In der Mathematik sind die natürlichen Zahlen die gewöhnlichen ganzen Zahlen, die verwendet sind, um zu zählen ("es gibt 6 Münzen auf dem Tisch"), und Einrichtung ("das ist die 3. größte Stadt im Land"). Diese Zwecke sind mit den linguistischen Begriffen des Kardinals und der Ordinalzahlen beziehungsweise verbunden (sieh englische Ziffern). Ein späterer Begriff ist der einer nominellen Zahl, die nur für das Namengeben verwendet wird.

Eigenschaften der natürlichen Zahlen, die mit der Teilbarkeit wie der Vertrieb von Primzahlen verbunden sind, werden in der Zahlentheorie studiert. Probleme bezüglich des Zählens und der Einrichtung, wie Teilungsenumeration, werden in combinatorics studiert.

Es gibt keine universale Abmachung darüber, ob man Null in den Satz von natürlichen Zahlen einschließt: Einige definieren die natürlichen Zahlen, um die positiven ganzen Zahlen} zu sein, während für andere der Begriff die natürlichen Zahlen} benennt. Die ehemalige Definition ist die traditionelle mit der letzten Definition, die zuerst im 19. Jahrhundert erscheint. Einige Autoren gebrauchen den Begriff "natürliche Zahl", um Null- und "ganze Zahl" auszuschließen, um es einzuschließen; andere verwenden "ganze Zahl" in einem Weg, der Null, oder in einem Weg ausschließt, der sowohl Null als auch die negativen ganzen Zahlen einschließt.

Geschichte von natürlichen Zahlen und der Status der Null

Die natürlichen Zahlen hatten ihre Ursprünge in den Wörtern, die verwendet sind, um Dinge aufzuzählen, mit der Nummer 1 beginnend.

Der erste Hauptfortschritt in der Abstraktion war der Gebrauch von Ziffern, um Zahlen zu vertreten. Das hat Systemen erlaubt, entwickelt zu werden, um große Anzahl zu registrieren. Die alten Ägypter haben ein starkes System von Ziffern mit verschiedenen Hieroglyphen für 1, 10, und alle Mächte 10 bis zu mehr als einer Million entwickelt. Ein Stein, der von Karnak schnitzt, ungefähr von 1500 v. Chr. und jetzt am Louvre in Paris datierend, zeichnet 276 als 2 Hunderte, 7 Zehnen und 6; und ähnlich für die Nummer 4,622. Die Babylonier haben ein System des Platz-Werts im Wesentlichen auf den Ziffern für 1 und 10 stützen lassen.

Ein viel späterer Fortschritt war die Entwicklung der Idee, dass Null als eine Zahl mit seiner eigenen Ziffer betrachtet werden kann. Der Gebrauch einer Nullziffer in der Notation des Platz-Werts (innerhalb anderer Zahlen) geht schon in 700 v. Chr. durch die Babylonier zurück, aber sie haben solch eine Ziffer weggelassen, als es das letzte Symbol in der Zahl gewesen wäre. Der Olmec und die Mayazivilisationen haben Null als eine getrennte Zahl schon im 1. Jahrhundert v. Chr. verwendet, aber dieser Gebrauch hat sich außer Mesoamerica nicht ausgebreitet. Der Gebrauch einer Ziffer-Null in modernen Zeiten ist mit dem Indianermathematiker Brahmagupta in 628 entstanden. Jedoch war Null als eine Zahl im mittelalterlichen computus (die Berechnung des Datums von Easter) verwendet worden, mit Dionysius Exiguus in 525 beginnend, ohne durch eine Ziffer angezeigt zu werden (haben normale Römische Ziffern kein Symbol für die Null); stattdessen wurden nulla oder nullae, Genitiv von nullus, dem lateinischen Wort für "niemanden", verwendet, um einen Nullwert anzuzeigen.

Die erste systematische Studie von Zahlen als Abstraktionen (d. h. als abstrakte Entitäten) wird gewöhnlich den griechischen Philosophen Pythagoras und Archimedes kreditiert. Bemerken Sie, dass viele griechische Mathematiker 1 nicht gedacht haben, "eine Zahl" zu sein, so zu ihnen 2 war die kleinste Zahl.

