In der Topologie ist Knoten-Theorie die Studie von mathematischen Knoten. Während begeistert, durch Knoten, die im täglichen Leben in Schnürsenkeln und Tau erscheinen, unterscheidet sich ein Knoten eines Mathematikers darin die Enden werden zusammengetroffen, so dass es nicht aufgemacht werden kann. Auf der genauen mathematischen Sprache ist ein Knoten ein Einbetten eines Kreises im 3-dimensionalen Euklidischen Raum, R. Zwei mathematische Knoten sind gleichwertig, wenn man in anderen über eine Deformierung von R auf sich (bekannt als ein umgebender isotopy) umgestaltet werden kann; diese Transformationen entsprechen Manipulationen einer verknoteten Schnur, die mit Ausschnitt der Schnur oder Übergang der Schnur durch sich nicht verbunden sind.

Knoten können auf verschiedene Weisen beschrieben werden. In Anbetracht einer Methode der Beschreibung, jedoch, kann es mehr als eine Beschreibung geben, die denselben Knoten vertritt. Zum Beispiel ist eine übliche Methodik, einen Knoten zu beschreiben, ein planares Diagramm genannt ein Knoten-Diagramm. Jeder gegebene Knoten kann in vielen verschiedenen Weisen gezogen werden, ein Knoten-Diagramm zu verwenden. Deshalb bestimmt ein grundsätzliches Problem in der Knoten-Theorie, wenn zwei Beschreibungen denselben Knoten vertreten.

Eine ganze algorithmische Lösung dieses Problems besteht, der unbekannte Kompliziertheit hat. In der Praxis sind Knoten häufig durch das Verwenden eines Knotens invariant, eine "Menge" bemerkenswert, die dasselbe, wenn geschätzt, aus verschiedenen Beschreibungen eines Knotens ist. Wichtige invariants schließen Knoten-Polynome, Knoten-Gruppen und hyperbolischen invariants ein.

Die ursprüngliche Motivation für die Gründer der Knoten-Theorie war, eine Tabelle von Knoten und Verbindungen zu schaffen, die Knoten von mehreren mit einander verfangenen Bestandteilen sind. Mehr als sechs Milliarden Knoten und Verbindungen sind seit den Anfängen der Knoten-Theorie im 19. Jahrhundert tabellarisiert worden.

Um weitere Scharfsinnigkeit zu gewinnen, haben Mathematiker das Knoten-Konzept auf mehrere Weisen verallgemeinert. Knoten können in anderen dreidimensionalen Räumen und Gegenständen anders betrachtet werden, als Kreise verwendet werden können; sieh Knoten (Mathematik). Höher sind dimensionale Knoten n-dimensional Bereiche in der M dimensionaler Euklidischer Raum.

Die verallgemeinerte Vermutung von Poincaré stellt fest, dass Jede einfach verbundene, geschlossene N-Sammelleitung homeomorphic zum N-Bereich ist. Jeder n-dimensional Knoten kann deshalb in einen trivialen N-Bereich gestreckt werden. N-dimensional Knoten sind allgemein in 2-dimensionale Knoten nicht zerlegbar, obwohl sie zu Überlagerungen von niedrig-dimensionalen Knoten geplant werden können.

Geschichte

Archäologen haben entdeckt, dass das Knoten-Binden auf die Vorgeschichte zurückgeht. Außer ihrem Gebrauch wie Aufnahme der Information und das Binden von Gegenständen zusammen haben Knoten Menschen für ihre Ästhetik und geistige Symbolik interessiert. Knoten erscheinen in verschiedenen Formen der chinesischen Gestaltungsarbeit, die aus mehreren Jahrhunderten v. Chr. datiert (sieh chinesischen knotting). Der endlose Knoten erscheint im tibetanischen Buddhismus, während die Ringe von Borromean wiederholten Anschein in verschiedenen Kulturen gemacht haben, häufig Kraft in der Einheit vertretend. Die keltischen Mönche, die das Buch von Kells geschaffen haben, haben komplette Seiten mit kompliziertem keltischem knotwork verschwendet.

