Das Lemma von Zorn, auch bekannt als das Kuratowski-Zorn Lemma, sind ein Vorschlag der Mengenlehre, die festsetzt:

Nehmen Sie an, dass ein teilweise bestellter Satz P das Eigentum hat, dass jede Kette (d. h. völlig bestellte Teilmenge) einen in P gebundenen oberen hat. Dann enthält der Satz P mindestens ein maximales Element.

Es wird nach den Mathematikern Max Zorn und Kazimierz Kuratowski genannt.

Die Begriffe werden wie folgt definiert. Denken Sie (P, ) ist ein teilweise bestellter Satz. Eine Teilmenge T wird völlig bestellt, wenn für einen s t in T wir s  t oder t  s haben. Solch ein Satz T hat einen oberen gebundenen u in P wenn t  u für den ganzen t in T. Bemerken Sie, dass u ein Element von P ist, aber kein Element von T zu sein braucht. Eine Element-M von P wird ein maximales Element genannt, wenn es kein Element x in P für der M gibt

Nehmen Sie an, dass ein nichtleerer teilweise bestellter Satz P das Eigentum hat, dass jede nichtleere Kette einen in P gebundenen oberen hat. Dann enthält der Satz P mindestens ein maximales Element.

Die Unterscheidung kann fein scheinen, aber Beweise, die das Lemma von Zorn häufig einschließen, schließen Einnahme einer Vereinigung von einer Sorte ein, um einen gebundenen oberen zu erzeugen.

Der Fall einer leeren Kette folglich ist leere Vereinigung ein Grenzfall, der leicht überblickt wird.

Das Lemma von Zorn ist zum gut bestellenden Lehrsatz und dem Axiom der Wahl im Sinn gleichwertig, dass irgendwelche von ihnen, zusammen mit den Zermelo-Fraenkel Axiomen der Mengenlehre, genügend sind, um andere zu beweisen. Es kommt in den Beweisen von mehreren Lehrsätzen der entscheidenden Wichtigkeit, zum Beispiel der Hahn-Banach Lehrsatz in der Funktionsanalyse, der Lehrsatz vor, dass jeder Vektorraum eine Basis, den Lehrsatz von Tychonoff in der Topologie hat feststellend, dass jedes Produkt von Kompakträumen, und die Lehrsätze in der abstrakten Algebra kompakt ist, dass jeder Nichtnullring ein maximales Ideal hat, und dass jedes Feld einen algebraischen Verschluss hat.

Eine Beispiel-Anwendung

Wir werden eine typische Anwendung des Lemmas von Zorn durchsehen: Der Beweis, dass jeder nichttriviale Ring R mit der Einheit ein maximales Ideal enthält. Der Satz P hier besteht aus allen (zweiseitigen) Idealen in R außer R selbst, der nicht leer ist, da es mindestens das triviale Ideal {0} enthält. Dieser Satz wird durch die Satz-Einschließung teilweise bestellt. Wir werden getan, wenn wir ein maximales Element in P finden können. Das Ideal R wurde ausgeschlossen, weil maximale Ideale definitionsgemäß R nicht gleich sind.

Wir wollen das Lemma von Zorn anwenden, und so nehmen wir eine nichtleere völlig bestellte Teilmenge T von P und müssen zeigen, dass T einen oberen gebunden hat, d. h. dass dort ein Ideal I  R besteht, der größer als alle Mitglieder von T, aber noch kleiner ist als R (sonst, würde es nicht in P sein). Wir nehmen mich, um die Vereinigung aller Ideale in T zu sein. Weil T mindestens ein Element enthält, und dieses Element mindestens 0 enthält, enthält die Vereinigung I mindestens 0 und ist nicht leer. Jetzt, um zu beweisen, dass ich ein Ideal bin: Wenn a und b Elemente von mir sind, dann dort bestehen zwei Ideale J, K  T solch, dass eines Elements von J und b zu sein, ein Element von K ist. Da T völlig bestellt wird, wissen wir dass J  K oder K  J. Im ersten Fall sind sowohl a als auch b Mitglieder des Ideales K, deshalb ist ihre Summe + b ein Mitglied von K, der zeigt, dass + b ein Mitglied von mir ist. Im zweiten Fall sind sowohl a als auch b Mitglieder des Ideales J, und wir beschließen ähnlich dass + b  I. Außerdem, wenn r  R, dann sind ar und ra Elemente von J und folglich Elemente von mir. Wir haben gezeigt, dass ich ein Ideal in R bin.

Jetzt kommt das Herz des Beweises: Warum bin ich kleiner als R? Die entscheidende Beobachtung besteht darin, dass ein Ideal R gleich ist, wenn, und nur wenn es 1 enthält. (Es ist klar, dass, wenn es R dann gleich ist, es 1 enthalten muss; andererseits, wenn es 1 enthält und r ein willkürliches Element von R ist, dann r1 = ist r ein Element des Ideales, und so ist das Ideal R. gleich) also, wenn ich R gleich wäre, dann würde es 1 enthalten, und das bedeutet, dass eines der Mitglieder von T 1 enthalten würde und so R gleich sein würde - aber wir haben ausführlich R von P ausgeschlossen.

