Die Vermutung von Goldbach ist eines der ältesten ungelösten Probleme in der Zahlentheorie und in der ganzen Mathematik. Es setzt fest:

:Every sogar ganze Zahl, die größer ist als 2, kann als die Summe von zwei Blüte ausgedrückt werden.

Die Vermutung von Goldbach kann in der Logiknotation als geschrieben werden:

:

Zahl von Goldbach

Eine Goldbach Zahl ist eine Zahl, die als die Summe von zwei sonderbarer Blüte ausgedrückt werden kann. Deshalb ist eine andere Behauptung der Vermutung von Goldbach, dass alle gleichen ganzen Zahlen, die größer sind als 2, Zahlen von Goldbach sind.

Der Ausdruck einer gegebenen geraden Zahl als eine Summe von zwei Blüte wird eine Teilung von Goldbach dieser Zahl genannt. Zum Beispiel:

:2 (2) = 4 = (2+2)

:2 (3) = 6 = (3+3)

:2 (4) = 8 = (3+5)

:2 (5) = 10 = (3+7) oder (5+5)

:...

:2 (50) = 100 = (3+97) oder (11+89) oder (17+83) oder (29+71) oder (41+59) oder (47+53)

:...

Die Zahl von nicht eingeordneten Wegen, auf die 2n als die Summe von zwei Blüte geschrieben werden kann (für n, der an 1 anfängt), ist:

:0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 4, 2, 3... .

Ursprünge

Am 7. Juni 1742 hat der deutsche Mathematiker Christian Goldbach (ursprünglich des Brandenburgs-Preußens) einen Brief Leonhard Euler (Brief XLIII) geschrieben, in dem er die folgende Vermutung vorgeschlagen hat:

Ganze

:Every-Zahl, die als die Summe von zwei Blüte geschrieben werden kann, kann auch als die Summe von so viel Blüte geschrieben werden, wie man wünscht, bis alle Begriffe Einheiten sind.

Er hat dann eine zweite Vermutung im Rand seines Briefs vorgeschlagen:

Ganze

:Every-Zahl, die größer ist als 2, kann als die Summe von drei Blüte geschrieben werden.

Er hat 1 gedacht, eine Primzahl, eine nachher aufgegebene Tagung zu sein.

Wie man

jetzt bekannt, sind die zwei Vermutungen gleichwertig, aber das ist nicht geschienen, ein Problem zurzeit zu sein.

Eine moderne Version der Randvermutung von Goldbach ist:

Ganze

:Every-Zahl, die größer ist als 5, kann als die Summe von drei Blüte geschrieben werden.

Euler hat in einem Brief geantwortet hat am 30. Juni 1742 datiert, und hat Goldbach an ein früheres Gespräch daran erinnert, dass sie hatten

("... so Ew vormals mit mir communicirt haben.. "), in der Goldbach

bemerkt sein Original (und nicht geringfügig) Vermutung ist aus der folgenden Behauptung gefolgt

:Every sogar ganze Zahl, die größer ist als 2, kann als die Summe von zwei Blüte, geschrieben werden

der so auch eine Vermutung von Goldbach ist.

Im Brief datiert am 30. Juni 1742 hat Euler festgesetzt:

völlig bestimmter Lehrsatz, obwohl ich es nicht beweisen kann. ")

Die dritte Version von Goldbach (gleichwertig zu den zwei anderen Versionen) ist die Form, in der die Vermutung gewöhnlich heute ausgedrückt wird. Es ist auch bekannt als das "starke", "sogar", oder "binäre" Vermutung von Goldbach, um es von einer schwächeren Folgeerscheinung zu unterscheiden. Die starke Vermutung von Goldbach bezieht die Vermutung ein, dass alle ungeraden Zahlen, die größer sind als 7, die Summe von drei sonderbarer Blüte sind, die heute verschiedenartig als die "schwache" Vermutung von Goldbach, die "sonderbare" Vermutung von Goldbach oder die "dreifältige" Vermutung von Goldbach bekannt ist. Beide Fragen sind ungelöst seitdem geblieben, obwohl die schwache Form der Vermutung scheint, an der Entschlossenheit viel näher zu sein, als die starke. Wenn die starke Vermutung von Goldbach wahr ist, wird die schwache Vermutung von Goldbach als natürliche Folgerung wahr sein.

Eine andere Vermutung

Hardy und Littlewood haben als ihre Vermutung I Schlagseite gehabt: "Jede große ungerade Zahl (n> ist 5) die Summe einer Blüte und die doppelte von einer Blüte."

Mathematik-Zeitschrift, 66.1 (1993): 45-47.

Nachgeprüfte Ergebnisse

Für kleine Werte von n können die starke Vermutung von Goldbach (und folglich die schwache Vermutung von Goldbach) direkt nachgeprüft werden. Zum Beispiel hat Nils Pipping 1938 mühsam die Vermutung bis zu n  10 nachgeprüft. Mit dem Advent von Computern sind viele kleinere Werte von n überprüft worden; T. Oliveira e Silva führt eine verteilte Computersuche, die die Vermutung für n  1.609 × 10 nachgeprüft hat und einige höhere kleine Reihen bis zu 4 × 10 (bis zu 1 × 10 zweimal kontrolliert hat).