Eine mathematische Theorie von Knoten wurde zuerst 1771 von Alexandre-Théophile Vandermonde entwickelt, der ausführlich die Wichtigkeit von topologischen Eigenschaften bemerkt hat, als er die Eigenschaften von mit der Geometrie der Position verbundenen Knoten besprochen hat. Mathematische Studien von Knoten haben im 19. Jahrhundert mit Gauss begonnen, der die integrierte Verbindung definiert hat. In den 1860er Jahren hat die Theorie von Herrn Kelvin, dass Atome Knoten im Narkoseäther waren, zur Entwicklung von Peter Guthrie Tait der ersten Knoten-Tische für die ganze Klassifikation geführt. Tait 1885 hat einen Tisch von Knoten mit bis zu zehn Überfahrten veröffentlicht wissen als die Vermutungen von Tait. Tabellarisierung hat die frühen Knoten-Theoretiker motiviert, aber Knoten-Theorie ist schließlich ein Teil des erscheinenden Themas der Topologie geworden.

Diese topologists im frühen Teil des 20. Jahrhunderts — Max Dehn, J. W. Alexander, und andere — haben Knoten aus dem Gesichtswinkel von der Knoten-Gruppe und invariants aus der Homologie-Theorie wie das Polynom von Alexander studiert. Das würde die Hauptannäherung an die Knoten-Theorie sein, bis eine Reihe von Durchbrüchen das Thema umgestaltet hat.

Gegen Ende der 1970er Jahre hat William Thurston Hyperbelgeometrie in die Studie von Knoten mit dem hyperbolization Lehrsatz eingeführt. Wie man zeigte, waren viele Knoten Hyperbelknoten, den Gebrauch der Geometrie im Definieren neuen, starken Knotens invariants ermöglichend. Die Entdeckung des Polynoms von Jones durch Vaughan Jones 1984 und nachfolgenden Beiträge von Edward Witten, Maxim Kontsevich, und anderen, haben tiefe Verbindungen zwischen der Knoten-Theorie und den mathematischen Methoden in der statistischen Mechanik und der Quant-Feldtheorie offenbart. Einige Knoten sind invariants seitdem erfunden worden, hoch entwickelte Werkzeuge wie Quant-Gruppen und Homologie von Floer verwertend.

In den letzten mehreren Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts sind Wissenschaftler interessiert für das Studieren von physischen Knoten geworden, um knotting Phänomene in der DNA und den anderen Polymern zu verstehen. Knoten-Theorie kann verwendet werden, um zu bestimmen, ob ein Molekül chiral ist (hat eine "Händigkeit"), oder nicht. Gewirr, Schnuren mit beiden im Platz befestigten Enden, ist im Studieren der Handlung von topoisomerase auf der DNA effektiv verwendet worden. Knoten-Theorie kann im Aufbau von Quant-Computern durch das Modell der topologischen Quant-Berechnung entscheidend sein.

Knoten-Gleichwertigkeit

Ein Knoten wird durch den Anfang mit einem eindimensionalen Liniensegment, die Verpackung davon um sich willkürlich, und dann das Schmelzen seiner zwei freien Enden zusammen geschaffen, um einen geschlossenen Regelkreis zu bilden. Wenn topologists Knoten und andere Verwicklungen wie Verbindungen und Flechten denken, denken sie den Raum, der den Knoten als eine klebrige Flüssigkeit umgibt. Wenn der Knoten über glatt in der Flüssigkeit gestoßen werden kann, ohne sich zu schneiden, mit einem anderen Knoten zusammenzufallen, werden die zwei Knoten gleichwertig betrachtet. Die Idee von der Knoten-Gleichwertigkeit ist, eine genaue Definition dessen zu geben, wenn zwei Knoten als dasselbe selbst wenn eingestellt ganz verschieden im Raum betrachtet werden sollten. Eine formelle mathematische Definition ist, dass zwei Knoten gleichwertig sind, wenn man in anderen über einen Typ der Deformierung von R auf sich umgestaltet, als ein umgebender isotopy bekannt werden kann.

Das grundlegende Problem der Knoten-Theorie, das Anerkennungsproblem, bestimmt die Gleichwertigkeit von zwei Knoten. Algorithmen bestehen, um dieses Problem mit dem ersten zu beheben, das von Wolfgang Haken gegen Ende der 1960er Jahre gegeben ist. Dennoch können diese Algorithmen äußerst zeitraubend sein, und ein Hauptproblem in der Theorie soll verstehen, wie hart dieses Problem wirklich ist. Der spezielle Fall, das Losknüpfen, genannt das losknüpfende Problem anzuerkennen, ist von besonderem Interesse.