Unabhängige Studien sind auch um dieselbe Zeit mit Indien, China und Mesoamerica vorgekommen.

Mehrere mit dem Satz theoretische Definitionen von natürlichen Zahlen wurden im 19. Jahrhundert entwickelt. Mit diesen Definitionen war es günstig, 0 (entsprechend dem leeren Satz) als eine natürliche Zahl einzuschließen. Einschließlich 0 ist jetzt die allgemeine Tagung unter Satz-Theoretikern, Logikern und Computerwissenschaftlern. Viele andere Mathematiker schließen auch 0 ein, obwohl einige die ältere Tradition behalten haben und 1 nehmen, um die erste natürliche Zahl zu sein. Manchmal wird der Satz von natürlichen Zahlen mit 0 eingeschlossenem den Satz von ganzen Zahlen oder dem Zählen von Zahlen genannt. Andererseits, ganze Zahl, die für den Ganzen lateinisch ist, treten die ganzen Zahlen gewöhnlich für die negativen und positiven ganzen Zahlen (und Null) zusammen ein.

Notation

Mathematiker verwenden N oder (ein N in der Wandtafel kühn, gezeigt als in Unicode), um sich auf den Satz aller natürlichen Zahlen zu beziehen. Dieser Satz ist zählbar unendlich: Es ist unendlich, aber definitionsgemäß zählbar. Das wird auch durch den Ausspruch ausgedrückt, dass die Grundzahl des Satzes aleph-ungültig ist.

Um darüber eindeutig zu sein, ob Null eingeschlossen wird oder nicht manchmal wird ein Index (oder Exponent) "0" im ehemaligen Fall hinzugefügt, und ein Exponent "" oder Subschrift "" werden im letzten Fall hinzugefügt:

(Manchmal werden ein Index oder Exponent "+" hinzugefügt, "um positiv" wichtig zu sein. Jedoch wird das häufig für "den nichtnegativen" in anderen Fällen, als R = und Z = {0, 1, 2 verwendet...}, mindestens in der europäischen Literatur. Die Notation"", jedoch, ist für die Nichtnull, oder eher, invertible Elemente normal.)

Einige Autoren, die Null vom naturals ausschließen, gebrauchen die Begriffe natürliche Zahlen mit der Null, ganze Zahlen oder das Zählen von Zahlen, haben W für den Satz von natürlichen Zahlen angezeigt. Andere verwenden die Notation P für die positiven ganzen Zahlen, wenn es keine Gefahr von verwirrenden das mit den Primzahlen gibt. In diesem Fall soll eine populäre Notation eine Schrift P für positive ganze Zahlen verwenden (der sich bis zu das Verwenden der Schrift N für negative ganze Zahlen und Schrift Z für die Null ausstreckt). Es ist für Autoren wichtig, klar zu sein, wenn auf Notation zuerst gestoßen wird.

Satz-Theoretiker zeigen häufig den Satz aller natürlichen Zahlen einschließlich der Null durch ein griechisches Kleinbrief-Omega an: ω. Das stammt von der Identifizierung einer Ordinalzahl mit dem Satz von Ordnungszahlen, die kleiner sind. Man kann bemerken, dass, die Definition von von Neumann von Ordnungszahlen annehmend und Grundzahlen als minimale Ordnungszahlen unter denjenigen mit demselben cardinality definierend, man kommt. Kleinomega ω ist auch W ähnlich.

Algebraische Eigenschaften

Die Hinzufügung (+) und Multiplikation (×) Operationen auf natürlichen Zahlen hat mehrere algebraische Eigenschaften:

• Verschluss unter der Hinzufügung und Multiplikation: Für alle natürlichen Zahlen sind a und b, sowohl + b als auch ein × b natürliche Zahlen.
• Associativity: für alle natürlichen Zahlen a, b, und c, + (b + c) = (+ b) + c und ein × (b × c) = (ein × b) × c.
• Commutativity: für alle natürlichen Zahlen a und b, + b = b + a und ein × b = b × a.
• Existenz von Identitätselementen: für jede natürliche Zahl a, + 0 = a und ein × 1 = a.
• Distributivity der Multiplikation über die Hinzufügung für alle natürlichen Zahlen a, b, und c, ein × (b + c) = (ein × b) + (ein × c)
• Keine Nullteiler: Wenn a und b solche natürliche Zahlen dass ein × b = 0 dann = 0 oder b = 0 sind

