In der Quant-Mechanik ist Unruhe-Theorie eine Reihe von Annäherungsschemas, die direkt mit der mathematischen Unruhe verbunden ist, für ein kompliziertes Quant-System in Bezug auf ein einfacheres zu beschreiben. Die Idee ist, mit einem einfachen System anzufangen, für das eine mathematische Lösung bekannt ist, und fügen Sie ein zusätzliches "Stören" Hamiltonian hinzu, der eine schwache Störung zum System vertritt. Wenn die Störung nicht zu groß ist, können die verschiedenen physischen Mengen, die mit dem gestörten System (z.B seine Energieniveaus und eigenstates) von Rücksichten der Kontinuität vereinigt sind, als 'Korrekturen' zu denjenigen des einfachen Systems ausgedrückt werden. Diese Korrekturen, im Vergleich zur Größe der Mengen selbst 'klein' seiend, können mit ungefähren Methoden wie asymptotische Reihe berechnet werden. Das komplizierte System kann deshalb gestützt auf Kenntnissen des einfacheren studiert werden.

Anwendungen der Unruhe-Theorie

Unruhe-Theorie ist ein wichtiges Werkzeug, um echte Quant-Systeme zu beschreiben, weil es sich erweist, sehr schwierig zu sein, genaue Lösungen der Gleichung von Schrödinger für Hamiltonians der sogar gemäßigten Kompliziertheit zu finden. Die Hamiltonians, deren wir genaue Lösungen, wie das Wasserstoffatom, das Quant harmonischer Oszillator und die Partikel in einem Kasten wissen, werden zu idealisiert, um die meisten Systeme entsprechend zu beschreiben. Mit der Unruhe-Theorie können wir die bekannten Lösungen dieser einfachen Hamiltonians verwenden, Lösungen für eine Reihe von mehr komplizierten Systemen zu erzeugen. Zum Beispiel, indem wir ein perturbative elektrisches Potenzial zum Quant mechanisches Modell des Wasserstoffatoms hinzufügen, können wir die winzigen Verschiebungen in den geisterhaften Linien von Wasserstoff berechnen, der durch die Anwesenheit eines elektrischen Feldes (die Steife Wirkung) verursacht ist. Das ist nur ungefähr, weil die Summe eines Ampere-Sekunde-Potenzials mit einem geradlinigen Potenzial nicht stabil ist, obwohl die tunneling Zeit (Zerfall-Rate) sehr lang ist. Das taucht als ein Erweitern der Energiespektrum-Linien, etwas auf, was Unruhe-Theorie scheitert, völlig wieder hervorzubringen.

Die durch die Unruhe-Theorie erzeugten Ausdrücke sind nicht genau, aber sie können

führen Sie zu genauen Ergebnissen, so lange der Vergrößerungsparameter, sagen wir, sehr klein ist. Gewöhnlich werden die Ergebnisse in Bezug auf die begrenzte Macht-Reihe in ausgedrückt

das scheint, zu den genauen Werten, wenn summiert, zur höheren Ordnung zusammenzulaufen. Nach einer bestimmten Ordnung, jedoch, werden die Ergebnisse zunehmend schlechter, da die Reihen gewöhnlich auseinander gehend sind (asymptotische Reihe zu sein). Dort bestehen Sie Weisen, sie in die konvergente Reihe umzuwandeln, die für Rahmen der großen Vergrößerung am effizientesten durch die Abweichende Methode bewertet werden kann.

In der Theorie der Quant-Elektrodynamik (QED), in der die Elektronfoton-Wechselwirkung perturbatively behandelt wird, wie man gefunden hat, ist die Berechnung des magnetischen Moments des Elektrons mit Experiment zu elf dezimalen Plätzen übereingestimmt. In QED und andere Quant-Feldtheorien spezielle bekannte Berechnungstechniken weil werden Diagramme von Feynman verwendet, um die Macht-Reihe-Begriffe systematisch zu summieren.

Unter einigen Verhältnissen ist Unruhe-Theorie eine ungültige Annäherung, um zu nehmen. Das geschieht, wenn das System, das wir beschreiben möchten, durch eine kleine einem einfachen System auferlegte Unruhe nicht beschrieben werden kann. Im Quant chromodynamics, zum Beispiel, kann die Wechselwirkung von Quarken mit dem gluon Feld nicht perturbatively an niedrigen Energien behandelt werden, weil die Kopplungskonstante (der Vergrößerungsparameter) zu groß wird. Unruhe-Theorie scheitert auch, Staaten zu beschreiben, die adiabatisch vom "freien Modell", einschließlich bestimmter Staaten und verschiedener gesammelter Phänomene wie solitons nicht erzeugt werden. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass wir ein System von freien haben (d. h. aufeinander nichtwirkend) Partikeln, in die eine attraktive Wechselwirkung eingeführt wird. Abhängig von der Form der Wechselwirkung kann das einen völlig neuen Satz von eigenstates entsprechend Gruppen von zu einander gebundenen Partikeln schaffen. Ein Beispiel dieses Phänomenes kann in der herkömmlichen Supraleitfähigkeit gefunden werden, in der die phonon-vermittelte Anziehungskraft zwischen Leitungselektronen zur Bildung von aufeinander bezogenen als Paare von Cooper bekannten Elektronpaaren führt. Wenn, mit solchen Systemen konfrontierend, man sich gewöhnlich anderen Annäherungsschemas, wie die abweichende Methode und die WKB Annäherung zuwendet. Das ist, weil es keine Entsprechung einer bestimmten Partikel im nicht beunruhigten Modell gibt und die Energie eines soliton normalerweise als das Gegenteil des Vergrößerungsparameters geht. Jedoch, wenn wir über die solitonic Phänomene "integrieren", werden die nonperturbative Korrekturen in diesem Fall winzig sein; der Ordnung oder im Unruhe-Parameter g. Unruhe-Theorie kann nur an der nicht beunruhigten Lösung "nahe" Lösungen entdecken, selbst wenn es andere Lösungen gibt (die normalerweise explodieren, als der Vergrößerungsparameter zur Null geht).