Knoten-Diagramme

Eine nützliche Weise, Knoten sich zu vergegenwärtigen und zu manipulieren, ist zu planen, dass der Knoten auf ein Flugzeug - an den Knoten denkt, einen Schatten auf der Wand werfend. Ein Kleingeld in der Richtung auf den Vorsprung wird sicherstellen, dass es außer an den doppelten Punkten, genannt Überfahrten isomorph ist, wo sich der "Schatten" des Knotens einmal schräg bekreuzigt. An jeder Überfahrt, um im Stande zu sein, den ursprünglichen Knoten zu erfrischen, muss das Überufer vom unter dem Ufer bemerkenswert sein. Das wird häufig durch das Schaffen eines Einbruchs des Ufers getan, das unten geht. Das resultierende Diagramm ist eine versunkene Flugzeug-Kurve mit den zusätzlichen Daten, von denen Ufer zu Ende ist, und der unter an jeder Überfahrt ist. Analog können verknotete Oberflächen im 4-Räume-mit versunkenen Oberflächen im 3-Räume-verbunden sein.

Bewegungen von Reidemeister

1927, mit dieser diagrammatischen Form von Knoten arbeitend, haben J.W. Alexander und G. B. Briggs, und unabhängig Kurt Reidemeister, demonstriert, dass Zwei-Knoten-Diagramme, die demselben Knoten gehören, durch eine Folge von drei Arten von Bewegungen des Diagramms verbunden sein können, das unten gezeigt ist. Diese Operationen, jetzt genannt die Bewegungen von Reidemeister, sind:

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Der Beweis, dass Diagramme von gleichwertigen Knoten durch Bewegungen von Reidemeister verbunden werden, verlässt sich auf eine Analyse dessen, was unter dem planaren Vorsprung der Bewegung geschieht, die einen Knoten einem anderen bringt. Die Bewegung kann eingeordnet werden, so dass fast die ganze Zeit, außer der der Vorsprung ein Knoten-Diagramm sein wird, an begrenzt oft, wenn ein "Ereignis" oder "Katastrophe", solcher als vorkommen, wenn mehr als zwei Ufer-Kreuz an einem Punkt oder vielfachen Ufern Tangente an einem Punkt wird. Eine nahe Inspektion wird zeigen, dass komplizierte Ereignisse beseitigt werden können, nur die einfachsten Ereignisse verlassend: (1) ein "Knick"-Formen oder in Ordnung gebracht zu werden; (2) zwei Ufer, die Tangente an einem Punkt und dem Durchgehen werden; und (3) drei Ufer, die sich an einem Punkt treffen. Das sind genau die Bewegungen von Reidemeister.

Knoten invariants

Ein Knoten invariant ist eine "Menge", die dasselbe für gleichwertige Knoten ist. Zum Beispiel, wenn der invariant aus einem Knoten-Diagramm geschätzt wird, sollte er denselben Wert für Zwei-Knoten-Diagramme geben, die gleichwertige Knoten vertreten. Ein invariant kann denselben Wert auf zwei verschiedenen Knoten nehmen, also allein kann unfähig sein, alle Knoten zu unterscheiden. Ein elementarer invariant ist tricolorability.

"Klassischer" Knoten invariants schließt die Knoten-Gruppe ein, die die grundsätzliche Gruppe der Knoten-Ergänzung und das Polynom von Alexander ist, das vom Alexander invariant, ein vom unendlichen zyklischen Deckel der Knoten-Ergänzung gebautes Modul geschätzt werden kann. Gegen Ende des 20. Jahrhunderts wurden invariants wie "Quant"-Knoten-Polynome, Vassiliev invariants und hyperbolischer invariants entdeckt. Diese oben erwähnten invariants sind nur der Tipp des Eisbergs der modernen Knoten-Theorie.

Knoten-Polynome

Ein Knoten-Polynom ist ein Knoten invariant, der ein Polynom ist. Wohl bekannte Beispiele schließen die Polynome von Jones und Alexander ein. Eine Variante des Polynoms von Alexander, des Polynoms von Alexander-Conway, ist ein Polynom in der Variable z mit Koeffizienten der ganzen Zahl.

