Brahmagupta (598-668 CE) war ein Indianermathematiker und Astronom, der viele wichtige Arbeiten an der Mathematik und Astronomie geschrieben hat. Seine am besten bekannte Arbeit ist der Brāhmasphuasiddhānta (Richtig Feststehende Doktrin von Brahma), geschrieben in 628 in Bhinmal. Seine 25 Kapitel enthalten mehrere beispiellose mathematische Ergebnisse.

Leben und Arbeit

Wie man

glaubt, ist Brahmagupta in 598 n.Chr. in der Stadt Bhinmal in Rajasthan des Nordwestlichen Indiens geboren gewesen. In alten Zeiten war Bhillamala der Sitz der Macht von Gurjars. Sein Vater war Jisnugupta. Er hat wahrscheinlich der grösste Teil seines Lebens in Bhillamala (moderner Bhinmal in Rajasthan) während der Regierung (und vielleicht unter der Schirmherrschaft) Königs Vyaghramukha gelebt. Infolgedessen wird Brahmagupta häufig Bhillamalacarya, d. h. den Lehrer von Bhillamala genannt. Er war der Leiter der astronomischen Sternwarte an Ujjain, und während seiner Amtszeit dort hat vier Texte über die Mathematik und Astronomie geschrieben: Cadamekela in 624, Brahmasphutasiddhanta in 628, Khandakhadyaka in 665 und Durkeamynarda in 672.

Der Brahmasphutasiddhanta (Korrigierte Abhandlung von Brahma) ist wohl seine berühmteste Arbeit. Der Historiker al-Biruni (c. 1050) in seinem Buch stellt Tariq al-Hind fest, dass der Kalif von Abbasid al-Ma'mun eine Botschaft in Indien hatte und von Indien ein Buch nach Bagdad gebracht wurde, das ins Arabisch als Sindhind übersetzt wurde. Es wird allgemein gewagt, dass Sindhind niemand anderer ist als der Brahmasphuta-siddhanta von Brahmagupta.

Obwohl Brahmagupta mit den Arbeiten von Astronomen im Anschluss an die Tradition von Aryabhatiya vertraut war, ist es nicht bekannt, ob er mit der Arbeit von Bhaskara I, einem Zeitgenossen vertraut war. Brahmagupta hatte einige Kritik, die zur Arbeit von konkurrierenden Astronomen, und in seinem Brahmasphutasiddhanta geleitet ist, wird eines der frühsten beglaubigten Schismen unter Indianermathematikern gefunden. Die Abteilung war in erster Linie über die Anwendung der Mathematik zur physischen Welt, aber nicht über die Mathematik selbst. Im Fall von Brahmagupta haben die Unstimmigkeiten größtenteils von der Wahl von astronomischen Rahmen und Theorien gestammt. Kritiken von konkurrierenden Theorien erscheinen überall in den ersten zehn astronomischen Kapiteln, und das elfte Kapitel wird der Kritik dieser Theorien völlig gewidmet, obwohl keine Kritiken in den zwölften und achtzehnten Kapiteln erscheinen.

Mathematik

Brahmagupta war erst, um Null als eine Zahl zu verwenden. Er hat Regeln gegeben, mit der Null zu rechnen. Brahmagupta hat negative Zahlen und Null für die Computerwissenschaft verwendet. Die moderne Regel, dass zwei negative Zahlen multipliziert zusammen einer positiven Zahl zuerst gleichkommen, erscheint in Brahmasputa siddhanta. Es wird im elliptischen Vers zusammengesetzt, wie übliche Praxis in der Indianermathematik war, und folglich einen poetischen Ring dazu hat. Da keine Beweise gegeben werden, ist es nicht bekannt, wie die Mathematik von Brahmagupta abgeleitet wurde.

Algebra

Brahmagupta hat die Lösung der allgemeinen geradlinigen Gleichung im Kapitel achtzehn von Brahmasphutasiddhanta, gegeben

Der eine Lösung ist, die dazu gleichwertig ist, wo rupas Konstanten vertritt. Er hat weiter zwei gleichwertige Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung, gegeben

18.45. Was auch immer die Quadratwurzel des rupas ist, der mit dem Quadrat multipliziert ist [und] durch das Quadrat der Hälfte des unbekannten vergrößert ist, verringern Sie das anderthalbmal das unbekannte [und] teilen Sie [den Rest] durch sein Quadrat. [Das Ergebnis ist] das unbekannte.

