Der Fixpunktsatz von Brouwer ist ein Fixpunktsatz in der Topologie, genannt nach Luitzen Brouwer. Es stellt fest, dass für jede dauernde Funktion f mit bestimmten Eigenschaften es einen Punkt x solch dass f (x) = x gibt. Die einfachste Form des Lehrsatzes von Brouwer ist für dauernde Funktionen f von einer Platte D bis sich. Eine allgemeinere Form ist für dauernde Funktionen von einer konvexen Kompaktteilmenge K des Euklidischen Raums zu sich.

Unter Hunderten von Fixpunktsätzen ist Brouwer besonders weithin bekannt, teilweise zu seinem Gebrauch über zahlreiche Felder der Mathematik erwartet.

In seinem ursprünglichen Feld ist dieses Ergebnis einer der Schlüssellehrsätze, die die Topologie von Euklidischen Räumen, zusammen mit dem Kurve-Lehrsatz von Jordan, dem haarigen Ball-Lehrsatz und dem Borsuk-Ulam Lehrsatz charakterisieren.

Das gibt ihm einen Platz unter den Hauptsätzen der Topologie. Der Lehrsatz wird auch verwendet, um tiefe Ergebnisse über Differenzialgleichungen zu beweisen, und wird in den meisten einleitenden Kursen über die Differenzialgeometrie bedeckt.

Es erscheint in unwahrscheinlichen Feldern wie Spieltheorie. In der Volkswirtschaft spielen der Fixpunktsatz von Brouwer und seine Erweiterung, der Fixpunktsatz von Kakutani, eine Hauptrolle im Beweis der Existenz des allgemeinen Gleichgewichts in Marktwirtschaften, wie entwickelt, in den 1950er Jahren durch Wirtschaftnobelpreisträger Gérard Debreu und Pfeil von Kenneth.

Der Lehrsatz wurde zuerst im Hinblick auf die Arbeit an Differenzialgleichungen von den französischen Mathematikern um Poincaré und Picard studiert.

Der Beweis von Ergebnissen wie der Lehrsatz von Poincaré-Bendixson verlangt den Gebrauch von topologischen Methoden.

Diese Arbeit am Ende des 19. Jahrhunderts hat sich in mehrere aufeinander folgende Versionen des Lehrsatzes geöffnet. Der allgemeine Fall wurde zuerst 1910 von Hadamard, und dann 1912 von Luitzen Egbertus Jan Brouwer bewiesen.

Behauptung

Der Lehrsatz hat mehrere Formulierungen abhängig vom Zusammenhang, in dem er verwendet wird.

Das einfachste wird manchmal wie folgt gegeben:

:; im Flugzeug: Jede dauernde Funktion f von einer geschlossenen Platte bis sich hat mindestens einen festen Punkt.

Das kann zu einer willkürlichen begrenzten Dimension verallgemeinert werden:

:; in der Euklidischen space:Every dauernden Funktion von einem geschlossenen Ball eines Euklidischen Raums zu sich hat einen festen Punkt.

Eine ein bisschen allgemeinere Version ist wie folgt:

:; konvexe dauernde set:Every Kompaktfunktion f von einer konvexen Kompaktteilmenge K eines Euklidischen Raums zu K selbst hat einen festen Punkt.

Eine noch allgemeinere Form ist unter einem verschiedenen Namen: besser bekannt

:; Schauder hat Punkt theorem:Every befestigt die dauernde Funktion von einer konvexen Kompaktteilmenge K eines Banachraums zu K selbst hat einen festen Punkt.

Referenzen

Die Funktion f in diesem Lehrsatz ist nicht erforderlich, bijektiv zu sein, oder sogar surjective. Da jeder geschlossene Ball im Euklidischen N-Raum homeomorphic zum geschlossenen Einheitsball D ist, hat der Lehrsatz auch gleichwertige Formulierungen, die es nur für D festsetzen.

Weil die Eigenschaften beteiligt (Kontinuität, ein fester Punkt seiend), invariant unter homeomorphisms sind, ist der Lehrsatz zu Formen gleichwertig, in denen das Gebiet erforderlich ist, ein geschlossener Einheitsball D zu sein. Aus demselben Grund hält es für jeden Satz, der homeomorphic zu einem geschlossenen Ball (und deshalb auch geschlossen, begrenzt, verbunden, ohne Löcher, usw.) ist.