Das Polynom von Alexander-Conway wird wirklich in Bezug auf Verbindungen definiert, die aus einem oder mehr mit einander verfangenen Knoten bestehen. Die Konzepte, die oben für Knoten, z.B Diagramme und Bewegungen von Reidemeister erklärt sind, halten auch für Verbindungen.

Denken Sie ein orientiertes Verbindungsdiagramm, d. h. dasjenige, in dem jeder Bestandteil der Verbindung eine bevorzugte Richtung durch einen Pfeil anzeigen ließ. Für eine gegebene Überfahrt des Diagramms, lassen Sie, die orientierten Verbindungsdiagramme zu sein, die sich aus dem Ändern des Diagramms, wie angezeigt, in der Zahl ergeben:

Bemerken Sie, dass das ursprüngliche Diagramm entweder oder abhängig von der Konfiguration der gewählten Überfahrt sein könnte. Dann wird das Polynom von Alexander-Conway, C (z), ordnungsmäßig rekursiv definiert:

• C (O) = 1 (wo O jedes Diagramm des Losknüpfens ist)

Die zweite Regel ist, was häufig eine Strang-Beziehung genannt wird. Um zu überprüfen, dass diese Regeln einen invariant einer orientierten Verbindung geben, sollte man beschließen, dass sich das Polynom unter den drei Bewegungen von Reidemeister nicht ändert. Viele wichtige Knoten-Polynome können auf diese Weise definiert werden.

Der folgende ist ein Beispiel einer typischen Berechnung mit einer Strang-Beziehung. Es schätzt das Polynom von Alexander-Conway des Klee-Knotens. Die gelben Flecke zeigen an, wo die Beziehung angewandt wird.

:C = C + z C

gibt das Losknüpfen und die Verbindung von Hopf. Das Anwenden der Beziehung zu Hopf, verbindet sich wo angezeigt,

:C = C + z C

gibt eine Verbindung, die einer mit 0 Überfahrten verformbar ist (es ist wirklich das Losketten von zwei Bestandteilen), und ein Losknüpfen. Das Losketten nimmt ein wenig Verstohlenkeit:

:C = C + z C

der andeutet, dass C (ketten von zwei Bestandteilen los), = 0, seit den ersten zwei Polynomen vom Losknüpfen und so gleich sind.

Das Zusammenstellen von all dem wird sich zeigen:

:C (Klee) = 1 + z (0 + z) = 1 + z.

Da das Polynom von Alexander-Conway ein Knoten invariant ist, zeigt das, dass der Klee zum Losknüpfen nicht gleichwertig ist. So ist der Klee wirklich "verknotet".

Image:Trefoil Knoten hat verlassenen gereichten Klee-Knoten verlassen svg|The.

Image:TrefoilKnot_01.svg|The Recht hat Klee-Knoten gereicht.

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Wirklich gibt es zwei Klee-Knoten, genannt den richtigen und linkshändigen Klee, der Spiegelimages von einander ist (nehmen Sie ein Diagramm des Klees, der oben gegeben ist, und ändern Sie jede Überfahrt zur anderen Weise, das Spiegelimage zu bekommen). Diese sind zu einander nicht gleichwertig, bedeutend, dass sie nicht amphicheiral sind. Das wurde von Max Dehn, vor der Erfindung von Knoten-Polynomen, mit der Gruppe theoretische Methoden gezeigt. Aber das Polynom von Alexander-Conway jeder Art des Klees wird dasselbe sein, wie durch das Durchgehen der Berechnung oben mit dem Spiegelimage gesehen werden kann. Das Polynom von Jones kann tatsächlich zwischen den linken und rechtshändigen Klee-Knoten unterscheiden.

Hyperbolischer invariants

William Thurston hat bewiesen, dass viele Knoten Hyperbelknoten sind, bedeutend, dass die Knoten-Ergänzung, d. h. der Satz von Punkten von 3-Räume-nicht auf dem Knoten, eine geometrische Struktur, insbesondere diese der Hyperbelgeometrie zulässt. Die Hyperbelstruktur hängt nur vom Knoten ab, so ist jede von der Hyperbelstruktur geschätzte Menge dann ein Knoten invariant.

Image:BorromeanRings.svg|The Borromean Ringe sind eine Verbindung mit dem Eigentum, dass das Entfernen eines Rings andere loskettet.

Die Spitze-Ansicht von Image:SnapPea-horocusp_view.png|SnapPea: Borromean ruft Ergänzung von der Perspektive eines Einwohners an, der in der Nähe vom roten Bestandteil lebt.