Eigenschaften

Man kann eine Hinzufügung auf den natürlichen Zahlen rekursiv definieren, indem man + 0 = a und = für den ganzen a, b untergeht. Hier sollte S als "Nachfolger" gelesen werden. Das verwandelt die natürlichen Zahlen in einen auswechselbaren monoid mit dem Identitätselement 0, den so genannten freien monoid mit einem Generator. Dieser monoid befriedigt das Annullierungseigentum und kann in einer Gruppe eingebettet werden. Die kleinste Gruppe, die die natürlichen Zahlen enthält, ist die ganzen Zahlen.

Wenn wir 1 definieren: = S (0), dann b + 1 = b + S (0) = S (b + 0) = S (b). D. h. b + 1 ist einfach der Nachfolger von b.

Analog in Anbetracht dessen, dass Hinzufügung definiert worden ist, kann eine Multiplikation × über einen × 0 = 0 und einen × S (b) = (ein × b) + a definiert werden. Das verwandelt sich in einen freien auswechselbaren monoid mit dem Identitätselement 1; eine Generatoranlage für diesen monoid ist der Satz von Primzahlen. Hinzufügung und Multiplikation sind vereinbar, der im Vertriebsgesetz ausgedrückt wird:

=. Diese Eigenschaften der Hinzufügung und Multiplikation machen die natürlichen Zahlen ein Beispiel eines Ersatzhalbrings. Halbringe sind eine algebraische Generalisation der natürlichen Zahlen, wo Multiplikation nicht notwendigerweise auswechselbar ist. Der Mangel an zusätzlichen Gegenteilen, der zur Tatsache gleichwertig ist, dass N unter der Subtraktion nicht geschlossen wird, bedeutet, dass N nicht ein Ring ist; stattdessen ist es ein Halbring (auch bekannt als ein Bohrturm).

Wenn wir die natürlichen Zahlen als interpretieren, "0" ausschließend, und, "an 1 anfangend" sind die Definitionen + und × als oben, außer dass wir mit + 1 = S (a) anfangen und.

Für den Rest des Artikels schreiben wir ab, um das Produkt ein × b anzuzeigen, und wir nehmen auch die Standardordnung von Operationen an.

Außerdem definiert man einen Gesamtbezug auf den natürlichen Zahlen, indem man einen  b schreibt, wenn, und nur wenn dort eine andere natürliche Zahl c mit + c = b besteht. Diese Ordnung ist mit den arithmetischen Operationen im folgenden Sinn vereinbar: Wenn a, b und c natürliche Zahlen und ein  b, dann  sind und. Ein wichtiges Eigentum der natürlichen Zahlen besteht darin, dass sie gut bestellt werden: Jeder nichtleere Satz von natürlichen Zahlen hat kleinstes Element. Die Reihe unter gut bestellten Sätzen wird durch eine Ordinalzahl ausgedrückt; für die natürlichen Zahlen wird das als "ω" ausgedrückt.

Während es im Allgemeinen nicht möglich ist, eine natürliche Zahl durch einen anderen zu teilen und eine natürliche Zahl als Ergebnis zu bekommen, ist das Verfahren der Abteilung mit dem Rest als ein Ersatz verfügbar: Für irgendwelche zwei natürlichen Zahlen a und b mit b  0 können wir natürliche Zahlen q und r solch dass finden

:a = bq + r und r).

• Sprachordinalzahlen "erst", "zweit", "dritt" können den Elementen eines völlig bestellten begrenzten Satzes, und auch zu den Elementen gut bestellter zählbar unendlicher Sätze wie der Satz von natürlichen Zahlen selbst zugeteilt werden. Das kann zu Ordinalzahlen verallgemeinert werden, die die Position eines Elements in einem gut bestellten Satz im Allgemeinen beschreiben. Eine Ordinalzahl wird auch verwendet, um die "Größe" eines gut bestellten Satzes zu beschreiben, der gewissermaßen von cardinality verschieden ist: Wenn es einen Ordnungsisomorphismus zwischen zwei gut bestellten Sätzen gibt, haben sie dieselbe Ordinalzahl. Die erste Ordinalzahl, die nicht eine natürliche Zahl ist, wird als ausgedrückt; das ist auch die Ordinalzahl des Satzes von natürlichen Zahlen selbst.