Das Problem von non-perturbative Systemen ist durch das Advent von modernen Computern etwas erleichtert worden. Es ist praktisch geworden, um numerische non-perturbative Lösungen für bestimmte Probleme, mit Methoden wie Dichte funktionelle Theorie zu erhalten. Diese Fortschritte sind des besonderen Vorteils für das Feld der Quant-Chemie gewesen. Computer sind auch verwendet worden, um Unruhe-Theorie-Berechnungen zu außerordentlich hohen Niveaus der Präzision auszuführen, die sich wichtig in der Partikel-Physik erwiesen hat, um theoretische Ergebnisse zu erzeugen, die im Vergleich zum Experiment sein können.

Zeitunabhängige Unruhe-Theorie

Zeitunabhängige Unruhe-Theorie ist eine von zwei Kategorien der Unruhe-Theorie, der andere, zeitabhängige Unruhe seiend (sieh folgende Abteilung). In der zeitunabhängigen Unruhe-Theorie die Unruhe ist Hamiltonian statisch (d. h., besitzt keine Zeitabhängigkeit). Zeitunabhängige Unruhe-Theorie wurde von Erwin Schrödinger in einer 1926-Zeitung präsentiert, kurz nachdem er seine Theorien in der Welle-Mechanik erzeugt hat. In dieser Zeitung hat sich Schrödinger auf die frühere Arbeit von Herrn Rayleigh bezogen, der harmonische Vibrationen einer durch kleine Inhomogenitäten gestörten Schnur untersucht hat. Das ist, warum diese Unruhe-Theorie häufig Unruhe-Theorie von Rayleigh-Schrödinger genannt wird.

Die ersten Ordnungskorrekturen

Wir beginnen mit einem nicht beunruhigten Hamiltonian H, der, wie man auch annimmt, Abhängigkeit keine Zeit hat. Es hat Energieniveaus und eigenstates gewusst, aus der zeitunabhängigen Gleichung von Schrödinger entstehend:

:

Für die Einfachheit haben wir angenommen, dass die Energien getrennt sind. Die Exponenten zeigen an, dass diese Mengen mit dem nicht beunruhigten System vereinigt werden. Bemerken Sie den Gebrauch der Notation des Büstenhalters-ket.

Wir führen jetzt eine Unruhe in Hamiltonian ein. Lassen Sie V Hamiltonian sein, der eine schwache physische Störung wie eine potenzielle durch ein Außenfeld erzeugte Energie vertritt. (So, V ist formell ein Maschinenbediener von Hermitian.) Lassen, ein ohne Dimension Parameter zu sein, der Werte übernehmen kann, die sich unaufhörlich von 0 (keine Unruhe) zu 1 (die volle Unruhe) erstrecken. Gestörter Hamiltonian ist

:

Die Energieniveaus und eigenstates von gestörtem Hamiltonian werden wieder durch die Gleichung von Schrödinger gegeben:

:

Unsere Absicht ist auszudrücken und |n> in Bezug auf die Energieniveaus und eigenstates alten Hamiltonian. Wenn die Unruhe genug schwach ist, können wir ihnen als Macht-Reihe in λ schreiben:

::

wo

:

und

:

Wenn λ = 0, diese zu den nicht beunruhigten Werten abnehmen, die der erste Begriff in jeder Reihe sind. Da die Unruhe schwach ist, sollten die Energieniveaus und eigenstates nicht zu viel von ihren nicht beunruhigten Werten abgehen, und die Begriffe sollten kleiner schnell werden, als wir zur höheren Ordnung gehen.

