In der Physik ist ein Drehungsnetz ein Typ des Diagramms, das verwendet werden kann, um Staaten und Wechselwirkungen zwischen Partikeln und Feldern in der Quant-Mechanik zu vertreten. Von einer mathematischen Perspektive sind die Diagramme eine kurze Weise, mehrgeradlinige Funktionen und Funktionen zwischen Darstellungen von Matrixgruppen zu vertreten. Die diagrammatische Notation vereinfacht häufig Berechnung, weil einfache Diagramme verwendet werden können, um komplizierte Funktionen zu vertreten. Roger Penrose wird die Erfindung von Drehungsnetzen 1971 zugeschrieben, obwohl ähnliche diagrammatische Techniken vor dieser Zeit bestanden haben.

Drehungsnetze sind auf die Theorie des Quant-Ernstes von Carlo Rovelli, Lee Smolin, Jorge Pullin und anderen angewandt worden. Sie können auch verwendet werden, um eine auf dem Raum von Verbindungen funktionelle Einzelheit zu bauen, der invariant unter lokalen Maß-Transformationen ist.

Definition

Die ursprüngliche Definition von Penrose

Ein Drehungsnetz, wie beschrieben, in Penrose 1971, ist eine Art Diagramm, in dem jedes Liniensegment die Weltlinie einer "Einheit" (entweder eine elementare Partikel oder ein zusammengesetztes System von Partikeln) vertritt. Drei Liniensegmente schließen sich an jedem Scheitelpunkt an. Ein Scheitelpunkt kann als ein Ereignis interpretiert werden, in dem sich entweder eine einzelne Einheit in zwei oder zwei Einheiten aufspaltet, kollidieren und schließen sich in eine einzelne Einheit an. Diagramme, deren Liniensegmente alle an Scheitelpunkten angeschlossen werden, werden geschlossene Drehungsnetze genannt. Zeit kann als das Hineingehen in eine Richtung, solcher angesehen werden, weil vom Boden bis die Spitze des Diagramms, aber für geschlossene Drehungsnetze die Richtung der Zeit für Berechnungen irrelevant ist.

Jedes Liniensegment wird mit einer ganzen Zahl genannt eine Drehungszahl etikettiert. Eine Einheit mit der Drehung Nummer n wird eine N-Einheit genannt und hat winkeligen Schwung, wo der reduzierte unveränderliche Planck ist. Für bosons, wie Fotonen und gluons, ist n eine gerade Zahl. Für fermions, wie Elektronen und Quarke, ist n seltsam.

In Anbetracht jedes geschlossenen Drehungsnetzes kann eine natürliche Zahl berechnet werden, der die Norm des Drehungsnetzes genannt wird. Normen können verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeiten von verschiedenen Drehungswerten zu berechnen. Ein Netz, dessen Norm Null ist, hat Nullwahrscheinlichkeit des Ereignisses. Die Regeln, um Normen und Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, sind außer dem Spielraum dieses Artikels. Jedoch deuten sie an, dass für ein Drehungsnetz, um Nichtnullnorm zu haben, zwei Anforderungen an jedem Scheitelpunkt entsprochen werden muss. Nehmen Sie an, dass sich ein Scheitelpunkt drei Einheiten mit Drehungszahlen a, b, und c anschließt. Dann werden diese Voraussetzungen als festgesetzt:

• Dreieck-Ungleichheit: Ein Müssen, weniger sein, als oder gleich b+c, b weniger als oder gleich a+c und c weniger als oder gleich a+b.
• Bewahrung von Fermion: A+b+c muss eine gerade Zahl sein.

Zum Beispiel, a=3, b=4, ist c=6 unmöglich, da 3+4+6=13 seltsam ist, und a=3, b=4, c=9 unmöglich ist, da 3+4 einer zweidimensionalen Oberfläche ein getrenntes Spektrum haben sollten. Jedes 'Drehungsnetz ist ein eigenstate jedes solchen Maschinenbedieners, und das Gebiet eigenvalue kommt gleich

\sum_i \sqrt {j_i (j_i+1)} </Mathematik>

wo die Summe alle Kreuzungen mit dem Drehungsnetz durchsieht. In dieser Formel,

• ist die Länge von Planck,
• ist der Parameter von Immirzi und
• ist die mit der Verbindung des Drehungsnetzes vereinigte Drehung. Das zweidimensionale Gebiet wird deshalb in den Kreuzungen mit dem Drehungsnetz "konzentriert".

Gemäß dieser Formel entspricht die niedrigstmögliche Nichtnull eigenvalue des Bereichsmaschinenbedieners einer Verbindung, die Drehung 1/2 Darstellung trägt. Einen Parameter von Immirzi auf der Ordnung 1 annehmend, gibt das das kleinstmögliche messbare Gebiet von ~10 Cm.