Viele gut bestellte Sätze mit der Grundzahl haben eine Ordinalzahl, die größer ist als ω (der Letztere ist niedrigstmöglich). Der am wenigsten Ordnungs-von cardinality (d. h., die anfängliche Ordnungszahl) sind.

Für begrenzte gut bestellte Sätze gibt es isomorphe Ähnlichkeit zwischen Ordinalzahlen und Grundzahlen; deshalb können sie beide durch dieselbe natürliche Zahl, die Zahl der Elemente des Satzes ausgedrückt werden. Diese Zahl kann auch verwendet werden, um die Position eines Elements in einem größeren begrenzten, oder ein Unendliche, Folge zu beschreiben.

Hypernatürliche Zahlen sind ein Teil eines Sondermodells der Arithmetik wegen Skolem.

Andere Generalisationen werden im Artikel über Zahlen besprochen.

Formelle Definitionen

Historisch hat sich die genaue mathematische Definition der natürlichen Zahlen mit einer Schwierigkeit entwickelt. Die Peano Axiome setzen Bedingungen fest, die jede erfolgreiche Definition befriedigen muss. Bestimmte Aufbauten zeigen, dass, gegeben Mengenlehre, Modelle der Postulate von Peano bestehen müssen.

Axiome von Peano

Die Peano Axiome geben eine formelle Theorie der natürlichen Zahlen. Die Axiome sind:

• Es gibt eine natürliche Zahl 0.
• Jede natürliche Zahl ein Haben eines Nachfolgers der natürlichen Zahl, der durch S (a) angezeigt ist. Intuitiv S ist (a) a+1.
• Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
• S ist injective, d. h. verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger: wenn ein  b, dann S (a)  S (b).
• Wenn ein Eigentum durch 0 und auch vom Nachfolger jeder natürlichen Zahl besessen wird, die es besitzt, dann wird es durch alle natürlichen Zahlen besessen. (Dieses Postulat stellt sicher, dass die Probetechnik der mathematischen Induktion gültig ist.)

Es sollte bemerkt werden, dass "0" in der obengenannten Definition nicht zu entsprechen braucht, was wir normalerweise denken, um die Zahl-Null zu sein. "0" einfach Mittel ein Gegenstand dass, wenn verbunden, mit einer passenden Nachfolger-Funktion, befriedigt die Axiome von Peano. Alle Systeme, die diese Axiome befriedigen, sind isomorph, der Name "0" wird hier für das erste Element verwendet (der Begriff "zeroth Element" ist angedeutet worden, "das erste Element" zu "1" zu verlassen, "das zweite Element" zu "2", usw.), der das einzige Element ist, das nicht ein Nachfolger ist. Zum Beispiel die natürlichen Zahlen, die damit anfangen, befriedigt man auch die Axiome, wenn das Symbol 0 als die natürliche Zahl 1, das Symbol S (0) als die Nummer 2 usw. interpretiert wird. Tatsächlich, in der ursprünglichen Formulierung von Peano, war die erste natürliche Zahl 1.

Aufbauten auf der Mengenlehre gestützt

Ein Standardaufbau

Ein Standardaufbau in der Mengenlehre, einem speziellen Fall des von Neumanns Ordnungsaufbau, soll die natürlichen Zahlen wie folgt definieren:

:We gehen 0 unter: = {}, der leere Satz,

:and definieren S (a) = ein  für jeden Satz a. S ist (a) der Nachfolger von a, und S wird die Nachfolger-Funktion genannt.

:By das Axiom der Unendlichkeit, der Satz aller natürlichen Zahlen besteht und ist die Kreuzung aller Sätze, die 0 enthalten, die unter dieser Nachfolger-Funktion geschlossen werden. Das befriedigt dann die Axiome von Peano.

:Each-Zahl ist dann dem Satz aller natürlichen Zahlen weniger gleich als es, so dass

:*0 = {}\

:*1 = {0} =

:*2 = {0, 1} = {0, {0}} = {{}, }\

:*3 = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{},