Exponentialwachstum (einschließlich des Exponentialzerfalls, wenn die Wachstumsrate negativ ist) kommt vor, wenn die Wachstumsrate des Werts einer mathematischen Funktion zum aktuellen Wert der Funktion proportional ist. Im Fall von einem getrennten Gebiet der Definition mit gleichen Zwischenräumen wird es auch geometrisches Wachstum genannt, oder geometrischer Zerfall (bilden die Funktionswerte einen geometrischen Fortschritt).

Die Formel für das Exponentialwachstum einer Variable x an (positiv oder negativ) Wachstumsrate r, als Zeit geht t in getrennten Zwischenräumen (d. h. in Zeiten der ganzen Zahl 0, 1, 2, 3...) weiter, ist

:

wo der Wert von x in der Zeit 0 ist. Zum Beispiel mit einer Wachstumsrate von r = veranlassen 5 % = 0.05, von jedem Wert der ganzen Zahl der Zeit zur folgenden ganzen Zahl gehend, x im zweiten Mal, 1.05mal zu sein (d. h., um 5 % größer als), was es im vorherigen Mal war.

Das Exponentialwachstumsmodell ist auch bekannt als das Malthuswachstumsmodell.

Beispiele

• Biologie
• Die Zahl von Kleinstlebewesen in einer Kultur beide wird exponential zunehmen, bis ein wesentlicher Nährstoff erschöpft wird. Normalerweise spaltet sich der erste Organismus in zwei Tochter-Organismen auf, wer dann jeder Spalt, um sich vier zu formen, wer sich aufgespalten hat, um sich acht, und so weiter zu formen.
• Ein Virus (zum Beispiel SARS oder Pocken) wird sich normalerweise exponential zuerst ausbreiten, wenn keine künstliche Immunisierung verfügbar ist. Jede angesteckte Person kann vielfache neue Leute anstecken.
• Menschliche Bevölkerung, wenn die Zahl von Geburten und Todesfällen pro Person pro Jahr an aktuellen Niveaus bleiben (sondern auch logistisches Wachstum sehen sollte). Zum Beispiel, gemäß dem USA-Volkszählungsbüro, im Laufe der letzten 100 Jahre 1910 bis 2010, nimmt die Bevölkerung der Vereinigten Staaten von Amerika an einer durchschnittlichen Rate von anderthalb Prozent pro Jahr (1.5 %) exponential zu. Das bedeutet, dass die sich verdoppelnde Zeit der amerikanischen Bevölkerung (abhängig von jährlichem Wachstum in der Bevölkerung) etwa 50 Jahre ist.
• Viele Antworten von Wesen zu Stimuli, einschließlich der menschlichen Wahrnehmung, sind logarithmische Antworten, die das Gegenteil von Exponentialantworten sind; die Lautheit und Frequenz des Tons werden logarithmisch sogar mit dem sehr schwachen Stimulus innerhalb der Grenzen der Wahrnehmung wahrgenommen. Das ist der Grund, der, exponential die Helligkeit von Sehstimuli vergrößernd, von Menschen als eine geradlinige Zunahme, aber nicht eine Exponentialzunahme wahrgenommen wird. Das hat Überleben-Wert. Allgemein ist es für die Organismen wichtig, auf Stimuli in einer breiten Reihe von Niveaus von sehr niedrigen Stufen zu sehr hohen Niveaus zu antworten, während die Genauigkeit der Bewertung von Unterschieden an hohen Niveaus des Stimulus für das Überleben viel weniger wichtig ist.
• Physik
• Lawine-Depression innerhalb eines dielektrischen Materials. Ein freies Elektron wird genug beschleunigt durch ein äußerlich angewandtes elektrisches Feld, dass es zusätzliche Elektronen befreit, weil es mit Atomen oder Molekülen der dielektrischen Medien kollidiert. Diese sekundären Elektronen werden auch beschleunigt, größere Zahlen von freien Elektronen schaffend. Das resultierende Exponentialwachstum von Elektronen und Ionen kann schnell führen, um dielektrische Depression des Materials zu vollenden.
• Kernkettenreaktion (das Konzept hinter Kernreaktoren und Kernwaffen). Jeder Uran-Kern, der Spaltung erlebt, erzeugt vielfache Neutronen, von denen jedes von angrenzenden Uran-Atomen gefesselt sein kann, sie zur Spaltung der Reihe nach verursachend. Wenn die Wahrscheinlichkeit der Neutronabsorption die Wahrscheinlichkeit der Neutronflucht (eine Funktion der Gestalt und Masse des Urans), k> 0 und so die Produktionsrate von Neutronen und veranlassten Uran-Spaltungszunahmen exponential in einer nicht kontrollierten Reaktion überschreitet. "Wegen der Exponentialrate der Zunahme an jedem Punkt in der Kettenreaktion werden 99 % der Energie in den letzten 4.6 Generationen veröffentlicht worden sein. Es ist eine angemessene Annäherung, um an die ersten 53 Generationen als eine Latenz-Periode zu denken, bis zur wirklichen Explosion führend, die nur 3-4 Generationen nimmt."
• Das positive Feed-Back innerhalb der geradlinigen Reihe der elektrischen oder electroacoustic Erweiterung kann auf das Exponentialwachstum des verstärkten Signals hinauslaufen, obwohl Klangfülle-Effekten einige Teilfrequenzen des Signals über andere bevorzugen können.
• Wärmeübertragung experimentiert Ertrag-Ergebnisse, deren am besten passen, Linie sind Exponentialzerfall-Kurven.
• Volkswirtschaft
• Wirtschaftswachstum wird in Prozentsatz-Begriffen ausgedrückt, Exponentialwachstum einbeziehend. Zum Beispiel ist amerikanisches BIP pro Kopf in einem Exponentialtempo von etwa zwei Prozent pro Jahr seit zwei Jahrhunderten gewachsen.
• Mehrniveau-Marketing. Exponentialzunahmen werden versprochen, in jedem neuen Niveau eines downline eines Startmitgliedes zu erscheinen, weil jedes nachfolgende Mitglied mehr Menschen rekrutiert.

