In der Mathematik ist das surreale Zahl-System ein arithmetisches Kontinuum, das die reellen Zahlen sowie unendlichen und unendlich kleinen Zahlen, beziehungsweise größer enthält, die oder im absoluten Wert kleiner sind als jede positive reelle Zahl. Die surreals teilen viele Eigenschaften mit dem reals, einschließlich eines Gesamtbezugs  und die üblichen arithmetischen Operationen (Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung); als solcher bilden sie ein bestelltes Feld. In einem strengen Satz theoretischer Sinn sind die surrealen Zahlen das größtmögliche bestellte Feld; alle anderen bestellten Felder, wie der rationals, der reals, die vernünftigen Funktionen, das Feld von Levi-Civita, die superechten Zahlen, und die hyperechten Zahlen, sind Teilfelder des surreals (inzwischen, es wurde kürzlich gezeigt, dass die maximale Klasse hyperechtes Feld zur maximalen Klasse surreales Feld isomorph ist). Die surreals enthalten auch alle transfiniten Ordinalzahlen, die in der Mengenlehre erreichbar sind, in der sie gebaut werden.

Die Definition und der Aufbau des surreals sind wegen John Horton Conways. Sie wurden eingeführt 1974 von Donald Knuth bestellen Surreale Zahlen vor: Wie Zwei Ex-Studenten, die zur Reinen Mathematik und dem Gefundenen Gesamtglück angemacht sind. Dieses Buch ist ein mathematischer Groschenroman, und ist als einer der seltenen Fälle bemerkenswert, wo eine neue mathematische Idee zuerst in einer Arbeit der Fiktion präsentiert wurde. In seinem Buch, das die Form eines Dialogs annimmt, hat Knuth den Begriff surreale Zahlen dafür ins Leben gerufen, was Conway einfach Zahlen ursprünglich genannt hatte. Conway hat den neuen Namen gemocht, und hat ihn später selbst angenommen. Conway hat dann die surrealen Zahlen beschrieben und hat sie verwendet, um Spiele in seinem 1976-Buch Auf Zahlen und Spiele zu analysieren.

Übersicht

Die surrealen Zahlen werden etappenweise, zusammen mit einer Einrichtung  solch das für irgendwelche zwei surrealen Zahlen a und b entweder ein  b oder b  a gebaut. (Sowohl kann halten, in welchem Fall a als auch b gleichwertig sind und dieselbe Zahl anzeigen.) Zahlen werden durch die Paarung von Teilmengen von bereits gebauten Zahlen gebildet: Gegebene Teilmengen L und R von solchen Zahlen, dass alle Mitglieder von L ausschließlich weniger sind als alle Mitglieder von R, dann das Paar {L | R}, vertreten ein Zahl-Zwischenglied im Wert zwischen allen Mitgliedern von L und allen Mitgliedern von R.

Verschiedene Teilmengen können damit enden, dieselbe Zahl zu definieren: {L | R} und {L′ | R′} kann dieselbe Zahl selbst wenn L  L&prime definieren; und R  R′. (Ein ähnliches Phänomen kommt vor, wenn rationale Zahlen als Quotienten von ganzen Zahlen definiert werden: 1/2 und 2/4 sind verschiedene Darstellungen derselben rationalen Zahl.) Also genau genommen sind die surrealen Zahlen Gleichwertigkeitsklassen von Darstellungen der Form {L | R}, die dieselbe Zahl benennen.

In der ersten Stufe des Aufbaus gibt es keine vorher vorhandenen Zahlen, so muss die einzige Darstellung den leeren Satz verwenden: {|}. Diese Darstellung, wo L und R beide leer sind, wird 0 genannt. Nachfolgende Stufen geben Formen nach wie:

: {0 |} = 1

: {1 |} = 2

: {2 |} = 3

und

: {| 0} =

−1

: {| −1} =

−2

: {| −2} =

−3

Die ganzen Zahlen werden so innerhalb der surrealen Zahlen enthalten. Ähnlich entstehen Darstellungen wie:

: {0 | 1} = 1/2

: {0 | 1/2} = 1/4

: {1/2 | 1} = 3/4

so dass die dyadischen rationals (rationale Zahlen, deren Nenner Mächte 2 sind) innerhalb der surrealen Zahlen enthalten werden.

Nach einer unendlichen Zahl von Stufen werden unendliche Teilmengen verfügbar, so dass jede reelle Zahl eine Dose, durch {L | R}, vertreten werden

wo L der Satz des ganzen dyadischen rationals weniger ist als a und

R ist der Satz von allen dyadisch rationals größer als (erinnernd an eine Kürzung von Dedekind). So werden die reellen Zahlen auch innerhalb des surreals eingebettet.

Aber es gibt auch Darstellungen wie

: {0, 1, 2, 3, … |} =

ω

: {0 | 1, 1/2, 1/4, 1/8, …} =

ε

wo ω eine transfinite größere Zahl ist, als alle ganzen Zahlen und ε ein unendlich kleiner größerer sind als 0, aber weniger als jede positive reelle Zahl. Außerdem können die arithmetischen Standardoperationen (Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung) zu diesen nichtreellen Zahlen gewissermaßen erweitert werden, der die Sammlung von surrealen Zahlen in ein bestelltes Feld verwandelt, so dass man über 2ω oder ω &minus sprechen kann; 1 und so weiter.

Aufbau

Surreale Zahlen werden induktiv als Gleichwertigkeitsklassen von Paaren von Sätzen von surrealen Zahlen gebaut, die durch die Bedingung eingeschränkt sind, dass jedes Element des ersten Satzes kleiner ist als jedes Element des zweiten Satzes. Der Aufbau besteht aus drei voneinander abhängigen Teilen: die Bauregel, die Vergleich-Regel und die Gleichwertigkeitsregel.

