In der Mathematik setzt die Gleichheit eines Gegenstands fest, ob es sogar oder seltsam ist.

Dieses Konzept beginnt mit ganzen Zahlen. Eine gerade Zahl ist eine ganze Zahl, die" durch 2 "gleichmäßig teilbar, d. h., durch 2 ohne Rest teilbar ist; eine ungerade Zahl ist eine ganze Zahl, die durch 2 nicht gleichmäßig teilbar ist. (Der altmodische Begriff "gleichmäßig teilbar" wird jetzt fast immer zum "teilbaren" verkürzt.) Ist eine formelle Definition einer geraden Zahl, dass es eine ganze Zahl der Form n = 2k ist, wo k eine ganze Zahl ist; es kann dann gezeigt werden, dass eine ungerade Zahl eine ganze Zahl der Form n = 2k + 1 ist.

Beispiele von geraden Zahlen sind −4, 0, 8, und 1728. Beispiele von ungeraden Zahlen sind −5, 3, 9, und 71. Diese Klassifikation gilt nur für ganze Zahlen, d. h. nichtganze Zahlen wie 1/2 oder 4.201 sind weder sogar noch seltsam.

Die Sätze von geraden und ungeraden Zahlen können als folgender definiert werden:

• Sogar =
• Seltsam =

Eine Zahl (d. h., ganze Zahl) ausgedrückt im dezimalen Ziffer-System ist sogar oder seltsam gemäß, ob seine letzte Ziffer sogar oder seltsam ist.

D. h. wenn die letzte Ziffer 1, 3, 5, 7, oder 9 ist, dann ist es seltsam; sonst ist es gleich. Dieselbe Idee wird mit jeder gleichen Basis arbeiten.

Insbesondere eine im binären Ziffer-System ausgedrückte Zahl ist seltsam, wenn seine letzte Ziffer 1 ist, und selbst wenn seine letzte Ziffer 0 ist.

In einer sonderbaren Basis ist die Zahl sogar gemäß der Summe seiner Ziffern - es ist, selbst wenn, und nur wenn die Summe seiner Ziffern gleich ist.

Arithmetik auf geraden und ungeraden Zahlen

Die folgenden Gesetze können mit den Eigenschaften der Teilbarkeit nachgeprüft werden. Sie sind ein spezieller Fall von Regeln in der Modularithmetik und werden allgemein verwendet, um zu überprüfen, ob eine Gleichheit wahrscheinlich durch die Prüfung der Gleichheit jeder Seite richtig sein wird. Als mit der gewöhnlichen Arithmetik sind Multiplikation und Hinzufügung auswechselbar und assoziativ, und Multiplikation ist über die Hinzufügung verteilend. Jedoch ist die Subtraktion in der Gleichheit zur Hinzufügung identisch, so besitzt Subtraktion auch diese Eigenschaften (die von der gewöhnlichen Arithmetik fehlen).

Hinzufügung und Subtraktion

• sonderbare ± sogar = seltsam;

Herrscht analog diesen für die Teilbarkeit durch 9 werden in der Methode verwendet, nines zu vertreiben.

Multiplikation

• sogar × sogar = sogar;
• sogar × seltsam = sogar;
• seltsam × seltsam = seltsam.

Abteilung

Die Abteilung von zwei ganzen Zahlen läuft auf keine ganze Zahl notwendigerweise hinaus.

Zum Beispiel kommt 1 geteilter durch 4 1/4 gleich, der weder sogar noch seltsam ist, da die Konzepte sogar und seltsam nur für ganze Zahlen gelten.

Aber wenn der Quotient eine ganze Zahl ist, wird es sein, selbst wenn, und nur wenn die Dividende mehr Faktoren zwei hat als der Teiler.

Geschichte

Die alten Griechen haben 1 gedacht, weder völlig seltsam noch völlig gleich zu sein. Etwas von diesem Gefühl hat ins 19. Jahrhundert überlebt: 1826 von Friedrich Wilhelm August Fröbel Die Ausbildung des Mannes beauftragt den Lehrer, Studenten mit dem Anspruch zu exerzieren, der 1 weder sogar noch seltsam ist, dem Fröbel den philosophischen nachträglichen Einfall, beifügt

Musik-Theorie

In Blasinstrumenten mit einer zylindrischen langweiligen Angelegenheit und tatsächlich geschlossen an einem Ende, wie die Klarinette am Mundstück, sind die erzeugten Obertöne sonderbare Vielfachen der grundsätzlichen Frequenz. (Mit zylindrischen Pfeifen, die an beiden Enden offen sind, verwendet zum Beispiel in einigen Orgelregistern wie der offene diapason, sind die Obertöne sogar Vielfachen derselben Frequenz für die gegebene Länge der langweiligen Angelegenheit, aber das hat die Wirkung der grundsätzlichen Frequenz, die wird verdoppelt und aller Vielfachen dieser grundsätzlichen Frequenz, die wird erzeugt.) Sieh harmonische Reihe (Musik).

