Römische Oberfläche von Oberfläche oder Steiner (so genannt, weil Jakob Steiner in Rom war, als er daran gedacht hat) ist ein Selbstschneiden, das des echten projektiven Flugzeugs in den dreidimensionalen Raum mit einem ungewöhnlich hohen Grad der Symmetrie kartografisch darstellt. Das kartografisch darzustellen, ist nicht eine Immersion des projektiven Flugzeugs; jedoch ist die Zahl, die sich aus dem Entfernen sechs einzigartiger Punkte ergibt, diejenige.

Der einfachste Aufbau ist als das Image eines Bereichs, der am Ursprung laut der Karte f (x, y, z) = (yz, xz, xy) in den Mittelpunkt gestellt ist. Das gibt eine implizite Formel von

:

Außerdem einen parametrization des Bereichs in Bezug auf die Länge (θ) und Breite (φ) nehmend, gibt parametrische Gleichungen für die römische Oberfläche wie folgt:

:x = r weil θ weil φ Sünde

φ

:y = r sündigen θ weil φ Sünde

φ

:z = r weil θ Sünde θ weil

φ.

Der Ursprung ist ein dreifacher Punkt und jeder der xy-, yz-, und Xz-Flugzeuge sind zur Oberfläche dort tangential. Die anderen Plätze der Selbstkreuzung sind doppelte Punkte, Segmente entlang jeder Koordinatenachse definierend, die in sechs Kneifen-Punkten enden. Die komplette Oberfläche hat vierflächige Symmetrie. Es ist ein besonderer Typ (genannt Typ 1) der Oberfläche von Steiner, d. h. eines 3-dimensionalen geradlinigen Vorsprungs der Oberfläche von Veronese.

Abstammung der impliziten Formel

Für die Einfachheit ziehen wir nur den Fall r = 1 in Betracht. In Anbetracht des Bereichs, der durch die Punkte (x, y, z) definiert ist, solch dass

:

wir wenden auf diese Punkte die Transformation T definiert durch an

:

sagen.

Aber dann haben wir

:\begin {richten }\aus

U^2 V^2 + V^2 W^2 + W^2 U^2 & = z^2 x^2 y^4 + x^2 y^2 z^4 + y^2 z^2 x^4 = (x^2 + y^2 + z^2) (x^2 y^2 z^2) \\[8pt]

& = (1) (x^2 y^2 z^2) = (xy) (yz) (zx) = U V W,

\end {richten }\aus</Mathematik>

und so

:

wie gewünscht.

Nehmen Sie umgekehrt an, dass uns (U, V, W) gegeben wird, befriedigend

(*)

Wir beweisen, dass dort (x, y, z) solch dass besteht

(**)

für den

:

mit einer Ausnahme: Im Falle dass 3.b. unten zeigen wir, dass das nicht bewiesen werden kann.

1. Im Fall, wo keiner von U, V, W 0 ist, können wir setzen

:

(Bemerken Sie, dass (*) versichert, dass beide alle drei von U, V, W positiv sind, oder genau zwei negativ sind. So sind diese Quadratwurzeln positiver Zahlen.)

Es ist leicht (*) zu verwenden, um zu bestätigen, dass (**) für x, y hält, hat z diesen Weg definiert.

2. Nehmen Sie an, dass W 0 ist. Von (*) bezieht das ein

:

und folglich müssen mindestens ein von U, V 0 auch sein. Das zeigt, dass das es unmöglich für genau einen von U, V, W ist, um 0 zu sein.