Formen

Eine Form ist ein Paar von Sätzen von surrealen Zahlen, genannt seinen linken Satz und seinen richtigen Satz. Eine Form mit dem linken Satz L und Recht ist untergegangen R wird {L | R} geschrieben. Wenn L und R als Listen von Elementen gegeben werden, werden die geschweiften Klammern um sie weggelassen.

Entweder oder beide der verlassenen und richtiger Satz einer Form können der leere Satz sein. Die Form {{} | {}} sowohl mit verlassenem als auch mit Recht ist leer untergegangen wird auch {|} geschrieben.

Numerische Formen

Bauregel

:A-Form {L | R} ist numerisch, wenn die Kreuzung von L und R der leere Satz ist und jedes Element von R größer ist als jedes Element von L, gemäß der Ordnungsbeziehung  gegeben durch die Vergleich-Regel unten.

Gleichwertigkeitsklassen von numerischen Formen

Die numerischen Formen werden in Gleichwertigkeitsklassen gelegt; jede solche Gleichwertigkeitsklasse ist eine surreale Zahl. Die Elemente des verlassenen und der richtige Satz einer Form werden vom Weltall der surrealen Zahlen (nicht Formen, aber ihrer Gleichwertigkeitsklassen) gezogen.

Gleichwertigkeitsregel

: Zwei numerische Formen x und y sind Formen derselben Zahl (lügen Sie in derselben Gleichwertigkeitsklasse) wenn und nur wenn sowohl x  y als auch y  x. (In den Begriffen des Laien: Wenn keine Zahl größer ist oder weniger als der andere, müssen sie gleich sein.)

Eine Einrichtungsbeziehung muss antisymmetrisch sein, d. h. sie muss das Eigentum haben, dass x = y (d. h. sind x  y und y  x beide wahr), nur, wenn x und y derselbe Gegenstand sind. Das ist nicht der Fall für surreale Zahl-Formen, aber ist durch den Aufbau für surreale Zahlen (Gleichwertigkeitsklassen) wahr.

Die Gleichwertigkeitsklasse, die {|} enthält, wird 0 etikettiert; mit anderen Worten, {|} ist eine Form der surrealen Nummer 0.

Ordnung

Die rekursive Definition von surrealen Zahlen wird durch das Definieren des Vergleichs vollendet:

In Anbetracht numerischer Formen x = {X | X} und y = {Y | Y}, x  y wenn und nur wenn:

• dort ist nicht solch, dass y  (ist jedes Element im linken Teil von x kleiner als y), und
• dort ist nicht solch, dass  x (ist jedes Element im richtigen Teil von y größer als x).

Ein Vergleich y  c zwischen einer Form y und einer surrealen Nummer c wird durch die Auswahl einer Form z von der Gleichwertigkeitsklasse c und das Auswerten y  z durchgeführt; und ebenfalls für c  x und zum Vergleich b  c zwischen zwei surrealen Zahlen.

Induktion

Diese Gruppe von Definitionen ist rekursiv, und verlangt, dass eine Form der mathematischen Induktion das Weltall von Gegenständen definiert (Formen und Zahlen), die in ihnen vorkommen. Die einzigen surrealen über die begrenzte Induktion erreichbaren Zahlen sind die dyadischen Bruchteile; ein breiteres Weltall ist gegeben eine Form der transfiniten Induktion erreichbar.

Induktionsregel

• Es gibt eine Generation S = {0}, in dem 0 aus der einzelnen Form {} besteht.
• In Anbetracht jeder Ordinalzahl n ist die Generation S der Satz aller surrealen Zahlen, die durch die Bauregel von Teilmengen dessen erzeugt werden

Der Grundfall ist wirklich ein spezieller Fall der Induktionsregel, mit 0 genommenem als ein Etikett für "am wenigsten Ordnungs-". Seitdem dort besteht kein S mit mir

Für jede begrenzte Ordinalzahl n wird S durch die Einrichtung gut bestellt, die durch die Vergleich-Regel auf den surrealen Zahlen veranlasst ist.

Die erste Wiederholung der Induktionsregel erzeugt die drei numerischen Formen {| 0} ist auch eine gültige Form in S, alle Zahlen in S erscheinen auch in S (als Obermengen ihrer Darstellung in S). (Der Satz-Vereinigungsausdruck erscheint in unserer Bauregierung, aber nicht der einfacheren Form S, so dass die Definition auch Sinn hat, wenn n eine Ordnungs-Grenze ist.), wie man sagt, sind Zahlen in S, die eine Obermenge von einer Zahl in S sind, von der Generation i geerbt worden. Der kleinste Wert von α, für den eine gegebene surreale Zahl in S erscheint, wird seinen Geburtstag genannt. Zum Beispiel ist der Geburtstag 0 0, und der Geburtstag 1 ist 1.

Eine zweite Wiederholung der Bauregel gibt die folgende Einrichtung von Gleichwertigkeitsklassen nach:

: {| 1} = {| 1, 0} = {| 1, 1} = {| 1, 0, 1 }\

: enthält vier neue surreale Zahlen. Zwei enthalten Extremal-Formen: {| 1, 0, 1} enthält alle Zahlen von vorherigen Generationen in seinem richtigen Satz, und {1, 0, 1 |} enthält alle Zahlen von vorherigen Generationen in seinem linken Satz. Andere haben eine Form dass Teilungen alle Zahlen von vorherigen Generationen in zwei nichtleere Sätze.

