In der Geometrie ist eine goldene Spirale eine logarithmische Spirale, deren Wachstumsfaktor, das goldene Verhältnis ist. D. h. eine goldene Spirale wird breiter (oder weiter von seinem Ursprung) durch einen Faktor für jede viertel Drehung, die sie macht.

Formel

Die polare Gleichung für eine goldene Spirale ist dasselbe bezüglich anderer logarithmischer Spiralen, aber mit einem speziellen Wert des Wachstumsfaktors:

oder

damit, die Basis von natürlichen Logarithmen zu sein, eine willkürliche positive echte Konstante, und solch das seiend, wenn ein richtiger Winkel (eine viertel Drehung in jeder Richtung) ist:

Deshalb, wird durch gegeben

Der numerische Wert dessen hängt ab, ob der richtige Winkel als 90 Grade oder als radians gemessen wird; und da der Winkel in jeder Richtung sein kann, ist es am leichtesten, die Formel für den absoluten Wert zu schreiben (d. h. kann auch die Verneinung dieses Werts sein):

: weil in Graden;

: weil in radians.

Eine abwechselnde Formel für eine logarithmische und goldene Spirale ist:

wo durch die Konstante gegeben wird:

der für die goldene Spirale Werte gibt:

wenn in Graden und gemessen wird

wenn in radians gemessen wird.

Annäherungen der goldenen Spirale

Es gibt mehrere ähnliche Spiralen, die näher kommen, aber, eine goldene Spirale nicht genau gleich sind. Diese sind häufig mit der goldenen Spirale verwirrt.

Zum Beispiel kann einer goldenen Spirale durch ein "wirbelndes Rechteck-Diagramm," näher gekommen werden, in dem die entgegengesetzten Ecken von gebildeten Quadraten, indem sie goldene Rechtecke spiralig gemacht wird, durch Viertel-Kreise verbunden werden. Das Ergebnis ist einer wahren goldenen Spirale sehr ähnlich (Sieh Image auf dem Spitzenrecht).

Eine andere Annäherung ist eine Spirale von Fibonacci, die nicht eine wahre logarithmische Spirale ist. Es wird aus einer Reihe von mit dem Viertel kreisförmigen Kreisbogen zusammengesetzt, deren Radien Fibonacci-Zahlen aufeinander folgend vergrößern. Jede viertel Drehung eine Spirale von Fibonacci wird breiter nicht durch, aber durch einen sich ändernden Faktor, der dem Verhältnis eines Begriffes in der Folge von Fibonacci seinem Vorgänger gleichkommt. Die Verhältnisse von Konsekutivbegriffen in der Reihe von Fibonacci nähern sich φ, so dass die zwei Spiralen sehr ein ähnliches Aussehen haben. (Sieh Image auf dem Spitzenrecht).

Spiralen in der Natur

Kommen Sie näher logarithmische Spiralen können in der Natur (zum Beispiel, die Arme spiralförmiger Milchstraßen) vorkommen. Es wird manchmal in Okkispitze gearbeitet, dass Nautilus-Schalen breiter im Muster einer goldenen Spirale werden, und folglich mit beiden und der Reihe von Fibonacci verbunden sind. In Wahrheit, nautilus Schalen (und viele Weichtier-Schalen) stellen logarithmisches spiralförmiges Wachstum, aber in einem von dieser der goldenen Spirale ausgesprochen verschiedenen Winkel aus. Dieses Muster erlaubt dem Organismus zu wachsen, ohne Gestalt zu ändern. Spiralen sind gemeinsame Merkmale in der Natur; goldene Spiralen sind ein spezieller Fall von diesen.

Siehe auch

• Goldenes Verhältnis
• Goldenes Rechteck
• Goldener Winkel
• Logarithmische Spirale