In der Mathematik ist eine Algebra von Heyting, genannt nach Arend Heyting, ein begrenztes Gitter (mit der Verbindungslinie, und entsprechen Sie Operationen schriftlicher  und  und mit kleinstem Element 0 und größtem Element 1) ausgestattet mit einer binären Operation ab der solcher Implikation, dass (ab) a  b, und außerdem ab solcher im Sinn dass wenn ca  b dann c  ab am größten ist. Von einer logischen Einstellung ist AB durch diese Definition der schwächste Vorschlag, für den Modus ponens die Interferenzregel AB, Ein  B, gesund ist. Gleichwertig ist eine Algebra von Heyting ein residuated Gitter dessen monoid Operation a · b ist ab; noch ist eine andere Definition als eine posetal kartesianische geschlossene Kategorie mit allen begrenzten Summen. Wie Boolean Algebra bilden Algebra von Heyting eine Vielfalt axiomatizable mit begrenzt vielen Gleichungen.

Als Gitter, wie man zeigen kann, sind Algebra von Heyting verteilend. Jede Boolean Algebra ist eine Algebra von Heyting, wenn ab wie gewöhnlich als ¬ ab definiert wird, wie jedes ganze verteilende Gitter ist, wenn ab genommen wird, um das Supremum des Satzes des ganzen c für der ac  b zu sein. Die offenen Sätze eines topologischen Raums bilden ein ganzes verteilendes Gitter und folglich eine Algebra von Heyting. Im begrenzten Fall wird jedes nichtleere verteilende Gitter, insbesondere jede nichtleere begrenzte Kette, automatisch begrenzt und abgeschlossen und folglich eine Algebra von Heyting.

Es folgt aus der Definition dass 1  0a, entsprechend der Intuition dass jeder Vorschlag impliziert durch einen Widerspruch 0 zu sein. Obwohl die Ablehnungsoperation ¬ nicht ein Teil der Definition zu sein, es als a0 definierbar ist. Die Definition deutet an, dass ein  ¬ = 0, den intuitiven Inhalt von ¬ den Vorschlag machend, die, um einen anzunehmen, zu einem Widerspruch führen, von dem jeder andere Vorschlag dann folgen würde. Es kann weiter gezeigt werden, dass ein  ¬¬ a, obwohl das gegenteilige, ¬¬ ein  a, im Allgemeinen, d. h. doppelte Ablehnung nicht wahr ist, im Allgemeinen in einer Algebra von Heyting nicht hält.

Algebra von Heyting verallgemeinern Algebra von Boolean im Sinn, dass eine Algebra von Heyting, die einen  ¬ = 1 (ausgeschlossene Mitte), gleichwertig ¬¬ = (doppelte Ablehnung) befriedigt, eine Algebra von Boolean ist. Jene Elemente einer Algebra von Heyting der Form ¬ ein Umfassen eines Gitters von Boolean, aber im Allgemeinen ist das nicht eine Subalgebra von H (sieh unten).

Algebra von Heyting dienen als die algebraischen Modelle der intuitionistic Satzlogik ebenso Algebra-Modell von Boolean klassische Satzlogik. Abgeschlossene Heyting Algebra sind ein Hauptgegenstand der Studie in der sinnlosen Topologie. Die innere Logik eines elementaren topos basiert auf der Algebra von Heyting von Subgegenständen des Endgegenstands 1 bestellter durch die Einschließung, gleichwertig der morphisms von 1 bis den Subgegenstand classifier Ω.

Jede Heyting Algebra mit genau einem coatom ist woher subdirekt nicht zu vereinfachend jede Algebra von Heyting kann ein SI durch das Angrenzen an eine neue Spitze gemacht werden. Hieraus folgt dass sogar unter den begrenzten Algebra von Heyting dort ungeheuer viele bestehen, die subdirekt nicht zu vereinfachend sind, von denen keine zwei dieselbe equational Theorie haben. Folglich kann kein begrenzter Satz von begrenzten Algebra von Heyting alle Gegenbeispiele Nichtgesetzen der Algebra von Heyting liefern. Das ist in der scharfen Unähnlichkeit zu Algebra von Boolean, deren nur SI das zwei-Elemente-ist, das selbstständig deshalb für alle Gegenbeispiele zu Nichtgesetzen der Algebra von Boolean, der Basis für die einfache Wahrheitstabelle-Entscheidungsmethode genügt. Dennoch ist es entscheidbar, ob eine Gleichung aller Algebra von Heyting hält.