1. Jede surreale Nummer x, die in der vorherigen "Generation" bestanden hat, besteht auch in dieser Generation, und schließt mindestens eine neue Form ein: Eine Teilung aller Zahlen außer x von vorherigen Generationen in einen linken Satz (alle Zahlen weniger als x) und einen richtigen Satz (alle Zahlen, die größer sind als x).
2. Die Gleichwertigkeitsklasse einer Zahl hängt nur vom maximalen Element seines linken Satzes und dem minimalen Element des richtigen Satzes ab.

Die informellen Interpretationen {1 |} und {| 1} sind "die Zahl gerade danach 1" und "die Zahl kurz zuvor 1" beziehungsweise; ihre Gleichwertigkeitsklassen werden 2 und 2 etikettiert. Die informellen Interpretationen {0 | 1} und {1 | 0} sind "die Zahl halbwegs zwischen 0 und 1" und "die Zahl halbwegs zwischen 1 und 0" beziehungsweise; ihre Gleichwertigkeitsklassen werden / und  / etikettiert. Diese Etiketten werden auch durch die Regeln für die surreale Hinzufügung und Multiplikation unten gerechtfertigt.

Die Gleichwertigkeitsklassen in jeder Bühne n der Induktion können durch ihre N-Complete-Formen (jeder charakterisiert werden, so viele Elemente wie möglich vorheriger Generationen in seinen linken und richtigen Sätzen enthaltend). Entweder diese ganze Form enthält jede Zahl von vorherigen Generationen in seinem linken oder richtigen Satz, in welchem Fall das die erste Generation ist, in der diese Zahl vorkommt; oder es enthält alle Zahlen von vorherigen Generationen, aber ein, in welchem Fall es eine neue Form dieser Zahl ist. Wir behalten die Etiketten von der vorherigen Generation für diese "alten" Zahlen, und schreiben die Einrichtung über dem Verwenden der alten und neuen Etiketten:

: 2 / / der größer ist als alle Elemente des linken Satzes von x und weniger als alle Elemente des richtigen Satzes von x. Wenn x von einer Generation früher geerbt wird als n, gibt es kleinst solchen ich, und genau ist eine Nummer c damit kleinster Geburtstag i liegt zwischen dem verlassenen und den richtigen Sätzen von x. x, eine Form dieses c, d. h. es liegt in der Gleichwertigkeitsklasse in S, der eine Obermenge der Darstellung von c in der Generation i ist.

Arithmetik

Die Hinzufügung, Ablehnung (zusätzliches Gegenteil), und Multiplikation der surrealen Zahl bildet x = {X | X}, und y = {Y | Y} werden durch drei rekursive Formeln definiert.

Ablehnung

Die Ablehnung einer gegebenen Nummer x = {X | X} wird durch definiert

:

wo die Ablehnung eines Satzes S Zahlen durch den Satz der verneinten Elemente von S gegeben wird:

:.

Diese Formel schließt die Ablehnung der surrealen Zahlen ein, die im verlassenen und den richtigen Sätzen von x erscheinen, der als das Ergebnis verstanden werden soll, eine Form der Zahl zu wählen, die Ablehnung dieser Form bewertend, und die Gleichwertigkeitsklasse der resultierenden Form nehmend. Das hat nur Sinn, wenn das Ergebnis dasselbe ohne Rücksicht auf die Wahl der Form des operand ist. Das kann induktiv verwendend der Tatsache bewiesen werden, dass die Zahlen, die in X und X vorkommen, von Generationen früher gezogen werden als das, in dem die Form x zuerst, und das Beobachten des speziellen Falls vorkommt:

:-0 = - {|} = {|} = 0.

Hinzufügung

Die Definition der Hinzufügung ist auch eine rekursive Formel:

:

wo:.

Diese Formel schließt Summen von einem der ursprünglichen operands und einer surrealen Zahl ein, die vom verlassenen oder richtigen Satz vom anderen gezogen ist. Diese sollen als das Ergebnis verstanden werden, eine Form des numerischen operand zu wählen, die Summe der zwei Formen durchführend, und die Gleichwertigkeitsklasse der resultierenden Form nehmend. Das hat nur Sinn, wenn das Ergebnis dasselbe ohne Rücksicht auf die Wahl der Form des numerischen operand ist. Das kann auch induktiv mit den speziellen Fällen bewiesen werden:

: 0 + 0 = {|} + {|} = {|} = 0

: x + 0 = x + {|} = {X + 0 | X + 0} = {X | X} = x

: 0 + y = {|} + y = {0 + Y | 0 + Y} = {Y | Y} = y

(Die letzten zwei Fälle werden natürlich selbst induktiv bewiesen.)

Multiplikation

Die rekursive Formel für die Multiplikation enthält arithmetische Ausdrücke, die den operands und ihre linken und richtigen Sätze wie der Ausdruck einschließen, der im linken Satz des Produktes von x und y erscheint. Das soll als der Satz von surrealen Zahlen verstanden werden, die sich aus Auswahl einer Zahl aus jedem Satz ergeben, der im Ausdruck und Auswerten des Ausdrucks auf diesen Zahlen erscheint. (In jeder individuellen Einschätzung des Ausdrucks wird nur eine Zahl aus jedem Satz gewählt, und wird in jedem Platz eingesetzt, wo dieser Satz im Ausdruck erscheint.)