Die Behauptung des Lehrsatzes, ist wenn formuliert, für die offene Einheitsplatte, den Satz von Punkten mit der Entfernung ausschließlich weniger als 1 vom Ursprung falsch. Denken Sie zum Beispiel die Funktion

:

der eine dauernde Funktion vom offenen Zwischenraum (1,1), der eindimensionalen Einheitsplatte, zu sich ist. Da es jeden Punkt nach rechts auswechselt, kann es keinen festen Punkt haben. (Aber es hat wirklich einen festen Punkt für den geschlossenen Zwischenraum [-1,1], nämlich f (x) = x = 1).

Illustrationen

Der Lehrsatz hat mehrere "echte" Weltillustrationen. Zum Beispiel: Nehmen Sie zwei Platten von Graph-Papier der gleichen Größe mit Koordinatensystemen auf ihnen, legen Sie eine Wohnung auf dem Tisch und schrumpeln Sie zusammen (ohne zu reißen oder zu reißen), der andere und legen Sie es auf jede Mode oben auf dem ersten, so dass das zerknitterte Papier außerhalb des flachen nicht reicht. Es wird dann mindestens einen Punkt der zerknitterten Platte geben, die direkt über seinem entsprechenden Punkt (d. h. dem Punkt mit denselben Koordinaten) der flachen Platte liegt. Das ist eine Folge des n = 2 Fall des Lehrsatzes von Brouwer, der auf die dauernde Karte angewandt ist, die den Koordinaten jedes Punkts der zerknitterten Platte die Koordinaten des Punkts der flachen Platte sofort darunter zuteilt.

Ähnlich: Nehmen Sie eine gewöhnliche Karte eines Landes und nehmen Sie an, dass diese Karte auf einem Tisch innerhalb dieses Landes angelegt wird. Es wird immer geben "Sie sind Hier" Punkt auf der Karte, die diesen denselben Punkt im Land vertritt.

In drei Dimensionen ist die Folge des Fixpunktsatzes von Brouwer, dass egal wie viel Sie ein Cocktail in einem Glas rühren, als die Flüssigkeit gekommen ist, um einen Punkt in der Flüssigkeit ausruhen zu lassen, in genau demselben Platz im Glas wie zuvor enden wird, haben Sie jede Handlung genommen, annehmend, dass die Endposition jedes Punkts eine dauernde Funktion seiner ursprünglichen Position ist, und dass die Flüssigkeit nach dem Rühren innerhalb des dadurch ursprünglich aufgenommenen Raums enthalten wird.

Intuitive Annäherung

Brouwer zugeschriebene Erklärungen

Der Lehrsatz soll aus der Beobachtung von Brouwer einer Tasse von Kaffee entstanden sein.

Wenn man bewegt, einen Klumpen von Zucker aufzulösen, scheint es, dass es immer einen Punkt ohne Bewegung gibt.

Er hat den Schluss dass jederzeit gezogen, es gibt einen Punkt auf der Oberfläche, die sich nicht bewegt.

Der feste Punkt ist nicht notwendigerweise der Punkt, der scheint, unbeweglich zu sein, da sich das Zentrum der Turbulenz ein kleines bisschen bewegt.

Das Ergebnis ist nicht intuitiv, da der ursprüngliche feste Punkt beweglich werden kann, wenn ein anderer fester Punkt erscheint.

Wie man

sagt, hat Brouwer beigetragen: "Ich kann dieses herrliche verschiedene Ergebnis formulieren, ich nehme eine horizontale Platte und einen anderen identischer, den ich zerknittere, macht glatt und legt auf dem anderen. Dann ist ein Punkt der zerknitterten Platte in demselben Platz wie auf der anderen Platte."

Brouwer "macht" seine Platte als mit einem flachen Eisen "glatt", ohne die Falten und Runzeln zu entfernen.

