In der Mathematik, dem Maximum und Minimum (Mehrzahl-: Maxima und Minima) einer Funktion, bekannt insgesamt als extrema (einzigartig: Extremum), sind der größte und kleinste Wert, den die Funktion an einem Punkt entweder innerhalb einer gegebenen Nachbarschaft (lokaler oder relativer extremum) oder auf dem Funktionsgebiet vollständig (globaler oder absoluter extremum) nimmt.

Mehr allgemein sind das Maximum und Minimum eines Satzes (wie definiert, in der Mengenlehre) am größten und kleinstes Element im Satz. Unbegrenzte unendliche Sätze wie der Satz von reellen Zahlen haben kein Minimum und Maximum.

Äußerste Werte ausfindig zu machen, ist das grundlegende Ziel der Optimierung.

Analytische Definition

Wie man

sagt, hat eine reellwertige Funktion f definiert auf einer echten Linie einen Vorortszug (oder Verwandter) maximaler Punkt am Punkt x, wenn dort einige &epsilon besteht;> 0 solches dass f (x) ≥ f (x) wenn |x  x, wenn f (x) ≤ f (x) wenn |x  x wenn f (x) ≥ f (x) für den ganzen x. Ähnlich hat eine Funktion einen globalen (oder absolut) minimaler Punkt an x wenn f (x) ≤ f (x) für den ganzen x. Die globalen maximalen und globalen minimalen Punkte sind auch bekannt als der arg max und arg Minute: Das Argument (Eingang), an dem das Maximum (beziehungsweise, Minimum) vorkommt.

Eingeschränkte Gebiete: Es kann Maxima und Minima für eine Funktion deren geben

Gebiet schließt alle reellen Zahlen nicht ein. Eine reellwertige Funktion, deren Gebiet jeder Satz ist, kann ein globales Maximum und Minimum haben. Es kann auch lokale Maxima und lokale Minimum-Punkte geben, aber nur an Punkten des Bereichssatzes, wo das Konzept der Nachbarschaft definiert wird. Eine Nachbarschaft spielt die Rolle des Satzes von solchem x dass

|x  x kommt an x = e vor.]]

• Die Funktion x hat ein einzigartiges globales Minimum an x = 0.
• Die Funktion x hat keine globalen Minima oder Maxima. Obwohl die erste Ableitung (3x) 0 an x = 0 ist, ist das ein Beugungspunkt.
• Die Funktion hat ein einzigartiges globales Maximum an x = e. (Sieh Zahl am Recht)
• Die Funktion x hat ein einzigartiges globales Maximum über die positiven reellen Zahlen an x = 1/e.
• Die Funktion x/3  x hat die erste Ableitung x  1 und die zweite Ableitung 2x. Das Setzen der ersten Ableitung zu 0 und das Lösen für x geben stationäre Punkte an 1 und +1. Vom Zeichen der zweiten Ableitung können wir sehen, dass 1 ein lokales Maximum ist und +1 ein lokales Minimum ist. Bemerken Sie, dass diese Funktion kein globales Maximum oder Minimum hat.
• Die Funktion x hat ein globales Minimum an x = 0, der durch die Einnahme von Ableitungen nicht gefunden werden kann, weil die Ableitung an x = 0 nicht besteht.
• Die Funktion, weil (x) ungeheuer viele globale Maxima an 0, ±2&pi hat; ±4π …, und ungeheuer viele globale Minima an ±π ±3π ….
• Die Funktion 2, weil (x)  x ungeheuer viele lokale Maxima und Minima, aber kein globales Maximum oder Minimum hat.
• Die Funktion weil (3πx)/x mit 0.1 ≤ x ≤ 1.1 hat ein globales Maximum an x = 0.1 (eine Grenze), ein globales Minimum nahe x = 0.3, ein lokales Maximum nahe x = 0.6, und ein lokales Minimum nahe x = 1.0. (Sieh Zahl an der Spitze der Seite.)
• Die Funktion x + 3x  2x + 1 definierter über den geschlossenen Zwischenraum (Segment) [4,2] hat zwei extrema: ein lokales Maximum an x = 1⁄ ein lokales Minimum an x = 1+⁄ ein globales Maximum an x = 2 und ein globales Minimum an x = 4.