Das hängt abwechselnd von der Fähigkeit zu (a) ab multiplizieren Paare von surrealen Zahlen, die vom verlassenen und den richtigen Sätzen von x und y gezogen sind, um eine surreale Zahl zu bekommen, und das Ergebnis zu verneinen; (b) multiplizieren die surreale Zahl-Form x oder y und eine surreale Zahl, die vom verlassenen oder richtigen Satz des anderen operand gezogen ist, um eine surreale Zahl zu bekommen; und (c) fügen die resultierenden surrealen Zahlen hinzu. Das schließt wieder spezielle Fälle ein, dieses Mal 0 = {|}, die multiplicative Identität 1 = {0 |}, und seine zusätzlichen umgekehrten-1 = {| 0} enthaltend.

:

\scriptstyle xy & \scriptstyle = \scriptstyle \{X_L | X_R \} \{Y_L | Y_R \} \\

& \scriptstyle = \scriptstyle \left\{X_L y + x Y_L - X_L Y_L, X_R y + x Y_R - X_R Y_R | X_L y + x Y_R - X_L Y_R, x Y_L + X_R y - X_R Y_L \right\} \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Konsistenz

Es kann gezeigt werden, dass die Definitionen der Ablehnung, Hinzufügung und Multiplikation, im Sinn dass entsprechen:

• Hinzufügung und Ablehnung werden rekursiv in Bezug auf "die einfachere" Hinzufügung und Ablehnungsschritte definiert, so dass Operationen auf Zahlen mit dem Geburtstag n schließlich völlig in Bezug auf Operationen auf Zahlen mit Geburtstagen weniger ausgedrückt werden als n;
• Multiplikation wird rekursiv in Bezug auf Hinzufügungen, Ablehnungen und "einfachere" Multiplikationsschritte definiert, so dass das Produkt von Zahlen mit dem Geburtstag n schließlich völlig in Bezug auf Summen und Unterschiede von Produkten von Zahlen mit Geburtstagen weniger ausgedrückt wird als n;
• so lange die operands bestimmte surreale Zahl-Formen sind (jedes Element des linken Satzes ist weniger als jedes Element des richtigen Satzes), die Ergebnisse sind wieder bestimmte surreale Zahl-Formen;
• wenn Formen in Gleichwertigkeitsklassen mit der "Geburtstag-Regel" gesammelt werden, hängt das Ergebnis, x zu verneinen oder x und y beizutragen oder zu multiplizieren, von der Wahl der Form von x und y nicht ab; und
• diese Operationen folgen dem associativity, commutativity, dem zusätzlichen Gegenteil und den distributivity Axiomen in der Definition eines Feldes, mit der zusätzlichen Identität 0 = {} und multiplicative Identität 1 = {0}.

Mit diesen Regeln kann man jetzt nachprüfen, dass die in den ersten paar Generationen gefundenen Zahlen richtig etikettiert wurden. Die Bauregel wird wiederholt, um mehr Generationen von surreals zu erhalten:

: S = {0 }\

: S = {1 = {2 / / = {3 / / / / / / / / = {-4 / / / / / / / / / / / / sind dyadische Bruchteile, d. h., kann als ein nicht zu vereinfachender Bruchteil geschrieben werden

wo a und b ganze Zahlen sind und 0  b für begrenzten n als S = angezeigt werden kann. Man kann die drei Klassen S = {0}, S = und S = bilden

In einer passenden Bühne der transfiniten Induktion, wie man erwarten kann, bilden die surrealen Zahlen eine Kategorie, auf der die Hinzufügungs- und Multiplikationsoperationen (sowie der surreale Bauschritt) geschlossen werden, und in dem das multiplicative Gegenteil jeder Nichtnullzahl gefunden werden kann. Annehmend, dass man solch eine Klasse finden kann, setzen die surrealen Zahlen, mit ihrer Einrichtung und diesen algebraischen Operationen, ein bestelltes Feld mit der Verwahrung ein, dass sie keinen Satz, aber eine richtige Klasse bilden. Tatsächlich ist es ein ganz besonderes bestelltes Feld: der größte. Jedes andere bestellte Feld kann im surreals eingebettet werden. (Siehe auch die Definition von rationalen Zahlen und reellen Zahlen.)

"Zur Unendlichkeit..."

Lassen Sie dort, eine Ordnungszahl ω größer zu sein als die natürlichen Zahlen, und S als der Satz aller surrealen Zahlen zu definieren, die durch die Bauregel von Teilmengen von S. erzeugt sind (Das ist derselbe induktive Schritt wie zuvor, da die Ordinalzahl ω die kleinste Ordnungszahl ist, die größer ist als alle natürlichen Zahlen; jedoch ist die Satz-Vereinigung, die im induktiven Schritt erscheint, jetzt eine unendliche Vereinigung von begrenzten Sätzen, und so kann dieser Schritt nur in einer Mengenlehre durchgeführt werden, die solch eine Vereinigung erlaubt.) Eine einzigartige ungeheuer große positive Zahl kommt in S vor:

:

S enthält auch Gegenstände, die als die rationalen Zahlen identifiziert werden können. Zum Beispiel wird durch die ω-Complete-Form des Bruchteils / gegeben:

:

Das Produkt dieser Form / mit jeder Form 3 ist eine Form, deren linker Satz nur Zahlen weniger als 1 enthält, und dessen richtiger Satz nur Zahlen enthält, die größer sind als 1; das Geburtstag-Eigentum deutet an, dass dieses Produkt eine Form 1 ist.

Nicht nur tun der ganze Rest der rationalen Zahlen erscheint in S; die restlichen begrenzten reellen Zahlen tun auch. Zum Beispiel

:.