Höhere Mathematik

Die geraden Zahlen bilden ein Ideal im Ring von ganzen Zahlen, aber die ungeraden Zahlen tun nicht - das ist von der Tatsache klar, dass das Identitätselement für die Hinzufügung, Null, ein Element der geraden Zahlen nur ist. Eine ganze Zahl ist, selbst wenn es zu 0 modulo dieses Ideal mit anderen Worten kongruent ist, wenn es zu 0 modulo 2 kongruent und seltsam ist, wenn es zu 1 modulo 2 kongruent ist.

Alle Primzahlen sind mit einer Ausnahme seltsam: die Primzahl 2. Alle bekannten vollkommenen Zahlen sind gleich; es ist unbekannt, ob irgendwelche sonderbaren vollkommenen Zahlen bestehen.

Die Quadrate aller geraden Zahlen sind sogar, und die Quadrate aller ungeraden Zahlen sind seltsam. Da eine gerade Zahl als 2x, (2x) = 4x ausgedrückt werden kann, der gleich ist. Da eine ungerade Zahl als 2x + 1, (2x + 1) = 4x + 4x + 1 ausgedrückt werden kann. 4x und 4x sind sogar, was bedeutet, dass 4x + 4x + 1 (seit sogar + seltsam = seltsam) seltsam ist.

Die Vermutung von Goldbach stellt fest, dass jede gleiche ganze Zahl, die größer ist als 2, als eine Summe von zwei Primzahlen vertreten werden kann.

Moderne Computerberechnungen haben diese Vermutung gezeigt, um für ganze Zahlen bis zu mindestens 4 &times wahr zu sein; 10, aber noch ist kein allgemeiner Beweis gefunden worden.

Der Lehrsatz von Feit-Thompson stellt fest, dass eine begrenzte Gruppe immer lösbar ist, wenn seine Ordnung eine ungerade Zahl ist. Das ist ein Beispiel von ungeraden Zahlen, eine Rolle in einem fortgeschrittenen mathematischen Lehrsatz spielend, wo die Methode der Anwendung der einfachen Hypothese der "sonderbaren Ordnung" alles andere als offensichtlich ist.

Gleichheit für andere Gegenstände

Gleichheit wird auch verwendet, um sich auf mehrere andere Eigenschaften zu beziehen.

• Die Gleichheit einer Versetzung (wie definiert, in der abstrakten Algebra) ist die Gleichheit der Zahl von Umstellungen, in die die Versetzung zersetzt werden kann. Zum Beispiel ist (das Abc) zu (BCA) sogar, weil es durch das Tauschen A und B dann C und (zwei Umstellungen) getan werden kann. Es kann gezeigt werden, dass keine Versetzung sowohl in sogar als auch in einer ungeraden Zahl von Umstellungen zersetzt werden kann. Folglich ist der obengenannte eine passende Definition. Im Würfel von Rubik, Megawildfang und anderen gewundenen Rätseln, erlauben die Bewegungen des Rätsels nur sogar Versetzungen der Rätsel-Stücke, deshalb ist Gleichheit im Verstehen des Konfigurationsraums dieser Rätsel wichtig.
• Die Gleichheit einer Funktion beschreibt, wie sich seine Werte ändern, wenn seine Argumente mit ihren Ablehnungen ausgetauscht werden. Sogar Funktion, wie eine gleiche Macht einer Variable, gibt dasselbe Ergebnis für jedes Argument bezüglich seiner Ablehnung. Eine sonderbare Funktion, wie eine sonderbare Macht einer Variable, gibt für jedes Argument die Ablehnung seines Ergebnisses, wenn gegeben, die Ablehnung dieses Arguments. Es ist für eine Funktion möglich, weder seltsam zu sein noch sogar, und für den Fall f (x) = 0, beide gerade und ungerade zu sein.
• Koordinaten der ganzen Zahl von Punkten in Euklidischen Räumen von zwei oder mehr Dimensionen haben auch eine Gleichheit, die gewöhnlich als die Gleichheit der Summe der Koordinaten definiert ist. Zum Beispiel enthält das Damebrett-Gitter alle Punkte der ganzen Zahl der geraden Bitzahl. Diese Eigenschaft äußert sich im Schach, weil Bischöfe zu Quadraten derselben Gleichheit gezwungen werden; Ritter lassen Gleichheit zwischen Bewegungen abwechseln. Diese Form der Gleichheit wurde berühmt verwendet, um das Verstümmelte Schachbrett-Problem zu beheben.

Siehe auch

• Diagonale Gleichheit - RAID#Non-standard Niveaus
• Sogar und sonderbare Funktionen
• Sogar und sonderbare Ordnungszahlen
• Sogar und sonderbare Versetzungen
• Flugnummer
• Haus, das numeriert
• Paritätsfunktion
• Gleichheit der Null
• Thue-Morsezeichen-Folge
• Die Vereinigten Staaten haben Autobahnen numeriert