Finanz

• Zinseszinsen an einem unveränderlichen Zinssatz stellen Exponentialwachstum des Kapitals zur Verfügung. Siehe auch Regel 72.
• Pyramide-Schemas oder Schemas von Ponzi zeigen auch diesen Typ des Wachstums, das auf hohe Gewinne für einige anfängliche Kapitalanleger und Verluste unter großen Zahlen von Kapitalanlegern hinausläuft.
• Computertechnologie
• Die Verarbeitung der Macht von Computern. Siehe auch die technologische und Gesetzeigenartigkeit von Moore (unter dem Exponentialwachstum, es gibt keine Eigenartigkeiten. Die Eigenartigkeit hier ist eine Metapher.).
• In der rechenbetonten Kompliziertheitstheorie verlangen Computeralgorithmen der Exponentialkompliziertheit einen exponential zunehmenden Betrag von Mitteln (z.B Zeit, Computergedächtnis) für nur eine unveränderliche Zunahme in der Problem-Größe. So für einen Algorithmus der Zeitkompliziertheit 2, wenn ein Problem der Größe x = 10 verlangt, dass 10 Sekunden vollenden, und verlangt ein Problem der Größe x = 11 20 Sekunden, dann wird ein Problem der Größe x = 12 40 Sekunden verlangen. Diese Art des Algorithmus wird normalerweise unbrauchbar an sehr kleinen Problem-Größen, häufig zwischen 30 und 100 Sachen (müssen die meisten Computeralgorithmen im Stande sein, viel größere Probleme, bis zu Zehntausende oder sogar Millionen von Sachen in angemessenen Fristen, etwas zu beheben, was mit einem Exponentialalgorithmus physisch unmöglich sein würde). Außerdem helfen die Effekten des Gesetzes von Moore der Situation viel nicht, weil die Verdoppelung der Verarbeiter-Geschwindigkeit Ihnen bloß erlaubt, die Problem-Größe durch eine Konstante zu vergrößern. Z.B. wenn ein langsamer Verarbeiter Probleme der Größe x rechtzeitig t beheben kann, dann konnte ein zweimal so schneller Verarbeiter nur Probleme der Größe x+constant in derselben Zeit t beheben. So sind exponential komplizierte Algorithmen meistenteils unpraktisch, und die Suche nach effizienteren Algorithmen eine der Hauptabsichten der Informatik heute ist.
• Internetverkehrswachstum.