Die einzige Unendlichkeit in S ist ω und-ω; aber es gibt andere nichtreelle Zahlen in S unter dem reals. Denken Sie die kleinste positive Zahl in S:

:.

Diese Zahl ist größer als Null, aber weniger als alle positiven dyadischen Bruchteile. Es ist deshalb eine unendlich kleine Zahl, häufig hat ε etikettiert. Die ω-Complete-Form von ε (resp.-ε) ist dasselbe als die ω-Complete-Form 0, außer dass 0 ins linke (resp. Recht) Satz eingeschlossen wird. Die einzigen "reinen" infinitesimals in S sind ε und sein zusätzliches Gegenteil-ε; wenn er sie zu jedem dyadischen Bruchteil hinzufügt, erzeugt y die Zahlen y±ε, die auch in S liegen.

Man kann die Beziehung zwischen ω und ε bestimmen, indem man besondere Formen von ihnen multipliziert, um vorzuherrschen:

: ω · ε = {ε · S | ω · S + S + ε · S\.

Dieser Ausdruck ist nur in einer Mengenlehre bestimmt, die transfiniter Induktion bis dazu erlaubt. In solch einem System kann man dass alle Elemente des linken Satzes von ω demonstrieren · ε sind positiver infinitesimals, und alle Elemente des richtigen Satzes sind positive Unendlichkeit, und deshalb ω · ε ist die älteste positive begrenzte Zahl, d. h., 1. Folglich,

: / = ω.

Einige Autoren verwenden systematisch ω im Platz des Symbols ε.

Inhalt von S

In Anbetracht jedes x = {L | R} in S genau ist einer des folgenden wahr:

• L und R sind beide, in welchem Fall x = 0 leer;
• R ist leer, und eine ganze Zahl ist n0 größer als jedes Element von L, in welchem Fall x dem kleinsten solche ganze Zahl n gleichkommt;
• R ist leer, und keine ganze Zahl ist n größer als jedes Element von L, in welchem Fall x + ω gleich ist;
• L ist leer, und eine ganze Zahl ist n0 weniger als jedes Element von R, in welchem Fall x dem größten solche ganze Zahl n gleichkommt;
• L ist leer, und keine ganze Zahl ist n weniger als jedes Element von R, in welchem Fall x-ω gleichkommt;
• L und R sind sowohl nichtleer, als auch:
• ein dyadischer Bruchteil y ist "ausschließlich zwischen" L und R (größer als alle Elemente von L und weniger als alle Elemente von R), in welchem Fall x dem ältesten solcher dyadischer Bruchteil y gleichkommt;
• kein dyadischer Bruchteil y liegt ausschließlich zwischen L und R, aber ein dyadischer Bruchteil ist größer oder gleich allen Elementen von L und weniger als alle Elemente von R, in welchem Fall x y +ε gleichkommt;
• kein dyadischer Bruchteil y liegt ausschließlich zwischen L und R, aber ein dyadischer Bruchteil ist größer als alle Elemente von L und weniger als oder allen Elementen von R gleich, in welchem Fall x y-ε gleichkommt;
• jeder dyadische Bruchteil ist entweder größer als ein Element von R oder weniger als ein Element von L, in welchem Fall x eine reelle Zahl ist, die keine Darstellung als ein dyadischer Bruchteil hat.

S ist nicht ein algebraisches Feld, weil er unter arithmetischen Operationen nicht geschlossen wird; denken Sie ω + 1, dessen Form in keiner Zahl in S liegt. Die maximale Teilmenge von S, der unter (begrenzte Reihe) arithmetische Operationen geschlossen wird, ist das Feld von reellen Zahlen, die durch das Auslassen der Unendlichkeit ±ω, der infinitesimals ±ε, und die unendlich kleinen Nachbarn y±ε jedes dyadischen Nichtnullbruchteils y erhalten sind.

Dieser Aufbau der reellen Zahlen unterscheidet sich von den Kürzungen von Dedekind der Standardanalyse, in der er von dyadischen Bruchteilen aber nicht allgemeinem rationals anfängt und natürlich jeden dyadischen Bruchteil in S mit seinen Formen in vorherigen Generationen identifiziert. (Die ω-Complete-Formen von echten Elementen von S sind in der isomorphen Ähnlichkeit mit dem reals, der durch Kürzungen von Dedekind unter der Bedingung erhalten ist, dass Dedekind reals entsprechend rationalen Zahlen durch die Form vertreten wird, in der der Kürzungspunkt sowohl aus verlassenem als auch aus richtige Sätze weggelassen wird.) Die rationals sind nicht eine identifizierbare Bühne im surrealen Aufbau; sie sind bloß die Teilmenge Q S, der alle Elemente x solch dass x b = für einen a und eine Nichtnull b, beide enthält, die von S angezogen sind. Indem man demonstriert, dass Q unter individuellen Wiederholungen der surrealen arithmetischen Operationen geschlossen wird, kann man zeigen, dass es ein Feld ist; und indem man zeigt, dass jedes Element von Q von S durch eine begrenzte Reihe (nicht mehr erreichbar ist als zwei, wirklich) arithmetischer Operationen einschließlich der multiplicative Inversion, kann man zeigen, dass Q ausschließlich kleiner ist als die Teilmenge von mit dem reals identifiziertem S.

"... und Darüber hinaus."

Ständig, um transfinite Induktion außer S durchzuführen, erzeugt mehr Ordinalzahlen α, jeder vertreten als die größte surreale Zahl, die Geburtstag α hat. (Das ist im Wesentlichen eine Definition der Ordinalzahlen, die sich aus transfiniter Induktion ergeben.) Die erste derartige Ordnungszahl ist ω + 1 = {ω |}. Es gibt eine andere positive unendliche Zahl in der Generation ω + 1:

: ω  1 = {1, 2, 3, 4... | ω}.