3. Nehmen Sie an, dass genau zwei von U, V, W 0 sind. Ohne Verlust der Allgemeinheit nehmen wir an

(***)

Hieraus folgt dass

:

(da

:

bezieht das ein

:

und folglich

:

das Widersprechen (***).)

a. Im Subfall wo

:

wenn wir x und y durch bestimmen

:und:

das stellt sicher, dass (*) hält. Es ist leicht, das nachzuprüfen

:

und folglich wird die Auswahl der Zeichen von x und y passend versichern

:

Seitdem auch

:

das zeigt, dass dieser Subfall zum gewünschten gegenteiligen führt.

b. In diesem restlichen Subfall des Falls 3., wir haben

:

Seitdem

:

es ist leicht, das zu überprüfen

:

und so in diesem Fall, wo

:

es gibt nicht (x, y, z), befriedigend

Folglich die Lösungen (U, 0, 0) der Gleichung (*) mit

:

und ebenfalls, (0, V, 0) mit

:

und (0, 0, W) mit

:

(von denen jeder ein Nichtkompaktteil einer Koordinatenachse in zwei Stücken ist) entsprechen keinem Punkt auf der römischen Oberfläche.

4. Wenn (U, V, W) der Punkt ist (0, 0, 0), dann wenn irgendwelche zwei von x, y, z Null und die dritte sind, hat absoluten Wert 1, klar

:wie gewünscht.

Das bedeckt alle möglichen Fälle.

Abstammung von parametrischen Gleichungen

Lassen Sie einen Bereich Radius r, Länge &phi haben; und Breite &theta;. dann sind seine parametrischen Gleichungen

:::

Dann gibt die Verwendung der Transformation T zu allen Punkten auf diesem Bereich nach

:::

die die Punkte auf der römischen Oberfläche sind. Lassen Sie &phi; Reihe von 0 bis 2π, und hat &theta gelassen; Reihe von 0 bis

&pi;/2.

Beziehung zum echten projektiven Flugzeug

Der Bereich, bevor er umgestaltet wird, ist nicht homeomorphic zum echten projektiven Flugzeug, RP. Aber der am Ursprung in den Mittelpunkt gestellte Bereich hat dieses Eigentum, dass, wenn Punkt (x, y, z) dem Bereich gehört, dann auch sind der antipodische Punkt (-x,-y,-z) und diese zwei Punkte verschieden: Sie liegen auf Gegenseiten des Zentrums des Bereichs.

Die Transformation T wandelt beide dieser antipodischen Punkte in denselben Punkt, um

::

Wenn das für nur einen oder kleine Teilmenge von Punkten des Bereichs wahr wäre, dann würden diese Punkte gerade doppelte Punkte sein. Aber da es auf alle Punkte zutrifft, dann ist es möglich zu denken, dass die römische Oberfläche homeomorphic zu einem "Bereich modulo Antipoden" ist. Jedoch sind das nicht die einzigen Identifizierungen, die laut dieser Karte vorkommen. Folglich ist die römische Oberfläche ein Quotient des echten projektiven Flugzeugs RP = S / (x ~-x). Außerdem hat dieser Quotient das spezielle Eigentum, dass es lokal injective ist, das eine Immersion von RP in den 3-Räume-machend. Es wurde vorher festgestellt, dass die römische Oberfläche homeomorphic zu RP ist, aber das war irrtümlicherweise.

Struktur der römischen Oberfläche

Die römische Oberfläche hat vier Knollen"Lappen", jeden auf einer verschiedenen Ecke eines Tetraeders.

Eine römische Oberfläche kann durch das Verstärken zusammen von drei hyperbolischen paraboloids gebaut werden und dann die Ränder als notwendig wegräumend, so dass sie eine gewünschte Gestalt (z.B parametrization) passen wird.

Lassen Sie dort, diese drei hyperbolischen paraboloids zu sein:

• x = yz,
• y = zx,
• z = xy.

Diese drei hyperbolischen paraboloids schneiden sich äußerlich entlang den sechs Rändern eines Tetraeders und innerlich entlang den drei Äxten. Die inneren Kreuzungen sind geometrische Orte von doppelten Punkten. Die drei geometrischen Orte von doppelten Punkten: x = 0, y = 0, und z = 0, schneiden sich an einem dreifachen Punkt am Ursprung.

Zum Beispiel, gegeben x = yz und y = zx, ist der zweite paraboloid zu x = y/z gleichwertig. Dann

:

und entweder y = 0 oder z = 1 so dass z = ±1. Ihre zwei Außenkreuzungen sind

• x = y, z = 1;
• x = y, z = 1.