Eindimensionaler Fall

In einer Dimension ist das Ergebnis intuitiv und leicht sich zu erweisen. Die dauernde Funktion f wird auf einem geschlossenen Zwischenraum [a, b] definiert und nimmt Werte in demselben Zwischenraum. Der Ausspruch, dass diese Funktion einen festen Punkt hat, beläuft sich auf den Ausspruch, dass sein Graph (schwarz in der Zahl rechts) den der Funktion durchschneidet, die auf demselben Zwischenraum [a, b] definiert ist, der x zu (grünem) x kartografisch darstellt.

Intuitiv muss jede dauernde Linie vom linken Rand des Quadrats zum richtigen Rand die grüne Diagonale notwendigerweise durchschneiden.

Es ist nicht hart, einen formellen Beweis zu geben. Es genügt, um die Funktion g zu denken, der x zu f (x) - x kartografisch darstellt. Es ist  0 auf a und  0 auf b. Durch den Zwischenwertlehrsatz hat g eine Null in [a, b]; diese Null ist ein fester Punkt.

Wie man

sagt, hat Brouwer das wie folgt ausgedrückt: "Anstatt eine Oberfläche zu untersuchen, werden wir den Lehrsatz über ein Stück der Schnur beweisen. Lassen Sie uns mit der Schnur in einem entfalteten Staat beginnen, dann sie wiederfalten. Lassen Sie uns die wiedergefaltete Schnur glatt machen. Wieder hat ein Punkt der Schnur seine Position in Bezug auf seine ursprüngliche Position auf der entfalteten Schnur nicht geändert."

In einer Dimension ist der feste Punkt-Lehrsatz von Brouwer zum Zwischenwertlehrsatz gleichwertig.

Geschichte

Der Brouwer hat Punkt-Lehrsatz befestigt war eines der frühen Ergebnisse der algebraischen Topologie, und ist die Basis von allgemeineren festen Punkt-Lehrsätzen, die in der Funktionsanalyse wichtig sind. Der Fall n = wurden 3 erste durch Anlegestege Bohl 1904 bewiesen (veröffentlicht in der Zeitschrift für sterben reine und angewandte Mathematik). Es wurde später von L. E. J. Brouwer 1909 bewiesen. Jacques Hadamard hat den allgemeinen Fall 1910 bewiesen, und Brouwer hat einen verschiedenen Beweis 1912 gefunden. Seitdem diese frühen Beweise alle nichtkonstruktiven indirekten Beweise waren, sind sie gegen die intuitionist Ideale von Brouwer gelaufen. Methoden (Annäherungen an) feste durch den Lehrsatz von Brouwer versicherte Punkte zu bauen, sind jetzt jedoch bekannt; sieh zum Beispiel (Karamadian 1977) und (Istrăţescu 1981).

Vorgeschichte

Um die Vorgeschichte des festen Punkt-Lehrsatzes von Brouwer zu verstehen, muss man Differenzialgleichungen durchführen. Am Ende des 19. Jahrhunderts ist das alte Problem der Stabilität des Sonnensystems in den Fokus der mathematischen Gemeinschaft zurückgekehrt.

Seine Lösung hat neue Methoden verlangt. Wie bemerkt, durch Henri Poincaré, der am Drei-Körper-Problem gearbeitet hat, gibt es keine Hoffnung, eine genaue Lösung zu finden: "Nichts ist mehr richtig, um uns eine Idee von der Härte des Drei-Körper-Problems, und allgemein aller Probleme der Dynamik zu geben, wo es kein gleichförmiges Integral gibt und die Reihen von Bohlin abweichen."

Er hat auch bemerkt, dass die Suche nach einer ungefähren Lösung nicht mehr effizient ist:

"je mehr wir uns bemühen, genaue Annäherungen zu erhalten, desto mehr das Ergebnis zu einer zunehmenden Ungenauigkeit abweichen wird.".