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Geometrie lässt uns uns vergegenwärtigen, wie was das Innere eines Knotens oder Verbindungsergänzung durch das Vorstellen leichter Strahlen als reisend entlang dem geodesics der Geometrie aussieht. Ein Beispiel wird durch das Bild der Ergänzung der Ringe von Borromean zur Verfügung gestellt. Der Einwohner dieser Verbindungsergänzung sieht den Raum von der Nähe der rote Bestandteil an. Die Bälle im Bild sind Ansichten von der horoball Nachbarschaft der Verbindung. Durch die Verdickung der Verbindung auf eine Standardweise wird die horoball Nachbarschaft der Verbindungsbestandteile erhalten. Wenn auch die Grenze einer Nachbarschaft ein Ring, wenn angesehen, aus der Verbindungsergänzung ist, sieht sie wie ein Bereich aus. Jeder Verbindungsbestandteil zeigt so ungeheuer viele Bereiche (einer Farbe), wie es ungeheuer viele leichte Strahlen vom Beobachter zum Verbindungsbestandteil gibt. Das grundsätzliche Parallelogramm (der im Bild angezeigt wird), Ziegel sowohl vertikal als auch horizontal und zeigt, wie man das Muster von Bereichen ungeheuer erweitert.

Dieses Muster, das horoball Muster, ist selbst ein nützlicher invariant. Andere hyperbolische invariants schließen die Gestalt des grundsätzlichen paralleogram, Länge von kürzesten geodätisch, und Volumen ein. Moderner Knoten und Verbindungstabellarisierungsanstrengungen haben diese invariants effektiv verwertet. Schnelle Computer und kluge Methoden, diese invariants zu erhalten, machen das Rechnen dieser invariants, in der Praxis, einer einfachen Aufgabe.

Höhere Dimensionen

Ein Knoten in drei Dimensionen, kann wenn gelegt, in vier dimensionalen Raum aufgeknotet werden. Das wird durch das Ändern von Überfahrten getan. Nehmen Sie an, dass ein Ufer hinter einem anderen, wie gesehen, von einem gewählten Punkt ist. Heben Sie es in die vierte Dimension, also gibt es kein Hindernis (das Vorderufer, das keinen Bestandteil dort hat); dann lassen Sie es vorwärts gleiten, und lassen Sie es zurück jetzt in der Vorderseite fallen. Analogien für das Flugzeug würden eine Schnur von der Oberfläche erheben, oder einen Punkt aus einem Kreis entfernen.

Tatsächlich, in vier Dimensionen, ist jeder sich nichtschneidende geschlossene Regelkreis der eindimensionalen Schnur zu einem Losknüpfen gleichwertig. "Stoßen Sie" zuerst die Schleife in einen dreidimensionalen Subraum, der immer, obwohl technisch, möglich ist, um zu erklären.

Bereiche von Knotting der höheren Dimension

Da ein Knoten topologisch als ein 1-dimensionaler Bereich betrachtet werden kann, soll die folgende Generalisation einen zwei dimensionalen Bereich als eingebettet in einem vier dimensionalen Ball betrachten. Solch ein Einbetten wird losgeknüpft, wenn es einen homeomorphism des 4-Bereiche-auf sich gibt, den 2-Bereiche-in eine 2-Bereiche-Standard"Runde" bringend. Aufgehobene Knoten und haben gesponnen Knoten sind zwei typische Familien solcher 2-Bereiche-Knoten.

Die mathematische Technik genannt "allgemeine Position" deutet an, dass für einen gegebenen N-Bereich in der M Bereich, wenn M (abhängig von n) groß genug ist, der Bereich losgeknüpft werden sollte. Im Allgemeinen bilden piecewise-geradlinige N-Bereiche Knoten nur in (n+2) - Raum, obwohl das nicht mehr eine Voraussetzung für glatt verknotete Bereiche ist. Tatsächlich gibt es glatt verknoteten 4k-1-spheres im 6k-Raum, z.B gibt es glatt verknotet 3-Bereiche-im 6-Bereiche-. So kann der codimension eines glatten Knotens wenn nicht Befestigen der Dimension des verknoteten Bereichs willkürlich groß sein; jedoch wird jeder glatte K-Bereich in einem N-Bereich mit 2n-3k-3> 0 losgeknüpft. Der Begriff eines Knotens hat weitere Verallgemeinerungen in der Mathematik, sieh: Knoten (Mathematik), isotopy Klassifikation von embeddings.