Ebenfalls sind die anderen Außenkreuzungen

• x = z, y = 1;
• x = z, y = 1;
• y = z, x = 1;
• y = z, x = 1.

Lassen Sie uns die Stücke sehen zusammengestellt werden. Schließen Sie sich dem paraboloids y = xz und x = yz an. Das Ergebnis wird in der Abbildung 1 gezeigt.

Der paraboloid y = x z wird im Blau und Orange gezeigt. Der paraboloid x = y z wird in Zyan und Purpurrot gezeigt. Im Image, wie man sieht, schneiden sich die paraboloids entlang dem z = 0 Achse. Wenn die paraboloids erweitert werden, wie man auch sehen sollte, schneiden sie sich entlang den Linien

• z = 1, y = x;
• z = 1, y = x.

Die zwei paraboloids sehen zusammen aus, dass sich ein Paar von Orchideen zurück zum Rücken angeschlossen hat.

Führen Sie jetzt den dritten hyperbolischen paraboloid, z = xy, durch sie. Das Ergebnis wird in der Abbildung 2 gezeigt.

Auf dem Westsüdwesten und Ostnordost sind Richtungen in der Abbildung 2 dort ein Paar von Öffnungen. Diese Öffnungen sind Lappen und müssen verschlossen werden. Wenn die Öffnungen verschlossen werden, ist das Ergebnis die römische in der Abbildung 3 gezeigte Oberfläche.

Ein Paar von Lappen kann in den West- und Ostrichtungen der Abbildung 3 gesehen werden. Ein anderes Paar von Lappen wird unter dem dritten (z = xy) paraboloid verborgen und lügt in den Nord- und Südrichtungen.

Wenn die drei sich schneidenden hyperbolischen paraboloids weit genug gezogen werden, dass sie sich entlang den Rändern eines Tetraeders schneiden, dann wird das Ergebnis als in der Abbildung 4 gezeigt.

Einer der Lappen wird frontal gesehen — gehen auf — in der Abbildung 4. Wie man sehen kann, ist der Lappen eine der vier Ecken des Tetraeders.

Wenn die dauernde Oberfläche in der Abbildung 4 seine scharfen Ränder — weggeräumt — dann abrunden ließ, ist das Ergebnis die römische Oberfläche in der Abbildung 5.

Einer der Lappen der römischen Oberfläche wird frontal in der Abbildung 5 und seinem knolligen - einem Ballon ähnlich gesehen — Gestalt ist offensichtlich.

Wenn die Oberfläche in der Abbildung 5 180 Grade umgedreht und dann auf den Kopf gestellt wird, wird das Ergebnis als in der Abbildung 6 gezeigt.

Abbildung 6 zeigt drei Lappen gesehen seitwärts. Zwischen jedem Paar von Lappen gibt es einen geometrischen Ort von doppelten Punkten entsprechend einer Koordinatenachse. Die drei geometrischen Orte schneiden sich an einem dreifachen Punkt am Ursprung. Der vierte Lappen wird verborgen und weist in der Richtung direkt gegenüber vom Zuschauer hin. Die römische Oberfläche, die an der Oberseite von diesem Artikel auch gezeigt ist, hat drei Lappen in der seitlichen Ansicht.

Parteilichkeit

Die römische Oberfläche ist non-orientable, d. h. einseitig. Das ist nicht ziemlich offensichtlich. Um das zu sehen, schauen Sie wieder auf die Abbildung 3.

Stellen Sie sich eine Ameise oben auf dem "dritten" hyperbolischen paraboloid, z = x y vor. Lassen Sie diese Ameise sich nach Norden bewegen. Als es sich bewegt, wird es die anderen zwei paraboloids wie ein Geist durchführen, der eine Wand durchführt. Diese anderen paraboloids sind nur Hindernissen wegen der sich selbstschneidenden Natur der Immersion ähnlich. Lassen Sie die Ameise alle doppelten und dreifachen Punkte ignorieren und direkt durch sie gehen. So bewegt sich die Ameise nach Norden und geht der Rand der Welt zurück, sozusagen. Es findet sich jetzt auf dem nördlichen Lappen, der unter dem dritten paraboloid der Abbildung 3 verborgen ist. Die Ameise ist Stehen umgekehrt auf der "Außenseite" der römischen Oberfläche.