Er hat eine Frage studiert, die dieser der Oberflächenbewegung in einer Tasse von Kaffee analog ist. Was können wir im Allgemeinen über die Schussbahnen auf einer durch einen unveränderlichen Fluss belebten Oberfläche sagen? Poincaré hat entdeckt, dass die Antwort gefunden werden kann, worin wir jetzt die topologischen Eigenschaften im Gebiet nennen, das die Schussbahn enthält. Wenn dieses Gebiet kompakt ist, d. h. beide geschlossen haben und gesprungen sind, dann wird die Schussbahn entweder stationär, oder es nähert sich einem Grenze-Zyklus. Poincaré ist weiter gegangen; wenn das Gebiet derselben Art wie eine Platte ist, wie für die Tasse von Kaffee der Fall ist, muss es einen festen Punkt notwendigerweise geben. Dieser feste Punkt ist invariant unter allen Funktionen, die zu jedem Punkt der ursprünglichen Oberfläche seine Position nach einem Zwischenraum der kurzen Zeit t vereinigen. Wenn das Gebiet ein kreisförmiges Band ist, oder wenn es nicht geschlossen wird, dann ist das nicht notwendigerweise der Fall.

Um Differenzialgleichungen besser zu verstehen, ist ein neuer Zweig der Mathematik geboren gewesen. Poincaré hat es Analyse-Lage genannt. Der französische Encyclopædia Universalis definiert es als der Zweig, der "die Eigenschaften eines Gegenstands behandelt, die invariant sind, wenn es auf eine dauernde Weise ohne das Reißen deformiert wird". 1886 hat Poincaré ein Ergebnis bewiesen, das zum Fixpunktsatz von Brouwer gleichwertig ist, obwohl die Verbindung mit dem Thema dieses Artikels noch nicht offenbar war. Ein wenig später hat er eines der grundsätzlichen Werkzeuge für das bessere Verstehen der Analyse-Lage entwickelt, die jetzt als die grundsätzliche Gruppe oder manchmal die Gruppe von Poincaré bekannt ist. Diese Methode kann für einen sehr kompakten Beweis des Lehrsatzes unter der Diskussion verwendet werden.

Die Methode von Poincaré war diesem von Émile Picard, einem zeitgenössischen Mathematiker analog, der den Cauchy-Lipschitz Lehrsatz verallgemeinert hat. Die Annäherung von Picard basiert auf einem Ergebnis, das später durch einen anderen Fixpunktsatz, genannt nach Banach formalisiert würde. Statt der topologischen Eigenschaften des Gebiets verwendet dieser Lehrsatz die Tatsache, dass die fragliche Funktion eine Zusammenziehung ist.

Die ersten Beweise

In der Morgendämmerung des 20. Jahrhunderts ist das Interesse an der Analyse-Lage unbemerkt nicht geblieben. Jedoch war die Notwendigkeit eines Lehrsatzes, der zu in diesem Artikel besprochenem demjenigen gleichwertig ist, noch nicht offensichtlich. Anlegestege Bohl, ein lettischer Mathematiker, haben topologische Methoden auf die Studie von Differenzialgleichungen angewandt. 1904 hat er den dreidimensionalen Fall unseres Lehrsatzes bewiesen, aber seine Veröffentlichung wurde nicht bemerkt.

Es war Brouwer schließlich, wer dem Lehrsatz sein erstes Patent des Adels gegeben hat. Seine Absichten waren von denjenigen von Poincaré verschieden. Dieser Mathematiker wurde durch die Fundamente der Mathematik, besonders mathematischen Logik und Topologie begeistert. Sein anfängliches Interesse legt einen Versuch an, das fünfte Problem von Hilbert zu beheben. 1909, während einer Reise nach Paris, hat er Poincaré, Hadamard und Borel getroffen. Die folgenden Diskussionen haben Brouwer von der Wichtigkeit von einem besseren Verstehen von Euklidischen Räumen überzeugt, und waren der Ursprung eines fruchtbaren Schriftwechsels mit Hadamard. Seit den nächsten vier Jahren hat er sich auf den Beweis von bestimmten großen Lehrsätzen auf dieser Frage konzentriert. 1912 hat er den haarigen Ball-Lehrsatz für den zweidimensionalen Bereich, sowie die Tatsache bewiesen, dass jede dauernde Karte vom zweidimensionalen Ball bis sich einen festen Punkt hat. Diese zwei laufen auf sich hinaus waren nicht wirklich neu. Wie Hadamard bemerkt hat, hatte Poincaré einen zum haarigen Ball-Lehrsatz gleichwertigen Lehrsatz gezeigt. Der revolutionäre Aspekt der Annäherung von Brouwer war sein systematischer Gebrauch kürzlich entwickelter Werkzeuge wie homotopy, das zu Grunde liegende Konzept der Gruppe von Poincaré. Im folgenden Jahr hat Hadamard den Lehrsatz unter der Diskussion zu einer willkürlichen begrenzten Dimension verallgemeinert, aber er hat verschiedene Methoden verwendet. H. Freudenthal äußert sich über die jeweiligen Rollen wie folgt: "Im Vergleich zu den revolutionären Methoden von Brouwer waren diejenigen von Hadamard die Teilnahme des sehr traditionellen aber Hadamards in der Geburt der Ideen von Brouwer ähnelt dieser einer Geburtshelferin mehr als dieser eines bloßen Zuschauers.".