Die Macht-Reihe in die Gleichung von Schrödinger einsteckend, erhalten wir

:

\left (H_0 + \lambda V \right) \left (|n^ {(0) hat }\\+ \lambda |n^ {(1) }\\geklingelt, hat + \cdots \right geklingelt), \qquad\qquad\qquad\qquad \\

\qquad\qquad\qquad = \left (E_n^ {(0)} + \lambda E_n^ {(1)} + \lambda^2 E_n^ {(2)} + \cdots \right) \left (|n^ {(0) hat }\\+ \lambda |n^ {(1) }\\geklingelt, hat + \cdots \right geklingelt)

\end {Matrix} </Mathematik>

Die Erweiterung dieser Gleichung und das Vergleichen von Koeffizienten jeder Macht von λ laufen auf eine unendliche Reihe von gleichzeitigen Gleichungen hinaus. Die Zeroth-Ordnungsgleichung ist einfach die Gleichung von Schrödinger für das nicht beunruhigte System. Die Gleichung der ersten Ordnung ist

:

Das Funktionieren durch durch &lt;n. Der erste Begriff annulliert auf der linken Seite mit dem ersten Begriff auf der rechten Seite. (Rufen Sie zurück, nicht beunruhigter Hamiltonian ist hermitian). Das führt zur Energieverschiebung der ersten Ordnung:

:

Das ist einfach der Erwartungswert der Unruhe Hamiltonian, während das System im nicht beunruhigten Staat ist. Dieses Ergebnis kann folgendermaßen interpretiert werden: Nehmen Sie an, dass die Unruhe angewandt wird, aber wir behalten das System im Quant-Staat |n&gt; der ein gültiger Quant-Staat obwohl nicht mehr eine Energie eigenstate ist. Die Unruhe verursacht die durchschnittliche Energie dieses Staates, durch &lt;nVn&gt zuzunehmen;. jedoch ist die wahre Energieverschiebung ein bisschen verschieden, weil der gestörte eigenstate nicht genau dasselbe als |n&gt ist;. diese weiteren Verschiebungen werden durch die zweiten und höheren Ordnungskorrekturen der Energie gegeben.

Bevor wir die Korrekturen zur Energie eigenstate schätzen, müssen wir das Problem der Normalisierung richten. Wir können &lt;nn&gt;=1 denken, aber Unruhe-Theorie nimmt an, dass wir auch &lt;nn&gt;=1 haben. Hieraus folgt dass an der ersten Ordnung in λ wir &lt;nn&gt;+&lt;nn&gt;=0 haben müssen. Da die gesamte Phase in der Quant-Mechanik ohne Verlust der Allgemeinheit nicht bestimmt wird, können wir &lt;nn&gt annehmen; ist rein echt. Deshalb, &lt;nn&gt;=-&lt;nn&gt; und wir leiten ab

:

Um die Korrektur der ersten Ordnung zur Energie eigenstate zu erhalten, fügen wir unseren Ausdruck für die Energiekorrektur der ersten Ordnung zurück ins Ergebnis ein, das oben gezeigt ist, die Koeffizienten der ersten Ordnung von λ auszugleichen. Wir machen dann von der Entschlossenheit der Identität, Gebrauch

:

</Mathematik>

:::

\sum_ {k\ne n} k^ {(0) }\\rangle\langle k^ {(0)} Vn^ {(0) }\\rangle + E_n^ {(1)} n^ {(0) }\\rangle,

</Mathematik>

wo in der orthogonalen Ergänzung dessen ist. Das Ergebnis ist

:

Nehmen Sie im Augenblick an, dass das Zeroth-Ordnungsenergieniveau nicht degeneriert ist, d. h. es keinen eigenstate in der orthogonalen Ergänzung mit der Energie gibt. Wir multiplizieren durch durch &lt;k, der gibt

:

und folglich der Bestandteil der Korrektur der ersten Ordnung vorwärts |k&gt; seitdem durch die Annahme. Insgesamt bekommen wir

:

Die Änderung der ersten Ordnung in der n-ten Energie eigenket hat einen Beitrag von jeder der Energie eigenstates k  n. Jeder Begriff ist zum Matrixelement &lt;kVn&gt proportional; der ein Maß dessen ist, wie viel die Unruhe eigenstate n mit eigenstate k mischt; es ist auch zum Energieunterschied zwischen eigenstates k und n umgekehrt proportional, was bedeutet, dass die Unruhe den eigenstate in einem größeren Ausmaß deformiert, wenn es mehr eigenstates an nahe gelegenen Energien gibt. Wir sehen auch, dass der Ausdruck einzigartig ist, wenn einige dieser Staaten dieselbe Energie wie Staat n hat, der ist, warum wir angenommen haben, dass es keine Entartung gibt.

Zweite Ordnung und höhere Korrekturen

Wir können die höherwertigen Abweichungen durch ein ähnliches Verfahren finden, obwohl die Berechnungen ziemlich langweilig mit unserer aktuellen Formulierung werden. Unsere Normalisierungsvorschrift gibt das 2&lt;nn&gt;+&lt;nn&gt;=0. Bis zur zweiten Ordnung sind die Ausdrücke für die Energien und (normalisierten) eigenstates:

:::

Den Prozess weiter erweiternd, wie man zeigen kann, ist die Energiekorrektur der dritten Ordnung

:

Effekten der Entartung

Nehmen Sie an, dass zwei oder mehr Energie eigenstates degeneriert ist. Die Energieverschiebung der ersten Ordnung wird nicht gut definiert, da es keine einzigartige Weise gibt, eine Basis von eigenstates für das nicht beunruhigte System zu wählen. Die Berechnung der Änderung im eigenstate ist ebenso, weil der Maschinenbediener problematisch

:

hat kein bestimmtes Gegenteil.