Es ist wichtig zu bemerken, dass die surreale Zahl ω  1 nicht eine Ordnungszahl ist; der Ordnungs-ω ist nicht der Nachfolger jeder Ordnungszahl. Das ist eine surreale Zahl mit dem Geburtstag ω + 1, der ω  1 auf der Basis etikettiert wird, dass es mit der Summe von ω = {1, 2, 3, 4... |} und 1 = {| 0} zusammenfällt. Ähnlich gibt es zwei neue unendlich kleine Zahlen in der Generation ω + 1:

: 2ε = ε + ε = {ε | 1 +ε, / + ε, / + ε, / + ε...} und

: ε/2 = ε · / = {0 | ε}.

In einer späteren Bühne der transfiniten Induktion gibt es eine Zahl, die größer ist als ω + k für alle natürlichen Zahlen k:

: 2ω = ω + ω = {ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4... | }\

Diese Zahl kann ω + ω beide etikettiert werden, weil sein Geburtstag ω + ω (die erste Ordinalzahl ist, die von ω durch die Nachfolger-Operation nicht erreichbar ist), und weil es mit der surrealen Summe von ω und ω zusammenfällt; es kann auch 2ω etikettiert werden, weil es mit dem Produkt von ω = {1, 2, 3, 4... |} und 2 = {1 |} zusammenfällt. Es ist die zweite Ordnungs-Grenze; das Erreichen davon von ω über den Bauschritt verlangt eine transfinite Induktion darauf

Bemerken Sie, dass die herkömmliche Hinzufügung und Multiplikation von Ordnungszahlen mit diesen Operationen auf ihren surrealen Darstellungen nicht immer zusammenfallen. Die Summe von Ordnungszahlen 1 + ω kommt ω gleich, aber die surreale Summe ist auswechselbar und erzeugt 1 + ω = ω + 1> ω. Die Hinzufügung und Multiplikation der surrealen mit Ordnungszahlen vereinigten Zahlen fallen mit der natürlichen Summe und dem natürlichen Produkt von Ordnungszahlen zusammen.

Ebenso 2ω ist größer als ω + n für jede natürliche Zahl n, es gibt eine surreale Zahl / der unendlich, aber kleiner ist als ω  n für jede natürliche Zahl n.

: / = {S | ω  S }\

wo x  Y = {x  y | y in Y}. Es kann als das Produkt von ω und der Form {0 | 1} / identifiziert werden. Der Geburtstag / ist die Grenze Ordnungs-2ω.

Mächte von ω

Um die "Ordnungen" von unendlichen und unendlich kleinen surrealen Zahlen, auch bekannt als archimedean Klassen zu klassifizieren, hat Conway zu jeder surrealen Nummer x die surreale Zahl vereinigt

• ω = {0, r ω s ω},

wo sich r und s über die positiven reellen Zahlen erstrecken. Wenn 0  x ungeheuer "größer ist" als ω, in dem es größer ist als r ω für alle reellen Zahlen r. Mächte von ω befriedigen auch die Bedingungen

• ω ω = ω,
• ω = 1/ω,

so benehmen sie sich der Weg, würde man Mächte erwarten sich zu benehmen.

Jede Macht von ω hat auch die Zurückkaufen-Eigenschaft, die einfachste surreale Zahl in seiner archimedean Klasse zu sein; umgekehrt enthält jede archimedean Klasse innerhalb der surrealen Zahlen ein einzigartiges einfachstes Mitglied. So, für jede positive surreale Nummer x dort wird immer eine positive reelle Zahl r und eine surreale Nummer y bestehen, so dass x  r ω ungeheuer "kleiner ist" als x. Die Hochzahl y ist die "Basis ω Logarithmus" von x, der auf dem positiven surreals definiert ist; es kann demonstriert werden, dass Klotz den positiven surreals auf den surreals kartografisch darstellt, und dass Klotz (xy) = (x) + Klotz (y) loggt.

Das wird durch die transfinite Induktion erweitert, so dass jede surreale Nummer x eine "normale Form hat, die" dem Kantoren normale Form für Ordinalzahlen analog ist. Jede surreale Zahl kann als einzigartig geschrieben werden

• x = r ω + r ω + …,

wo jeder r eine reelle Nichtnullzahl ist und die ys eine ausschließlich abnehmende Folge von surrealen Zahlen bilden. Diese "Summe" kann jedoch ungeheuer viele Begriffe haben, und hat im Allgemeinen die Länge einer willkürlichen Ordinalzahl. (Null entspricht natürlich zum Fall einer leeren Folge, und ist die einzige surreale Zahl ohne Haupthochzahl.)

Geschaut auf auf diese Weise ähneln die surrealen Zahlen einem Macht-Reihe-Feld, außer dass die abnehmenden Folgen von Hochzahlen in der Länge durch eine Ordnungszahl begrenzt werden müssen und nicht erlaubt werden, so lange die Klasse von Ordnungszahlen zu sein.

Spiele

Die Definition von surrealen Zahlen hat eine Beschränkung enthalten: Jedes Element von L muss ausschließlich weniger sein als jedes Element von R. Wenn diese Beschränkung fallen gelassen ist, können wir eine allgemeinere als Spiele bekannte Klasse erzeugen. Alle Spiele werden gemäß dieser Regel gebaut:

:Construction-Regel, Wenn L und R zwei Sätze von Spielen dann {L | R} sind, ist ein Spiel.