Die Annäherung von Brouwer hat seine Früchte nachgegeben, und 1912 hat er auch einen Beweis gefunden, der für jede begrenzte Dimension gültig war. sowie andere Schlüssellehrsätze wie der invariance der Dimension. Im Zusammenhang dieser Arbeit hat Brouwer auch den Kurve-Lehrsatz von Jordan zur willkürlichen Dimension verallgemeinert und hat die mit dem Grad dauernd kartografisch darzustellen verbundenen Eigenschaften gegründet. Dieser Zweig der Mathematik, die ursprünglich von Poincaré vorgesehen ist und von Brouwer entwickelt ist, hat seinen Namen geändert. In den 1930er Jahren ist Analyse-Lage algebraische Topologie geworden.

Die Berühmtheit von Brouwer ist nicht exklusiv wegen seiner topologischen Arbeit. Er war auch der Schöpfer und eifrige Verteidiger einer Weise, Mathematik zu formalisieren, die als intuitionism bekannt ist, der sich zurzeit Mengenlehre entgegengestellt hat. Während Brouwer konstruktive Beweise ironisch bevorzugt hat, waren die ursprünglichen Beweise seiner großen topologischen Lehrsätze nicht konstruktiv, und es hat bis 1967 für konstruktive zu findende Beweise genommen.

Empfang

Der Lehrsatz hat seinen Wert auf mehr als eine Weise bewiesen. Während des 20. Jahrhunderts wurden zahlreiche Fixpunktsätze, und sogar ein Zweig der Mathematik genannt Theorie des festen Punkts entwickelt.

Der Lehrsatz von Brouwer ist wahrscheinlich am wichtigsten. Es ist auch unter den foundational Lehrsätzen auf der Topologie von topologischen Sammelleitungen und wird häufig verwendet, um andere wichtige Ergebnisse wie der Kurve-Lehrsatz von Jordan zu beweisen.

Außer den Fixpunktsätzen, um mehr oder weniger Funktionen zusammenzuziehen, gibt es viele, die direkt oder indirekt aus dem Ergebnis unter der Diskussion erschienen sind. Eine dauernde Karte von einem geschlossenen Ball des Euklidischen Raums zu seiner Grenze kann nicht die Identität an der Grenze sein. Ähnlich sagt der Borsuk-Ulam Lehrsatz, dass eine dauernde Karte vom n-dimensional Bereich zu R ein Paar von antipodischen Punkten hat, die zu demselben Punkt kartografisch dargestellt werden. Im endlich-dimensionalen Fall hat der Fixpunktsatz von Lefschetz von 1926 eine Methode zur Verfügung gestellt, um zu zählen, hat Punkte befestigt. 1930 wurde der Fixpunktsatz von Brouwer zu Banachräumen verallgemeinert. Diese Generalisation ist als der Fixpunktsatz von Schauder, ein Ergebnis verallgemeinert weiter von S. Kakutani zu mehrgeschätzten Funktionen bekannt. Man entspricht auch den Lehrsatz und seine Varianten außerhalb der Topologie. Es kann verwendet werden, um den Lehrsatz von Hartman-Grobman zu beweisen, der das qualitative Verhalten von bestimmten Differenzialgleichungen in der Nähe vom bestimmten Gleichgewicht beschreibt. Ähnlich wird der Lehrsatz von Brouwer für den Beweis des théorème de la variété centrale verwendet. Der Lehrsatz kann auch in Existenz-Beweisen für die Lösungen bestimmter teilweiser Differenzialgleichungen gefunden werden.

