigkeitsbeziehung ~ auf einem Satz X Teilungen X.
• Umgekehrt, entsprechend jeder Teilung X, dort besteht eine Gleichwertigkeitsbeziehung ~ auf X.

In beiden Fällen sind die Zellen der Teilung X die Gleichwertigkeitsklassen X durch ~. Da jedes Element X einer einzigartigen Zelle jeder Teilung X gehört, und da jede Zelle der Teilung zu einer Gleichwertigkeitsklasse X durch ~ identisch ist, gehört jedes Element X einer einzigartigen Gleichwertigkeitsklasse X durch ~. So gibt es eine natürliche Bijektion vom Satz aller möglichen Gleichwertigkeitsbeziehungen auf X und dem Satz aller Teilungen X.

Das Vergleichen von Gleichwertigkeitsbeziehungen

Wenn ~ und  zwei Gleichwertigkeitsbeziehungen auf demselben Satz S sind, und a~b ab für den ganzen a, b  S einbezieht, dann, wie man sagt, ist  eine rauere Beziehung als ~, und ~ ist eine feinere Beziehung als . Gleichwertig,

• ~ ist feiner als , wenn jede Gleichwertigkeitsklasse von ~ eine Teilmenge einer Gleichwertigkeitsklasse von  ist, und so jede Gleichwertigkeitsklasse von  eine Vereinigung von Gleichwertigkeitsklassen von ~ ist.
• ~ ist feiner als , wenn die durch ~ geschaffene Teilung eine Verbesserung der durch  geschaffenen Teilung ist.

Die Gleichheitsgleichwertigkeitsbeziehung ist die feinste Gleichwertigkeitsbeziehung auf jedem Satz, während die triviale Beziehung, die alle Paare von Elementen verwandt macht, am rausten ist.

Die Beziehung "~ ist feiner, als " auf der Sammlung aller Gleichwertigkeitsbeziehungen auf einem festen Satz selbst eine teilweise Ordnungsbeziehung ist.

Das Erzeugen von Gleichwertigkeitsbeziehungen

• In Anbetracht jedes Satzes X gibt es eine Gleichwertigkeitsbeziehung über den Satz [XX] aller möglichen Funktionen XX. Zwei solche Funktionen werden gleichwertig gehalten, wenn ihre jeweiligen Sätze von fixpoints denselben cardinality, entsprechend Zyklen der Länge ein in einer Versetzung haben. Auf diese Weise gleichwertige Funktionen bilden eine Gleichwertigkeitsklasse auf [XX] und diese Gleichwertigkeitsklassen Teilung [XX].
• Eine Gleichwertigkeitsbeziehung ~ auf X ist der Gleichwertigkeitskern seines surjective Vorsprungs π: X  X / ~. Umgekehrt bestimmt jede Surjektion zwischen Sätzen eine Teilung auf seinem Gebiet, dem Satz von Vorimages des Singletons im codomain. So eine Gleichwertigkeitsbeziehung sind mehr als X, eine Teilung X, und ein Vorsprung, dessen Gebiet X ist, drei gleichwertige Weisen, dasselbe Ding anzugeben.
• Die Kreuzung jeder Sammlung von Gleichwertigkeitsbeziehungen mehr als X (angesehen als eine Teilmenge X × X) ist auch eine Gleichwertigkeitsbeziehung. Das gibt eine günstige Weise nach, eine Gleichwertigkeitsbeziehung zu erzeugen: In Anbetracht jeder binären Beziehung R auf X ist die durch R erzeugte Gleichwertigkeitsbeziehung die kleinste Gleichwertigkeitsbeziehung, die R enthält. Konkret erzeugt R die Gleichwertigkeitsbeziehung ein ~ b, wenn, und nur wenn dort Elemente x, x..., x in X solch dass = x, b = x, und (x, x) R oder (x, x) R, ich = 1..., n-1 bestehen.

:Note, dass die auf diese Weise erzeugte Gleichwertigkeitsbeziehung trivial sein kann. Zum Beispiel, die Gleichwertigkeitsbeziehung ~ erzeugt durch:

:*Any-Gesamtbezug auf X hat genau eine Gleichwertigkeitsklasse, X selbst, weil x ~ y für den ganzen x und y;

Die:*Any-Teilmenge der Identitätsbeziehung auf X hat Gleichwertigkeitsklassen, die der Singleton X sind.

