In der Zahlentheorie und combinatorics ist eine Teilung einer positiven ganzen Zahl n, auch genannt eine Teilung der ganzen Zahl, eine Weise, n als eine Summe von positiven ganzen Zahlen zu schreiben. Wie man betrachtet, sind zwei Summen, die sich nur in der Ordnung ihres summands unterscheiden, dieselbe Teilung; wenn Ordnungssachen dann die Summe eine Zusammensetzung werden. Zum Beispiel, 4 kann auf fünf verschiedene Weisen verteilt werden:

:4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1.

Die von der Ordnung abhängige Komposition 1 + 3 ist dieselbe Teilung wie 3 + 1, während 1 + 2 + 1 und 1 + 1 + 2 dieselbe Teilung wie 2 + 1 + 1 sind.

Ein summand in einer Teilung wird auch einen Teil genannt. Die Zahl von Teilungen von n wird durch die Teilungsfunktion p (n) gegeben. So p (4) = 5. Die Notation q n bedeutet, dass q eine Teilung von n ist.

Teilungen können mit Diagrammen von Young oder Diagrammen von Ferrers grafisch vergegenwärtigt werden. Sie kommen in mehreren Zweigen der Mathematik und Physik, einschließlich der Studie von symmetrischen Polynomen, der symmetrischen Gruppe und in der Gruppendarstellungstheorie im Allgemeinen vor.

Beispiele

Die Teilungen 4 sind:

1. 4
2. 3 + 1
3. 2 + 2
4. 2 + 1 + 1
5. 1 + 1 + 1 + 1

In einigen Quellen werden Teilungen als die Folge von summands, aber nicht als ein Ausdruck mit Pluszeichen behandelt. Zum Beispiel könnte die Teilung 2 + 1 + 1 stattdessen als das Tupel oder in der noch kompakteren Form geschrieben werden, wo der Exponent die Zahl von Wiederholungen eines Begriffes anzeigt.

Eingeschränkte Teilungen

Unter den 22 Teilungen für die Nummer 8, 6 enthalten

nur sonderbare Teile:

• 7 + 1
• 5 + 3
• 5 + 1 + 1 + 1
• 3 + 3 + 1 + 1
• 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
• 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Wenn wir die Teilungen von 8 aufzählen

mit verschiedenen Teilen erhalten wir auch die Nummer 6:

• 8

7 + 1

• 6 + 2

5 + 3

• 5 + 2 + 1
• 4 + 3 + 1

Es ist für alle positiven Zahlen wahr, dass die Zahl von Teilungen mit sonderbaren Teilen immer der Zahl von Teilungen mit verschiedenen Teilen gleichkommt. Dieses Ergebnis wurde von Leonhard Euler 1748 bewiesen und ist ein spezieller Fall des Lehrsatzes von Glaisher.

Einige ähnliche Ergebnisse über eingeschränkte Teilungen können durch die Hilfe eines Sehwerkzeugs erhalten werden, ein Graph von Ferrers (hat auch Diagramm von Ferrers genannt, da es nicht ein Graph im mit dem Graphen theoretischen Sinn, oder manchmal Diagramm von Young ist, auf das Gemälde von Young anspielend).

Teilungsfunktion

In der Zahlentheorie vertritt die Teilungsfunktion p (n) die Zahl von möglichen Teilungen einer natürlichen Zahl n, der die Zahl von verschiedenen (und Ordnung unabhängig) Weisen sagen soll, n als eine Summe von natürlichen Zahlen zu vertreten. Durch die Tagung p (0) = 1, p (n) = 0 für die n Verneinung.

Die ersten paar Werte der Teilungsfunktion sind (mit p (0) =1 anfangend):

: 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, ….

Der Wert von p (n) ist für große Werte von n, zum Beispiel p (100) =190.569.292 geschätzt worden, und p (1000) ist etwa 2.4.

, die größte bekannte Primzahl, die mehrere Teilungen aufzählt, ist p (80036992), mit 9958 dezimalen Ziffern, die von Bernardo Boncompagni gefunden sind.