Andere Gebiete werden auch berührt. In der Spieltheorie hat John Nash den Lehrsatz verwendet, um dass im Spiel der Hexe zu beweisen, es gibt eine Gewinnen-Strategie für das Weiß. In der Wirtschaft erklärt P. Bich, dass bestimmte Generalisationen des Lehrsatzes zeigen, dass sein Gebrauch für bestimmte klassische Probleme in der Spieltheorie und allgemein für das Gleichgewicht (das Gesetz von Hotelling), das Finanzgleichgewicht und die unvollständigen Märkte nützlich ist.

Probeumrisse

Ein Beweis mit der Homologie

Der Beweis verwendet die Beobachtung, dass die Grenze von D S, (n  1) - Bereich ist.

Das Argument geht durch den Widerspruch, angenommen, dass eine dauernde Funktion f weiter: D  hat D keinen festen Punkt, und dann versuchend, eine Widersprüchlichkeit abzuleiten, die beweist, dass die Funktion tatsächlich einen festen Punkt haben muss. Für jeden x in D gibt es nur eine Gerade, die f (x) und x durchführt, weil es der Fall sein muss, dass f (x) und x durch die Hypothese verschieden sind (rufen Sie zurück, dass f, der nicht befestigt, Mittel dass f (x)  x anspitzt). Im Anschluss an diese Linie von f (x) durch x führt zu einem Punkt auf S, der durch F (x) angezeigt ist. Das definiert eine dauernde Funktion F: D  S, der ein spezieller Typ der dauernden als eine Wiedertraktion bekannten Funktion ist: Jeder Punkt des codomain (in diesem Fall S) ist ein fester Punkt der Funktion.

Intuitiv scheint es unwahrscheinlich, dass es eine Wiedertraktion von D auf S geben konnte, und im Fall n = 1 es offensichtlich unmöglich ist, weil S (d. h., die Endpunkte des geschlossenen Zwischenraums D) nicht sogar verbunden wird. Der Fall n = 2 ist weniger offensichtlich, aber kann durch das Verwenden grundlegender Argumente bewiesen werden, die die grundsätzlichen Gruppen der jeweiligen Räume einschließen: Die Wiedertraktion würde einen injective Gruppenhomomorphismus von der grundsätzlichen Gruppe von S zu diesem von D veranlassen, aber die erste Gruppe ist zu Z isomorph, während die letzte Gruppe trivial ist, so ist das unmöglich. Der Fall n = 2 kann auch durch den Widerspruch bewiesen werden, der auf einem Lehrsatz über nichtverschwindende Vektorfelder gestützt ist.

Für n> 2, jedoch die Unmöglichkeit der Wiedertraktion beweisend, ist schwieriger. Ein Weg ist, von Homologie-Gruppen Gebrauch zu machen: Die Homologie H (D) ist trivial, während H (S) zyklisch unendlich ist. Das zeigt, dass die Wiedertraktion unmöglich ist, weil wieder die Wiedertraktion einen injective Gruppenhomomorphismus von den Letzteren zur ehemaligen Gruppe veranlassen würde.

Ein Beweis mit dem Lehrsatz von Stokes

Um zu beweisen, dass eine Karte Punkte befestigt hat, kann man annehmen, dass es glatt ist, weil, wenn eine Karte keine festen Punkte dann convoluting es mit einer glatten Funktion der genug kleinen Unterstützung hat, eine glatte Funktion ohne feste Punkte erzeugt hat. Als im Beweis mit der Homologie wird eine auf den Beweis reduziert, dass es keine glatte Wiedertraktion f vom Ball B auf sein Grenz-DB gibt. Wenn ω eine Volumen-Form an der Grenze dann ist

:

das Geben eines Widerspruchs.

Mehr allgemein zeigt das, dass es keine glatte Wiedertraktion von irgendwelchem nichtleere glatte orientable Kompaktsammelleitung auf seine Grenze gibt. Der Beweis mit dem Lehrsatz von Stokes ist nah mit dem Beweis mit der Homologie verbunden (oder eher cohomology), weil die Form ω den de Rham cohomology Gruppe H im cohomology Beweis verwendetes (DB) erzeugt.

