In der Mathematik ist ein topologischer Ring ein Ring R, der auch ein topologischer solcher Raum ist, dass sowohl die Hinzufügung als auch die Multiplikation als Karten dauernd

:R × R  R,

wo R × R trägt die Produkttopologie.

Allgemeine Anmerkungen

Die Gruppe von Einheiten von R kann keine topologische Gruppe sein, die die Subraumtopologie verwendet, weil die Inversion auf der Einheitsgruppe mit der Subraumtopologie nicht dauernd zu sein braucht. (Ein Beispiel dieser Situation ist der adele Ring eines globalen Feldes. Seine Einheitsgruppe, genannt die idele Gruppe, ist nicht eine topologische Gruppe in der Subraumtopologie.) Das Einbetten der Einheitsgruppe von R ins Produkt R × R als (x, x) lässt wirklich die Einheit eine topologische Gruppe gruppieren. (Wenn die Inversion auf der Einheitsgruppe in der Subraumtopologie von R dann die Topologie auf der Einheitsgruppe dauernd ist, die in R oder in R &times angesehen ist; R sind als oben dasselbe.)

Wenn man nicht verlangt, dass ein Ring eine Einheit hat, dann muss man die Voraussetzung der Kontinuität des zusätzlichen Gegenteils, oder gleichwertig hinzufügen, um den topologischen Ring als ein Ring zu definieren, der eine topologische Gruppe ist (für +), in dem Multiplikation auch dauernd ist.

Beispiele

Topologische Ringe kommen in der mathematischen Analyse, für Beispiele als Ringe von dauernden reellwertigen Funktionen auf einem topologischen Raum vor (wo die Topologie durch die pointwise Konvergenz gegeben wird), oder als Ringe von dauernden geradlinigen Maschinenbedienern auf einem normed Vektorraum; alle Algebra von Banach sind topologische Ringe. Die vernünftigen, echten, komplizierten und p-adic Zahlen sind auch topologische Ringe (sogar topologische Felder, sieh unten) mit ihren Standardtopologien. Im Flugzeug bilden komplexe Zahlen des Spalts und Doppelzahlen alternative topologische Ringe. Sieh hyperkomplizierte Zahlen für andere niedrige dimensionale Beispiele.

In der Algebra ist der folgende Aufbau üblich: Man fängt mit einem Ersatzring R an, ein Ideal I enthaltend, und denkt dann die I-adic Topologie' auf R: Eine Teilmenge U R ist offen, wenn, und nur wenn für jeden x in U dort eine natürliche Zahl n solch dass x + ich  U besteht. Das verwandelt R in einen topologischen Ring. Die I-adic Topologie ist Hausdorff, wenn, und nur wenn die Kreuzung aller Mächte von mir das Nullideal (0) bin.

Die p-adic Topologie auf den ganzen Zahlen ist ein Beispiel einer I-adic Topologie (mit mir = (p)).

Vollziehung

Jeder topologische Ring ist eine topologische Gruppe (in Bezug auf die Hinzufügung) und folglich ein gleichförmiger Raum auf eine natürliche Weise. Man kann so fragen, ob ein gegebener topologischer Ring R abgeschlossen ist. Wenn es nicht ist, dann kann es vollendet werden: Man kann einen im Wesentlichen einzigartigen ganzen topologischen Ring S finden, der R als ein dichter solcher Subring enthält, dass die gegebene Topologie auf R der Subraumtopologie gleichkommt, die aus S entsteht.

Der Ring S kann als eine Reihe von Gleichwertigkeitsklassen von Cauchyfolgen in R gebaut werden.

Die Ringe der formellen Macht-Reihe und der p-adic ganzen Zahlen werden als Vollziehungen von bestimmten topologischen Ringen am natürlichsten definiert, die I-adic Topologien tragen.

Topologische Felder

Einige der wichtigsten Beispiele sind auch Felder F. Um ein topologisches Feld zu haben, sollten wir auch angeben, dass Inversion, wenn eingeschränkt, auf F\{0} dauernd ist. Sieh den Artikel über lokale Felder für einige Beispiele.

• Seth Warner: Topologische Ringe. Nordholland, Juli 1993, internationale Standardbuchnummer 0-444-89446-2
• Vladimir I. Arnautov, Sergei T. Glavatsky und Aleksandr V. Michalev: Einführung in die Theorie von Topologischen Ringen und Modulen. Marcel Dekker Inc, Februar 1996, internationale Standardbuchnummer 0-8247-9323-4.
• N. Bourbaki, Éléments de Mathématique. Topologie Générale. Hermann, Paris 1971, ch. III §6