Algebra von Heyting werden weniger häufig pseudo-Boolean Algebra oder sogar Gitter von Brouwer genannt, obwohl der letzte Begriff die Doppeldefinition anzeigen, oder eine ein bisschen allgemeinere Bedeutung haben kann.

Formelle Definition

Eine Heyting Algebra ist ein begrenztes solches Gitter dass für alle, und in gibt ihm ein größtes Element von solchen dass

:

Dieses Element ist die Verhältnispseudoergänzung in Bezug darauf und wird angezeigt. Wir schreiben 1 und 0 für das größte und das kleinste Element beziehungsweise.

In jeder Algebra von Heyting definiert man die Pseudoergänzung jedes Elements, indem man untergeht. Definitionsgemäß, und ist das größte Element, das dieses Eigentum hat. Jedoch ist es nicht im Allgemeinen wahr, dass, so nur eine Pseudoergänzung, nicht eine wahre Ergänzung ist, wie in einer Algebra von Boolean der Fall sein würde.

Eine ganze Algebra von Heyting ist eine Algebra von Heyting, die ein ganzes Gitter ist.

Eine Subalgebra einer Algebra von Heyting ist eine Teilmenge, 0 und 1 und geschlossen unter den Operationen zu enthalten, und. Hieraus folgt dass es auch darunter geschlossen wird. Eine Subalgebra wird in eine Algebra von Heyting durch die veranlassten Operationen gemacht.

Alternative Definitionen

Mit dem Gitter theoretische Definitionen

Eine gleichwertige Definition von Algebra von Heyting kann durch das Betrachten des mappings gegeben werden

:

für einige, die darin bestochen sind. Ein begrenztes Gitter ist eine Algebra von Heyting, wenn, und nur wenn alle mappings tiefer adjoint einer Eintönigkeit Verbindung von Galois sind. In diesem Fall wird durch die jeweiligen oberen adjoints gegeben, wo als oben definiert wird.

Und doch ist eine andere Definition als ein residuated Gitter, dessen monoid Operation ist. Die monoid Einheit muss dann das Spitzenelement 1 sein. Commutativity dieses monoid deutet an, dass die zwei residuals als zusammenfallen.

Begrenztes Gitter mit einer Implikationsoperation

In Anbetracht eines begrenzten Gitters mit größten und kleinsten Elementen 1 und 0, und eine binäre Operation bilden diese zusammen eine Algebra von Heyting, wenn, und nur wenn der folgende hält:

wo 4 das verteilende Gesetz dafür ist.

Charakterisierung mit den Axiomen der intuitionistic Logik

Diese Charakterisierung von Algebra von Heyting macht den Beweis der grundlegenden Tatsachen bezüglich der Beziehung zwischen intuitionist Satzrechnung und Algebra von Heyting unmittelbar. (Für diese Tatsachen, sieh die Abteilungen "Nachweisbare Identität" und "Universale Aufbauten.") Man sollte an das Element 1 als Bedeutung, intuitiv, "nachweisbar wahr denken." Vergleichen Sie sich mit den Axiomen an Intuitionistic

logic#Axiomatization.

In Anbetracht eines Satzes mit drei binären Operationen und und zwei ausgezeichneten Elementen 0 und 1, ist dann eine Algebra von Heyting für diese Operationen (und die Beziehung, die durch die Bedingung das wenn definiert ist), wenn, und nur wenn die folgenden Bedingungen für irgendwelche Elemente halten und von:

Schließlich definieren wir, um zu sein.

Bedingung 1 sagt, dass gleichwertige Formeln identifiziert werden sollten. Bedingung 2 sagt, dass nachweisbar wahre Formeln unter dem Modus ponens geschlossen werden. Bedingungen 3 und 4 sind dann Bedingungen. Bedingungen 5, 6 und 7 sind und Bedingungen. Bedingungen 8, 9 und 10 sind oder Bedingungen. Bedingung 11 ist eine falsche Bedingung.

Natürlich, wenn ein verschiedener Satz von Axiomen für die Logik gewählt wurde, konnten wir unseren entsprechend modifizieren.