Ein kombinatorischer Beweis

Es gibt auch einen elementareren kombinatorischen Beweis, dessen Hauptschritt im Herstellen des Lemmas von Sperner in n Dimensionen besteht.

Ein Beweis durch Hirsch

Es gibt auch einen schnellen Beweis durch Morris Hirsch, der auf der Unmöglichkeit einer differentiable Wiedertraktion gestützt ist. Der indirekte Beweis fängt durch die Anmerkung an, dass der Karte f durch eine glatte Karte näher gekommen werden kann, die das Eigentum behält, einen Punkt nicht zu befestigen; das kann durch das Verwenden des Annäherungslehrsatzes von Weierstrass zum Beispiel getan werden. Man definiert dann eine Wiedertraktion als, über der jetzt differentiable sein muss. Solch eine Wiedertraktion muss einen nichtsingulären Wert durch den Lehrsatz von Sard haben, der auch für die Beschränkung zur Grenze nichtsingulär ist (der gerade die Identität ist). So würde das umgekehrte Image eine 1 Sammelleitung mit der Grenze sein. Die Grenze würde mindestens zwei Endpunkte enthalten müssen, von denen beide auf der Grenze des ursprünglichen Balls würden liegen müssen — der in einer Wiedertraktion unmöglich ist.

Kellogg, Li und Yorke haben den Beweis von Hirsch in einen konstruktiven Beweis verwandelt, indem sie bemerkt haben, dass das Zurücknehmen tatsächlich überall außer an den festen Punkten definiert wird. Für fast jeden Punkt, q, an der Grenze, (ist das Annehmen davon nicht ein fester Punkt), besteht eine Sammelleitung mit der Grenze, die oben erwähnt ist, wirklich, und die einzige Möglichkeit besteht darin, dass es von q bis einen festen Punkt führt. Es ist eine leichte numerische Aufgabe, solch einem Pfad von q bis den festen Punkt zu folgen, so ist die Methode im Wesentlichen konstruktiv. Chow-Chow, Holzhammer-Paret und Yorke haben eine begrifflich ähnliche Pfad folgende Version des homotopy Beweises gegeben, der sich bis zu ein großes Angebot an zusammenhängenden Problemen ausstreckt.

Ein Beweis mit der Spielhexe

Ein ziemlich verschiedener von David Gale gegebener Beweis basiert auf dem Spiel der Hexe. Der grundlegende Lehrsatz über die Hexe ist, dass kein Spiel in einer Attraktion enden kann. Das ist zum Fixpunktsatz von Brouwer für die Dimension 2 gleichwertig. Indem man n-dimensional Versionen der Hexe denkt, kann man im Allgemeinen beweisen, dass der Lehrsatz von Brouwer zum determinacy Lehrsatz für die Hexe gleichwertig ist.

Ein Beweis mit dem Fixpunktsatz von Lefschetz

Der Lefschetz Fixpunktsatz sagt, dass, wenn eine dauernde Karte f von einem begrenzten simplicial Komplex B zu sich nur befestigte Punkte isoliert hat, dann die Zahl von festen Punkten, die mit der Vielfältigkeit aufgezählt sind (der negativ sein kann), der Zahl von Lefschetz gleich

ist:

und insbesondere wenn die Zahl von Lefschetz Nichtnull dann f ist, muss einen festen Punkt haben. Wenn B ein Ball ist (oder mehr allgemein contractible ist) dann, ist die Zahl von Lefschetz diejenige, weil die einzige Nichtnullhomologie-Gruppe H (B) ist, so hat f einen festen Punkt.

Ein Beweis in einem schwachen logischen System

In der Rückmathematik kann der Lehrsatz von Brouwer im System WKL bewiesen werden, und umgekehrt über das Grundsystem bezieht der RCA Lehrsatz von Brouwer für ein Quadrat das Lemma des schwachen Konigs ein, so gibt das eine genaue Beschreibung der Kraft des Lehrsatzes von Brouwer.

