In der Mathematik, spezifisch in der Topologie, besteht das Interieur eines Satzes S Punkte eines topologischen Raums aus allen Punkten von S, die der Grenze von S nicht gehören. Ein Punkt, der im Interieur von S ist, ist ein Innenpunkt von S.

Gleichwertig ist das Interieur von S die Ergänzung des Verschlusses der Ergänzung von S. In diesem Sinninterieur und Verschluss sind Doppelbegriffe.

Das Äußere eines Satzes ist das Interieur seiner Ergänzung, gleichwertig der Ergänzung seines Verschlusses; es besteht aus den Punkten, die weder im Satz noch in seiner Grenze sind. Das Interieur, die Grenze und das Äußere einer Teilmenge verteilen zusammen den ganzen Raum in drei Blöcke (oder weniger, wenn ein oder mehr von diesen leer ist). Das Interieur und Äußere sind immer offen, während die Grenze immer geschlossen wird. Sätze mit dem leeren Interieur (sieh Beispiele unten), werden häufig hohl genannt.

Definitionen

Innenpunkt

Wenn S eine Teilmenge eines Euklidischen Raums ist, dann ist x ein Innenpunkt von S, wenn dort ein offener Satz besteht, der an x in den Mittelpunkt gestellt ist, der in S enthalten wird.

Diese Definition verallgemeinert zu jeder Teilmenge S von einem metrischen Raum ausgedrückter X. Fully, wenn X ein metrischer Raum mit metrischem d ist, dann ist x ein Innenpunkt von S, wenn dort r> 0, solch besteht, dass y in S wann auch immer die Entfernung d (x, y) ist. Das Interieur eines Satzes hat die folgenden Eigenschaften.

• interne Nummer (S) ist eine offene Teilmenge von S.
• interne Nummer (S) ist die Vereinigung aller offenen in S enthaltenen Sätze.
• interne Nummer (S) ist der größte offene in S enthaltene Satz.
• Ein Satz S ist wenn und nur wenn S = interne Nummer (S) offen.
• interne Nummer (interne Nummer (S)) = interne Nummer (S) (idempotence).
• Wenn S eine Teilmenge von T ist, dann ist interne Nummer (S) eine Teilmenge der internen Nummer (T).
• Wenn A ein offener Satz ist, dann ist A eine Teilmenge von S, wenn, und nur wenn A eine Teilmenge der internen Nummer (S) ist.

Manchmal wird das zweite oder dritte Eigentum oben als die Definition des topologischen Interieurs genommen.

Bemerken Sie, dass diese Eigenschaften auch zufrieden sind, ob "Interieur", "Teilmenge", "Vereinigung", "hat darin enthalten", "am größten" und "offen" werden durch "den Verschluss", "die Obermenge", "die Kreuzung", "ersetzt, der", "am kleinsten", und "geschlossen" beziehungsweise enthält. Für mehr auf dieser Sache, sieh Innenmaschinenbediener unten.

Beispiele

• In jedem Raum ist das Interieur des leeren Satzes der leere Satz.
• In jedem Raum X, wenn interne Nummer (A) in A enthalten wird.
• Wenn X der Euklidische Raum von reellen Zahlen, dann interne Nummer ([0, 1]) = (0, 1) ist.
• Wenn X der Euklidische Raum ist, dann ist das Interieur des Satzes von rationalen Zahlen leer.
• Wenn X das komplizierte Flugzeug, dann interne Nummer ist
• In jedem Euklidischen Raum ist das Interieur jedes begrenzten Satzes der leere Satz.

Auf dem Satz von reellen Zahlen kann man andere Topologien aber nicht die normale stellen.

• Wenn, wo die niedrigere Grenze-Topologie, dann interne Nummer ([0, 1]) = hat.
• Wenn man auf der Topologie in Betracht zieht, in der jeder Satz, dann interne Nummer ([0, 1]) = [0, 1] offen ist.
• Wenn man auf der Topologie in Betracht zieht, in der die einzigen offenen Sätze der leere Satz und es sind, dann ist interne Nummer ([0, 1]) der leere Satz.

Diese Beispiele zeigen, dass das Interieur eines Satzes von der Topologie des zu Grunde liegenden Raums abhängt. Die letzten zwei Beispiele sind spezielle Fälle des folgenden.

• In jedem getrennten Raum da ist jeder Satz offen, jeder Satz ist seinem Interieur gleich.
• In jedem homogenen Raum X da sind die einzigen offenen Sätze der leere Satz und X selbst, wir haben interne Nummer (X) = X und für jede richtige Teilmenge von X, interne Nummer (A) ist der leere Satz.

Innenmaschinenbediener

Der Innenmaschinenbediener ist dem Verschluss-Maschinenbediener, im Sinn das Doppel-

:S = X \(X \S),

und auch

:S = X \(X \S)

wo X der topologische Raum ist, der S enthält, und sich der umgekehrte Schrägstrich auf den mit dem Satz theoretischen Unterschied bezieht.

Deshalb kann die abstrakte Theorie von Verschluss-Maschinenbedienern und den Verschluss-Axiomen von Kuratowski in die Sprache von Innenmaschinenbedienern, durch das Ersetzen von Sätzen mit ihren Ergänzungen leicht übersetzt werden.

Äußeres eines Satzes

Das Äußere einer Teilmenge S eines topologischen Raums X, angezeigter App. (S) oder App. (S), ist die interne Innennummer (X \S) von seiner Verhältnisergänzung. Wechselweise kann es als X \S, die Ergänzung des Verschlusses von S definiert werden. Viele Eigenschaften folgen auf eine aufrichtige Weise von denjenigen des Innenmaschinenbedieners, solcher als das folgende.

• App. (S) ist ein offener Satz, der mit S zusammenhanglos ist.
• App. (S) ist die Vereinigung aller offenen Sätze, die mit S zusammenhanglos sind.
• App. (S) ist der größte offene Satz, der mit S zusammenhanglos ist.
• Wenn S eine Teilmenge von T ist, dann ist App. (S) eine Obermenge des App. (T).

Verschieden vom Innenmaschinenbediener ist App. nicht idempotent, aber der folgende hält:

• App. (App. (S)) ist eine Obermenge der internen Nummer (S).

Siehe auch

• Algebraisches Interieur
• Innenalgebra
• Kurve-Lehrsatz von Jordan
• Quasiverhältnisinterieur
• Verhältnisinterieur