Lassen Sie die Ameise an den Südwesten herangehen. Es wird einen Hang (umgekehrt) besteigen, bis es sich "innerhalb" des Westlappens findet. Lassen Sie jetzt die Ameise sich in einer Südöstlichen Richtung entlang dem Inneren des Westlappens zum z = 0 Achse immer über dem x-y Flugzeug bewegen. Sobald es den z = 0 Achse durchführt, wird die Ameise auf der "Außenseite" des Ostlappens, Stehen rightside sein.

Dann lassen Sie es sich Nach Norden, über "den Hügel" dann zum Nordwesten bewegen, so dass es anfängt, zum x = 0 Achse herunterzugleiten. Sobald die Ameise diese Achse durchquert, wird es sich "innerhalb" des Nördlichen Lappens, richtige Stehseite finden. Lassen Sie jetzt die Ameise zum Norden spazieren gehen. Es wird die Wand dann entlang dem "Dach" des Nördlichen Lappens hinaufklettern. Die Ameise ist zurück auf dem dritten hyperbolischen paraboloid, aber dieses Mal darunter und Stehen umgekehrt. (Vergleichen Sie sich mit der Flasche von Klein.)

Doppelte, dreifache und drückende Punkte

Die römische Oberfläche hat vier "Lappen". Die Grenzen jedes Lappens sind eine Reihe drei Linien von doppelten Punkten. Zwischen jedem Paar von Lappen gibt es eine Linie von doppelten Punkten. Die Oberfläche hat insgesamt drei Linien von doppelten Punkten, die (im parametrization gegeben früher) auf den Koordinatenäxten liegen. Die drei Linien von doppelten Punkten schneiden sich an einem dreifachen Punkt, der auf dem Ursprung liegt. Der dreifache Punkt schneidet die Linien von doppelten Punkten in ein Paar von Halblinien, und jede Halblinie liegt zwischen einem Paar von Lappen. Man könnte von den vorhergehenden Behauptungen erwarten, dass es bis zu acht Lappen, ein in jedem Oktanten des Raums geben konnte, der durch die Koordinatenflugzeuge geteilt worden ist. Aber die Lappen besetzen Wechseloktanten: Vier Oktanten sind leer, und vier werden durch Lappen besetzt.

Wenn die römische Oberfläche innerhalb des Tetraeders mit dem am wenigsten möglichen Volumen eingeschrieben werden sollte, würde man finden, dass jeder Rand des Tetraeders Tangente zur römischen Oberfläche an einem Punkt ist, und dass jeder dieser sechs Punkte zufällig eine Eigenartigkeit von Whitney ist. Diese Eigenartigkeiten oder drückende Punkte, alle lügen an den Rändern der drei Linien von doppelten Punkten, und sie werden durch dieses Eigentum definiert: Dass es keine Flugzeug-Tangente gibt, um an der Eigenartigkeit zu erscheinen.

Siehe auch

• Die Oberfläche des Jungen - eine Immersion des projektiven Flugzeugs ohne Quer-Kappen.
• Tetrahemihexahedron - ein der römischen Oberfläche sehr ähnliches Polyeder.
• A. Coffman, A. Schwartz und C. Stanton: Die Algebra und Geometrie von Steiner und anderem Quadratisch Parametrizable Oberflächen. Im Computer Geholfenes Geometrisches Design (3) 13 (April 1996), p. 257-286
• Bert Jüttler, Ragni Piene: Das Geometrische Modellieren und die Algebraische Geometrie. Springer 2008, internationale Standardbuchnummer 978-3-540-72184-0, p. 30

Links

• Oberflächen von Coffman Steiner, englischer
• Römische Oberflächen an der nationalen Kurve-Bank (Website der staatlichen Universität von Kalifornien)
• Ashay Dharwadker, Heptahedron und römische Oberfläche, Elektronische Geometrie-Modelle, 2004.