Die, beziehungsweise, Lösungen sind, die zu, gleichwertig

sind:und:

Er hat fortgesetzt, Systeme von gleichzeitigen unbestimmten Gleichungen zu lösen, die feststellen, dass die gewünschte Variable zuerst isoliert werden muss, und dann die Gleichung durch den Koeffizienten der gewünschten Variable geteilt werden muss. Insbesondere er hat empfohlen, "den pulverizer" zu verwenden, um Gleichungen mit vielfachem unknowns zu lösen.

Wie die Algebra von Diophantus wurde die Algebra von Brahmagupta synkopiert. Hinzufügung wurde durch das Stellen der Zahlen nebeneinander, Subtraktion durch das Stellen eines Punkts über den Subtrahenden und Abteilung durch das Stellen des Teilers unter der Dividende angezeigt, die unserer Notation, aber ohne die Bar ähnlich ist. Multiplikation, Evolution und unbekannte Mengen wurden durch Abkürzungen von passenden Begriffen vertreten. Das Ausmaß des griechischen Einflusses auf diese Synkope ist falls etwa, nicht bekannt, und es ist möglich, dass sowohl griechische als auch Indianersynkope aus einer allgemeinen babylonischen Quelle abgeleitet werden kann.

Arithmetik

Vier grundsätzliche Operationen (Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung) waren vielen Kulturen vor Brahmagupta bekannt. Dieses aktuelle System basiert auf dem hinduistischen arabischen Zahl-System und ist zuerst in Brahmasputa siddhanta erschienen. Brahmagupta beschreibt die Multiplikation, weil so "Der multiplicand wie eine Schnur für das Vieh so häufig wiederholt wird, wie es integrale Teile im Vermehrer gibt und mit ihnen wiederholt multipliziert wird und die Produkte zusammen hinzugefügt werden. Es ist Multiplikation. Oder der multiplicand wird so oft wiederholt, wie es Teilteile im Vermehrer gibt".

Aber die sumerischen Methoden waren beschwerlich und difiicult als die griechische Methode, und wir verwenden heute nicht. Indianeraritmetic war im Mittelalterlichen Europa als "Modus Indoram" Bedeutung der Methode der Inder bekannt. In BrahmasputhaSiddhanta wurde Multiplikation Gomutrika genannt. Am Anfang des Kapitels zwölf seiner Brahmasphutasiddhanta, betitelter Berechnung, Detail-Operationen von Brahmagupta auf Bruchteilen. Wie man erwartet, weiß der Leser die grundlegenden arithmetischen Operationen, so weit die Einnahme der Quadratwurzel, obwohl er erklärt, wie man den Würfel und die Würfel-Wurzel einer ganzen Zahl findet und später Regeln gibt, die die Berechnung von Quadraten und Quadratwurzeln erleichtern. Er gibt dann Regeln, um sich mit fünf Typen von Kombinationen von Bruchteilen zu befassen, und.

Reihe

Brahmagupta setzt dann fort, die Summe der Quadrate und Würfel der ersten n ganzen Zahlen zu geben.

Es ist wichtig, hier zu bemerken, dass Brahmagupta das Ergebnis in Bezug auf die Summe der ersten n ganzen Zahlen, aber nicht in Bezug auf n gefunden hat, wie die moderne Praxis ist.

Er gibt die Summe der Quadrate der ersten n natürlichen Zahlen als n (n+1) (2n+1)/6 und die Summe der Würfel der ersten n natürlichen Zahlen als (n (n+1)/2) ².