Hinzufügung, Ablehnung, Multiplikation und Vergleich werden alle derselbe Weg sowohl für surreale Zahlen als auch für Spiele definiert.

Jede surreale Zahl ist ein Spiel, aber nicht alle Spiele sind surreale Zahlen, z.B ist das Spiel 0} nicht eine surreale Zahl. Die Klasse von Spielen ist allgemeiner als der surreals, und hat eine einfachere Definition, aber hat an einigen der netteren Eigenschaften von surrealen Zahlen Mangel. Die Klasse von surrealen Zahlen bildet ein Feld, aber die Klasse von Spielen tut nicht. Die surreals haben einen Gesamtbezug: In Anbetracht irgendwelcher zwei surreals sind sie entweder gleich, oder man ist größer als der andere. Die Spiele haben nur eine teilweise Ordnung: Dort bestehen Sie Paare von Spielen, die weder gleich, größer sind als, noch weniger als einander. Jede surreale Zahl ist entweder positiv, oder Null negativ. Jedes Spiel ist entweder positiv, Null negativ, oder (unvergleichbar mit der Null, solcher als {1 |  1}) kraus.

Eine Bewegung in einem Spiel bezieht den Spieler ein, dessen Bewegung sie ein Spiel aus denjenigen wählt, die in L (für den linken Spieler) oder R (für den richtigen Spieler) verfügbar sind, und dann dieses gewählte Spiel dem anderen Spieler passiert. Ein Spieler, der sich nicht bewegen kann, weil die Wahl vom leeren Satz ist, hat verloren. Ein positives Spiel vertritt einen Gewinn für den linken Spieler, ein negatives Spiel für den richtigen Spieler, ein Nullspiel für den zweiten Spieler, um sich, und ein krauses Spiel für den ersten Spieler zu bewegen, um sich zu bewegen.

Wenn x, y, und z surreals und x=y, dann x z=y z sind. Jedoch, wenn x, y, und z Spiele und x=y sind, dann ist es das x z=y z nicht immer wahr. Bemerken Sie, dass "=" hier Gleichheit, nicht Identität bedeutet.

Anwendung auf die kombinatorische Spieltheorie

Die surrealen Zahlen wurden durch Studien des Spiels ursprünglich motiviert Gehen, und es gibt zahlreiche Verbindungen zwischen populären Spielen und dem surreals. In dieser Abteilung werden wir ein kapitalisiertes Spiel für den mathematischen Gegenstand {L|R} und das Kleinspiel für Erholungsspiele wie Schach verwenden oder Gehen.

Wir denken Spiele mit diesen Eigenschaften:

• Zwei Spieler (genannt Link und Richtig)
• Deterministisch (wird das Spiel an jedem Schritt von den Wahlen völlig abhängen, die die Spieler, aber nicht ein zufälliger Faktor machen)
• Keine verborgene Information (wie Karten oder Ziegel, die ein Spieler verbirgt)
• Spieler lassen das Abwechseln abwechseln (das Spiel kann oder kann vielfache Bewegungen in einer Umdrehung nicht erlauben)
• Jedes Spiel muss in einer begrenzten Zahl von Bewegungen enden
• Sobald es keine gesetzlichen Bewegungen gibt, ist nach einem Spieler, die Spielenden abgereist, und dieser Spieler verliert

Für die meisten Spiele gibt die anfängliche Vorstandsposition keinen großen Vorteil jedem Spieler. Als das Spiel fortschreitet und ein Spieler anfängt, zu gewinnen, zu wohnen, werden Positionen vorkommen, wo dieser Spieler einen klaren Vorteil hat. Um Spiele zu analysieren, ist es nützlich, ein Spiel mit jeder Vorstandsposition zu vereinigen. Der Wert einer gegebenen Position wird das Spiel {L|R} sein, wo L der Satz von Werten aller Positionen ist, die in einer einzelnen Bewegung durch den Linken erreicht werden können. Ähnlich ist R der Satz von Werten aller Positionen, die in einer einzelnen Bewegung durch das Recht erreicht werden können.

Das Nullspiel (hat 0 gerufen), ist das Spiel, wo L und R beide leer sind, so verliert der Spieler, um sich als nächstes (L oder R) zu bewegen, sofort. Die Summe von zwei Spielen G = {L1 | R1} und H = {L2 | wird R2} als das Spiel G + H = {L1 + H, G + L2 | R1 + H, G + R2} definiert, wo der Spieler, um sich zu bewegen, wählt, welches von den Spielen, um in in jeder Bühne zu spielen, und der Verlierer noch der Spieler ist, der ohne gesetzliche Bewegung endet. Man kann sich zwei Schachbretter zwischen zwei Spielern mit Spielern vorstellen, die Bewegungen wechselweise, aber mit der ganzen Freiheit betreffs der Ausschuss machen, darauf zu spielen. Wenn G das Spiel {L | R} ist, ist-G das Spiel {-R |-L}, d. h. mit der Rolle der zwei Spieler hat umgekehrt. Es ist leicht, G - G = 0 für alle Spiele G zu zeigen (wo G - H als G + (-H) definiert wird).

Diese einfache Weise, Spiele mit Spielen zu vereinigen, gibt ein sehr interessantes Ergebnis nach. Nehmen Sie an, dass zwei vollkommene Spieler ein Spiel spielen, das mit einer gegebenen Position anfängt, deren verbundenes Spiel x ist. Wir können alle Spiele in vier Klassen wie folgt einteilen:

• Wenn x> 0 dann Link, unabhängig davon gewinnen wird, wer zuerst spielt.
• Wenn x

• R (x) = {x: α &lt; dom (x)  x (α) =  1\,

dann σ (L (x), R (x)) = x.