Für jeden Typ der eingeschränkten Teilung gibt es eine entsprechende Funktion für die Zahl von Teilungen, die die gegebene Beschränkung befriedigen. Ein wichtiges Beispiel ist q (n) =the Zahl von Teilungen von n in verschiedene Teile. Wie bemerkt, oben q ist (n) auch die Zahl der Teilung von n in nur sonderbare Teile. Die ersten paar Werte des q (n) sind (mit q (0) =1 anfangend):

:1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, ….

Zwischenfunktion

Eine Weise, einen Griff auf der Teilungsfunktion zu bekommen, schließt eine Zwischenfunktion p ein (k, n), der die Zahl von Teilungen von n das Verwenden nur von natürlichen Zahlen mindestens so groß vertritt wie k. Für jeden gegebenen Wert von k passen Teilungen, die durch p (k, n) aufgezählt sind, in genau eine der folgenden Kategorien:

1. kleinster Summand ist k
2. kleinster Summand ist ausschließlich größer als k.

Die Zahl von Teilungen, die die erste Bedingung entsprechen, ist p (k, n − k). Um das zu sehen, stellen Sie sich eine Liste aller Teilungen der Nummer n &minus vor; k in Zahlen der Größe mindestens k, dann stellen Sie sich vor, "+ k" an jeder Teilung in der Liste anzuhängen. Jetzt wessen ist es eine Liste?

Als ein Seitenzeichen kann man das verwenden, um eine Art recursion Beziehung für die Teilungsfunktion in Bezug auf die Zwischenfunktion, nämlich zu definieren

:

wo die Fußboden-Funktion ist.

Die Zahl von Teilungen, die die zweite Bedingung entsprechen, ist p (k + 1, n) seit einer Teilung in Teile mindestens k, der keine Teile genau k enthält, muss alle Teile mindestens k + 1 haben.

Da die zwei Bedingungen gegenseitig exklusiv sind, ist die Zahl von Teilungen, die jede Bedingung entsprechen, p (k + 1, n) + p (k, n − k). Die rekursiv definierte Funktion ist so:

• p (k, n) = 0 wenn k> n
• p (k, n) = 1 wenn k = n
• p (k, n) = p (k+1, n) + p (k, n − k) sonst.

Diese irreführend einfache Funktion stellt tatsächlich ziemlich kompliziertes Verhalten aus.

:p (1, 4) = 5

:p (2, 8) = 7

:p (3, 12) = 9

:p (4, 16) = 11

:p (5, 20) = 13

:p (6, 24) = 16

Unsere ursprüngliche Funktion p (n) ist gerade p (1, n).

Die Werte dieser Funktion:

:

Das Erzeugen der Funktion

Durch die Erzeugen-Funktion für p (n) wird gegeben:

:

Jeden Begriff auf der rechten Seite als eine geometrische Reihe ausbreitend, können wir es als umschreiben

: (1 + x + x + x +...) (1 + x + x + x +...) (1 + x + x + x +...)....

Der X-Begriff in diesem Produkt zählt die Zahl von Weisen auf, zu schreiben

:n = + 2a + 3a +... = (1 + 1 +... + 1) + (2 + 2 +... + 2) + (3 + 3 +... + 3) +...,

wo jede Nummer i Zeiten erscheint. Das ist genau die Definition einer Teilung von n, so ist unser Produkt die gewünschte Erzeugen-Funktion. Mehr allgemein kann die Erzeugen-Funktion für die Teilungen von n in Zahlen von einem Satz A durch die Einnahme nur jener Begriffe im Produkt gefunden werden, wo k ein Element von A ist. Dieses Ergebnis ist wegen Euler.

Die Formulierung der Erzeugen-Funktion von Euler ist ein spezieller Fall eines q-Pochhammer Symbols und ist der Produktformulierung von vielen Modulformen, und spezifisch der Funktion von Dedekind eta ähnlich.