Beispiele

• Jede Boolean Algebra ist eine Algebra von Heyting, mit dem gegebenen dadurch.
• Jeder völlig bestellte Satz, der ein begrenztes Gitter ist, ist auch eine Algebra von Heyting, wo wenn, und 1 sonst gleich ist.
• Die einfachste Algebra von Heyting, die nicht bereits eine Algebra von Boolean ist, ist der völlig bestellte Satz {0, ½, 1} mit dem definierten als oben, die Operationen nachgebend:

| Breite = "30" |

|

| Breite = "30" ||| Breite = "30" ||| }\

Bemerken Sie, dass das das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte fälscht.

• Jede Topologie stellt eine ganze Algebra von Heyting in der Form seines offenen Satz-Gitters zur Verfügung. In diesem Fall ist das Element das Interieur der Vereinigung und, wo die Ergänzung des offenen Satzes anzeigt. Nicht alle ganzen Algebra von Heyting sind dieser Form. Diese Probleme werden in der sinnlosen Topologie studiert, wo ganze Algebra von Heyting auch Rahmen oder Schauplätze genannt werden.
• Die Lindenbaum Algebra der intuitionistic Satzlogik ist eine Algebra von Heyting.
• Die globalen Elemente des Subgegenstands classifier eines elementaren topos bilden eine Algebra von Heyting; es ist die Algebra von Heyting von Wahrheitswerten der intuitionistic höherwertigen durch den topos veranlassten Logik.

Eigenschaften

Allgemeine Eigenschaften

Die Einrichtung auf einer Algebra von Heyting kann von der Operation wie folgt wieder erlangt werden: für irgendwelche Elemente, wenn und nur wenn.

Im Gegensatz zu etwas vielgeschätzter Logik teilen Algebra von Heyting das folgende Eigentum mit Algebra von Boolean: Wenn Ablehnung einen festen Punkt hat (d. h. für einige), dann ist die Algebra von Heyting die triviale Ein-Element-Algebra von Heyting.

Nachweisbare Identität

In Anbetracht einer Formel der Satzrechnung (das Verwenden, zusätzlich zu den Variablen, den Bindewörtern und den Konstanten 0 und 1), ist es eine Tatsache, bewiesen bald in jeder Studie von Algebra von Heyting, dass die folgenden zwei Bedingungen gleichwertig sind:

1. Die Formel ist in der intuitionist Satzrechnung nachweisbar wahr.
2. Die Identität ist für jede Algebra von Heyting und irgendwelche Elemente wahr.

Die Implikation ist äußerst nützlich und ist die praktische Hauptmethode, um Identität in Algebra von Heyting zu beweisen. In der Praxis verwendet man oft den Abzug-Lehrsatz in solchen Beweisen.

Seitdem für irgendwelchen und in einer Algebra von Heyting haben wir, wenn, und nur wenn sie daraus folgt, wann auch immer eine Formel nachweisbar wahr ist, wir für eine Algebra von Heyting und irgendwelche Elemente haben. (Es folgt aus dem Abzug-Lehrsatz, der [von nichts] nachweisbar ist, wenn, und nur wenn von nachweisbar ist, d. h. wenn eine nachweisbare Folge dessen ist.) Insbesondere wenn und nachweisbar gleichwertig sind, dann, seitdem ist eine Ordnungsbeziehung.

kann durch das Überprüfen der logischen Axiome des Systems des Beweises und das Überprüfen bewiesen werden, dass ihr Wert 1 in jeder Algebra von Heyting ist, und dann nachprüfend, dass die Anwendung der Regeln der Schlussfolgerung zu Ausdrücken mit dem Wert 1 in einer Algebra von Heyting auf Ausdrücke mit dem Wert 1 hinausläuft. Lassen Sie uns zum Beispiel das System des Beweises wählen, der Modus ponens als seine alleinige Regel der Schlussfolgerung hat, und dessen Axiome die Hilbert-artigen sind, die an Intuitionistic logic#Axiomatization gegeben sind. Dann folgen die nachzuprüfenden Tatsachen sofort aus der einem Axiom ähnlichen Definition von Algebra von Heyting, die oben gegeben sind.

auch stellt eine Methode zur Verfügung, um zu beweisen, dass bestimmte Satzformeln, obwohl Tautologie in der klassischen Logik, in der intuitionist Satzlogik nicht bewiesen werden können. Um zu beweisen, dass eine Formel nicht nachweisbar ist, ist es genug, eine Algebra von Heyting und solche Elemente dass auszustellen.

