In der Mathematik erleichtert der Tangente-Raum einer Sammelleitung die Generalisation von Vektoren von affine Räumen bis allgemeine Sammelleitungen, seitdem im letzten Fall kann man nicht zwei Punkte einfach abziehen, um einen Vektoren zu erhalten, der von einem bis den anderen hinweist.

Informelle Beschreibung

In der Differenzialgeometrie kann man jedem Punkt x von einer Differentiable-Sammelleitung ein Tangente-Raum, ein echter Vektorraum anhaften, der intuitiv die möglichen "Richtungen" enthält, in denen x tangential durchführen kann. Die Elemente des Tangente-Raums werden Tangente-Vektoren an x genannt. Das ist eine Generalisation des Begriffs eines bestimmten Vektoren in einem Euklidischen Raum. Alle Tangente-Räume haben dieselbe Dimension, die der Dimension der Sammelleitung gleich ist.

Zum Beispiel, wenn die gegebene Sammelleitung ein 2-Bereiche-ist, kann man den Tangente-Raum an einem Punkt als das Flugzeug darstellen, das den Bereich an diesem Punkt berührt und auf dem Radius des Bereichs durch den Punkt rechtwinklig ist. Mehr allgemein, wenn von einer gegebenen Sammelleitung als eine eingebettete Subsammelleitung des Euklidischen Raums gedacht wird, kann man den Tangente-Raum auf diese wörtliche Mode darstellen.

In der algebraischen Geometrie, im Gegensatz, gibt es eine innere Definition des Tangente-Raums an einem Punkt P von einer Vielfalt V, der einen Vektorraum der Dimension mindestens dieser V gibt. Die Punkte P, an dem die Dimension genau die V ist, werden die nichtsingulären Punkte genannt; andere sind einzigartige Punkte. Zum Beispiel hat eine Kurve, die sich bekreuzigt, keine einzigartige Tangente-Linie an diesem Punkt. Die einzigartigen Punkte V sind diejenigen, wo der 'Test, um eine Sammelleitung zu sein', scheitert. Sieh Tangente-Raum von Zariski.

Sobald Tangente-Räume eingeführt worden sind, kann man Vektorfelder definieren, die Abstraktionen des Geschwindigkeitsfeldes von Partikeln sind, die eine Sammelleitung vorwärtstreiben. Ein Vektorfeld fügt jedem Punkt der Sammelleitung einen Vektoren vom Tangente-Raum an diesem Punkt auf eine glatte Weise bei. Solch ein Vektorfeld dient, um eine verallgemeinerte gewöhnliche Differenzialgleichung auf einer Sammelleitung zu definieren: Eine Lösung solch einer Differenzialgleichung ist eine Differentiable-Kurve auf der Sammelleitung, deren Ableitung an jedem Punkt dem Tangente-Vektoren gleich ist, der diesem Punkt durch das Vektorfeld beigefügt ist.

Alle Tangente-Räume können zusammen "geklebt werden", um eine neue differentiable Sammelleitung zweimal der Dimension der ursprünglichen Sammelleitung, genannt das Tangente-Bündel der Sammelleitung zu bilden.

Formelle Definitionen

Es gibt verschiedene gleichwertige Weisen, die Tangente-Räume einer Sammelleitung zu definieren. Während die Definition über Geschwindigkeiten von Kurven gegeben die obengenannte Intuition ziemlich aufrichtig ist, ist es auch am beschwerlichsten, um damit zu arbeiten. Elegantere und abstrakte Annäherungen werden unten beschrieben.

Definition als Geschwindigkeiten von Kurven

Nehmen Sie an, dass M eine C-Sammelleitung ist (k  1) und x ein Punkt in der M Auswahl eine Karte φ ist: U  R, wo U eine offene Teilmenge der M ist, die x enthält. Nehmen Sie zwei Kurven γ an: (-1,1)  M und γ: (-1,1) wird die  M mit γ (0) = γ (0) = x solch gegeben, dass φ  γ und φ  γ beide differentiable an 0 sind. Dann werden γ und γ gleichwertig an 0 genannt, wenn die gewöhnlichen Ableitungen von φ  γ und φ  γ an 0 zusammenfallen. Das definiert eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf solchen Kurven, und die Gleichwertigkeitsklassen sind als die Tangente-Vektoren der M an x bekannt. Die Gleichwertigkeitsklasse der Kurve γ wird als γ '(0) geschrieben. Der Tangente-Raum der M an x, der durch TM angezeigt ist, wird als der Satz aller Tangente-Vektoren definiert; es hängt von der Wahl der Karte φ nicht ab.

Um die Vektorraum-Operationen auf TM zu definieren, verwenden wir eine Karte φ: U  R und definieren die Karte (dφ): TM  R durch (dφ) (γ '(0)) = (φ  γ) (0). Es stellt sich heraus, dass diese Karte bijektiv ist und so verwendet werden kann, um die Vektorraum-Operationen von R zu TM zu übertragen, die Letzteren in einen n-dimensional echten Vektorraum verwandelnd. Wieder muss man überprüfen, dass dieser Aufbau von der besonderen Karte φ gewählt nicht abhängt, und tatsächlich es nicht tut.

Definition über Abstammungen

Nehmen Sie an, dass M eine C-Sammelleitung ist. Ein reellwertiger Funktions-ƒ: M  R gehört C (M), wenn ƒ  φ ungeheuer differentiable für jede Karte φ ist: U  R. C ist (M) eine echte assoziative Algebra für das pointwise Produkt und die Summe von Funktionen und Skalarmultiplikation.