Lassen Sie D anzeigen, dass der durch diese abgemessene Subraum eigenstates degeneriert. Egal wie klein die Unruhe ist, im degenerierten Subraum D die Energieunterschiede zwischen dem eigenstates sind Null, so wird das ganze Mischen mindestens einiger dieser Staaten gesichert. So kann die Unruhe nicht klein im D Subraum und in diesem Subraum betrachtet werden neuer Hamiltonian muss diagonalized zuerst sein. Diese korrigieren gestörten eigenstates in D sind jetzt die Basis für die Unruhe-Vergrößerung:

:

wo nur eigenstates außerhalb des D Subraums betrachtet werden, klein zu sein. Für die Unruhe der ersten Ordnung müssen wir gestörten Hamiltonian lösen, der auf den degenerierten Subraum D eingeschränkt ist

:

gleichzeitig für den ganzen degenerierten eigenstates, wo Korrekturen der ersten Ordnung zu den degenerierten Energieniveaus sind. Das ist zu diagonalizing die Matrix gleichwertig

:

Dieses Verfahren ist ungefähr, seitdem wir Staaten außerhalb des D Subraums vernachlässigt haben. Das Aufspalten von degenerierten Energien wird allgemein beobachtet. Obwohl das Aufspalten im Vergleich zur Reihe von im System gefundenen Energien klein sein kann, ist es im Verstehen bestimmter Details wie geisterhafte Linien in Elektrondrehungsklangfülle-Experimenten entscheidend.

Höherwertige Korrekturen wegen anderen eigenstates können ebenso bezüglich des nichtdegenerierten Falls gefunden werden

:

Der Maschinenbediener ergreift linker Hand Partei, ist wenn angewandt, auf eigenstates außerhalb D nicht einzigartig, so können wir schreiben

:

aber die Wirkung auf die degenerierten Staaten ist winzig, zum Quadrat der Korrektur der ersten Ordnung proportional.

Nah-degenerierte Staaten sollten auch auf die obengenannte Weise behandelt werden, da ursprünglicher Hamiltonian nicht größer sein wird als die Unruhe im nah-degenerierten Subraum. Eine Anwendung wird im fast freien Elektronmodell gefunden, wo nahe Entartung behandelt hat, richtig verursacht eine Energielücke sogar für kleine Unruhen. Anderer eigenstates wird nur die absolute Energie aller nah-degenerierten Staaten gleichzeitig auswechseln.

Generalisation zum Mehrparameter-Fall

Die Generalisation der zeitunabhängigen Unruhe-Theorie zum Mehrparameter-Fall kann systematischer mit der Sprache der Differenzialgeometrie formuliert werden, die grundsätzlich die Ableitungen der Quant-Staaten definiert und berechnen Sie die perturbative Korrekturen, indem Sie Ableitungen wiederholend am nicht beunruhigten Punkt nehmen.

Hamiltonian und Force Operator

Aus dem geometrischen Differenzialgesichtspunkt wird parametrisierter Hamiltonian als eine Funktion betrachtet, die auf der Parameter-Sammelleitung definiert ist, die jeden besonderen Satz von Rahmen einem Maschinenbediener von Hermitian kartografisch darstellt, der dem Raum von Hilbert folgt. Die Rahmen hier können Außenfeld, Wechselwirkungskraft oder das Fahren von Rahmen im Quant-Phase-Übergang sein. Lassen Sie und seien Sie der n eigenenergy und eigenstate beziehungsweise. Auf der Sprache der ehrerbietigen Geometrie bilden die Staaten ein Vektor-Bündel über die Parameter-Sammelleitung, auf der Ableitungen dieser Staaten definiert werden können. Die Unruhe-Theorie ist, auf die folgende Frage zu antworten: Gegeben und an einem nicht beunruhigten Bezugspunkt, wie man und auf in der Nähe von diesem Bezugspunkt schätzt.

Ohne Verlust der Allgemeinheit, das Koordinatensystem kann ausgewechselt, solch werden, dass der Bezugspunkt veranlasst wird, der Ursprung zu sein. Folgender geradlinig parametrisierter Hamiltonian wird oft verwendet

:.

Wenn die Rahmen als verallgemeinerte Koordinaten betrachtet werden, dann als die verallgemeinerten mit jenen Koordinaten verbundenen Kraft-Maschinenbediener identifiziert werden sollten. Verschiedene Indizes μ's etikettieren die verschiedenen Kräfte entlang verschiedenen Richtungen in der Parameter-Sammelleitung. Zum Beispiel, wenn das magnetische Außenfeld im μ-direction anzeigt, dann die Magnetisierung in derselben Richtung sein sollte.