Wenn man Erwähnung der Logik vermeiden möchte, dann in der Praxis wird es notwendig, sich als ein Lemma eine Version des für Algebra von Heyting gültigen Abzug-Lehrsatzes zu erweisen: Für irgendwelche Elemente und einer Algebra von Heyting haben wir.

Für mehr auf der Implikation, sieh die Abteilung "Universale Aufbauten" unten.

Distributivity

Algebra von Heyting sind immer verteilend. Spezifisch haben wir immer die Identität

Das verteilende Gesetz wird manchmal als ein Axiom festgesetzt, aber tatsächlich folgt es aus der Existenz von Verhältnispseudoergänzungen. Der Grund besteht darin, dass, tiefer adjoint einer Verbindung von Galois seiend, den ganzen vorhandenen suprema bewahrt. Distributivity ist der Reihe nach gerade die Bewahrung von binärem suprema dadurch.

Durch ein ähnliches Argument hält das folgende unendliche verteilende Gesetz in jeder ganzen Algebra von Heyting:

:

für jedes Element in und jede Teilmenge dessen. Umgekehrt ist jedes ganze Gitter, das das obengenannte unendliche verteilende Gesetz befriedigt, eine ganze Algebra von Heyting mit

:

seine Verhältnispseudoergänzungsoperation seiend.

Regelmäßige und ergänzte Elemente

Ein Element x einer Algebra von Heyting H wird regelmäßig genannt, wenn jede der folgenden gleichwertigen Bedingungen hält:

Die Gleichwertigkeit dieser Bedingungen kann einfach als die Identität neu formuliert werden, die für alle gültig ist.

Elemente und einer Algebra von Heyting werden Ergänzungen zu einander wenn genannt und. Wenn es besteht, ist irgendwelcher solcher einzigartig und muss tatsächlich dem gleich sein. Wir nennen ein Element ergänzt, wenn es eine Ergänzung zulässt. Es ist dass wahr, wenn ergänzt wird, dann so, ist und dann und sind Ergänzungen zu einander. Jedoch, verwirrend, selbst wenn nicht ergänzt wird, kann dennoch eine Ergänzung (nicht gleich) haben. In jeder Algebra von Heyting sind die Elemente 0 und 1 Ergänzungen zu einander. Zum Beispiel ist es möglich, dass 0 für jeden verschiedenen von 0, und 1 ist, wenn, in welchem Fall 0 und 1 die einzigen regelmäßigen Elemente sind.

Jedes ergänzte Element einer Algebra von Heyting ist regelmäßig, obwohl das gegenteilige im Allgemeinen nicht wahr ist. Insbesondere 0 und 1 sind immer regelmäßig.

Für jede Algebra von Heyting H sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

1. H ist eine Algebra von Boolean;
2. jeder x in H ist regelmäßig;
3. jeder x in H wird ergänzt.

In diesem Fall ist das Element gleich

Der Stammkunde (resp. ergänzt) Elemente jeder Algebra von Heyting H setzt eine Algebra von Boolean H ein (resp. H), in dem die Operationen , ¬ und , sowie die Konstanten 0 und 1, mit denjenigen von H zusammenfallen. Im Fall von H ist die Operation  auch dasselbe, folglich ist H eine Subalgebra von H. Im Allgemeinen jedoch wird H keine Subalgebra von H sein, weil seine Verbindungslinie-Operation  sein kann, unterscheiden sich von . Weil wir haben, Sieh unten für notwendige und genügend Bedingungen in der Größenordnung von , um mit  zusammenzufallen.

Die Gesetze von De Morgan in einer Algebra von Heyting

Eines der zwei Gesetze von De Morgan ist in jeder Algebra von Heyting, nämlich zufrieden

: für alle.

Jedoch hält das andere Gesetz von De Morgan nicht immer. Wir haben stattdessen ein schwaches Gesetz von de Morgan:

: für alle.

Die folgenden Behauptungen sind für alle Algebra von Heyting H gleichwertig:

1. H befriedigt beide Gesetze von De Morgan,

Bedingung 2 ist das andere Gesetz von De Morgan. Bedingung 6 sagt, dass die Verbindungslinie-Operation  auf der Algebra von Boolean H regelmäßiger Elemente von H mit der Operation  H zusammenfällt. Bedingung 7 Staaten, dass jedes regelmäßige Element, d. h., H = H ergänzt wird.