Jeder Knoten in S ist die Verbindung eines echt-algebraischen Satzes mit der isolierten Eigenartigkeit in R.

Das Hinzufügen von Knoten

Zwei Knoten können durch den Ausschnitt um beide Knoten und das Verbinden den Paaren von Enden hinzugefügt werden. Die Operation wird die Knoten-Summe, oder manchmal die verbundene Summe oder Zusammensetzung von zwei Knoten genannt. Das kann wie folgt formell definiert werden: Denken Sie einen planaren Vorsprung jedes Knotens und nehmen Sie an, dass diese Vorsprünge zusammenhanglos sind. Finden Sie ein Rechteck im Flugzeug, wo ein Paar von Gegenseiten Kreisbogen entlang jedem Knoten ist, während der Rest des Rechtecks von den Knoten zusammenhanglos ist. Bilden Sie einen neuen Knoten, indem Sie das erste Paar von Gegenseiten löschen und an das andere Paar von Gegenseiten angrenzen. Der resultierende Knoten ist eine Summe der ursprünglichen Knoten. Je nachdem, wie das getan wird, können zwei verschiedene Knoten (aber nicht mehr) resultieren. Diese Zweideutigkeit in der Summe kann bezüglich der Knoten, wie orientiert, beseitigt werden, d. h. eine bevorzugte Richtung des Reisens entlang dem Knoten zu haben, und das Verlangen der Kreisbogen der Knoten in der Summe wird im Einklang stehend die orientierte Grenze des Rechtecks orientiert.

Die Knoten-Summe von orientierten Knoten ist auswechselbar und assoziativ. Ein Knoten ist erst, wenn es nichttrivial ist und als die Knoten-Summe von zwei nichttrivialen Knoten nicht geschrieben werden kann. Ein Knoten, der als solch eine Summe geschrieben werden kann, ist zerlegbar. Es gibt eine Hauptzergliederung für Knoten, die ersten und zerlegbaren Zahlen analog sind. Für orientierte Knoten ist diese Zergliederung auch einzigartig. Höher können dimensionale Knoten auch hinzugefügt werden, aber es gibt einige Unterschiede. Während Sie das Losknüpfen in drei Dimensionen nicht bilden können, indem Sie zwei nichttriviale Knoten hinzufügen, können Sie in höheren Dimensionen mindestens, wenn man glatte Knoten in codimension als mindestens 3 betrachtet.

Das Tabellieren von Knoten

Traditionell sind Knoten katalogisiert worden, in Bezug auf Zahl zu durchqueren. Knoten-Tische schließen allgemein nur Hauptknoten und nur einen Zugang für einen Knoten und sein Spiegelimage ein (selbst wenn sie verschieden sind). Die Zahl von nichttrivialen Knoten einer gegebenen sich treffenden Zahl nimmt schnell zu, Tabellarisierung rechenbetont schwierig machend. Tabellarisierungsanstrengungen haben geschafft, mehr als 6 Milliarden Knoten und Verbindungen aufzuzählen. Die Folge der Zahl von Hauptknoten einer gegebenen sich treffenden Zahl, bis zur sich treffenden Nummer 16, ist 0, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988, 46972, 253293, 1388705.... Während niedrigere und obere Exponentialgrenzen für diese Folge bekannt sind, ist es nicht bewiesen worden, dass diese Folge ausschließlich zunimmt.

Die ersten Knoten-Tische von Tait, Wenig, und Kirkman haben Knoten-Diagramme verwendet, obwohl Tait auch einen Vorgänger zur Notation von Dowker verwendet hat. Verschiedene Notationen sind für Knoten erfunden worden, die effizientere Tabellarisierung erlauben.

Die frühen Tische haben versucht, alle Knoten von höchstens 10 Überfahrten und alle Wechselknoten von 11 Überfahrten zu verzeichnen. Die Entwicklung der Knoten-Theorie wegen Alexanders, Reidemeisters, Seifert, und haben andere die Aufgabe der Überprüfung erleichtert, und Tische von Knoten bis zu und einschließlich 9 Überfahrten wurden von Alexander-Briggs und Reidemeister gegen Ende der 1920er Jahre veröffentlicht.

