In der Mathematik ist eine Quer-Kappe eine zweidimensionale Oberfläche, die ein Modell eines Streifens von Möbius mit einer Single selbst Kreuzung ist. Das selbst Kreuzung schließt die Quer-Kappe davon aus, topologisch gleichwertig (d. h., homeomorphic) zu einem Streifen von Möbius zu sein. Der Begriff 'Quer-Kappe' deutet jedoch häufig an, dass die Oberfläche deformiert worden ist, so dass seine Grenze ein gewöhnlicher Kreis ist.

Eine Quer-Kappe, die durch das Kleben einer Scheibe an seine Grenze verschlossen worden ist, ist eine Immersion des echten projektiven Flugzeugs.

Zwei Quer-Kappen geklebt zusammen an ihren Grenzen bilden eine Flasche von Klein.

Ein wichtiger Lehrsatz der Topologie, der Klassifikationslehrsatz für Oberflächen, stellt dass alle zweidimensionalen Kompaktsammelleitungen ohne Grenze fest

sind homeomorphic zu Bereichen mit einer Zahl von 'Griffen' und höchstens zwei Quer-Kappen.

Quer-verkorktes Plattenmodell des echten projektiven Flugzeugs

Der Begriff Quer-Kappe wird auch ungenau gebraucht, um sich auf die geschlossene erhaltene Oberfläche durch das Kleben einer Platte an eine Quer-Kappe zu beziehen. Das, ist tatsächlich, eine an eine Platte geklebte Quer-Kappe. Diese Oberfläche kann parametrisch durch die folgenden Gleichungen vertreten werden:

wo sich sowohl u als auch v von 0 bis 2π. erstrecken

Diese Gleichungen sind denjenigen eines Rings ähnlich. Abbildung 1 zeigt eine geschlossene quer-verkorkte Platte.

Eine quer-verkorkte Platte hat ein Flugzeug der Symmetrie, die sein Liniensegment von doppelten Punkten durchführt. In der Abbildung 1 wird die quer-verkorkte Platte von über seinem Flugzeug der Symmetrie z = 0 gesehen, aber es würde dasselbe, wenn gesehen, von unten schauen.

Eine quer-verkorkte Platte kann offen entlang seinem Flugzeug der Symmetrie aufgeschnitten werden, während man sich überzeugt, um entlang einigen seiner doppelten Punkte nicht zu schneiden. Das Ergebnis wird in der Abbildung 2 gezeigt.

Sobald diese Ausnahme gemacht wird, wird es gesehen, dass die aufgeschnittene quer-verkorkte Platte homeomorphic zu einer sich selbstschneidenden Platte, wie gezeigt, in der Abbildung 3 ist.

Die sich selbstschneidende Platte ist homeomorphic zu einer gewöhnlichen Platte. Die parametrischen Gleichungen der sich selbstschneidenden Platte sind:

wo sich u von 0 bis 2&pi erstreckt; und v erstreckt sich von 0 bis 1.

die sich selbstschneidende Platte auf das Flugzeug der Symmetrie (z = 0 im parametrization gegeben früher) plant, der nur durch die doppelten Punkte geht, ist das Ergebnis eine gewöhnliche Platte, die sich wiederholt (krümmt sich auf sich).

Das Flugzeug z = 0 Kürzungen die sich selbstschneidende Platte in ein Paar von Platten, die Spiegelnachdenken von einander sind. Die Platten haben Zentren am Ursprung.

Denken Sie jetzt die Ränder der Platten (mit v = 1). Die Punkte auf dem Rand der sich selbstschneidenden Platte kommen in Paaren, die Nachdenken von einander in Bezug auf das Flugzeug z = 0 sind.

Eine quer-verkorkte Platte wird gebildet, indem sie diese Paare von Punkten erkannt wird, sie gleichwertig zu einander machend. Das bedeutet, dass ein Punkt mit Rahmen (u, 1) und Koordinaten mit dem Punkt identifiziert wird (u + π,1), wessen Koordinaten sind. Aber das bedeutet, dass Paare von entgegengesetzten Punkten auf dem Rand der (gleichwertigen) gewöhnlichen Platte mit einander erkannt werden; das ist, wie ein echtes projektives Flugzeug aus einer Platte gebildet wird. Deshalb ist die Oberfläche, die in der Abbildung 1 (Quer-Kappe mit der Platte) gezeigt ist, zum echten projektiven Flugzeug RP topologisch gleichwertig.

Siehe auch

• Römische Oberfläche
• Regenschirm von Whitney

Außenverbindungen