Der Nenner des Produktes ist die Funktion von Euler und, kann durch den fünfeckigen Zahl-Lehrsatz, als geschrieben werden

:

wo die Hochzahlen von x auf der rechten Seite die verallgemeinerten fünfeckigen Zahlen sind; d. h., Zahlen der Form ½m (3 M − 1), wo M eine ganze Zahl ist. Die Zeichen in der Summierung wechseln als (-1) ab. Dieser Lehrsatz kann verwendet werden, um ein Wiederauftreten für die Teilungsfunktion abzuleiten:

:p (k) = p (k − 1) + p (k − 2) − p (k − 5) − p (k − 7) + p (k − 12) + p (k − 15) − p (k − 22) −...

wo p (0) in gleichen 1 gebracht wird, und p (k) genommen wird, um Null für negativen k zu sein.

Eine andere Weise, das festzusetzen, besteht darin, dass der Wert von p (n) von der Formel gefunden werden kann

:

~~~ p (n) = \begin {vmatrix} ~~ 1 &-1 ~ & ~& ~ & ~ &~&~&~ \\

~~ 1 & ~1 &-1 ~ & ~ \\

~~ 0 & ~1 & ~1 &-1 ~ & ~ \\

~~ 0 & ~0 & ~1 & ~1 &-1~ & ~ \\

- 1 &~0 & ~0 & ~1 & ~1 &-1~ & ~ \\

~~ 0 &-1 ~ & ~0 & ~0 & ~1 & ~1 &-1 ~ & ~ \\

- 1 & ~0&-1 ~ & ~0 & ~0 & ~1 & ~1 &-1 ~ &~ \\

~~ 0 &-1 ~ &~0&-1 ~ & ~0 & ~0 & ~1 & ~1 &-1 ~ &~ \\

~~ 0 & ~0 &-1 ~ &~0&-1 ~ & ~0 & ~0 & ~1 & ~1 & ~ \\

~~ \vdots & ~ & ~ & ~ & ~ & ~ &~ & ~ & ~ & \ddots \\

\end {vmatrix} _ {n \times n}. </Mathematik>

D. h. p ist (n) die Determinante der n×n Stutzung der unendlich-dimensionalen Matrix von Toeplitz, die oben gezeigt ist. Die einzigen Nichtnulldiagonalen dieser Matrix sind diejenigen, die auf einer durch eine verallgemeinerte fünfeckige Nummer q etikettierten Reihe anfangen. (Die Superdiagonale wird gebracht, um auf der Reihe "0" anzufangen.) Auf diesen Diagonalen ist das Matrixelement (-1). Das folgt aus einer allgemeinen Formel für die Quotienten für die Macht-Reihe.

Durch die Erzeugen-Funktion für q (n) wird gegeben:

:

Das zweite Produkt kann ϕ (x) / ϕ (x) geschrieben werden, wo ϕ die Funktion von Euler ist; der fünfeckige Zahl-Lehrsatz kann darauf angewandt werden, ebenso ein Wiederauftreten für q gebend:

:q (k) = a+q (k &minus; 1) + q (k &minus; 2) &minus; q (k &minus; 5) &minus; q (k &minus; 7) + q (k &minus; 12) + q (k &minus; 15) &minus; q (k &minus; 22) &minus;...

wo (&minus;1) zu sein, wenn k =3m-m für eine ganze Zahl M und 0 sonst ist.

Die bestimmende Formel für den Quotienten der Macht-Reihe kann auf den Ausdruck ϕ (x) / ϕ (x) angewandt werden, um den Ausdruck zu erzeugen

:

-1& ~1& ~ & ~&~&~&~&~&~0~ \\

-1& -1& ~1& ~ & ~&~&~&~&-1~ \\

~0& -1& -1& ~1 & ~ & ~&~&~&~0~ \\

~0 & ~0 & -1& -1&~1 & ~&~&~&-1~ \\

~1& ~0 & ~0& -1& -1&~1&~&~& ~0 ~ \\

~0 & ~1& ~0 & ~0& -1& -1&~1 & ~ &~0~ \\

~1 & ~0& ~1 & ~0&~0& -1&-1 &~&~0~ \\

~ \vdots & ~&~&~&~&~& ~& \ddots & ~ \vdots ~ \end {vmatrix} _ {(n+1) \times (n+1)}, </Mathematik>

wo die Diagonalen in den ersten n Säulen Konstanten sind, die den Koeffizienten in der Macht-Reihe für ϕ (x) gleich sind, und die letzte Säule hat, schätzt einen gegebenen oben.

Binom-Koeffizient von Gaussian

Der Gaussian binomische Koeffizient ist mit Teilungen der ganzen Zahl verbunden. Der Gaussian binomische Koeffizient wird als definiert:

:

Die Zahl von Teilungen der ganzen Zahl, die einen k durch das l Rechteck einbauen würden (wenn ausgedrückt, als ein Diagramm von Ferrers oder Young) wird durch p (n, k, l) angezeigt.