Heuristische Rechtfertigung

Statistische Rücksichten, die sich auf den probabilistic Vertrieb von Primzahlen konzentrieren, liefern informellen Beweis zu Gunsten von der Vermutung (sowohl in den schwachen als auch in starken Formen) für genug große ganze Zahlen: Je größer die ganze Zahl, desto mehr Wege dort für diese Zahl verfügbar sind, die als die Summe von zwei oder drei anderen Zahlen und das "wahrscheinlichere" zu vertreten ist, wird es das, mindestens eine dieser Darstellungen völlig aus der Blüte bestehen.

Eine sehr grobe Version des heuristischen probabilistic Arguments (für die starke Form der Vermutung von Goldbach) ist wie folgt. Der Primzahl-Lehrsatz behauptet, dass eine ganze Zahl, die M aufs Geratewohl ausgewählt hat, grob eine Chance hat, erst zu sein. So, wenn n eine große gleiche ganze Zahl ist und M eine Zahl zwischen 3 und n/2 ist, dann könnte man die Wahrscheinlichkeit der M und n &minus erwarten; M, die gleichzeitig erst ist, um zu sein. Das heuristisch ist aus mehreren Gründen nichtstreng; zum Beispiel nimmt es dass die Ereignisse dass M und n &minus an; M ist erst sind von einander statistisch unabhängig. Dennoch, wenn man das heuristisch verfolgt, könnte man die Gesamtzahl von Weisen erwarten, eine große gleiche ganze Zahl n als die Summe von zwei sonderbarer Blüte zu schreiben, um grob zu sein

:

Da diese Menge zur Unendlichkeit als n Zunahmen geht, erwarten wir, dass jede große gleiche ganze Zahl nicht nur eine Darstellung als die Summe von zwei Blüte hat, aber tatsächlich sehr vielen solche Darstellungen hat.

Das obengenannte heuristische Argument ist wirklich etwas ungenau, weil es etwas Abhängigkeit zwischen den Ereignissen der M und n &minus ignoriert; M erst zu sein. Zum Beispiel, wenn M dann n &minus seltsam ist; M ist auch seltsam, und wenn M sogar, dann n &minus ist; M ist sogar, eine nichttriviale Beziehung, weil (außerdem 2) nur ungerade Zahlen erst sein können. Ähnlich, wenn n durch 3 teilbar ist, und M bereits eine Blüte war, die von 3, dann n &minus verschieden ist; M würde auch coprime zu 3 sein und würde so ein bisschen wahrscheinlicher sein, erst zu sein, als eine allgemeine Zahl. Diesen Typ der Analyse sorgfältiger verfolgend, haben Hardy und Littlewood 1923 gemutmaßt (als ein Teil ihrer berühmten Zähen-Littlewood Haupttupel-Vermutung), der für irgendwelchen c  2, die Zahl von Darstellungen einer großen ganzen Zahl n als die Summe befestigt

hat

der c Blüte damit sollte asymptotisch gleich

sein:

\int_ {2 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_c: x_1 +\cdots+x_c = n\\frac {dx_1 \cdots dx_ {c-1}} {\\ln x_1 \cdots \ln x_c} </Mathematik>

wo das Produkt über die ganze Blüte p ist, und die Zahl von Lösungen der Gleichung ist

in der Modularithmetik, unterwerfen Sie den Einschränkungen. Wie man streng bewiesen hat, ist diese Formel für c  3 von der Arbeit von Vinogradov asymptotisch gültig gewesen, aber ist noch nur eine Vermutung wenn. Im letzten Fall vereinfacht die obengenannte Formel zu 0, wenn n, und zu seltsam

ist:

\approx 2 \Pi_2 \left (\prod_ {p|n; p \geq 3\\frac {p-1} {p-2 }\\Recht) \frac {n} {\\ln^2 n }\

</Mathematik>

wenn n sogar ist, wo der Zwilling erster unveränderlicher ist

:

Das ist manchmal als die verlängerte Vermutung von Goldbach bekannt. Die starke Vermutung von Goldbach ist tatsächlich dem Zwilling Hauptvermutung sehr ähnlich, und, wie man glaubt, sind die zwei Vermutungen grob der vergleichbaren Schwierigkeit.

Die Goldbach Teilungsfunktionen gezeigt hier können als histograms gezeigt werden, die informativ die obengenannten Gleichungen illustrieren. Sieh den Kometen von Goldbach.

Strenge Ergebnisse

Beträchtliche Arbeit ist auf der schwachen Vermutung von Goldbach getan worden.