• Gleichwertigkeitsbeziehungen können neue Räume "das Kleben von Dingen zusammen bauen." Lassen Sie X die Einheit der Cartesian Square [0,1] &times sein; [0,1], und lassen ~ die Gleichwertigkeitsbeziehung auf X definiert durch a, b  [0,1] ((a, 0) ~ (a, 1)  (0, b) ~ (1, b)) sein. Dann kann der Quotient-Raum X / ~ mit einem Ring natürlich identifiziert werden: Nehmen Sie ein Quadratstück von Papier, Kurve und kleben Sie zusammen den oberen und niedrigeren Rand, um einen Zylinder zu bilden, dann biegen Sie den resultierenden Zylinder, um zusammen seine zwei offenen Enden zu kleben, auf einen Ring hinauslaufend.

Algebraische Struktur

Viel Mathematik wird in der Studie von Gleichwertigkeiten und den Ordnungsbeziehungen niedergelegt. Gitter-Theorie gewinnt die mathematische Struktur von Ordnungsbeziehungen. Wenn auch Gleichwertigkeitsbeziehungen so in der Mathematik allgegenwärtig sind wie Ordnungsbeziehungen, ist die algebraische Struktur von Gleichwertigkeiten als diese von Ordnungen nicht ebenso bekannt. Die ehemalige Struktur zieht in erster Linie Gruppentheorie und, in einem kleineren Ausmaß, auf der Theorie von Gittern, Kategorien und groupoids an.

Gruppentheorie

Da Ordnungsbeziehungen in bestellten Sätzen, Sätze niedergelegt werden, die unter dem pairwise Supremum und infimum geschlossen sind, werden Gleichwertigkeitsbeziehungen in verteilten Sätzen niedergelegt, die Sätze sind, die unter Bijektionen geschlossen sind, und Teilungsstruktur bewahren. Da alle diese Bijektionen eine Gleichwertigkeitsklasse auf sich kartografisch darstellen, sind solche Bijektionen auch bekannt als Versetzungen. Folglich werfen Versetzungsgruppen (auch bekannt als Transformationsgruppen) und der zusammenhängende Begriff der Bahn Licht auf die mathematische Struktur von Gleichwertigkeitsbeziehungen.

Lassen Sie '~' eine Gleichwertigkeitsbeziehung über einen nichtleeren Satz A, genannt das Weltall oder den zu Grunde liegenden Satz anzeigen. Lassen Sie G den Satz von bijektiven Funktionen über anzeigen, die die Teilungsstruktur von A bewahren: x  Ein g  G (g (x)  [x]). Dann halten die folgenden drei verbundenen Lehrsätze:

• ~ verteilt in Gleichwertigkeitsklassen. (Das ist der Hauptsatz von Gleichwertigkeitsbeziehungen, die oben erwähnt sind);
• In Anbetracht einer Teilung von A ist G eine Transformationsgruppe unter der Zusammensetzung, deren Bahnen die Zellen der Teilung ‡ sind;
• In Anbetracht einer Transformationsgruppe G über A, dort besteht eine Gleichwertigkeitsbeziehung ~ über A, dessen Gleichwertigkeitsklassen die Bahnen von G sind.

In der Summe, in Anbetracht einer Gleichwertigkeitsbeziehung ~ über A, dort besteht eine Transformationsgruppe G über, wessen Bahnen die Gleichwertigkeitsklassen unter ~ sind.

Diese Transformationsgruppencharakterisierung von Gleichwertigkeitsbeziehungen unterscheidet sich im Wesentlichen von der Weise, wie Gitter Ordnungsbeziehungen charakterisieren. Die Argumente der Gitter-Theorie-Operationen treffen sich, und Verbindungslinie sind Elemente von einem Weltall A. Inzwischen sind die Argumente der Transformationsgruppenoperationszusammensetzung und des Gegenteils Elemente von einer Reihe von Bijektionen, Ein  A.

Wenn Sie

sich zu Gruppen im Allgemeinen bewegen, lassen Sie H eine Untergruppe von einer Gruppe G sein. Lassen Sie ~ eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf G, solch dass ein ~ b  (ab  H) sein. Die Gleichwertigkeitsklassen von ~ - haben auch gerufen die Bahnen der Handlung von H auf G - sind das Recht cosets H in G. Das Austauschen a und b gibt den linken cosets nach.