Unruhe-Theorie als Macht-Reihenentwicklung

Die Gültigkeit der Unruhe-Theorie liegt auf der adiabatischen Annahme, die den eigenenergies annimmt und eigenstates von Hamiltonian glatte Funktionen von solchen Rahmen sind, dass ihre Werte im Umgebungsgebiet in der Macht-Reihe (wie Vergrößerung von Taylor) von den Rahmen berechnet werden können:

::

Hier zeigt die Ableitung in Bezug darauf an. Wenn man für den Staat gilt, sollte es als die Lüge-Ableitung verstanden werden, wenn das Vektor-Bündel mit der nichtverschwindenden Verbindung ausgestattet wird. Alle Begriffe auf der rechten Seite der Reihe werden an z.B bewertet und. Diese Tagung wird angenommen, obwohl dieser Paragraph, dass, wie man annimmt, alle Funktionen ohne die ausführlich festgesetzte Parameter-Abhängigkeit am Ursprung bewertet werden. Die Macht-Reihe kann langsam oder sogar das nicht Zusammenlaufen zusammenlaufen, wenn die Energieniveaus einander nah sind. Die adiabatische Annahme bricht zusammen, wenn es Energieniveau-Entartung gibt, und folglich die Unruhe-Theorie in diesem Fall nicht anwendbar ist.

Hellmann-Feynman Lehrsätze

Die obengenannte Macht-Reihenentwicklung kann sogleich bewertet werden, wenn es eine systematische Annäherung gibt, um den derivates zu einer Ordnung zu berechnen. Mit der Kettenregel können die Ableitungen zur einzelnen Ableitung entweder auf der Energie oder auf dem Staat gebrochen werden. Die Hellmann-Feynman Lehrsätze sind an den berechneten diese einzelnen Ableitungen gewöhnt. Der erste Hellmann-Feynman Lehrsatz gibt die Ableitung der Energie,

:.

Der zweite Hellmann-Feynman Lehrsatz gibt die Ableitung des Staates (aufgelöst durch die ganze Basis mit der M  n),

:

:.

Für geradlinig parametrisierten Hamiltonian, tritt einfach für den verallgemeinerten Kraft-Maschinenbediener ein.

Die Lehrsätze können einfach durch die Verwendung des Differenzialoperatoren auf beide Seiten der Gleichung von Schrödinger abgeleitet werden, die liest

:.

Dann macht das Übergreifen mit dem Staat vom linken und von der Gleichung von Schrödinger wieder, Gebrauch

:.

Vorausgesetzt, dass der eigenstates von Hamiltonian immer von einer Reihe orthonormaler Basis, sowohl die Fälle der M = n als auch M  n getrennt besprochen werden kann. Der erste Fall wird zum ersten Lehrsatz und dem zweiten Fall zum zweiten Lehrsatz führen, der sofort durch das Umordnen der Begriffe gezeigt werden kann. Mit den durch die Hellmann-Feynman Lehrsätze gegebenen Differenzialregeln kann die perturbative Korrektur zu den Energien und Staaten systematisch berechnet werden.

Korrektur der Energie und des Staates

Zur zweiten Ordnung liest die Energiekorrektur

:.

Die erste Ordnungsableitung wird durch den ersten Hellmann-Feynman Lehrsatz direkt gegeben. Die zweite Ordnungsableitung zu erhalten, einfach den Differenzialoperatoren auf das Ergebnis der ersten Ordnungsableitung anwendend, die liest

:.

Bemerken Sie, dass für geradlinig parametrisierten Hamiltonian es keine zweite Ableitung auf dem Maschinenbediener-Niveau gibt. Lösen Sie die Ableitung des Staates auf, indem Sie den ganzen Satz der Basis, einfügen

:

dann können alle Teile mit den Hellmann-Feynman Lehrsätzen berechnet werden. In Bezug auf Lüge-Ableitungen, gemäß der Definition der Verbindung für das Vektor-Bündel. Deshalb kann die Fall-M = n von der Summierung ausgeschlossen werden, die die Eigenartigkeit des Energienenners vermeidet. Dasselbe Verfahren kann für höhere Ordnungsableitungen fortgesetzt werden, bei denen höhere Ordnungskorrekturen erhalten werden.

Dasselbe rechenbetonte Schema ist für die Korrektur von Staaten anwendbar. Das Ergebnis zur zweiten Ordnung ist wie folgt

:

|n (x^\\mu) \rangle = & |n\rangle + \sum _ {m\neq n} \frac {\\langle M |\partial_\mu H|n\rangle} {E_n-E_m} |m\rangle x^\\mu \\

&+ \left (\sum _ {m\neq n} \sum _ {l\neq n} \frac {\\langle M |\partial_\mu H|l\rangle \langle l |\partial_\nu H|n\rangle} {(E_n-E_m) (E_n-E_l)} |m\rangle-\sum _ {m\neq n} \frac {\\langle M |\partial_\mu H|n\rangle \langle n |\partial_\nu H|n\rangle} {(E_n-E_m) ^2} |m\rangle \right. \\