Generalisationen

Der Brouwer Fixpunktsatz bildet den Startpunkt mehrerer allgemeinerer Fixpunktsätze.

Die aufrichtige Generalisation zu unendlichen Dimensionen, d. h. das Verwenden des Einheitsballs eines willkürlichen Raums von Hilbert statt des Euklidischen Raums, ist nicht wahr. Das Hauptproblem hier besteht darin, dass die Einheitsbälle von unendlich-dimensionalen Räumen von Hilbert nicht kompakt sind. Zum Beispiel, im Raum von Hilbert ℓ quadrataddierbarer echt (oder Komplex) Folgen, denken Sie die Karte f: ℓ  ℓ der eine Folge (x) vom geschlossenen Einheitsball &#8467 sendet; zur Folge (y) definiert durch

:

Es ist nicht schwierig zu überprüfen, dass diese Karte dauernd ist, hat sein Image im Einheitsbereich ℓ aber hat keinen festen Punkt.

Die Generalisationen des Fixpunktsatzes von Brouwer zu unendlichen dimensionalen Räumen deshalb schließen alle eine Kompaktheitsannahme von einer Sorte, und außerdem auch häufig eine Annahme der Konvexität ein. Sieh Fixpunktsätze in unendlich-dimensionalen Räumen für eine Diskussion dieser Lehrsätze.

Es gibt auch endlich-dimensionale Generalisation zu einer größeren Klasse von Räumen: Wenn ein Produkt von begrenzt vielen chainable Kontinua ist, dann hat jede dauernde Funktion einen festen Punkt, wo ein chainable Kontinuum ist (gewöhnlich, aber in diesem Fall nicht notwendigerweise metrisch), dessen Kompaktraum von Hausdorff jeder offene Deckel eine begrenzte offene Verbesserung, solch dass wenn und nur wenn hat. Beispiele von chainable Kontinua schließen geradlinig bestellte verbundene Kompakträume und in besondere geschlossene Zwischenräume von reellen Zahlen ein.

Der Kakutani fester Punkt-Lehrsatz verallgemeinert den Fixpunktsatz von Brouwer in einer verschiedenen Richtung: Es bleibt in R, aber denkt obere halbdauernde Ähnlichkeiten (Funktionen, die jedem Punkt des Satzes eine Teilmenge des Satzes zuteilen). Es verlangt auch Kompaktheit und Konvexität des Satzes.

Der Lefschetz Fixpunktsatz gilt für (fast) willkürliche topologische Kompakträume, und gibt eine Bedingung in Bezug auf die einzigartige Homologie, die die Existenz von festen Punkten versichert; diese Bedingung ist für jede Karte im Fall von D trivial zufrieden.

Siehe auch

• Fixpunktsatz von Banach
• Fixpunktsatz von Schauder
• Das Lemma des Essens
• Fixpunktsatz von Kakutani
• Topologischer combinatorics
• Gleichgewicht von Nash

Referenzen

• Morris W. Hirsch, "Differenzialtopologie", Springer, 1980 (sieh p. 72-73 für das Probeverwenden-Nichtsein von Hirsch einer differentiable Wiedertraktion)
• S. N. Chow, J. Holzhammer-Paret und J. A. Yorke, Entdeckung zeroes Karten: Methoden von Homotopy, die mit der Wahrscheinlichkeit ein, Mathematik konstruktiv sind. des Setzers. 32 (1978), 887-899.
• R. B. Kellogg, T. Y. Li und J. A. Yorke, hat Ein konstruktiver Beweis von Brouwer Punkt-Lehrsatz und rechenbetonte Ergebnisse, SIAM J. Numer befestigt. Anal. 13 (1976), 473-383.
• S. Karamadian (Hrsg.). Feste Punkte. Algorithmen und Anwendungen, Akademische Presse, 1977
• V.I. Istrăţescu, Feste Punkt-Theorie, Reidel, 1981

Links

• Der feste Punkt-Lehrsatz von Brouwer für Dreiecke an der Knoten-Kürzung
• Lehrsatz von Brouwer, von PlanetMath mit dem beigefügten Beweis.
• Der Wiederaufbau von Brouwer an MathPages