Die starke Vermutung von Goldbach ist viel schwieriger. Mit der Methode von Vinogradov haben Chudakov, van der Corput und Estermann gezeigt, dass fast alle geraden Zahlen als die Summe von zwei Blüte geschrieben werden können (im Sinn, dass der Bruchteil von geraden Zahlen, die so geschrieben werden können, zu 1 neigt). 1930 hat Lev Schnirelmann bewiesen, dass jede gerade Zahl n  4 als die Summe von höchstens 20 Blüte geschrieben werden kann. Dieses Ergebnis wurde nachher von vielen Autoren erhöht; zurzeit ist das am besten bekannte Ergebnis wegen Olivier Ramarés, der 1995 gezeigt hat, dass jede gerade Zahl n  4 tatsächlich die Summe von höchstens sechs Blüte ist. Tatsächlich wird die Auflösung der schwachen Vermutung von Goldbach auch direkt andeuten, dass jede gerade Zahl n  4 die Summe von höchstens vier Blüte ist.

Chen Jingrun hat sich 1973 mit den Methoden der Sieb-Theorie gezeigt, dass jede genug große gerade Zahl als die Summe entweder von zwei Blüte, oder von einer Blüte und einer Halbblüte (das Produkt von zwei Blüte) - z.B geschrieben werden kann. 100 = 23 + 7 · 11.

1975 haben Hugh Montgomery und Robert Charles Vaughan gezeigt, dass geradeste Zahlen expressible als die Summe von zwei Blüte waren. Genauer haben sie gezeigt, dass dort positive Konstanten c und solcher C bestanden hat, dass für die ganze genug große Anzahl N jede gerade Zahl weniger als N die Summe von zwei Blüte, mit an den meisten Ausnahmen ist. Insbesondere der Satz von sogar ganzen Zahlen, die nicht die Summe von zwei Blüte sind, hat Dichte-Null.

Linnik hat 1951 die Existenz eines unveränderlichen solchen K bewiesen, dass jede genug große gerade Zahl die Summe von zwei Blüte und an den meisten K Mächten 2 ist. Roger Heath-Brown und Jan-Christoph Schlage-Puchta 2002 haben dass K = 13 Arbeiten gefunden. Das wurde zu K=8 von Pintz und Ruzsa 2003 verbessert.

Man kann ähnliche Fragen stellen, wenn Blüte durch andere spezielle Sätze von Zahlen wie die Quadrate ersetzt wird. Zum Beispiel wurde es von Lagrange bewiesen, dass jede positive ganze Zahl die Summe von vier Quadraten ist. Sieh das Problem von Waring und das zusammenhängende Problem von Waring-Goldbach auf Summen von Mächten der Blüte.

Als mit vielen berühmten Vermutungen in der Mathematik gibt es mehrere behauptete Beweise der Vermutung von Goldbach, keinen Akzeptierten durch die mathematische Gemeinschaft.

Ähnliche Vermutungen

• Die Vermutung von Lemoine (hat auch die Vermutung von Levy genannt) - stellt fest, dass alle sonderbaren ganzen Zahlen, die größer sind als 5, als die Summe einer sonderbaren Primzahl und einer gleichen Halbblüte vertreten werden können.
• Problem von Waring-Goldbach - fragt, ob große Anzahl als eine Summe mit höchstens einer unveränderlichen Zahl von Begriffen von ähnlichen Mächten der Blüte ausgedrückt werden kann.
• Die Goldbach-Vermutung für praktische Zahlen, eine hauptähnliche Folge von ganzen Zahlen, wurde von Margenstern 1984 festgesetzt, und von Melfi 1996 bewiesen: Jede gerade Zahl ist eine Summe von zwei praktischen Zahlen.

In der populären Kultur

• Um Werbung für den neuartigen Onkel Petros und die Vermutung von Goldbach durch Apostolos Doxiadis zu erzeugen, hat britischer Herausgeber Tony Faber einen Preis von 1,000,000 $ angeboten, wenn ein Beweis vor dem April 2002 vorgelegt wurde. Der Preis wurde nicht gefordert.
• Der Fernsehdrama-Lewis hat einen Mathematik-Professor gezeigt, der die Feldmedaille für seine Arbeit an der Vermutung von Goldbach gewonnen hatte.
• Die Novelle von Isaac Asimov "Sechzig Millionen Trillionen Kombinationen" hat einen Mathematiker gezeigt, der vermutet hat, dass seine Arbeit an der Vermutung von Goldbach gestohlen worden war.
• Im spanischen Film La habitación de Fermat (2007) behauptet ein junger Mathematiker, die Vermutung bewiesen zu haben.
• Eine Verweisung wird zur Vermutung in Futurama zur DVD gerader Film Das Biest mit einer Milliarde Rücken gemacht, in denen vielfache elementare Beweise in einem einem Himmel ähnlichen Drehbuch gefunden werden.
• Im Cartoon (2003) hat Jimmy festgestellt, dass er in der Mitte des Beweises der Primzahl-Vermutung von Goldbach war.

Referenzen

Weiterführende Literatur

Außenverbindungen

• Der ursprüngliche Brief von Goldbach an Euler - PDF Format (in Deutsch und Latein)
• Die Vermutung von Goldbach, ein Teil der Hauptseiten von Chris Caldwell.
• Goldbach vermuten Überprüfung, Tomás Oliveira e die verteilte Computersuche von Silva.
• Online-Werkzeug, um die Vermutung von Goldbach auf vorgelegten ganzen Zahlen zu prüfen.
• Goldbach Weben Vertretung einer grafischen Darstellung der Vermutung von Goldbach.