Harmonische Analyse ist ein Zweig der Mathematik, die mit der Darstellung von Funktionen oder Signalen als die Überlagerung von grundlegenden Wellen, und die Studie und Generalisation der Begriffe der Reihe von Fourier betroffen ist, und Fourier verwandelt sich. In den letzten zwei Jahrhunderten ist es ein riesengroßes Thema mit Anwendungen in Gebieten so verschieden geworden wie Signalverarbeitung, Quant-Mechanik und neuroscience.

Der Begriff "Obertöne" ist in physischen eigenvalue Problemen entstanden, um Wellen zu bedeuten, deren Frequenzen Vielfachen der ganzen Zahl von einander sind, wie die Frequenzen der Obertöne auf Saitenmusikinstrumenten sind, aber der Begriff ist außer seiner ursprünglichen Bedeutung verallgemeinert worden.

Der klassische Fourier verwandelt sich auf R ist noch ein Gebiet der andauernden Forschung besonders bezüglich der Transformation von Fourier auf allgemeineren Gegenständen wie gemilderter Vertrieb. Zum Beispiel, wenn wir einige Voraussetzungen an einen Vertrieb f auferlegen, können wir versuchen, diese Voraussetzungen in Bezug auf den Fourier zu übersetzen, verwandeln sich f. Der Paley-Wiener Lehrsatz ist ein Beispiel davon. Der Paley-Wiener Lehrsatz deutet sofort an, dass, wenn f ein Nichtnullvertrieb der Kompaktunterstützung ist (schließen diese Funktionen der Kompaktunterstützung ein), dann verwandelt sich sein Fourier, nie kompakt unterstützt wird. Das ist eine sehr elementare Form eines Unklarheitsgrundsatzes in einer harmonischen Analyse-Einstellung. Siehe auch Konvergenz der Reihe von Fourier.

Reihe von Fourier kann im Zusammenhang von Räumen von Hilbert günstig studiert werden, der eine Verbindung zwischen harmonischer Analyse und Funktionsanalyse zur Verfügung stellt.

Abstrakte harmonische Analyse

Einer der moderneren Zweige der harmonischen Analyse, seine Wurzeln Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts habend, ist Analyse auf topologische Gruppen. Die Kernmotivieren-Idee ist der verschiedene Fourier verwandelt sich, der zu einem Umgestalten von Funktionen verallgemeinert werden kann, die auf Hausdorff lokal kompakte topologische Gruppen definiert sind.

Die Theorie für abelian lokal kompakte Gruppen wird Dualität von Pontryagin genannt; wie man betrachtet, ist es in einem befriedigenden Staat, so weit das Erklären der Haupteigenschaften der harmonischen Analyse geht.

Harmonische Analyse studiert die Eigenschaften dieser Dualität, und Fourier verwandeln sich; und Versuche, jene Eigenschaften zu verschiedenen Einstellungen zum Beispiel zum Fall von non-abelian zu erweitern, Liegen Gruppen.

Für allgemeinen nonabelian lokal kompakte Gruppen ist harmonische Analyse nah mit der Theorie von einheitlichen Gruppendarstellungen verbunden. Für Kompaktgruppen,

der Lehrsatz von Peter-Weyl erklärt, wie man Obertöne bekommen kann, indem man eine nicht zu vereinfachende Darstellung aus jeder Gleichwertigkeitsklasse von Darstellungen wählt. Diese Wahl von Obertönen genießt einige der nützlichen Eigenschaften des klassischen Fouriers verwandeln sich, in Bezug auf Gehirnwindungen zu pointwise Produkten zu tragen, oder sonst ein bestimmtes Verstehen der zu Grunde liegenden Gruppenstruktur zu zeigen. Siehe auch: Harmonische Nichtersatzanalyse.

Wenn die Gruppe weder abelian noch kompakt ist, ist keine allgemeine befriedigende Theorie zurzeit bekannt. Durch "den befriedigenden" würde mindestens die Entsprechung vom Lehrsatz von Plancherel bedeuten. Jedoch sind viele spezifische Fälle, zum Beispiel SL analysiert worden. In diesem Fall spielen Darstellungen in der unendlichen Dimension eine entscheidende Rolle.

Andere Zweige

• Studie des eigenvalues und Eigenvektoren von Laplacian auf Gebieten, Sammelleitungen, und (in einem kleineren Ausmaß) Graphen werden auch als ein Zweig der harmonischen Analyse betrachtet. Sieh z.B, die Gestalt einer Trommel hörend.
• Die harmonische Analyse auf Euklidische Räume befasst sich mit Eigenschaften des Fouriers verwandeln sich auf R, die kein Analogon auf allgemeinen Gruppen haben. Zum Beispiel ist die Tatsache, dass sich der Fourier verwandelt, invariant zu Folgen. Das Zerlegen vom Fourier verwandelt sich zu seinen radialen und kugelförmigen Bestandteilen führt zu Themen wie Funktionen von Bessel und kugelförmige Obertöne. Sieh die Buchverweisung.
• Die harmonische Analyse auf Tube-Gebiete ist mit Generalisierungseigenschaften von Räumen von Hardy zu höheren Dimensionen beschäftigt.
• Elias Stein und Guido Weiss, Einführung in die Analyse von Fourier auf Euklidische Räume, Universität von Princeton Presse, 1971. Internationale Standardbuchnummer 0 691 08078 X
• Yitzhak Katznelson, Eine Einführung in die harmonische Analyse, die Dritte Ausgabe. Universität von Cambridge Presse, 2004. Internationale Standardbuchnummer 0-521-83829-0; 0-521-54359-2
• Yurii I. Lyubich. Einführung in die Theorie von Banach Darstellungen von Gruppen. Übersetzt von 1985 russischsprachige Ausgabe (Kharkov, die Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.