Die Sieben Brücken von Königsberg sind ein historisch bemerkenswertes Problem in der Mathematik. Seine negative Entschlossenheit von Leonhard Euler 1735 hat die Fundamente der Graph-Theorie gelegt und hat die Idee von der Topologie angekündigt.

Die Stadt Königsberg in Preußen (jetzt Kaliningrad, Russland) wurde an beiden Seiten des Vorgel-Flusses gesetzt, und hat zwei große Inseln eingeschlossen, die mit einander und dem Festland durch sieben Brücken verbunden wurden.

Das Problem war, einen Spaziergang durch die Stadt zu finden, die jede Brücke einmal und nur einmal durchqueren würde. Die Inseln konnten durch keinen Weg außer den Brücken erreicht werden, und jede Brücke muss völlig jedes Mal durchquert worden sein; man konnte halbwegs auf die Brücke nicht spazieren gehen und sich dann umdrehen und späteres Kreuz die andere Hälfte von der anderen Seite. Der Spaziergang braucht nicht anzufangen und an demselben Punkt zu enden. Euler hat bewiesen, dass das Problem keine Lösung hat. Es konnte keine nichtzurückverfolgende dauernde Kurve geben, die alle sieben der Brücken durchgeführt hat. Die Schwierigkeit war die Entwicklung einer Technik der Analyse und nachfolgender Tests, die diese Behauptung mit der mathematischen Strenge gegründet haben.

Die Analyse von Euler

Erstens hat Euler darauf hingewiesen, dass die Wahl des Wegs innerhalb jeder Landmasse irrelevant ist. Die einzige wichtige Eigenschaft eines Wegs ist die Folge von durchquerten Brücken. Das hat ihm erlaubt, das Problem in abstrakten Begriffen wiederzuformulieren (die Fundamente der Graph-Theorie legend), alle Eigenschaften außer der Liste von Landmassen und den Brücken beseitigend, die sie verbinden. In modernen Begriffen ersetzt man jede Landmasse durch einen Auszug ""oder Knoten und jede Brücke mit einer abstrakten Verbindung,"", der nur dient, um zu registrieren, welches Paar von Scheitelpunkten (Landmassen) durch diese Brücke verbunden wird. Die resultierende mathematische Struktur wird a genannt.



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Da nur die Verbindungsinformation wichtig ist, kann die Gestalt von bildlichen Darstellungen eines Graphen in jedem Fall verdreht werden, ohne den Graphen selbst zu ändern. Nur die Existenz (oder Abwesenheit) eines Randes zwischen jedem Paar von Knoten ist bedeutend. Zum Beispiel ist es nicht von Bedeutung, ob die gezogenen Ränder gerade oder gekrümmt sind, oder ob ein Knoten nach links oder Recht auf einen anderen ist.

Dann hat Euler bemerkt, dass (außer an den Endpunkten des Spaziergangs), wann auch immer man in einen Scheitelpunkt durch eine Brücke eingeht, man den Scheitelpunkt durch eine Brücke verlässt. Mit anderen Worten, während jedes Spaziergangs im Graphen, der Zahl von Zeiten geht man herein ein Nichtendscheitelpunkt kommt der Zahl von Zeiten gleich man verlässt es. Jetzt, wenn jede Brücke genau einmal überquert worden ist, hieraus folgt dass, für jede Landmasse (abgesehen von denjenigen, die für den Anfang und Schluss gewählt sind), die Zahl von Brücken, die diese Landmasse berühren, sogar sein muss (Hälfte von ihnen, im besonderen Traversal, wird zum landmass überquert; die andere Hälfte, "weg" davon). Jedoch werden alle vier der Landmassen im ursprünglichen Problem durch eine ungerade Zahl von Brücken berührt (einer wird durch 5 Brücken berührt, und jeder der anderen drei wird durch 3 berührt). Seitdem, höchstens, können zwei Landmassen als die Endpunkte eines vermeintlichen Spaziergangs dienen, der Vorschlag eines Spaziergangs, der jede Brücke einmal überquert, führt zu einem Widerspruch.

Auf der modernen Sprache zeigt Euler, dass die Möglichkeit eines Spaziergangs durch einen Graphen, jeden Rand genau einmal überquerend, vom s der Knoten abhängt. Der Grad eines Knotens ist die Zahl von Rändern, die es berühren. Das Argument von Euler zeigt, dass eine notwendige Bedingung für den Spaziergang der gewünschten Form darin besteht, dass der Graph verbunden wird und haben Sie genau Null oder zwei Knoten des sonderbaren Grads. Diese Bedingung erweist sich auch — ein Ergebnis genügend zu sein, das von Euler festgesetzt ist und später von Carl Hierholzer bewiesen ist. Solch ein Spaziergang wird jetzt einen Pfad von Eulerian genannt (oy · lr · ich · n), oder Euler gehen in seiner Ehre spazieren. Weiter, wenn es Knoten des sonderbaren Grads gibt, dann wird jeder Pfad von Eulerian an einem von ihnen anfangen und am anderen enden. Da der Graph entsprechend historischem Königsberg vier Knoten des sonderbaren Grads hat, kann es keinen Pfad von Eulerian haben.