Wir beweisen die Gleichwertigkeit. Klar und sind trivial. Außerdem, und Ergebnis einfach von Anfang an Gesetz von De Morgan und die Definition von regelmäßigen Elementen. Wir zeigen, dass sich durch die Einnahme ¬ x und ¬¬ x im Platz von x und y in 6 und das Verwenden der Identitätsbenachrichtigung, die von Anfang an Gesetz von De Morgan folgt, und aus der Tatsache ergibt, dass die Verbindungslinie-Operation  auf der Subalgebra H gerade die Beschränkung von  zu H ist, die Charakterisierungen in Betracht ziehend, die wir Bedingungen 6 und 7 gegeben haben. Die Implikation ist eine triviale Folge des schwachen Gesetzes von De Morgan, ¬ x und ¬ y im Platz von x und y in 5 nehmend.

Algebra von Heyting, die die obengenannten Eigenschaften befriedigen, sind mit der Logik von De Morgan ebenso verbunden Algebra von Heyting sind im Allgemeinen mit der intuitionist Logik verbunden.

Algebra von Heyting morphisms

Definition

In Anbetracht zwei Algebra von Heyting H und H und kartografisch darzustellen, sagen wir, dass ƒ ein morphism von Algebra von Heyting ist, wenn, für irgendwelche Elemente x und y in H, wir haben:

Wir stellen Bedingung 6 in Klammern, weil sie aus anderen folgt, wie ¬ x gerade x0 ist, und man kann oder könnte nicht denken mögen, dass ¬ eine grundlegende Operation ist.

Es folgt aus Bedingungen 3 und 5 (oder 1 allein oder 2 allein), dass f eine zunehmende Funktion, d. h. dass wann auch immer ist.

Nehmen Sie H an, und H sind Strukturen mit Operationen , ,  (und vielleicht ¬) und Konstanten 0 und 1, und f ist ein surjective, der von H bis H mit Eigenschaften 1 bis 5 (oder 1 bis 6) oben kartografisch darstellt. Dann, wenn H eine Algebra von Heyting ist, so auch ist H. Das folgt aus der Charakterisierung von Algebra von Heyting als begrenzte Gitter (Gedanke als algebraische Strukturen aber nicht teilweise bestellte Sätze) mit einer Operation  Zufriedenheit bestimmter Identität.

Eigenschaften

Die Identitätskarte von jeder Algebra von Heyting bis sich ist ein morphism, und die Zusammensetzung irgendwelcher zwei morphisms ƒ und g ist ein morphism. Folglich bilden Heyting Algebra eine Kategorie.

Beispiele

In Anbetracht einer Algebra von Heyting H und jeder Subalgebra H ist die kartografisch darstellende Einschließung ein morphism.

Für jede Algebra von Heyting H definiert die Karte einen morphism von H auf die Algebra von Boolean seiner regelmäßigen Elemente H. Das ist nicht im Allgemeinen ein morphism von H bis sich, da die Verbindungslinie-Operation von H von diesem von H verschieden sein kann.

Quotienten

Lassen Sie H eine Algebra von Heyting sein, und zu lassen nennen Wir F einen Filter auf H, wenn es die folgenden Eigenschaften befriedigt:

Die Kreuzung jedes Satzes von Filtern auf H ist wieder ein Filter. Deshalb in Anbetracht jeder Teilmenge S H gibt es einen kleinsten Filter, der S enthält. Wir nennen es den durch S erzeugten Filter. Wenn S Sonst leer ist, ist F dem Satz von x in solchem H gleich, dass dort mit bestehen

Wenn H eine Algebra von Heyting ist und F ein Filter auf H ist, definieren wir eine Beziehung  auf H wie folgt: Wir schreiben, wann auch immer und beide F gehören. Dann ist  eine Gleichwertigkeitsbeziehung; wir schreiben für den Quotient-Satz. Es gibt eine einzigartige Algebra-Struktur von Heyting auf dem solchem, dass die kanonische Surjektion eine Algebra von Heyting morphism wird. Wir nennen die Algebra von Heyting den Quotienten von H durch F.