&\\qquad\left.-\frac {1} {2 }\\resümieren _ {m\neq n} \frac {\\langle n |\partial_\mu H|m\rangle \langle M |\partial_\nu H|n\rangle} {(E_n-E_m) ^2} |n\rangle \right) x^\\mu x^\\nu +\cdots.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Sowohl Energieableitungen als auch Zustandableitungen werden am Abzug beteiligt. Wann auch immer auf eine Zustandableitung gestoßen wird, lösen Sie es auf, indem Sie den ganzen Satz der Basis einfügen, dann ist der Hellmann-Feynman Lehrsatz anwendbar. Weil Unterscheidung systematisch berechnet werden kann, kann die Reihenentwicklungsannäherung an die perturbative Korrekturen auf Computern mit der symbolischen in einer Prozession gehenden Software wie Mathematica codiert werden.

Wirksamer Hamiltonian

Lassen Sie H (0) Hamiltonian völlig eingeschränkt entweder im Subraum der niedrigen Energie oder im energiereichen Subraum, solch sein, dass es kein Matrixelement in H (0) das Anschließen des niedrigen - und die energiereichen Subräume, d. h. wenn gibt. Lassen Sie, die Kopplungsbegriffe zu sein, die die Subräume verbinden. Dann, wenn die hohen Energiegrade der Freiheit integriert werden, liest wirksamer Hamiltonian im niedrigen Energiesubraum

:.

Hier werden im niedrigen Energiesubraum eingeschränkt. Das obengenannte Ergebnis kann durch die Macht-Reihenentwicklung dessen abgeleitet werden.

Auf eine formelle Weise ist es möglich zu definieren und wirksamer Hamiltonian, der genau die tief liegenden Energiestaaten und wavefunctions gibt. In der Praxis ist eine Art Annäherung (Unruhe-Theorie) allgemein erforderlich.

Zeitabhängige Unruhe-Theorie

Methode der Schwankung von Konstanten

Zeitabhängige Unruhe-Theorie, die von Paul Dirac entwickelt ist, studiert die Wirkung einer zeitabhängigen Unruhe V auf zeitunabhängigen Hamiltonian angewandter (t). Da gestörter Hamiltonian zeitabhängig ist, auch sind seine Energieniveaus und eigenstates. Deshalb sind die Absichten der zeitabhängigen Unruhe-Theorie von der zeitunabhängigen Unruhe-Theorie ein bisschen verschieden. Wir interessieren uns für die folgenden Mengen:

• Der zeitabhängige Erwartungswert eines erkennbaren A, für einen gegebenen anfänglichen Staat.
• Die zeitabhängigen Umfänge jener Quant-Staaten, die Energie eigenkets (Eigenvektoren) im nicht beunruhigten System sind.

Die erste Menge ist wichtig, weil sie das klassische Ergebnis Ein Maß verursacht, das auf einer makroskopischen Zahl von Kopien des gestörten Systems durchgeführt ist. Zum Beispiel konnten wir nehmen, um die Versetzung in der X-Richtung des Elektrons in einem Wasserstoffatom zu sein, in welchem Fall der erwartete Wert, wenn multipliziert, mit einem passenden Koeffizienten, die zeitabhängige dielektrische Polarisation von Wasserstoffbenzin gibt. Mit einer passenden Wahl der Unruhe (d. h. ein schwingendes elektrisches Potenzial) erlaubt das uns, den AC permittivity des Benzins zu berechnen.

Die zweite Menge schaut auf die zeitabhängige Wahrscheinlichkeit des Berufs für jeden eigenstate. Das ist in der Laserphysik besonders nützlich, wo man sich für die Bevölkerungen von verschiedenen Atomstaaten in einem Benzin interessiert, wenn ein zeitabhängiges elektrisches Feld angewandt wird. Diese Wahrscheinlichkeiten sind auch nützlich, für das "Quant-Erweitern" von geisterhaften Linien zu berechnen (sieh Linie sich verbreitern).

Wir werden die Ideen hinter der Formulierung von Dirac der zeitabhängigen Unruhe-Theorie kurz untersuchen. Wählen Sie eine Energiebasis für das nicht beunruhigte System. (Wir werden (0) Exponenten für den eigenstates fallen, weil es nicht bedeutungsvoll ist, um von Energieniveaus und eigenstates für das gestörte System zu sprechen.)