Eine alternative Form des Problems bittet um einen Pfad, der alle Brücken überquert und auch dasselbe Starten und Ende des Punkts hat. Solch ein Spaziergang wird einen Stromkreis von Eulerian oder eine Tour von Euler genannt. Solch ein Stromkreis besteht, wenn, und nur wenn der Graph verbunden wird, und es keine Knoten des sonderbaren Grads überhaupt gibt. Alle Eulerian Stromkreise sind auch Pfade von Eulerian, aber nicht alle Pfade von Eulerian sind Stromkreise von Eulerian.

Die Arbeit von Euler wurde der St. Petersburger Akademie am 26. August 1735 präsentiert, und als Anzeige von Solutio problematis geometriam Lage pertinentis (Die Lösung eines Problems in Zusammenhang mit der Geometrie der Position) in der Zeitschrift Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 1741 veröffentlicht. Es ist in Englisch in Der Welt der Mathematik verfügbar.

Bedeutung in der Geschichte der Mathematik

In der Geschichte der Mathematik, wie man betrachtet, ist die Lösung von Euler des Problems der Königsberg Bridge der erste Lehrsatz der Graph-Theorie, ein als ein Zweig von combinatorics jetzt allgemein betrachtetes Thema. Kombinatorische Probleme anderer Typen waren seit der Altertümlichkeit betrachtet worden.

Außerdem hat die Anerkennung von Euler, dass die Schlüsselinformation die Zahl von Brücken und die Liste ihrer Endpunkte war (aber nicht ihre genauen Positionen) die Entwicklung der Topologie vorhergesagt. Der Unterschied zwischen dem wirklichen Lay-Out und dem schematischen Graphen ist ein gutes Beispiel der Idee, dass Topologie mit der starren Gestalt von Gegenständen nicht beschäftigt ist.

Im Vereinigten Königreich WEIL schließt Niveau-Mathematik Eulerian Theorie in die Weg-Schauabteilung des D1 (Entscheidungsmathematik 1) Modul ein.

Schwankungen

Die klassische Behauptung des Problems, das oben gegeben ist, verwendet unbekannte Knoten — d. h. sie sind alle abgesehen vom Weg ähnlich, auf den sie verbunden werden. Es gibt eine Schwankung, in der die Knoten identifiziert werden — wird jeder Knoten ein einzigartiger Name oder Farbe gegeben.

Die nördliche Bank des Flusses wird von Schloß oder Schloss vom Blauen Prinzen besetzt; das südliche durch diesen des Roten Prinzen. Die Ostbank beherbergt den Kirche des Bischofs oder Kirche; und auf der kleinen Insel im Zentrum ist Gasthaus oder Gasthof.

Es wird verstanden, dass die Probleme zu folgen in der Ordnung genommen werden, und mit einer Behauptung des ursprünglichen Problems beginnen sollten:

Es, unter den Stadtbewohnern nach einigen Stunden in Gasthaus üblich seiend, um zu versuchen, die Brücken spazieren zu gehen, sind viele für mehr Erfrischungsbehauptungserfolg zurückgekehrt. Jedoch ist niemand im Stande gewesen, die Leistung durch das Licht des Tages zu wiederholen.

8: Der Blaue Prinz, das Brücke-System der Stadt mittels der Graph-Theorie analysiert, beschließt, dass die Brücken nicht spazieren gegangen werden können. Er erfindet einen verstohlenen Plan, eine achte Brücke zu bauen, so dass er am Abend an seinem Schloß beginnen kann, gehen Sie die Brücken, und Ende an Gasthaus zur Prahlerei seines Siegs spazieren. Natürlich will er, dass der Rote Prinz unfähig ist, die Leistung vom Schloss Red zu kopieren. Wo baut der Blaue Prinz die achte Brücke?

9: Der Rote Prinz, der durch die Gordische Lösung seines Bruders des Problems rasend gemacht ist, will eine neunte Brücke bauen, ihm ermöglichend, an seinem Schloß zu beginnen, gehen Sie die Brücken, und Ende an Gasthaus spazieren, um Schmutz im Gesicht seines Bruders zu reiben. Als ein Extrabit der Rache sollte sein Bruder dann nicht mehr im Stande sein, das Brücke-Starten und Ende an seinem Schloss wie zuvor spazieren zu gehen. Wo baut der Rote Prinz die neunte Brücke?