Ein Vorteil dieser alternativen Verwirklichung besteht darin, dass Gleichheit Identität, nicht eine induktiv definierte Beziehung ist. Verschieden von der Verwirklichung von Conway der surrealen Zahlen, jedoch, verlangt die Zeichen-Vergrößerung einen vorherigen Aufbau der Ordnungszahlen, während in der Verwirklichung von Conway die Ordnungszahlen als besondere Fälle von surreals gebaut werden.

Jedoch können ähnliche Definitionen gemacht werden das begegnet das Bedürfnis nach dem vorherigen Aufbau der Ordnungszahlen. Zum Beispiel konnten wir den surreals die (rekursiv definierte) Klasse von Funktionen sein lassen, deren Gebiet eine Teilmenge des surreals ist, herrscht Zufriedenheit des transitivity über g  dom f (h  dom g (h  dom f)), und dessen Reihe {, +} ist. "Einfacher als" wird sehr einfach definiert jetzt-x ist einfacher als y wenn x  dom y. Die Gesamteinrichtung wird durch das Betrachten x und y als Sätze von befohlenen Paaren definiert (wie eine Funktion normalerweise definiert wird): Entweder x = y, oder die surreale Nummer z = x  y im Gebiet von x oder dem Gebiet von y ist (oder beide, aber in diesem Fall müssen die Zeichen nicht übereinstimmen). Wir haben dann x ausführlichen Aufbau wird zusammen umgangen. Statt dessen wird eine Reihe von Axiomen gegeben diese jede besondere Annäherung an den surreals muss befriedigen. Viel wie die axiomatische Annäherung an den reals versichern diese Axiome Einzigartigkeit bis zum Isomorphismus.

Ein dreifacher

• leitet die ursprüngliche Definition von Conway von  ab und entwickelt surreale Arithmetik.

Reihe von Hahn

Alling beweist auch, dass das Feld von surrealen Zahlen (als ein bestelltes Feld) zum Feld der Reihe von Hahn mit echten Koeffizienten auf der Wertgruppe von surrealen Zahlen selbst (die Reihe-Darstellung entsprechend der normalen Form einer surrealen Zahl, wie definiert, oben) isomorph ist. Das stellt eine Verbindung zwischen surrealen Zahlen und herkömmlichere mathematische Annäherungen an die bestellte Feldtheorie zur Verfügung.

Beziehung zu hyperreals

Philip Ehrlich hat einen Isomorphismus zwischen dem maximalen surrealen numerischen Feld von Conway und dem maximalen hyperreals in der Mengenlehre von von Neumann-Bernays-Gödel gebaut.

Siehe auch

• Sonderanalyse
• Flugzeuge von Dehn
• Zahl von Surcomplex

Referenzen

Weiterführende Literatur

• Die ursprüngliche Ausstellung von Donald Knuth: Surreale Zahlen: Wie Zwei Ex-Studenten, die zur Reinen Mathematik und dem Gefundenen Gesamtglück angemacht sind. 1974, internationale Standardbuchnummer 0-201-03812-9. Mehr Information kann an der offiziellen Einstiegsseite des Buches gefunden werden
• Eine Aktualisierung des 1976-Buches des Klassikers, das die surrealen Zahlen definiert, und ihre Verbindungen zu Spielen erforscht: Auf Zahlen Und Spielen, 2. Hrsg., John Conway, 2001, internationale Standardbuchnummer 1-56881-127-6.
• Eine Aktualisierung des ersten Teils des 1981-Buches, das surreale Zahlen und die Analyse von Spielen zu einem breiteren Publikum präsentiert hat: Wege für Ihre Mathematischen Spiele, vol gewinnend. 1, 2. Hrsg., Berlekamp, Conway und Guy, 2001, internationale Standardbuchnummer 1-56881-130-6.
• Martin Gardner, Ziegel von Penrose zu Falltür-Ziffern, W. H. Freeman & Co., 1989. Internationale Standardbuchnummer 0-7167-1987-8. Kapitel 4 - nicht besonders technische Übersicht; druckt den 1976-Artikel nach.
• Polly Shulman, "Unendlichkeit Plus Eine und Andere Surreale Zahlen"., Entdecken Sie Dezember 1995.
• Ein ausführlicher, obwohl etwas technisch, Behandlung von surrealen Zahlen: Fundamente der Analyse über Surreale Numerische Felder, Alling, Norman L., 1987, internationale Standardbuchnummer 0-444-70226-1
• Eine Behandlung von surreals hat auf der Verwirklichung der Zeichen-Vergrößerung gestützt: Eine Einführung in die Theorie von Surrealen Zahlen, Gonshor, Verwüstet 1986, internationale Standardbuchnummer 0-521-31205-1
• Eine ausführliche philosophische Entwicklung des Konzepts surrealer Zahlen als ein am meisten Gesamtkonzept der Zahl ist Alain Badiou, Zahl und Zahlen (New York: Regierungsform-Presse, 2008): Internationale Standardbuchnummer 0-7456-3879-1 (Paperback); internationale Standardbuchnummer 0-7456-3878-3 (gebundene Ausgabe)

Links

• Hackenstrings und die 0.999...? = 1 häufig gestellte Fragen, durch A. N. Walker
• Ein sanfter noch gründliche Einführung durch Claus Tøndering
• Gute Mathematik, Schlechte Mathematik: Surreale Zahlen, eine Reihe von Artikeln über surreale Zahlen, ihre Schwankungen und ihre Anwendungen