In der abstrakten Algebra ist eine Teilmenge S Feldes L über ein Teilfeld K algebraisch unabhängig, wenn die Elemente von S keine nichttriviale polynomische Gleichung mit Koeffizienten in K befriedigen. Das bedeutet, dass für jede begrenzte Folge α..., α Elemente von S, von denen keine zwei dasselbe dann sind, wenn P Koeffizienten in K und hat

:P (α,...,&alpha) = 0

dann ist P das Nullpolynom.

Insbesondere ein Element ist untergegangen {α} ist über K algebraisch unabhängig, wenn, und nur wenn α über K transzendental ist. Im Allgemeinen sind alle Elemente eines algebraisch unabhängigen Satzes über K notwendigerweise über K transzendental, aber das ist davon weit, eine genügend Bedingung zu sein.

Zum Beispiel ist die Teilmenge {, 2π + 1} der reellen Zahlen R über die rationalen Zahlen Q, seit dem Nichtnullpolynom nicht algebraisch unabhängig

:

Ertrag-Null, wenn gegen  x und 2π + 1 ausgewechselt wird, wird x ausgewechselt.

Der Lindemann-Weierstrass Lehrsatz kann häufig verwendet werden, um zu beweisen, dass einige Sätze über Q algebraisch unabhängig sind. Es stellt fest, dass, wann auch immer α..., α algebraische Zahlen sind, die über Q, dann e linear unabhängig sind..., e über Q algebraisch unabhängig sind.

Es ist nicht bekannt, ob der Satz {π, e} über Q algebraisch unabhängig ist. Tatsächlich ist es nicht sogar bekannt, ob π + e vernunftwidrig ist.

Nesterenko hat 1996 dass bewiesen:

• die Zahlen π, e, und Γ (1/4) sind über Q algebraisch unabhängig.
• die Zahlen π, e, und Γ (1/3) sind über Q algebraisch unabhängig.
• für alle positiven ganzen Zahlen n sind die Zahlen π, e über Q algebraisch unabhängig.

In Anbetracht einer Felderweiterung L/K können wir das Lemma von Zorn verwenden, um zu zeigen, dass dort immer eine maximale algebraisch unabhängige Teilmenge von L über K besteht. Weiter haben alle maximalen algebraisch unabhängigen Teilmengen denselben cardinality, der als der Überlegenheitsgrad der Erweiterung bekannt ist.

Siehe auch

• Matroid

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