10: Der Bischof hat diesen wütenden Brückenbau mit der Betroffenheit beobachtet. Es Umkippen Weltanschauung der Stadt und, schlechter, trägt zu übermäßiger Betrunkenheit bei. Er will eine zehnte Brücke bauen, die allen Einwohnern erlaubt, die Brücken spazieren zu gehen und zu ihren eigenen Betten zurückzukehren. Wo baut der Bischof die zehnte Brücke?

Lösungen

Reduzieren Sie die Stadt wie zuvor zu einem Graphen. Färben Sie jeden Knoten. Als im klassischen Problem ist kein Spaziergang von Euler möglich; das Färben betrifft das nicht. Alle vier Knoten haben eine ungerade Zahl von Rändern.

8: Spaziergänge von Euler sind möglich, wenn genau Null oder zwei Knoten eine ungerade Zahl von Rändern haben. Wenn wir 2 Knoten mit einer ungeraden Zahl von Rändern haben, muss der Spaziergang an einem solchem Knoten beginnen und am anderen enden. Da es nur 4 Knoten im Rätsel gibt, ist die Lösung einfach. Der gewünschte Spaziergang muss am blauen Knoten und Ende am Orangenknoten beginnen. So wird ein neuer Rand zwischen den anderen zwei Knoten gezogen. Da sie jeder hatte früher eine ungerade Zahl von Rändern, sie jetzt eine gerade Zahl von Rändern haben müssen, alle Bedingungen erfüllend. Das ist eine Änderung in der Gleichheit von einem sonderbaren bis sogar Grad.

9: Die 9. Brücke ist leicht, sobald der 8. gelöst wird. Der Wunsch ist, das rote Schloss zu ermöglichen und das blaue Schloss als ein Startpunkt zu verbieten; der Orangenknoten bleibt das Ende des Spaziergangs und des weißen Knotens ist ungekünstelt. Um die Gleichheit sowohl von roten als auch von blauen Knoten zu ändern, ziehen Sie einen neuen Rand zwischen ihnen.

10: Die 10. Brücke nimmt uns in einer ein bisschen verschiedenen Richtung. Der Bischof möchte, dass jeder Bürger zu seinem Startpunkt zurückkehrt. Das ist ein Stromkreis von Euler und verlangt, dass alle Knoten sogar des Grads sind. Nach der Lösung der 9. Brücke haben das Rot und die Orangenknoten sonderbaren Grad, so muss ihre Gleichheit durch das Hinzufügen eines neuen Randes zwischen ihnen geändert werden.

Aktueller Zustand der Brücken

Zwei der sieben ursprünglichen Brücken wurden während der Bombardierung von Königsberg im Zweiten Weltkrieg zerstört. Zwei wurden andere später abgerissen und durch eine moderne Autobahn ersetzt. Die drei anderen Brücken bleiben, obwohl nur zwei von ihnen von der Zeit von Euler sind (einer wurde 1935 wieder aufgebaut). So, gibt es jetzt fünf Brücken in Kaliningrad.

In Bezug auf die Graph-Theorie haben zwei der Knoten jetzt Grad 2, und die anderen zwei haben Grad 3. Deshalb ist ein Pfad von Eulerian jetzt möglich, aber da er auf einer Insel beginnen und auf dem anderen enden muss, ist es für Touristen unpraktisch.

An der Universität von Canterbury, in Christchurch, Neuseeland, wird ein Modell der Brücken in einem Gras-Gebiet zwischen der alten Physischen Wissenschaftsbibliothek und dem Gebäude von Erskine, der Unterkunft die Abteilungen der Mathematik, Statistik und Informatik vereinigt.

Siehe auch

• Pfad von Eulerian
• Wörterverzeichnis der Graph-Theorie
• Spiel von Icosian
• Pfad von Hamiltonian
• Wasser, Benzin und Elektrizität
• Handlungsreisender-Problem

Links

• Kaliningrad und das Problem der Konigsberg Bridge an der Konvergenz
• Die ursprüngliche Veröffentlichung von Euler (in Latein)
• Die Brücken von Königsberg
• Wie die Brücken von Königsberg helfen, das Gehirn zu verstehen
• Das Brücke-Problem von Königsberg von Euler in der Matheabteilungsuniversität der Gegenseite Costa
• Vorgel - Ein Google Werkzeug genannt nach diesem Problem grafisch darzustellen
• Die Zählung von Königsberg