Funktionen von mehr als einer Variable

Weil Funktionen von mehr als einer variablen, ähnlichen Bedingungen gelten. Zum Beispiel, in (enlargeable) Zahl am Recht, sind die notwendigen Bedingungen für ein lokales Maximum denjenigen einer Funktion mit nur einer Variable ähnlich. Die ersten partiellen Ableitungen betreffs z (die Variable, die zu maximieren ist), sind Null am Maximum (der glühende Punkt auf der Spitze in der Zahl). Die zweiten partiellen Ableitungen sind negativ. Diese sind nur notwendig, Bedingungen für ein lokales Maximum wegen der Möglichkeit eines Sattel-Punkts nicht genügend. Für den Gebrauch dieser Bedingungen, für ein Maximum zu lösen, muss die Funktion z auch differentiable überall sein. Der zweite Test der partiellen Ableitung kann helfen, den Punkt als ein relatives oder maximales Verhältnisminimum zu klassifizieren.

Im Gegensatz gibt es wesentliche Unterschiede zwischen Funktionen einer Variable und Funktionen von mehr als einer Variable in der Identifizierung von globalem extrema. Zum Beispiel, wenn eine begrenzte Differentiable-Funktion f definiert auf einem geschlossenen Zwischenraum in der echten Linie einen einzelnen kritischen Punkt hat, der ein lokales Minimum ist, dann ist es auch ein globales Minimum (verwenden Sie den Zwischenwertlehrsatz und den Lehrsatz von Rolle, um das durch die reductio Anzeige absurdum zu beweisen). In zwei und mehr Dimensionen scheitert dieses Argument, als die Funktion

:

Shows. Sein einziger kritischer Punkt ist an (0,0), der ein lokales Minimum mit &fnof ist; (0,0) = 0. Jedoch kann es kein globales, weil &fnof sein; (4,1) =

−11.

In Bezug auf Sätze

Maxima und Minima werden mehr allgemein für Sätze definiert. Im Allgemeinen, wenn ein bestellter Satz S ein größtes Element M hat, ist M ein maximales Element. Außerdem, wenn S eine Teilmenge eines bestellten Satzes T ist und M das größte Element von S in Bezug auf die durch T veranlasste Ordnung ist, ist M ein am wenigsten oberer, der S in T gebunden ist. Das ähnliche Ergebnis hält für kleinstes Element, minimales Element und am größten tiefer gebunden.

Im Fall von einer allgemeinen teilweisen Ordnung sollte kleinstes Element (kleiner als alle anderer) nicht mit einem minimalen Element verwirrt sein (nichts ist kleiner). Ebenfalls ist ein größtes Element eines teilweise bestellten Satzes (poset) ein oberer, der des Satzes gebunden ist, der innerhalb des Satzes enthalten wird, wohingegen ein maximales Element M eines poset A ein Element Eines solchen dass wenn M  b (für jeden b in A) dann M = b ist. Irgendwelcher kleinstes Element oder größtes Element eines poset sind einzigartig, aber ein poset kann mehrere minimale oder maximale Elemente haben. Wenn ein poset mehr als ein maximales Element hat, dann werden diese Elemente nicht gegenseitig vergleichbar sein.

In einem völlig bestellten Satz oder Kette sind alle Elemente gegenseitig vergleichbar, so kann solch ein Satz am grössten Teil eines minimalen Elements und am grössten Teil eines maximalen Elements haben. Dann, wegen der gegenseitigen Vergleichbarkeit, wird das minimale Element auch kleinstes Element sein, und das maximale Element wird auch das größte Element sein. So in einem völlig bestellten Satz können wir einfach die Begriffe Minimum und Maximum gebrauchen. Wenn eine Kette dann begrenzt ist, wird sie immer ein Maximum und ein Minimum haben. Wenn eine Kette dann unendlich ist, braucht sie kein Maximum oder ein Minimum zu haben. Zum Beispiel hat der Satz von natürlichen Zahlen kein Maximum, obwohl er ein Minimum hat. Wenn eine unendliche Kette S begrenzt wird, dann hat die Verschluss-Kl. (S) des Satzes gelegentlich ein Minimum und ein Maximum in solchem Fall sie werden das größte tiefer gebunden und das am wenigsten obere genannt, das des Satzes S beziehungsweise gebunden ist..

Siehe auch

• Der erste abgeleitete Test
• Der zweite abgeleitete Test
• Höherwertiger abgeleiteter Test
• Beschränken Sie höher und beschränken Sie untergeordneten
• Mechanisches Gleichgewicht
• Beispielmaximum und Minimum
• Sattel-Punkt

Links

• Maxima und Minima von MathWorld - eine Wolfram-Webquelle.
• Die Arbeit von Thomas Simpson an Maxima und Minima an der Konvergenz
• Anwendung von Maxima und Minima mit U-Boot-Seiten von behobenen Problemen