Lassen Sie S eine Teilmenge einer Algebra von Heyting H sein und F der durch S erzeugte Filter sein zu lassen. Dann befriedigt H/F das folgende universale Eigentum:

• In Anbetracht jedes morphism von Algebra von Heyting, die für jeden ƒ Faktoren einzigartig durch die kanonische Surjektion befriedigen, D. h. gibt es einen einzigartigen morphism Zufriedenheit Des morphism ƒ′ wird gesagt, durch den ƒ veranlasst zu werden.

Lassen Sie, ein morphism von Algebra von Heyting zu sein. Der Kern von ƒ, schriftlichem ker ƒ, ist der Satz Es ist ein Filter auf H. (Sorge sollte genommen werden, weil diese Definition, wenn angewandt, auf einen morphism von Algebra von Boolean, dazu Doppel-ist, was den Kern des als ein morphism von Ringen angesehenen morphism genannt würde.) Durch das Vorstehende veranlasst ƒ einen morphism, dessen Es ein Isomorphismus auf den Subalgebra-ƒ [H] H ist.

Universale Aufbauten

Algebra von Heyting von Satzformeln in n Variablen bis zur intuitionist Gleichwertigkeit

Die Implikation 21 in der Abteilung "Nachweisbare Identität" wird durch die Vertretung bewiesen, dass das Ergebnis des folgenden Aufbaus selbst eine Algebra von Heyting ist:

1. Denken Sie den Satz L von Satzformeln in den Variablen A, A..., A.
2. Dotieren Sie L mit einer Vorordnung , indem Sie FG definieren, wenn G eine (intuitionist) logische Folge von F ist, d. h. wenn G von F nachweisbar ist. Es ist unmittelbar, dass  eine Vorordnung ist.
3. Betrachten Sie die Gleichwertigkeitsbeziehung als FG veranlasst durch die Vorordnung FG. (Es wird durch FG wenn und nur wenn FG und GF definiert. Tatsächlich ist  die Beziehung (der intuitionist) logischen Gleichwertigkeit.)
4. Lassen Sie H der Quotient-Satz-L /  sein. Das wird die gewünschte Algebra von Heyting sein.
5. Wir schreiben [F] für die Gleichwertigkeitsklasse einer Formel F. Operationen , ,  und ¬ werden auf eine offensichtliche Weise auf L definiert. Prüfen Sie nach, dass gegeben Formeln F und G, die Gleichwertigkeitsklassen [FG], [FG], [FG] und [¬ F] nur von [F] und [G] abhängen. Das definiert Operationen , , , und ¬ auf dem Quotienten setzen H=L / . Definieren Sie weiter 1, um die Klasse nachweisbar wahrer Behauptungen zu sein, und 0 = [] unterzugehen.
6. Prüfen Sie nach, dass H, zusammen mit diesen Operationen, eine Algebra von Heyting ist. Wir tun dieses Verwenden der einem Axiom ähnlichen Definition von Algebra von Heyting. H befriedigt Bedingungen DANN 1 durch den FALSCHEN, weil alle Formeln der gegebenen Formen Axiome der intuitionist Logik sind. MODUS-PONENS folgt aus der Tatsache, dass, wenn eine Formel  F nachweisbar wahr ist, wo  dann nachweisbar wahr ist, F (durch die Anwendung der Regel des Interferenzmodus ponens) nachweisbar wahr ist. Schließlich ergibt sich EQUIV aus der Tatsache dass, wenn FG und GF sowohl nachweisbar wahr sind, dann sind F als auch G von einander (durch die Anwendung der Regel des Interferenzmodus ponens), folglich [F] = [G] nachweisbar.

Als immer laut der einem Axiom ähnlichen Definition von Algebra von Heyting definieren wir  auf H durch die Bedingung dass xy wenn und nur wenn xy=1. Seitdem, durch den Abzug-Lehrsatz, eine Formel ist FG nachweisbar wahr, wenn, und nur wenn G von F, hieraus folgt dass [F]  [G] wenn und nur wenn FG nachweisbar ist. Mit anderen Worten ist  die Ordnungsbeziehung auf L /  veranlasst durch die Vorordnung  auf L.