‡ Beweis. Lassen Sie Funktionszusammensetzung Gruppenmultiplikation interpretieren, und Funktionsgegenteil interpretiert Gruppengegenteil. Dann ist G eine Gruppe unter der Zusammensetzung, bedeutend, dass x  Ein g  G ([g (x)] = [x]), weil G die folgenden vier Bedingungen befriedigt:

• G wird unter der Zusammensetzung geschlossen. Die Zusammensetzung irgendwelcher zwei Elemente von G besteht, weil das Gebiet und codomain jedes Elements von G A sind. Außerdem ist die Zusammensetzung von Bijektionen bijektiv;
• Existenz des Identitätselements. Die Identitätsfunktion, ich (x) =x, ist ein offensichtliches Element von G;
• Existenz der umgekehrten Funktion. Jede bijektive Funktion g hat ein Gegenteil g, solch dass gg = ich;
• Zusammensetzungspartner. f (gh) = (fg) h. Das hält für alle Funktionen über alle Gebiete.

Lassen Sie f und g irgendwelche zwei Elemente von G sein. Auf Grund von der Definition von G, [g (f (x))] = [f (x)] und [f (x)] = [x], so dass [g (f (x))] = [x]. Folglich ist G auch eine Transformationsgruppe (und eine automorphism Gruppe), weil Funktionszusammensetzung das Verteilen von A. bewahrt

Das zusammenhängende Denken kann in Rosen gefunden werden (2008: chpt. 10).

Kategorien und groupoids

Lassen Sie G ein Satz sein und "~" eine Gleichwertigkeitsbeziehung über G anzeigen zu lassen. Dann können wir einen groupoid bilden, der diese Gleichwertigkeitsbeziehung wie folgt vertritt. Die Gegenstände sind die Elemente von G, und für irgendwelche zwei Elemente x und y von G, dort besteht ein einzigartiger morphism von x bis y wenn und nur wenn x~y.

Die Vorteile der Bewertung einer Gleichwertigkeitsbeziehung als ein spezieller Fall eines groupoid schließen ein:

• Wohingegen der Begriff der "freien Gleichwertigkeitsbeziehung" nicht besteht, tut dieser eines freien groupoid auf einem geleiteten Graphen. So ist es bedeutungsvoll, um von einer "Präsentation einer Gleichwertigkeitsbeziehung," d. h., einer Präsentation des entsprechenden groupoid zu sprechen;
• Bündel von Gruppen, Gruppenhandlungen, Sätzen und Gleichwertigkeitsbeziehungen können als spezielle Fälle des Begriffs von groupoid, ein Gesichtspunkt betrachtet werden, der mehrere Analogien andeutet;
• In vielen Zusammenhängen "quotienting", und folglich haben die passenden Gleichwertigkeitsbeziehungen häufig Kongruenzen genannt, sind wichtig. Das führt zum Begriff eines inneren groupoid in einer Kategorie.

Gitter

Die möglichen Gleichwertigkeitsbeziehungen auf jedem Satz X, wenn bestellt, durch die Satz-Einschließung, bilden ein ganzes Gitter, genannt Con X durch die Tagung. Die kanonische Karte ker: X^X  Con X, verbindet den monoid X^X aller Funktionen auf X, und Con X ist ker surjective, aber nicht injective. Weniger formell, die Gleichwertigkeitsbeziehung ker auf X, nimmt jede Funktion f: XX zu seinem Kern ker f. Ebenfalls ker ist (ker) eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf X^X.

Gleichwertigkeitsbeziehungen und mathematische Logik

Gleichwertigkeitsbeziehungen sind eine bereite Quelle von Beispielen oder Gegenbeispielen. Zum Beispiel ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung mit genau zwei unendlichen Gleichwertigkeitsklassen ein leichtes Beispiel einer Theorie, die ω-categorical, aber nicht kategorisch für jede größere Grundzahl ist.