Die erste Hauptüberprüfung dieser Arbeit wurde in den 1960er Jahren von John Horton Conway getan, der nicht nur eine neue Notation sondern auch das Polynom von Alexander-Conway entwickelt hat. Das hat die Liste von Knoten von höchstens 11 Überfahrten und eine neue Liste von Verbindungen bis zu 10 Überfahrten nachgeprüft. Conway hat mehrere Weglassungen, aber nur eine Verdoppelung in den Tait-kleinen Tischen gefunden; jedoch hat er gefehlt die Duplikate haben das Paar von Perko genannt, das nur 1974 von Kenneth Perko bemerkt würde. Dieser berühmte Fehler würde sich fortpflanzen, als Dale Rolfsen einen Knoten-Tisch in seinem einflussreichen Text hinzugefügt hat, der auf der Arbeit von Conway gestützt ist.

Gegen Ende der 1990er Jahre haben Hoste, Thistlethwaite, und Wochen alle Knoten durch 16 Überfahrten tabellarisiert. 2003 hat Rankin, Flint, und Schermann, die Wechselknoten durch 22 Überfahrten tabellarisiert.

Notation von Alexander-Briggs

Das ist die traditionellste Notation, wegen des 1927-Papiers von J. W. Alexander und G. Briggs und später erweitert von Dale Rolfsen in seinem Knoten-Tisch. Die Notation organisiert einfach Knoten durch ihre sich treffende Zahl. Man schreibt die sich treffende Zahl mit einer Subschrift, um seine Ordnung unter allen Knoten mit dieser sich treffenden Zahl anzuzeigen. Diese Ordnung ist willkürlich und hat so keine spezielle Bedeutung.

Notation von Dowker

Die Dowker Notation, auch genannt die Dowker-Thistlethwaite Notation oder den Code, für einen Knoten ist eine begrenzte Folge von sogar ganzen Zahlen. Die Zahlen werden durch den folgenden der Knoten und die Markierung der Überfahrten mit aufeinander folgenden ganzen Zahlen erzeugt. Da jede Überfahrt zweimal besucht wird, schafft das eine Paarung von sogar ganzen Zahlen mit sonderbaren ganzen Zahlen. Ein passendes Zeichen wird gegeben, um und undercrossing anzuzeigen. Zum Beispiel in der Zahl ließ das Knoten-Diagramm Überfahrten mit den Paaren (1,6) (3,&minus;12) (5,2) etikettieren (7, 8) (9,&minus;4) und (11,&minus;10). Die Dowker Notation für dieses Beschriften ist die Folge: 6 &minus;12 2 8 &minus;4 &minus;10. Ein Knoten-Diagramm hat mehr als eine mögliche Notation von Dowker, und es gibt eine gut verstandene Zweideutigkeit, wenn es einen Knoten aus einer Notation von Dowker wieder aufbaut.

Notation von Conway

Die Notation von Conway für Knoten und Verbindungen, genannt nach John Horton Conway, basieren auf der Theorie des Gewirrs. Der Vorteil dieser Notation besteht darin, dass sie einige Eigenschaften des Knotens oder der Verbindung widerspiegelt.

Die Notation beschreibt, wie man ein besonderes Verbindungsdiagramm der Verbindung baut. Fangen Sie mit einem grundlegenden Polyeder, einem 4-valent verbundenen planaren Graphen ohne digon Gebiete an. Solch ein Polyeder wird zuerst durch die Zahl von Scheitelpunkten dann mehrere Sternchen angezeigt, die die Position des Polyeders auf einer Liste des grundlegenden Polyeders bestimmen. Zum Beispiel, 10 ** zeigt das zweite 10-Scheitelpunkte-Polyeder auf der Liste von Conway an.

Jeder Scheitelpunkt ließ dann ein algebraisches Gewirr darin einsetzen (jeder Scheitelpunkt wird orientiert, also gibt es keine willkürliche Wahl im Ersatz). Jedes solches Gewirr hat eine Notation, die aus Zahlen und + oder &minus besteht; Zeichen.

Ein Beispiel ist 1*2 &minus;3 2. Die 1* zeigen das einzige grundlegende 1-Scheitelpunkt-Polyeder an. Die 2 &minus;3 2 sind eine Folge, die den fortlaufenden zu einem vernünftigen Gewirr vereinigten Bruchteil beschreibt. Man fügt dieses Gewirr am Scheitelpunkt des grundlegenden Polyeders 1* ein.