Der Gaussian binomische Koeffizient ist mit der Erzeugen-Funktion von p (n, k, l) durch die folgende Gleichheit verbunden:

:

Eingeschränkte Teilungserzeugen-Funktionen

Die Erzeugen-Funktion kann angepasst werden, um eingeschränkte Teilungen zu beschreiben. Zum Beispiel ist die Erzeugen-Funktion für Teilungen der ganzen Zahl in verschiedene Teile:

:

und die Erzeugen-Funktion für Teilungen, die aus besonderem summands (angegeben durch einen Satz T natürlicher Zahlen) bestehen, ist:

:

Das kann verwendet werden, um Änderung machende Probleme zu beheben (wo der Satz T die verfügbaren Münzen angibt).

Das Erzeugen von Funktionen kann verwendet werden, um verschiedene Identität dichtzumachen, die Teilungen der ganzen Zahl ganz leicht, zum Beispiel in der Eingeschränkten Teilungsabteilung erwähnte diejenige einschließt.

Die Erzeugen-Funktion für Teilungen in sonderbaren summands ist:

:

::::::::

der die Erzeugen-Funktion für Teilungen in verschiedenen summands ist.

Kongruenzen

Srinivasa Ramanujan wird das Entdecken zugeschrieben, dass "Kongruenzen" in der Zahl von Teilungen für ganze Zahlen bestehen, die in 4 und 9 enden.

:

Zum Beispiel ist die Zahl von Teilungen für die ganze Zahl 4 5. Für die ganze Zahl 9 ist die Zahl von Teilungen 30; für 14 gibt es 135 Teilungen. Das wird durch eine Identität, auch von Ramanujan, einbezogen

:

wo die Reihe als definiert wird

:

Er hat auch Kongruenzen entdeckt, die mit 7 und 11 verbunden sind:

:

p (7k + 5) &\\equiv 0 \pmod 7 \\

p (11k + 6) &\\equiv 0 \pmod {11}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Seitdem 5, 7, und 11 sind Konsekutivblüte, man könnte denken, dass es solch eine Kongruenz für die folgenden ersten 13 für einen a geben würde. Das ist jedoch, falsch. Es kann auch gezeigt werden, dass es keine Kongruenz der Form für jede Blüte b anders gibt als 5, 7, oder 11.

In den 1960er Jahren hat A. O. L. Atkin von der Universität Illinois an Chicago zusätzliche Kongruenzen für kleine Hauptmodule entdeckt. Zum Beispiel:

:

2000 hat Ken Ono von der Universität von Wisconsin-Madison bewiesen, dass es solche Kongruenzen für jedes Hauptmodul gibt. Ein paar Jahre später hat Ono, zusammen mit Scott Ahlgren von der Universität Illinois, bewiesen, dass es Teilungskongruenzen modulo jede ganze Zahl coprime zu 6 gibt.

Teilungsfunktionsformeln

Ein asymptotischer Ausdruck für p (n) wird durch gegeben

:

Diese asymptotische Formel wurde zuerst von G. H. Hardy und Ramanujan 1918 und unabhängig von J. V. Uspensky 1920 erhalten. p (1000) in Betracht ziehend, gibt die asymptotische Formel ungefähr 2.4402 &times; 10, vernünftig in der Nähe von der genauen Antwort, die oben gegeben ist (um 1.415 % größer als der wahre Wert).

1937 ist Hans Rademacher im Stande gewesen, Hardy und die Ergebnisse von Ramanujan zu übertreffen, indem er einen konvergenten Reihe-Ausdruck für p (n) zur Verfügung gestellt hat. Es ist

:

\frac {d} {dn} \left (

\frac {1} {\\sqrt {n-\frac {1} {24}} }\

\sinh \left [\frac {\\Pi} {k }\

\sqrt {\\frac {2} {3 }\\hat (n-\frac {1} {24 }\\Recht) }\\Recht] verlassen

\right)

</Mathematik>

wo

:

Es kann gezeigt werden, dass der abgeleitete Teil der Summe vereinfacht werden kann. Hier deutet die Notation (M, n) = 1 an, dass die Summe nur über die Werte der M vorkommen sollte, die zu n relativ erst sind. Die Funktion s (M, k) ist eine Summe von Dedekind. Der Beweis der Formel von Rademacher schließt Kreise von Ford, Folgen von Farey, Modulsymmetrie und die Funktion von Dedekind eta auf eine Hauptweise ein.

Im Januar 2011 wurde es bekannt gegeben, dass Ono und Jan Hendrik Bruinier, Technische Universität Darmstadt, eine begrenzte, algebraische Formel entwickelt hatten, die den Wert von p (n) für jede positive ganze Zahl n bestimmt.

Diagramm von Ferrers

Die Teilung 6 + 4 + 3 + 1 der positiven Zahl 14 kann vertreten werden

durch das folgende Diagramm; diese Diagramme werden zu Ehren von Norman Macleod Ferrers genannt:

Die 14 Kreise werden in 4 Säulen, jeder aufgestellt, die Größe eines Teils der Teilung habend. Die Diagramme für die 5 Teilungen der Nummer 4 werden unten verzeichnet:

Wenn wir jetzt das Diagramm der Teilung 6 + 4 + 3 + 1 entlang seiner Hauptdiagonale schnipsen, erhalten wir eine andere Teilung 14:

Dadurch, die Reihen in Säulen zu verwandeln, erhalten wir die Teilung 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 der Nummer 14. Wie man sagt, sind solche Teilungen von einander verbunden. Im Fall von der Nummer 4 sind Teilungen 4 und 1 + 1 + 1 + 1 verbundene Paare, und Teilungen 3 + 1 und 2 + 1 + 1 sind von einander verbunden. Vom besonderen Interesse ist die Teilung 2 + 2, der selbst als verbunden hat. Wie man sagt, ist solch eine Teilung selbstverbunden.

Anspruch: Die Zahl von selbstverbundenen Teilungen ist dasselbe als die Zahl von Teilungen mit verschiedenen sonderbaren Teilen.

Beweis (Umriss): Die entscheidende Beobachtung besteht darin, dass jeder sonderbare Teil in der Mitte "gefaltet" werden kann, um ein selbstverbundenes Diagramm zu bilden:

Man kann dann eine Bijektion zwischen dem Satz von Teilungen mit verschiedenen sonderbaren Teilen und dem Satz von selbstverbundenen Teilungen, wie illustriert, durch das folgende Beispiel erhalten:

Ähnliche Techniken können verwendet werden, um, zum Beispiel, die folgenden Gleichheiten zu gründen:

• Die Zahl von Teilungen von n in nicht mehr als k Teile ist dasselbe als die Zahl von Teilungen von n in Teile, die nicht größer sind als k.
• Die Zahl von Teilungen von n in nicht mehr als k Teile ist dasselbe als die Zahl von Teilungen von n + k in genau k Teile.

Junge Diagramme

Eine alternative Sehdarstellung einer Teilung der ganzen Zahl ist sein Diagramm von Young, genannt nach dem britischen Mathematiker Alfred Young. Anstatt eine Teilung mit Punkten, als im Diagramm von Ferrers zu vertreten, verwendet das Diagramm von Young Kästen. So ist das Diagramm von Young für die Teilung 5 + 4 + 1

während das Diagramm von Ferrers für dieselbe Teilung ist

::

Während diese anscheinend triviale Schwankung würdig der getrennten Erwähnung nicht scheint, erweisen sich Diagramme von Young, in der Studie von symmetrischen Funktionen und Gruppendarstellungstheorie äußerst nützlich zu sein: Wenn es die Kästen von Diagrammen von Young mit Zahlen (oder manchmal mehr komplizierte Gegenstände) füllt, führt das Befolgen verschiedenen Regeln zu einer Familie von Gegenständen genannt Gemälde von Young, und diese Gemälde haben kombinatorische und mit der Darstellung theoretische Bedeutung.