Die Formel für das Gebiet eigenvalues wird etwas mehr kompliziert, wenn der Oberfläche erlaubt wird, die Knoten durchzuführen (es ist noch nicht klar, wenn diese Situationen physisch bedeutungsvoll sind.)

Ähnlicher quantization gilt für den Volumen-Maschinenbediener. Das Volumen der 3. Subsammelleitung, die einen Teil des Drehungsnetzes enthält, wird durch eine Summe von Beiträgen von jedem Knoten darin gegeben. Man kann denken, dass jeder Knoten in einem Drehungsnetz ein elementares "Quant des Volumens" ist und jede Verbindung ein "Quant des Gebiets" ist, dieses Volumen umgebend.

Allgemeinere Maß-Theorien

Ähnliche Aufbauten können für allgemeine Maß-Theorien mit einer Kompaktlüge-Gruppe G und einer Verbindungsform gemacht werden. Das ist wirklich eine genaue Dualität über ein Gitter. Über eine Sammelleitung jedoch sind Annahmen wie diffeomorphism invariance erforderlich, um die Dualität genau zu machen (schmierende Schleifen von Wilson ist heikel). Später wurde es von Robert Oeckl zu Darstellungen von Quant-Gruppen in 2 und 3 Dimensionen mit der Tannaka-Krein Dualität verallgemeinert.

Michael A. Levin und Xiao-Bande Wen hat auch Schnur-Netze mit Tensor-Kategorien definiert, die Gegenstände sind, die sehr ähnlich sind, um Netze zu spinnen. Jedoch ist die genaue Verbindung mit Drehungsnetzen noch nicht klar. Mit der Schnurnettokondensation erzeugt topologisch bestellte Staaten in der kondensierten Sache.

Gebrauch in der Mathematik

In der Mathematik sind Drehungsnetze verwendet worden, um Strang-Module und Charakter-Varianten zu studieren, die Räumen von Verbindungen entsprechen.

Siehe auch

• Charakter-Vielfalt
• Penrose grafische Notation
• Drehungsschaum
• Schnur-Netz
• Spur-Diagramm

Frühe Papiere:

• Summe von Koeffizienten von Wigner und ihrer grafischen Darstellung, mir. B. Levinson, ``Weitergehen. Phys-technologischer Inst. Acad Sci. Litauischer SSR 2, 17-30 (1956)
• Anwendungen des negativen dimensionalen Tensor, Roger Penroses, in der Kombinatorischen Mathematik und seinen Anwendungen, Akademische Presse (1971)
• Die Formulierung von Hamiltonian des Gitters von Wilson misst Theorien, John Kogut und Leonard Susskind, Phys. Hochwürdiger. D 11, 395-408 (1975)
• Die Gitter-Maß-Theorie nähert sich dem Quant chromodynamics, John B. Kogut, Hochwürdigem. Mod. Phys. 55, 775-836 (1983) (sieh die Euklidische hohe Temperatur (starke Kopplung) Abteilung)
• Dualität in Feldtheorie und statistischen Systemen, Robert Savit, Hochwürdigem. Mod. Phys. 52, 453-487 (1980) (sieh die Abteilungen auf Maß-Theorien von Abelian)

Moderne Papiere:

• Drehungsnetze und Quant-Ernst, Carlo Rovelli und Lee Smolin, Physische Rezension D 53, 5743 (1995); gr-qc/9505006.
• Die Doppel-vom non-Abelian Gitter messen Theorie, Hendryk Pfeiffer und Robert Oeckl hep-lat/0110034.
• Genaue Dualitätstransformationen für Sigma-Modelle und Maß-Theorien, Hendryk Pfeiffer, hep-lat/0205013.
• Verallgemeinerte Gitter-Maß-Theorie, Drehungsschaum und Staatssumme Invariants, Robert Oeckl, hep-th/0110259.
• Drehungsnetze in der Maß-Theorie, John C. Baez, den Fortschritten in der Mathematik, dem Band 117, der Nummer 2, Februar 1996, Seiten 253-272.
• Quant-Feldtheorie von Vielkörpersystemen - vom Ursprung des Tons zu einem Ursprung von Light und Fermions, Xiao-Bande Wen, http://dao.mit.edu/~wen/pub/chapter11.pdf. (Synchronisierte Schnur-Netze hier.)
• Eine Drehungsnetzzündvorrichtung, Seth A. Major, amerikanische Zeitschrift der Physik, des Bands 67, 1999, gr-qc/9905020.
• Vorgeometrie und Drehungsnetze. Eine Einführung. http://www.expressanimator.com/spin-foam.pdf.

Bücher:

• Diagramm-Techniken in der Gruppentheorie, G. E. Stedman, Universität von Cambridge Presse, 1990
• Gruppentheorie: Birdtracks, Lüge, und Exceptional Groups, Predrag Cvitanović, Universität von Princeton Presse, 2008, http://birdtracks.eu /