Null

Der Brahmasphuasiddhanta von Brahmagupta ist das allererste Buch, das Null als eine Zahl erwähnt, folglich wird Brahmagupta als der Mann betrachtet, der Null gefunden hat. Er hat Regeln gegeben, Null mit negativen und positiven Zahlen zu verwenden. Die Null plus eine positive Zahl ist die positive Zahl, und die negative Zahl plus die Null ist eine negative Zahl usw. Der Brahmasphutasiddhanta ist der frühste bekannte Text, um Null als eine Zahl in seinem eigenen Recht, aber nicht als einfach eine Platzhalter-Ziffer im Darstellen einer anderen Zahl zu behandeln, wie von den Babyloniern oder als ein Symbol für einen Mangel an der Menge getan wurde, wie von Ptolemy und den Römern getan wurde. Im Kapitel achtzehn seiner Brahmasphutasiddhanta beschreibt Brahmagupta Operationen auf negativen Zahlen. Er beschreibt zuerst Hinzufügung und Subtraktion,

[...]

18.32. Eine Verneinung minus die Null, ist ein positiver [minus die Null] positiv negativ; Null [minus die Null] ist Null. Wenn ein positiver von einer Verneinung oder einer Verneinung von einem positiven abgezogen werden soll, dann soll es hinzugefügt werden.

Er setzt fort, Multiplikation, zu beschreiben

Aber seine Beschreibung der Abteilung durch die Null unterscheidet sich von unserem modernen Verstehen,

18.35. Eine Verneinung oder ein durch die Null geteilter positiver haben diesen [Null] als sein Teiler, oder Null, die durch eine Verneinung oder einen positiven [geteilt ist, hat diese Verneinung oder positiv als sein Teiler]. Das Quadrat einer Verneinung oder eines positiven ist positiv; [das Quadrat] der Null ist Null. Das, dessen [das Quadrat] das Quadrat ist, ist [seine] Quadratwurzel.

Hier stellt Brahmagupta fest, dass und bezüglich der Frage dessen, wo er sich nicht kompromittiert hat. Seine Regierungen für die Arithmetik auf negativen Zahlen und Null sind ganz dem modernen Verstehen nah, außer dass in der modernen Mathematik-Abteilung durch die Null unbestimmt verlassen wird.

Analyse von Diophantine

Pythagoreer verdreifacht sich

Im Kapitel zwölf seiner Brahmasphutasiddhanta findet Brahmagupta, dass sich Pythagoreer, verdreifacht

oder mit anderen Worten, für eine gegebene Länge M und ein willkürlicher Vermehrer x, gelassen = mx und b = M + mx / (x + 2). Dann bildet M, a, und b einen dreifachen Pythagoreer.

Die Gleichung von Pell

Brahmagupta hat fortgesetzt, eine Wiederauftreten-Beziehung zu geben, um Lösungen bestimmter Beispiele von Gleichungen von Diophantine des zweiten Grads solcher als zu erzeugen (hat die Gleichung von Pell genannt) durch das Verwenden des Euklidischen Algorithmus. Der Euklidische Algorithmus war ihm als der "pulverizer" bekannt, da es Zahlen unten in jemals kleinere Stücke zerbricht.

Der Schlüssel zu seiner Lösung war die Identität,

:

der eine Generalisation einer Identität ist, die von Diophantus, entdeckt wurde

:

Das Verwenden seiner Identität und der Tatsache, dass, wenn und Lösungen der Gleichungen sind und beziehungsweise dann eine Lösung dessen ist, er im Stande gewesen ist, integrierte Lösungen der Gleichung von Pell durch eine Reihe von Gleichungen der Form zu finden. Leider ist Brahmagupta nicht im Stande gewesen, seine Lösung gleichförmig für alle möglichen Werte von N anzuwenden, eher ist er nur im Stande gewesen zu zeigen, dass, wenn eine integrierte Lösung für k = ±1, ±2, oder ±4, dann hat, eine Lösung hat. Die Lösung der Gleichung von General Pell würde auf Bhaskara II in c warten müssen. 1150 CE.

