In der Mathematik ist ein beringter Raum, intuitiv das Sprechen, ein Raum zusammen mit einer Sammlung von Ersatzringen, von denen die Elemente "Funktionen" auf jedem offenen Satz des Raums sind. Beringte Räume erscheinen während der Analyse und werden auch verwendet, um die Schemas der algebraischen Geometrie zu definieren.

Definition

Formell ist ein beringter Raum (X, O) ein topologischer Raum X zusammen mit einem Bündel von Ringen O auf X. Das Bündel O wird das Struktur-Bündel X genannt.

Ein lokal beringter Raum ist ein beringter Raum (X, O) solch, dass alle Stiele von O lokale Ringe sind (d. h. sie einzigartige maximale Ideale haben). Bemerken Sie, dass es dass O (U) nicht erforderlich ist, ein lokaler Ring für jeden offenen Satz U zu sein. Tatsächlich ist das fast nie dabei der Fall zu sein.

Beispiele

Ein willkürlicher topologischer Raum X kann als ein lokal beringter Raum durch die Einnahme O betrachtet, um das Bündel von reellwertigen zu sein (oder Komplex-geschätzt werden) dauernde Funktionen auf offenen Teilmengen X (dort kann dauernde Funktionen über offene Teilmengen X bestehen, die nicht die Beschränkung jeder dauernden Funktion mehr als X sind). Vom Stiel an einem Punkt x kann als der Satz aller Keime von dauernden Funktionen an x gedacht werden; das ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal, das aus jenen Keimen besteht, deren Wert an x 0 ist.

Wenn X eine Sammelleitung mit einer Extrastruktur ist, können wir auch das Bündel von differentiable oder kompliziert-analytische Funktionen nehmen. Beide von diesen verursachen lokal gerungene Räume.

Wenn X eine algebraische Vielfalt ist, die die Topologie von Zariski trägt, können wir einen lokal beringten Raum definieren, indem wir O (U) nehmen, um der Ring von vernünftigen Funktionen zu sein, die auf dem Zariski-offenen Satz U definiert sind, die nicht explodieren (werden Sie unendlich) innerhalb von U. Die wichtige Generalisation dieses Beispiels ist die des Spektrums jedes Ersatzrings; diese Spektren sind auch lokal gerungene Räume. Schemas sind lokal gerungene Räume, die "das Kleben zusammen" von Spektren von Ersatzringen erhalten sind.

Morphisms

Ein morphism von beringten Räumen ist eine dauernde Karte zwischen ihren zu Grunde liegenden topologischen Räumen zusammen mit (im Wesentlichen) einem morphism zwischen ihren Struktur-Bündeln. Ausführlich wird ein morphism von (X, O) zu (Y, O) durch die folgenden Daten gegeben:

• eine dauernde Karte f: X  Y
• eine Familie des Ringhomomorphismus φ: O (V)  O (f (V)) für jeden offenen Satz V von Y, die mit den Beschränkungskarten pendeln. D. h. wenn V  V zwei offene Teilmengen von Y sind, dann muss das folgende Diagramm pendeln (die vertikalen Karten sind der Beschränkungshomomorphismus):

Es gibt eine zusätzliche Voraussetzung für morphisms zwischen lokal beringten Räumen:

• der Ringhomomorphismus, der durch φ zwischen den Stielen von Y und den Stielen X veranlasst ist, muss lokaler Homomorphismus, d. h. für jeden x  X das maximale Ideal des lokalen Rings (Stiel) an f (x) sein  Y wird zum maximalen Ideal des lokalen Rings an x  X kartografisch dargestellt.

Zwei morphisms können zusammengesetzt werden, um einen neuen morphism zu bilden, und wir erhalten die Kategorie von beringten Räumen und die Kategorie lokal beringter Räume. Der Isomorphismus in diesen Kategorien wird wie gewöhnlich definiert.

Tangente-Räume

Lokal gerungene Räume haben gerade genug Struktur, um die bedeutungsvolle Definition von Tangente-Räumen zu erlauben. Lassen Sie X Raum mit dem Struktur-Bündel O lokal gerungen werden; wir wollen den Tangente-Raum T am Punkt x  X definieren. Nehmen Sie den lokalen Ring (Stiel) R am Punkt x mit der maximalen idealen M. Dann k: = ist R/m ein Feld, und M/M ist ein Vektorraum über dieses Feld (der Kotangens-Raum). Der Tangente-Raum T wird als der Doppel-von diesem Vektorraum definiert.

Die Idee ist der folgende: Ein Tangente-Vektor an x sollte Ihnen erzählen, wie man "Funktionen" an x, d. h. die Elemente von R "unterscheidet". Jetzt ist es genug zu wissen, wie man Funktionen unterscheidet, deren Wert an x Null ist, da sich alle anderen Funktionen von diesen nur durch eine Konstante unterscheiden, und wir wissen, wie man Konstanten unterscheidet. So müssen wir uns nur über die M sorgen. Außerdem, wenn zwei Funktionen mit der Wertnull an x gegeben werden, dann hat ihr Produkt abgeleiteten 0 an x durch die Produktregel. So müssen wir nur wissen, wie man "Zahlen" den Elementen der M/M zuteilt, und das ist, was der Doppelraum tut.

O Module

In Anbetracht eines lokal beringten Raums (X, O), kommen bestimmte Bündel von Modulen auf X in den Anwendungen, den O-Modulen vor. Um sie zu definieren, denken Sie ein Bündel F abelian Gruppen auf X. Wenn F (U) ein Modul über den Ring O (U) für jeden offenen Satz U in X ist, und die Beschränkungskarten mit der Modul-Struktur vereinbar sind, dann nennen wir F ein O-Modul. In diesem Fall wird der Stiel von F an x ein Modul über den lokalen Ring (Stiel) R für jeden xX sein.

Ein morphism zwischen zwei solchen O-Modulen ist ein morphism von Bündeln, der mit den gegebenen Modul-Strukturen vereinbar ist. Die Kategorie von O-Modulen über einen festen lokal beringten Raum (X, O) ist eine abelian Kategorie.

Eine wichtige Unterkategorie der Kategorie von O-Modulen ist die Kategorie von quasizusammenhängenden Bündeln auf X. Ein Bündel von O-Modulen wird quasizusammenhängend genannt, wenn es zum cokernel einer Karte zwischen freien O-Modulen, lokal, isomorph ist. Ein zusammenhängendes Bündel F ist ein quasizusammenhängendes Bündel, das, lokal, des begrenzten Typs und für jede offene Teilmenge U X der Kern jedes morphism von ist, sind freie O-Module der begrenzten Reihe zu F auch des begrenzten Typs.

• Abschnitt 0.4 von