Ein mehr kompliziertes Beispiel ist 8*3.1.2 0.1.1.1.1.1 Hier wieder 8* bezieht sich auf ein grundlegendes Polyeder mit 8 Scheitelpunkten. Die Perioden trennen die Notation für jedes Gewirr.

Jede Verbindung lässt solch eine Beschreibung zu, und es ist klar, dass das eine sehr kompakte Notation sogar für die sehr große sich treffende Zahl ist. Es gibt einige weitere gewöhnlich verwendete Schnellschriften. Das letzte Beispiel wird gewöhnlich 8*3:2 0 geschrieben, wo diejenigen weggelassen und die Zahl von Punkten ausgenommen der Punkte am Ende behalten werden. Für einen algebraischen Knoten solcher als im ersten Beispiel, 1* wird häufig weggelassen.

Das Pionierpapier von Conway auf dem Thema hat bis zu grundlegenden 10-Scheitelpunkte-Polyedern Schlagseite, von denen er verwendet, um Verbindungen zu tabellarisieren, die normal für jene Verbindungen geworden sind. Für eine weitere Auflistung von höheren Scheitelpunkt-Polyedern gibt es verfügbare Sonderwahlen.

Siehe auch

• Setzen Sie sich geometry#Legendrian Subsammelleitungen und Knoten in Verbindung
• Knoten und Graphen
• Liste von Knoten-Theorie-Themen
• Molekularer Knoten
• Quant-Topologie
• Zierband-Theorie
• Klassifikation von embedings.

Weiterführende Literatur

Einleitende Lehrbücher

Es gibt mehrere Einführungen in die Knoten-Theorie. Eine klassische Einführung für Studenten im Aufbaustudium oder fortgeschrittene Studenten ist Rolfsen (1976), gegeben in den Verweisungen. Andere gute Texte von den Verweisungen sind Adams (2001) und Lickorish (1997). Adams ist informell und größtenteils für hohen schoolers zugänglich. Lickorish ist eine strenge Einführung für Studenten im Aufbaustudium, eine nette Mischung von klassischen und modernen Themen bedeckend.

• Richard H. Crowell und Ralph Fox, Einführung in die Knoten-Theorie, 1977, internationale Standardbuchnummer 0-387-90272-4
• Gerhard Burde und Heiner Zieschang, Knoten, De Gruyter Studies in der Mathematik, 1985, Walter de Gruyter, internationale Standardbuchnummer 3-11-008675-1
• Louis H. Kauffman, Auf Knoten, 1987, internationale Standardbuchnummer 0-691-08435-1

Überblicke

• William W. Menasco und Morwen Thistlethwaite (Redakteure), Handbuch der Knoten-Theorie, Amsterdams: Elsevier, 2005. Internationale Standardbuchnummer 0 444 51452 X
• Menascos Handbuch und Thistlethwaites überblickt eine Mischung von Themen, die für aktuelle Forschungstendenzen gewissermaßen wichtig sind, die für fortgeschrittene Studenten zugänglich sind, aber Berufsforschern von Interesse sind.
• Livio, Mario, ist Gott ein Mathematiker? Simon & Schuster, 2009, Seiten 203-218 internationale Standardbuchnummer 978-0-7432-9405-8

Links

Geschichte

• Thomson, Herr William (Herr Kelvin), Auf Wirbelwind-Atomen, Verhandlungen der Königlichen Gesellschaft Edinburghs, Vol. VI, 1867, Seiten 94-105.
• Silliman, Robert H., William Thomson: Rauch-Ringe und Atomismus des Neunzehnten Jahrhunderts, Isis, Vol. 54, Nr. 4. (Dez 1963), Seiten 461-474. JSTOR verbinden
• Der Film einer modernen Unterhaltung des Rauchs von Tait ruft Experiment an
• Geschichte der Knoten-Theorie (auf der Hausseite von Andrew Ranicki)

Knoten-Tische und Software

• KnotInfo: Tisch des Knotens Invariants und Knoten-Theorie-Mittel
• Der wiki Knoten-Atlas - hat über Info auf individuellen Knoten in Knoten-Tischen ausführlich berichtet
• KnotPlot - Software, um geometrische Eigenschaften von Knoten zu untersuchen