Eine Implikation der Mustertheorie ist, dass die Eigenschaften, die eine Beziehung definieren, unabhängig von einander bewiesen werden können (und folglich notwendige Teile der Definition), wenn, und nur wenn, für jedes Eigentum, Beispiele von Beziehungen gefunden werden können, die nicht das gegebene Eigentum befriedigen, während man alle anderen Eigenschaften befriedigt. Folglich können die drei Definieren-Eigenschaften von Gleichwertigkeitsbeziehungen gegenseitig unabhängig durch die folgenden drei Beispiele bewiesen werden:

• Reflexiv und transitiv: Die Beziehung  auf N. Oder jede Vorordnung;
• Symmetrisch und transitiv: Die Beziehung R auf N, definiert als aRb  ab  0. Oder jede teilweise Gleichwertigkeitsbeziehung;
• Reflexiv und symmetrisch: Die Beziehung R auf Z, definiert als aRb  "− b ist durch mindestens einen 2 oder 3 teilbar." Oder jede Abhängigkeitsbeziehung.

In der Logik der ersten Ordnung definierbare Eigenschaften, dass eine Gleichwertigkeitsbeziehung kann oder nicht besitzen kann, schließen ein:

• Die Zahl von Gleichwertigkeitsklassen ist begrenzt oder unendlich;
• Die Zahl von Gleichwertigkeitsklassen kommt der (begrenzten) natürlichen Zahl n gleich;
• Alle Gleichwertigkeitsklassen haben unendlichen cardinality;
• Die Zahl der Elemente in jeder Gleichwertigkeitsklasse ist die natürliche Zahl n.

Euklidische Beziehungen

Euklid Die Elemente schließt den folgenden "Allgemeinen Begriff 1" ein:

:Things, die demselben Ding auch gleich einander gleichkommen.

Heutzutage wird das Eigentum, das durch den Allgemeinen Begriff 1 beschrieben ist, Euklidisch genannt (das Ersetzen "gleich" durch "sind in der Beziehung mit"). Der folgende Lehrsatz verbindet Euklidische Beziehungen und Gleichwertigkeitsbeziehungen:

Lehrsatz. Wenn eine Beziehung euklidisch und reflexiv ist, ist es auch symmetrisch und transitiv.

Beweis:

• (funken Sie  bRc)  aRb [a/c] = (aRa  Büstenhalter)  aRb [reflexiv; löschen Sie T ] = Büstenhalter  aRb. Folglich ist R symmetrisch.
• (funken Sie  bRc)  aRb [Symmetrie] = (Kreisbogen  cRb)  aRb. Folglich ist R transitiv.

Folglich ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung eine Beziehung, die euklidisch und reflexiv ist. Die Elemente erwähnen weder Symmetrie noch reflexivity, und Euklid hätte wahrscheinlich den reflexivity der Gleichheit für zu offensichtlich gehalten, um ausführliche Erwähnung zu bevollmächtigen.

Siehe auch

• Geleitet setzt
• Symmetrie-Gruppe
• Topologischer conjugacy
• Bis zu

Referenzen

• Braun, Ronald, 2006. Topology und Groupoids. Internationale Standardbuchnummer von Booksurge LLC 1419627228.
• Castellani, E., 2003, "Symmetrie und Gleichwertigkeit" in Brading, Katherine, und E. Castellani, Hrsg., Symmetries in der Physik: Philosophisches Nachdenken. Cambridge Univ. Drücken Sie: 422-433.
• Robert Dilworth und Crawley, Peter, 1973. Algebraische Theorie von Gittern. Prentice Hall. Chpt. 12 bespricht, wie Gleichwertigkeitsbeziehungen in der Gitter-Theorie entstehen.
• Higgins, P.J. 1971. Kategorien und groupoids. Van Nostrand. Herunterladbar seit 2005 als ein TAC-Nachdruck.
• John Randolph Lucas, 1973. Eine Abhandlung rechtzeitig und Raum. London: Methuen. Abschnitt 31.
• Rosen, Joseph (2008) Symmetrie-Regeln: Wie Wissenschaft und Natur auf der Symmetrie Gegründet werden. Springer-Verlag. Größtenteils chpts. 9,10.

Links

• Bogomolny, A., "Gleichwertigkeit Beziehung" Knoten-Kürzung. Zugegriffen am 1. September 2009
• Gleichwertigkeitsbeziehung an PlanetMath