Siehe auch

• Das Gitter von Jungem
• Überlegenheitsordnung
• Teilung eines Satzes
• Sterne und Bars (combinatorics)
• Flugzeug-Teilung
• Höfliche Zahl, die durch Teilungen in aufeinander folgende ganze Zahlen definiert ist
• Teilung von Multiplicative
• Twelvefold Weg
• Die ausfallende Formel von Ewens
• Die Formel von Faà di Bruno
• Mehrsatz
• Die Identität des Newtons
• Der Durfee Square
• Kleinste Teile fungieren
• Eine Goldbach Teilung ist die Teilung einer geraden Zahl in die Blüte (sieh die Vermutung von Goldbach)

Zeichen

• George E. Andrews, Die Theorie von Teilungen (1976), Universität von Cambridge Presse. Internationale Standardbuchnummer 0 521 63766 X.
• Tom M. Apostol, Modulfunktionen und Dirichlet Reihe in der Zahlentheorie (1990), Springer-Verlag, New York. Internationale Standardbuchnummer 0-387-97127-0 (Sieh Kapitel 5 für eine moderne pädagogische Einleitung zur Formel von Rademacher).
• Sautoy, Marcus Du. Die Musik der Blüte. New York: Beständig-HarperCollins, 2003.

• Stellt die Hauptformel (keine Ableitungen), Rest und ältere Form für (n) zur Verfügung.)
• Gupta, Gwyther, Müller, Roy. Soc. Mathematik. Tische, vol 4, Tische von Teilungen, (1962) (Hat Text, fast ganze Bibliografie, aber sie (und Abramowitz) hat die Formel von Selberg für (n) verpasst, der in Whiteman ist.)
• Ian G. Macdonald, Symmetrische Funktionen und Saal-Polynome, Presse der Universität Oxford, 1979, internationale Standardbuchnummer 0-19-853530-9 (Sieh Abschnitt I.1)
• Ken Ono, der Vertrieb der Teilung fungiert modulo M, Annalen der Mathematik 151 (2000) Seiten 293-307. (Dieses Papier beweist Kongruenzen modulo jede Blüte, die größer ist als 3)
• Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Bände 1 und 2. Universität von Cambridge Presse, 1999 internationale Standardbuchnummer 0-521-56069-1
• A. L. Whiteman, Eine Summe hat mit der Reihe für die Teilungsfunktion, Pazifische Zeitschrift der Mathematik in Verbindung gestanden. 6:1 (1956) 159-176. (Stellt die Formel von Selberg zur Verfügung. Die ältere Form ist die begrenzte Vergrößerung von Fourier von Selberg.)
• Hans Rademacher, Gesammelte Papiere von Hans Rademacher, (1974) MIT-Presse; v II, p 100-107, 108-122, 460-475.

• (qn elementare Einführung ins Thema der Teilung der ganzen Zahl, einschließlich einer Diskussion von Graphen von Ferrers)
• 'Eine Verschwindende Zahl', ausgedachtes Stück durch Complicite, erwähnt die Arbeit von Ramanujan an der Teilungsfunktion, 2007

Außenverbindungen

• Teilung und Zusammensetzungsrechenmaschine
• Zuerst fungieren 4096 Werte der Teilung
• Ein Algorithmus, um die Teilung zu schätzen, fungiert
• Stücke der Zahl von Wissenschaftsnachrichten online-
• Vorträge auf Teilungen der ganzen Zahl durch Herbert S. Wilf
• Das Zählen mit Teilungen mit Referenztabellen zur Online-Enzyklopädie von Folgen der Ganzen Zahl
• Ganze Zahl:: Teilung Perl Modul von CPAN
• Schnelle Algorithmen, um Teilungen der ganzen Zahl zu erzeugen
• Das Erzeugen aller Teilungen: Ein Vergleich von zwei Encodings
• Amanda Folsom, Zachary A. Kent und Ken Ono, l-adic Eigenschaften der Teilungsfunktion. In der Presse.
• Jan Hendrik Bruinier und Ken Ono, Eine algebraische Formel für die Teilungsfunktion. In der Presse.