Wenn das nicht beunruhigte System in eigenstate in der Zeit ist, ändert sich sein Staat in nachfolgenden Zeiten nur durch eine Phase (wir folgen dem Bild von Schrödinger, wo sich Zustandvektoren rechtzeitig entwickeln und Maschinenbediener unveränderlich sind):

:

Wir führen jetzt ein zeitabhängiges Stören Hamiltonian ein. Der Hamiltonian des gestörten Systems ist

:

Lassen Sie zeigen den Quant-Staat des gestörten Systems in der Zeit t an. Es folgt der zeitabhängigen Gleichung von Schrödinger,

:

Der Quant-Staat in jedem Moment kann als eine geradlinige Kombination des eigenbasis ausgedrückt werden. Wir können die geradlinige Kombination als schreiben

:

wo die s unentschiedene komplizierte Funktionen von t sind, den wir als Umfänge kennzeichnen werden (genau genommen, sind sie die Umfänge im Bild von Dirac). Wir haben die Exponentialphase-Faktoren exp (-iEt/) auf der rechten Seite ausführlich herausgezogen. Das ist nur eine Sache der Tagung, und kann ohne Verlust der Allgemeinheit getan werden. Der Grund wir gehen zu diesen Schwierigkeiten, ist das, wenn das System im Staat |j&gt anfängt; und keine Unruhe ist da, die Umfänge haben das günstige Eigentum dass, für den ganzen t, c (t) = 1 und wenn.

Das absolute Quadrat des Umfangs c (t) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das System im Staat n in der Zeit t, seitdem ist

:Wenn wir

in die Gleichung von Schrödinger und mit der Tatsache einstecken, dass  / t auf eine Kettenregel handelt, erhalten wir

:

Durch die Auflösung der Identität vor V kann das auf eine Reihe teilweiser Differenzialgleichungen für die Umfänge reduziert werden:

:

Die Matrixelemente V spielen eine ähnliche Rolle als in der zeitunabhängigen Unruhe-Theorie, zur Rate proportional seiend, an der Umfänge zwischen Staaten ausgewechselt werden. Bemerken Sie jedoch, dass die Richtung der Verschiebung durch den Exponentialphase-Faktor modifiziert wird. Im Laufe Zeiten, die viel länger sind als der Energieunterschied E-E, die Phase-Winde oft. Wenn die Zeitabhängigkeit V genug langsam ist, kann das die Zustandumfänge veranlassen zu schwingen. Solche Schwingungen sind nützlich, um Strahlungsübergänge in einem Laser zu führen.

Bis zu diesem Punkt haben wir keine Annäherungen gemacht, so ist dieser Satz von Differenzialgleichungen genau. Indem wir passende Anfangswerte c (0) geliefert haben, konnten wir im Prinzip einen genauen (d. h. non-perturbative) Lösung finden. Das wird leicht getan, wenn es nur zwei Energieniveaus (n = 1, 2) gibt, und die Lösung nützlich ist, um Systeme wie das Ammoniak-Molekül zu modellieren. Jedoch sind genaue Lösungen schwierig zu finden, wenn es viele Energieniveaus gibt, und man stattdessen nach perturbative Lösungen sucht, die durch das Stellen der Gleichungen in einer integrierten Form erhalten werden können:

:Indem

wir gegen diesen Ausdruck c zurück in die rechte Seite wiederholt auswechseln, bekommen wir eine wiederholende Lösung

:

wo, zum Beispiel, der Begriff der ersten Ordnung ist

:

Viele weitere Ergebnisse können wie die goldene Regel von Fermi erhalten werden, die sich bezieht, setzt die Rate von Übergängen zwischen dem Quant zur Dichte von Staaten an besonderen Energien und der Reihe von Dyson fest, die durch die Verwendung der wiederholenden Methode auf den Zeitevolutionsmaschinenbediener erhalten ist, der einer der Startpunkte für die Methode von Diagrammen von Feynman ist.

Methode der Reihe von Dyson

Zeitabhängige Unruhen können mit der Technik der Reihe von Dyson behandelt werden. Die Einnahme der Gleichung von Schrödinger

:

das hat die formelle Lösung

:

der solcher Zeiteinrichtungsmaschinenbediener dass seiend

:

wenn und

:

wenn, so dass der Exponential-die folgende Reihe von Dyson vertreten wird

:.

Lassen Sie uns jetzt das folgende Unruhe-Problem nehmen

:

das Annehmen, dass der Parameter klein ist, und dass wir im Stande sind, das Problem zu beheben. Wir tun die folgende einheitliche Transformation, die zum Wechselwirkungsbild oder Bild von Dirac geht

:

und so die Gleichung von Schrödinger wird

:

das kann durch die obengenannte Reihe von Dyson als gelöst werden

::

das eine Unruhe-Reihe mit dem kleinen seiend. Mit der Lösung des nicht beunruhigten Problems und (wegen der Einfachheit nehmen wir ein reines getrenntes Spektrum an), werden wir bis zur ersten Ordnung haben

:.

Also, das System, am Anfang im nicht beunruhigten Staat, wegen der Unruhe kann in den Staat eintreten. Der entsprechende Wahrscheinlichkeitsumfang wird sein

:

und die entsprechende Übergangswahrscheinlichkeit wird durch die goldene Regel von Fermi gegeben.