Geometrie

Die Formel von Brahmagupta

Das berühmteste Ergebnis von Brahmagupta in der Geometrie ist seine Formel für zyklische Vierseite. In Anbetracht der Längen der Seiten jedes zyklischen Vierseits hat Brahmagupta einen ungefähren und eine genaue Formel für das Gebiet der Zahl, gegeben

So gegeben die Längen p, q, r und s eines zyklischen Vierseits, ist das ungefähre Gebiet, während, das Lassen, das genaue Gebiet ist

:

Obwohl Brahmagupta nicht ausführlich feststellt, dass diese Vierseite zyklisch sind, ist es aus seinen Regierungen offenbar, dass das der Fall ist. Die Formel des Reihers ist ein spezieller Fall dieser Formel, und es kann durch das Setzen von einer der der Null gleichen Seiten abgeleitet werden.

Dreiecke

Brahmagupta hat einen wesentlichen Teil seiner Arbeit zur Geometrie gewidmet. Ein Lehrsatz stellt fest, dass die zwei Längen einer Basis eines Dreiecks, wenn geteilt, durch seine Höhe dann, folgen

So sind die Längen der zwei Segmente.

Er gibt weiter einen Lehrsatz auf vernünftigen Dreiecken. Ein Dreieck mit vernünftigen Seiten a, b, c und vernünftigem Gebiet ist der Form:

:

für einige rationale Zahlen u, v, und w.

Der Lehrsatz von Brahmagupta

Brahmagupta, macht weiter

Also, in einem "nichtungleichen" zyklischen Vierseit (d. h. ein gleichschenkliges Trapezoid), ist die Länge jeder Diagonale.

Er setzt fort, Formeln für die Längen und Gebiete von geometrischen Zahlen, wie der circumradius eines gleichschenkligen Trapezoids und eines scalene Vierseits und der Längen von Diagonalen in einem scalene zyklischen Vierseit zu geben. Das führt bis zum berühmten Lehrsatz von Brahmagupta,

Pi

Im Vers 40 gibt er Werte

π,

So verwendet Brahmagupta 3 als ein "praktischer" Wert von π, und als ein "genauer" Wert von π.

Maße und Aufbauten

In einigen der Verse vor dem Vers 40 gibt Brahmagupta Aufbauten von verschiedenen Zahlen mit willkürlichen Seiten. Er hat im Wesentlichen rechtwinklige Dreiecke manipuliert, um gleichschenklige Dreiecke, scalene Dreiecke, Rechtecke, gleichschenklige Trapezoide, gleichschenklige Trapezoide mit drei gleichen Seiten und ein scalene zyklisches Vierseit zu erzeugen.

Nach dem Geben des Werts des Pis befasst er sich mit der Geometrie von Flugzeug-Zahlen und Festkörpern, wie Entdeckung von Volumina und Flächen (oder leere Räume, die aus Festkörpern gegraben sind). Er findet das Volumen von rechteckigen Prismen, Pyramiden und dem frustum einer Quadratpyramide. Er findet weiter die durchschnittliche Tiefe einer Reihe von Gruben. Für das Volumen eines frustum einer Pyramide gibt er den "pragmatischen" Wert als die Tiefe-Zeiten das Quadrat der bösartigen von den Rändern der Spitze und untersten Gesichter, und er gibt das "oberflächliche" Volumen als die Tiefe-Zeiten ihr Mittelgebiet.

Trigonometrie

Sinus-Tisch

Im Kapitel 2 seines Brahmasphutasiddhanta, betitelter Planetarischer Wahrer Längen, präsentiert Brahmagupta einen Sinus-Tisch:

Hier verwendet Brahmagupta Namen von Gegenständen, die Ziffern von Ziffern des Platz-Werts zu vertreten, wie mit numerischen Daten in sanskritischen Abhandlungen üblich war. Ahnen vertreten die 14 Ahnen ("Manu") in der Indianerkosmologie oder 14, "Zwillinge" bedeutet 2, "der Ursa Major" vertritt die sieben Sterne des Ursa Majors oder 7, bezieht sich "Vedas" auf 4 Vedas oder 4, Würfel vertreten die Zahl von Seiten der Tradition sterben oder 6, und so weiter. Diese Information kann in die Liste von Sinus, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, und 3270, mit dem Radius übersetzt werden, der 3270 ist.