Freie Heyting Algebra auf einem willkürlichen Satz von Generatoren

Tatsächlich kann der vorhergehende Aufbau für jeden Satz von Variablen {A ausgeführt werden: iI} (vielleicht unendlich). Man erhält auf diese Weise die freie Algebra von Heyting auf den Variablen, den wir wieder durch H anzeigen werden. Es ist im Sinn der gegeben jede Algebra von Heyting H gegeben zusammen mit einer Familie seiner Elemente a frei: II , es gibt einen einzigartigen morphism f:HH, f ([Ein]) =a befriedigend. Die Einzigartigkeit von f

ist

nicht schwierig, und seine Existenz-Ergebnisse im Wesentlichen aus der Implikation 12 der Abteilung "Nachweisbare Identität" oben, in der Form seiner Folgeerscheinung das zu sehen, wann auch immer F und G nachweisbar gleichwertige Formeln, F (a ) = G (a ) für jede Familie von Elementen ain H sind.

Algebra von Heyting von in Bezug auf eine Theorie T gleichwertigen Formeln

In Anbetracht einer Reihe von Formeln T in den Variablen, angesehen als Axiome, könnte derselbe Aufbau in Bezug auf eine Beziehung auf L definierter FG ausgeführt worden sein, um zu bedeuten, dass G eine nachweisbare Folge von F und der Satz von Axiomen T ist. Lassen Sie uns durch H die so erhaltene Algebra von Heyting anzeigen. Dann befriedigt H dasselbe universale Eigentum wie H oben, aber in Bezug auf Algebra von Heyting H und Familien von Elementen a  Zufriedenheit des Eigentums dass J (a ) = 1 für jedes Axiom J (A ) in T. (Lassen uns bemerken, dass H, der mit der Familie seiner Elemente  [Ein]  genommen ist, selbst dieses Eigentum befriedigt.) Werden die Existenz und Einzigartigkeit des morphism derselbe Weg bezüglich H bewiesen, außer dass man die Implikation 12 in der "nachweisbaren Identität" modifizieren muss, so dass 1 "nachweisbar wahr von T liest," und 2 liest "irgendwelche Elemente a, a..., in H Zufriedenheit der Formeln von T."

Die Heyting Algebra H, dass wir gerade definiert haben, kann als ein Quotient der freien Algebra von Heyting H auf demselben Satz von Variablen, durch die Verwendung des universalen Eigentums von H in Bezug auf H und der Familie seiner Elemente  [Ein]  angesehen werden.

Jede Heyting Algebra ist zu einer der Form H isomorph. Um das zu sehen, lassen Sie H jede Algebra von Heyting sein, und a zu lassen: II , eine Familie von Elementen sein, die H (zum Beispiel, jede surjective Familie) erzeugen. Denken Sie jetzt den Satz T Formeln J (A ) in den Variablen A: iI  solch dass J (a ) = 1. Dann erhalten wir einen morphism f:HH durch das universale Eigentum von H, der klar surjective ist. Es ist nicht schwierig zu zeigen, dass f injective ist.

Vergleich zu Algebra von Lindenbaum

Die Aufbauten haben wir gerade Spiel eine völlig analoge Rolle in Bezug auf Algebra von Heyting zu dieser von Algebra von Lindenbaum in Bezug auf Algebra von Boolean gegeben. Tatsächlich ist Die Lindenbaum Algebra B in den Variablen in Bezug auf die Axiome T gerade unser H, wo T der Satz aller Formeln der Form ¬¬ FF ist, da die zusätzlichen Axiome von T die einzigen sind, die hinzugefügt werden müssen, um die ganze klassische Tautologie nachweisbar zu machen.

Algebra von Heyting in Bezug auf die intuitionistic Logik

Wenn man die Axiome der intuitionistic Satzlogik als Begriffe einer Algebra von Heyting interpretiert, dann werden sie zum größten Element, 1, in jeder Algebra von Heyting unter jeder Anweisung von Werten zu den Variablen der Formel bewerten. Zum Beispiel, ist definitionsgemäß der Pseudoergänzung, das größte Element x solch dass. Dieser inequation ist für jeden x zufrieden, so ist das größte solcher x 1.

Außerdem erlaubt die Regel des Modus ponens uns, die Formel Q von den Formeln P und P  Q abzuleiten. Aber in jeder Algebra von Heyting, wenn P den Wert 1 hat, und hat P  Q den Wert 1, dann bedeutet es das, und so; es kann nur sein, dass Q den Wert 1 hat.