Picken Sie einen Punkt x in der M auf. Eine Abstammung an x ist eine geradlinige Karte D: C (M)  R, der das Eigentum dass für den ganzen ƒ, g in C (M) hat:

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modelliert auf der Produktregel der Rechnung. Diese Abstammungen bilden einen echten Vektorraum auf eine natürliche Weise; das ist der Tangente-Raum TM.

Die Beziehung zwischen den Tangente-Vektoren hat früher definiert, und Abstammungen ist wie folgt: Wenn γ eine Kurve mit dem Tangente-Vektoren γ '(0) ist, dann ist die entsprechende Abstammung D (ƒ) = (ƒ  γ)' (0) (wo die Ableitung im gewöhnlichen Sinn genommen wird, da ƒ  γ eine Funktion von (-1,1) bis R) ist.

Generalisationen dieser Definition, sind zum Beispiel zu komplizierten Sammelleitungen und algebraischen Varianten möglich. Jedoch, anstatt Abstammungen D von der vollen Algebra von Funktionen zu untersuchen, muss man stattdessen am Niveau von Keimen von Funktionen arbeiten. Der Grund besteht darin, dass das Struktur-Bündel für solche Strukturen nicht fein sein kann. Lassen Sie zum Beispiel X eine algebraische Vielfalt mit dem Struktur-Bündel O sein. Dann ist der Tangente-Raum von Zariski an einem Punkt pX die Sammlung von K-Abstammungen D:OK, wo K das Boden-Feld ist und O der Stiel von O an p ist.

Definition über den Kotangens-Raum

Wieder fangen wir mit einer C-Sammelleitung, M und einem Punkt, x in der M an. Denken Sie das Ideal, mich, in C (M), aus allen Funktionen, ƒ, solch dass (x) ƒ = 0 bestehend. Dann sind ich und ich echte Vektorräume, und TM kann als der Doppelraum des Quotient-Raums I / ich definiert werden. Dieser letzte Quotient-Raum ist auch bekannt als der Kotangens-Raum der M an x.

Während diese Definition am abstraktesten ist, ist es auch dasjenige, das am leichtesten anderen Einstellungen zum Beispiel den in der algebraischen Geometrie betrachteten Varianten übertragen ist.

Wenn D eine Abstammung ist, dann D (ƒ) = 0 für jeden ƒ in mir, und bedeutet das, dass D eine geradlinige Karte I / ich  R verursacht. Umgekehrt, wenn r: Ich / ich  R ist eine geradlinige Karte, dann D (ƒ) = r ((ƒ - (x) ƒ) + ist I) eine Abstammung. Das gibt die Ähnlichkeit zwischen dem Tangente-Raum nach, der über Abstammungen und dem über den Kotangens-Raum definierten Tangente-Raum definiert ist.

Eigenschaften

Wenn M eine offene Teilmenge von R ist, dann ist M eine C-Sammelleitung auf eine natürliche Weise (nehmen Sie die Karten, um die Identitätskarten zu sein), und die Tangente-Räume werden alle mit R natürlich identifiziert.

Tangente-Vektoren als Richtungsableitungen

Eine andere Weise, an Tangente-Vektoren zu denken, ist als Richtungsableitungen. In Anbetracht eines Vektoren v in R definiert man die Richtungsableitung eines glatten Karte-ƒ: RR an einem Punkt x durch

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Diese Karte ist natürlich eine Abstammung. Außerdem stellt es sich heraus, dass jede Abstammung von C(R) dieser Form ist. Also gibt es eine isomorphe Karte zwischen Vektoren (Gedanke wie Tangente-Vektoren an einem Punkt) und Abstammungen.

Da Tangente-Vektoren zu einer allgemeinen Sammelleitung als Abstammungen definiert werden können, ist es natürlich, an sie als Richtungsableitungen zu denken. Spezifisch, wenn v ein Tangente-Vektor der M an einem Punkt x ist (Gedanke als eine Abstammung) definieren dann die Richtungsableitung in der Richtung v durch

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wo ƒ: M  R ist ein Element von C (M).

Wenn wir an v als die Richtung einer Kurve, v = γ '(0) denken, dann schreiben wir

:

Die Ableitung einer Karte

Jeder glatte (oder differentiable) stellt φ kartografisch dar: M  N zwischen dem glatten (oder differentiable) Sammelleitungen veranlasst natürliche geradlinige Karten zwischen den entsprechenden Tangente-Räumen:

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Wenn der Tangente-Raum über Kurven definiert wird, wird die Karte als definiert

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Wenn stattdessen der Tangente-Raum über Abstammungen, dann definiert wird

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Die geradlinige Karte dφ wird verschiedenartig die abgeleitete, ganze Ableitung, das Differenzial oder pushforward von φ an x genannt. Es wird oft mit einer Vielfalt anderer Notationen ausgedrückt:

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Gewissermaßen ist die Ableitung die beste geradlinige Annäherung an φ nahe x. Bemerken Sie dass wenn N = R, die Karte dφ: TMR fällt mit dem üblichen Begriff des Differenzials der Funktion φ zusammen. In lokalen Koordinaten wird die Ableitung von ƒ von Jacobian gegeben.

Ein wichtiges Ergebnis bezüglich der abgeleiteten Karte ist der folgende:

:Theorem. Wenn φ: M  N ist ein lokaler diffeomorphism an x in der M dann dφ: TM  TN ist ein geradliniger Isomorphismus. Umgekehrt, wenn dφ ein Isomorphismus dann ist, gibt es eine offene Nachbarschaft U solchen x, dass φ U diffeomorphically auf sein Image kartografisch darstellt.

Das ist eine Generalisation des umgekehrten Funktionslehrsatzes zu Karten zwischen Sammelleitungen.

Siehe auch

• Exponentialkarte
• Differenzialgeometrie von Kurven

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Außenverbindungen

• Tangentialebenen an MathWorld