Grundlegende Formel

Eine Menge x hängt exponential rechtzeitig t wenn ab

:

wo die Konstante des Anfangswerts von x, zu sein

:

und der unveränderliche b ist ein positiver Wachstumsfaktor, und τ ist die für x erforderliche Zeit, durch einen Faktor von b zuzunehmen:

:

Wenn τ> 0 und b> 1, dann hat x Exponentialwachstum. Wenn τ

:

Nach einer Stunde oder sechs zehnminutigen Zwischenräumen würde es vierundsechzig Bakterien geben.

Viele Paare (b, τ) einer ohne Dimension nichtnegativen Zahl b und einer Zeitdauer τ (eine physische Menge, die als das Produkt mehrerer Einheiten und einer Einheit der Zeit ausgedrückt werden kann) vertreten dieselbe Wachstumsrate mit dem τ, der proportional ist, um b zu loggen. Weil irgendwelcher b befestigt hat, der 1 nicht gleich ist (z.B e oder 2), wird die Wachstumsrate durch die Nichtnullzeit τ gegeben. Für jede Nichtnullzeit τ die Wachstumsrate wird durch die ohne Dimension positive Zahl b gegeben.

So kann das Gesetz des Exponentialwachstums in verschiedenen, aber mathematisch gleichwertigen Formen, durch das Verwenden einer verschiedenen Basis geschrieben werden. Die meisten Standardformen sind der folgende:

:

x_0\cdot \left (1 + \frac {r} {100} \right) ^ {t/p}, </Mathematik>

wo x die anfängliche Menge x (0) ausdrückt.

Rahmen (negativ im Fall vom Exponentialzerfall):

• Das Wachstum unveränderlicher k ist die Frequenz (Zahl von Zeiten pro Einheitszeit) vom Wachsen durch einen Faktor e; in der Finanz wird es auch die logarithmische Rückkehr genannt, unaufhörlich hat Rückkehr oder Kraft von Interesse zusammengesetzt.
• Die E-Falte-Zeit ist die Zeit, die man braucht, um um einen Faktor e zu wachsen.
• Die sich verdoppelnde Zeit T ist die Zeit, die man braucht, um sich zu verdoppeln.
• Die Prozent-Zunahme r (eine ohne Dimension Zahl) in einer Periode p.

Die Mengen k, und T, und für einen gegebenen p auch r, ließen eine isomorphe Verbindung durch die folgende Gleichung geben (der durch die Einnahme des natürlichen Logarithmus des obengenannten abgeleitet werden kann):

:

wo k = 0 r = 0 und zu und T entspricht unendlich zu sein.

Wenn p die Einheit der Zeit ist, ist der Quotient t/p einfach die Zahl von Einheiten der Zeit. Mit der Notation t für die (ohne Dimension) Zahl von Einheiten der Zeit aber nicht der Zeit selbst kann t/p durch t ersetzt werden, aber für die Gleichförmigkeit ist das hier vermieden worden. In diesem Fall ist die Abteilung durch p in der letzten Formel nicht eine numerische Abteilung auch, aber wandelt eine ohne Dimension Zahl zur richtigen Menge einschließlich der Einheit um.

Eine populäre näher gekommene Methode, für die sich verdoppelnde Zeit von der Wachstumsrate zu berechnen, ist die Regel 70,

d. h.