Das bedeutet dass, wenn eine Formel aus den Gesetzen der intuitionistic Logik ableitbar ist, seine Axiome über die Regel des Modus ponens abgeleitet, dann wird es immer den Wert 1 in allen Algebra von Heyting unter jeder Anweisung von Werten zu den Variablen der Formel haben. Jedoch kann man eine Algebra von Heyting bauen, in der der Wert des Gesetzes von Peirce nicht immer 1 ist. Denken Sie die 3-Elemente-Algebra {0, ½, 1}, wie gegeben, oben. Wenn wir ½ P und 0 zu Q zuteilen, dann der Wert des Gesetzes von Peirce ((P  Q)  P)  ist P ½. Hieraus folgt dass das Gesetz von Peirce abgeleiteter intuitionistically nicht sein kann. Sieh Isomorphismus des Currys-Howard für den allgemeinen Zusammenhang dessen, was das in der Typ-Theorie einbezieht.

Das gegenteilige kann ebenso bewiesen werden: Wenn eine Formel immer den Wert 1 hat, dann ist es aus den Gesetzen der intuitionistic Logik ableitbar, so sind die intuitionistically gültigen Formeln genau diejenigen, die immer einen Wert von 1 haben. Das ist dem Begriff ähnlich, dass klassisch gültige Formeln jene Formeln sind, die einen Wert von 1 in der Zwei-Elemente-Algebra von Boolean unter jeder möglichen Anweisung von wahren und falschen zu den Variablen der Formel haben - d. h. sind sie Formeln, die Tautologie im üblichen Wahrheitstabelle-Sinn sind. Eine Heyting Algebra, von der logischen Einstellung, ist dann eine Generalisation des üblichen Systems von Wahrheitswerten, und sein größtes Element 1 ist 'dem wahren' analog. Das übliche zwei geschätzte Logiksystem ist ein spezieller Fall einer Algebra von Heyting und der kleinste nichttriviale, in dem die einzigen Elemente der Algebra 1 (wahr) und 0 (falsch) sind.

Entscheidungsprobleme

Wie man

zeigte, war das Problem, ob eine gegebene Gleichung in jeder Algebra von Heyting hält, durch S. Kripke 1965 entscheidbar. Die genaue rechenbetonte Kompliziertheit des Problems wurde von R. Statman 1979 gegründet, der gezeigt hat, dass es PSPACE-abgeschlossen war und folglich mindestens so hart wie das Entscheiden von Gleichungen der Algebra von Boolean (gezeigt NP-complete 1971 durch S. Kochen Sie), und hat gemutmaßt, um beträchtlich härter zu sein. Die elementare Theorie oder Theorie der ersten Ordnung von Algebra von Heyting sind unentscheidbar. Es bleibt offen, ob die universale Theorie von Horn von Algebra von Heyting oder Wortproblem, entscheidbar ist. Angemessen des Wortproblems ist es bekannt, dass Algebra von Heyting nicht lokal begrenzt sind (keine durch einen begrenzten nichtleeren Satz erzeugte Algebra von Heyting ist begrenzt), im Gegensatz zu Algebra von Boolean, die lokal begrenzt sind, und dessen Wortproblem entscheidbar ist. Es ist unbekannt, ob freie ganze Algebra von Heyting außer im Fall von einem einzelnen Generator bestehen, wo die freie Algebra von Heyting auf einem Generator trivial completable durch das Angrenzen an eine neue Spitze ist.

Referenzen

Siehe auch

• Superintuitionistic (auch bekannt als Zwischenglied) Logik
• Liste von Algebra-Themen von Boolean
• F. Borceux, Handbuch der Kategorischen Algebra 3, In der Enzyklopädie der Mathematik und seiner Anwendungen, Vol. 53, Universität von Cambridge Presse, 1994.
• G. Gierz, K.H. Hoffmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove und D. S. Scott, Dauernde Gitter und Gebiete, In der Enzyklopädie der Mathematik und seiner Anwendungen, Vol. 93, Universität von Cambridge Presse, 2003.
• S. Ghilardi. Freie Heyting Algebra als bi-Heyting Algebra, Mathematik. Das Vertreter Acad. Sci. Kanada XVI., 6:240-244, 1992.

Links

• (GFDLed)