Die Bedingung des Lemmas von Zorn ist überprüft worden, und wir bekommen so ein maximales Element in P, mit anderen Worten ein maximales Ideal in R.

Bemerken Sie, dass der Beweis von der Tatsache abhängt, dass unser Ring R eine multiplicative Einheit 1 hat. Ohne das würde der Beweis nicht arbeiten, und tatsächlich würde die Behauptung falsch sein. Zum Beispiel hat der Ring mit als zusätzliche Gruppe und triviale Multiplikation (d. h. für alle) kein maximales Ideal (und natürlich Nr. 1): Seine Ideale sind genau die zusätzlichen Untergruppen. Die Faktor-Gruppe durch eine richtige Untergruppe ist eine teilbare Gruppe, folglich sicher nicht begrenzt erzeugt, folglich hat eine richtige nichttriviale Untergruppe, die eine Untergruppe und ideal verursacht enthaltend.

Skizze des Beweises des Lemmas von Zorn (vom Axiom der Wahl)

Eine Skizze des Beweises des Lemmas von Zorn folgt. Nehmen Sie an, dass das Lemma falsch ist. Dann dort besteht ein teilweise bestellter Satz oder poset, P solch, dass jede völlig bestellte Teilmenge einen oberen gebunden hat, und jedes Element einen größeren hat. Für jede völlig bestellte Teilmenge T können wir dann ein größeres Element b (T) definieren, weil T einen oberen gebunden hat, und dass ober gebunden ein größeres Element hat. Um wirklich die Funktion b zu definieren, müssen wir das Axiom der Wahl verwenden.

Mit der Funktion b sind wir dabei, Elemente zu definieren, definiert durch transfiniten recursion zu sein: Wir picken im P willkürlich auf (das ist möglich, da P einen oberen enthält, der für den leeren Satz gebunden ist, und so nicht leer ist) und für jeden anderen Ordnungsw wir = b untergehen ({a: V werden völlig bestellt, das ist eine wohl begründete Definition.

Dieser Beweis zeigt, dass wirklich eine ein bisschen stärkere Version des Lemmas von Zorn wahr ist:

Geschichte

Der Hausdorff maximale Grundsatz ist eine frühe dem Lemma von Zorn ähnliche Behauptung.

K. Kuratowski hat 1922 eine Version des Lemmas in der Nähe von seiner modernen Formulierung bewiesen (es hat für Sätze gegolten, die durch die Einschließung bestellt sind, und hat unter Vereinigungen von gut bestellten Ketten geschlossen). Im Wesentlichen wurde dieselbe Formulierung (geschwächt durch das Verwenden willkürlicher Ketten, nicht nur gut bestellt) von Max Zorn 1935 unabhängig gegeben, der es als ein neues Axiom der Mengenlehre vorgeschlagen hat, die den gut bestellenden Lehrsatz ersetzt, einige seiner Anwendungen in der Algebra ausgestellt hat und versprochen hat, seine Gleichwertigkeit mit dem Axiom der Wahl in einer anderen Zeitung zu zeigen, die nie erschienen ist.

Der Name "das Lemma von Zorn" scheint, wegen John Tukeys zu sein, der es in seinem Buch Konvergenz und Gleichförmigkeit in der Topologie 1940 verwendet hat. Der Théorie des Ensembles von Bourbaki von 1939 kennzeichnet einen ähnlichen maximalen Grundsatz als "le théorème de Zorn". Der Name "" herrscht in Polen und Russland vor.

Gleichwertige Formen des Lemmas von Zorn

Das Lemma von Zorn ist (in ZF) zu drei Hauptergebnissen gleichwertig:

1. Hausdorff maximaler Grundsatz
2. Axiom der Wahl
3. Gut bestellender Lehrsatz.

Außerdem bezieht das Lemma von Zorn (oder eine seiner gleichwertigen Formen) einige Hauptergebnisse in anderen mathematischen Gebieten ein. Zum Beispiel,

1. Der Erweiterungslehrsatz von Banach, der verwendet wird, um eines der grundsätzlichsten Ergebnisse in der Funktionsanalyse, der Hahn-Banach Lehrsatz zu beweisen
2. Jeder Vektorraum hat eine Basis von Hamel, ein Ergebnis von geradliniger Algebra (zu dem es gleichwertig ist)
3. Jeder Ersatzunital-Ring hat ein maximales Ideal, ein Ergebnis von Ringtheorie
4. Der Lehrsatz von Tychonoff in der Topologie (zu dem es auch gleichwertig ist)

In diesem Sinn sehen wir, wie das Lemma von Zorn als ein starkes Werkzeug besonders im Sinne der vereinigten Mathematik gesehen werden kann.

Links

• Das Lemma von Zorn an ProvenMath enthält einen formellen Beweis unten zum feinsten Detail der Gleichwertigkeit des Axioms der Wahl und des Lemmas von Zorn.
• Das Lemma von Zorn an Metamath ist ein anderer formeller Beweis. (Version von Unicode für neue Browser.)