Interpolationsformel

In 665 Brahmagupta ausgedacht und verwendet ein spezieller Fall der Interpolationsformel des Newtons-Stirling der zweiten Ordnung, zu interpolieren

neue Werte der Sinusfunktion von anderen Werten bereits tabellarisiert. Die Formel gibt eine Schätzung für den Wert einer Funktion an einem Wert + xh seines Arguments (mit h > 0 und −1  x  1), wenn sein Wert bereits an &minus bekannt ist; h, a und + h.

Die Formel für die Schätzung ist:

:

wo Δ der Vorwärtsunterschied-Maschinenbediener der ersten Ordnung ist, d. h.

:

Astronomie

Es war durch Brahmasphutasiddhanta, den die Araber von der Indianerastronomie erfahren haben. Edward Saxhau hat festgestellt, dass "Brahmagupta, es war er, der arabische Astronomie unterrichtet hat", hat Der berühmte Kalif von Abbasid Al-Mansur (712-775) Bagdad gegründet, das auf den Banken von Tigris gelegen ist, und es ein Zentrum des Lernens gemacht hat. Der Kalif hat einen Gelehrten von Ujjain durch den Namen von Kankah in 770 n. Chr. eingeladen. Kankah hat Brahmasphutasiddhanta verwendet, um das hinduistische System der arithmetischen Astronomie zu erklären. Muhammad al-Fazari hat die Arbeit von Brahmugupta ins Arabisch nach der Bitte des Kalifen übersetzt.

Im Kapitel widerlegen sieben seiner Brahmasphutasiddhanta, betitelten Mondhalbmonds, Brahmagupta die Idee, dass der Mond von der Erde weiter ist als die Sonne, eine Idee, die in Bibeln aufrechterhalten wird. Er tut das, indem er die Beleuchtung des Monds durch die Sonne erklärt.

7.2. Ebenso, dass halb gesehen durch die Sonne eines Topf-Stehens im Sonnenlicht, und das halb dunkle ungesehene hell ist, so ist [die Beleuchtung] des Monds [wenn es] unter der Sonne ist.

7.3. Die Helligkeit wird in der Richtung auf die Sonne vergrößert. Am Ende eines hellen [d. h.] Halbmonat wachsend, ist die ungefähr Hälfte hell und das halb dunkle weite. Folglich kann die Erhebung der Hörner [des Halbmonds] von der Berechnung abgeleitet werden. [...]

Er erklärt, dass da der Mond an der Erde näher ist als die Sonne, hängt der Grad des beleuchteten Teils des Monds von den Verhältnispositionen der Sonne und des Monds ab, und das kann von der Größe des Winkels zwischen den zwei Körpern geschätzt werden.

Einige der wichtigen Beiträge, die von Brahmagupta in der Astronomie geleistet sind, sind: Methoden, für die Position von Gestirnen mit der Zeit (ephemerides), ihrem Steigen und dem Setzen, den Verbindungen und der Berechnung von Sonnen- und Mondeklipsen zu berechnen. Brahmagupta hat die Ansicht von Puranic kritisiert, dass die Erde flach oder hohl war. Statt dessen hat er bemerkt, dass die Erde und der Himmel kugelförmig waren, und dass sich die Erde bewegt. In 1030 hat sich der Astronom Moslem Abu al-Rayhan al-Biruni, in seinem Ta'rikh al-Hind, der später in Latein als Indica übersetzt ist, über die Arbeit von Brahmagupta geäußert und hat geschrieben, dass Kritiker gestritten haben:

Gemäß al-Biruni hat Brahmagupta auf diese Kritiken mit dem folgenden Argument auf der Schwerkraft geantwortet:

Über den Ernst der Erde hat er gesagt: "Körper fallen zur Erde, wie es in der Natur der Erde ist, um Körper anzuziehen, wie es in der Natur von Wasser ist, um zu fließen."

Zitate und Kommentare

Siehe auch

• Brahmagupta-Fibonacci Identität
• Die Formel von Brahmagupta
• Lehrsatz von Brahmagupta
• Methode von Chakravala

Links

• Die Lebensbeschreibung von Brahmagupta
• Die Brahma-sphuta-siddhanta englische Einführung von Brahmagupta, sanskritischer Text, Sanskrit und Hindi-Kommentare (PDF)