Zeit unabhängige Unruhe-Theorie kann aus der zeitabhängigen perurbation Theorie abgeleitet werden. Lassen Sie uns für diesen Zweck dem einheitlichen Evolutionsmaschinenbediener schreiben, der bei der obengenannten Reihe von Dyson, als erhalten ist

::

und wir nehmen die unabhängige Unruhe-Zeit. Das Verwenden der Identität

:

mit für ein reines getrenntes Spektrum können wir schreiben

::

Wir sehen, dass, an der zweiten Ordnung, wir auf allen Zwischenstaaten resümieren müssen. Wir nehmen an und die asymptotische Grenze von größeren Zeiten. Das bedeutet, dass, bei jedem Beitrag der Unruhe-Reihe, wir einen multiplicative Faktor im integrands hinzufügen müssen, so dass die Grenze den Endstaat des Systems durch das Beseitigen aller schwingenden Begriffe, aber das Halten der weltlichen zurückgeben wird. muss als willkürlich klein seiend verlangt werden. Auf diese Weise können wir die Integrale schätzen und, die diagonalen Begriffe von anderen trennend, wir haben

:::

wo die Zeit weltliche Reihe gibt den eigenvalues des gestörten Problems und des restlichen Teils nach, die Korrekturen dem eigenfunctions gibt. Der einheitliche Evolutionsmaschinenbediener wird auf beliebigen eigenstate des nicht beunruhigten Problems und in diesem Fall angewandt, wir werden eine weltliche Reihe bekommen, die in kleinen Zeiten hält.

Starke Unruhe-Theorie

Auf eine ähnliche Weise bezüglich kleiner Unruhen ist es möglich, eine starke Unruhe-Theorie zu entwickeln. Lassen Sie uns wie gewöhnlich die Gleichung von Schrödinger denken

:

und wir denken die Frage, wenn eine Doppelreihe von Dyson besteht, der in der Grenze einer immer größeren Unruhe gilt. Auf diese Frage kann auf eine bejahende Weise geantwortet werden, und die Reihe ist die wohl bekannte adiabatische Reihe. Diese Annäherung ist ziemlich allgemein und kann folgendermaßen gezeigt werden. Lassen Sie uns das Unruhe-Problem denken

:

zu sein. Unser Ziel ist, eine Lösung in der Form zu finden

:

aber ein direkter Ersatz in die obengenannte Gleichung scheitert, nützliche Ergebnisse zu erzeugen. Diese Situation kann angepasst werden, ein Wiederschuppen der Zeitvariable als das Produzieren der folgenden bedeutungsvollen Gleichungen machend

:::

das kann gelöst werden, sobald wir die Lösung der Hauptordnungsgleichung wissen. Aber wir wissen, dass in diesem Fall wir die adiabatische Annäherung verwenden können. Wenn rechtzeitig nicht abhängt, bekommt man die Wigner-Kirkwood Reihe, die häufig in der statistischen Mechanik verwendet wird. Tatsächlich in diesem Fall führen wir die einheitliche Transformation ein

:

das definiert ein kostenloses Bild, weil wir versuchen, den Wechselwirkungsbegriff zu beseitigen. Jetzt, auf die Doppelweise in Bezug auf die kleinen Unruhen, müssen wir die Gleichung von Schrödinger lösen

:

und wir sehen, dass der Vergrößerungsparameter nur in den Exponential- und so, die entsprechende Reihe von Dyson, eine Doppelreihe von Dyson erscheint, an großem s bedeutungsvoll ist und ist

::

Nach dem Wiederschuppen rechtzeitig können wir sehen, dass das tatsächlich eine Reihe in der Rechtfertigung auf diese Weise des Namens der Doppelreihe von Dyson ist. Der Grund besteht darin, dass wir diese Reihe erhalten haben, die einfach abwechselt, und und wir von einem bis eine andere Verwendung dieses Austausches gehen können. Das wird Dualitätsgrundsatz in der Unruhe-Theorie genannt. Die auserlesenen Erträge, wie bereits gesagt, eine Wigner-Kirkwood Reihe, die eine Anstieg-Vergrößerung ist. Die Wigner-Kirkwood Reihe ist eine halbklassische Reihe mit eigenvalues gegeben genau bezüglich der WKB Annäherung.

Beispiele

Beispiel der ersten Ordnungsunruhe-Theorie - Boden-Staatsenergie des Quartic Oszillators

Lassen Sie uns das Quant als harmonischen Oszillator mit der quartic potenziellen Unruhe und dem betrachten

Hamiltonian

+ \lambda x^4 </Mathematik>

Der Boden-Staat des harmonischen Oszillators ist

, und die Energie des nicht beunruhigten Boden-Staates ist

.

Mit der ersten Ordnungskorrektur-Formel bekommen wir

oder

Beispiel der ersten und zweiten Ordnungsunruhe-Theorie - Quant-Pendel

Betrachten Sie das Quant als mathematisches Pendel mit Hamiltonian

\phi </Mathematik>

mit der potenziellen Energie, die als die Unruhe genommen ist d. h.

Die nicht beunruhigten normalisierten Quant-Welle-Funktionen sind diejenigen des starren Rotors

und werden durch gegeben

und die Energien

Die erste Ordnungsenergiekorrektur zum Rotor wegen der potenziellen Energie ist

Mit der Formel für die zweite Ordnungskorrektur bekommt man

oder

oder

Siehe auch

• Die goldene Regel von Fermi