Neue Darlegung als mit dem Klotz geradliniges Wachstum

Wenn eine Variable x Exponentialwachstum gemäß ausstellt, dann wächst der Klotz (zu jeder Basis) x geradlinig mit der Zeit, wie durch die Einnahme von Logarithmen von beiden Seiten der Exponentialwachstumsgleichung gesehen werden kann:

:

Das erlaubt einer exponential wachsenden Variable, mit einem mit dem Klotz geradlinigen Modell modelliert zu werden. Zum Beispiel, wenn man die Wachstumsrate von zwischenzeitlichen Daten auf x empirisch schätzen möchte, kann man geradlinig Rückwärtsbewegungsklotz x auf t.

Differenzialgleichung

Die Exponentialfunktion befriedigt die lineare Differenzialgleichung:

:wenn es

sagt, dass die Wachstumsrate von x in der Zeit t zum Wert von x (t) proportional ist, und es hat den Anfangswert

:

Weil die Differenzialgleichung durch die Methode der Trennung von Variablen gelöst wird:

::::

Das Verbinden des Anfangswerts gibt:

::

Die Lösung bewirbt sich auch, wo der Logarithmus nicht definiert wird.

Weil eine nichtlineare Schwankung dieses Wachstumsmodells logistische Funktion sieht.

Unterschied-Gleichung

Die Unterschied-Gleichung

:

hat Lösung

:

die Vertretung, dass x Exponentialwachstum erfährt.

Andere Wachstumsraten

Im langen Lauf wird das Exponentialwachstum jeder Art geradliniges Wachstum jeder Art (die Basis der Malthuskatastrophe) sowie jedes polynomische Wachstum, d. h. für den ganzen α einholen:

:

Es gibt eine ganze Hierarchie von denkbaren Wachstumsraten, die langsamer sind als Exponential- und schneller als geradlinig (im langen Lauf). Sieh Grad polynomial#The von den Funktionswerten geschätzter Grad.

Wachstumsraten können auch schneller sein als Exponential-.

In der obengenannten Differenzialgleichung, wenn k Körner auf dem n-ten Quadrat mehr als eine Million Körner auf dem 21. Platz, mehr als eine Million Millionen (auch bekannt als Trillion) auf dem 41. gefordert haben und dort einfach nicht genug Reis in der ganzen Welt für die Endquadrate waren. (von Swirski, 2006)

Weil die Schwankung davon die zweite Hälfte des Schachbrettes in der Verweisung auf den Punkt sieht, wo ein exponential wachsender Faktor beginnt, einen bedeutenden Wirtschaftseinfluss auf eine gesamte Geschäftsstrategie einer Organisation zu haben.

Die Seerose

Französischen Kindern wird eine Geschichte erzählt, in der sie sich vorstellen, einen Teich mit Seerose-Blättern zu haben, die auf der Oberfläche schwimmen. Die Lilie-Bevölkerung verdoppelt sich in der Größe jeden Tag, und wenn verlassen, ungehemmt wird den Teich in 30 Tagen ersticken, alle anderen Wesen im Wasser tötend. Tag für Tag scheint das Werk klein, und so wird es dafür entschieden es zu überlassen, wachsen, bis es den Teich, vor dem Kürzen davon halbbedeckt. Sie werden dann, darauf gefragt, welcher Tag, der vorkommen wird. Das wird offenbart, um der 29. Tag zu sein, und dann dort wird gerade eines Tages den Teich sparen sollen. (Von Wiesen u. a. 1972, p. 29 über Porritt 2005)

Siehe auch

• Albert Bartlett
• Arthrobacter
• Bakterienwachstum
• Zellwachstum
• Dimension von Hausdorff
• Hyperbelwachstum
• Informationsexplosion
• Gesetz, Umsatz zu beschleunigen
• Logistische Kurve
• Malthuswachstumsmodell
• Exponentialalgorithmus
• Asymptotische Notation
• EXPSPACE
• EXPTIME
• Das Gesetz von Moore
• Liste von Exponentialthemen
• Schwamm von Menger

Quellen

• Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers und William W. Behrens III (1972) Die Grenzen zum Wachstum. New York: Universitätsbücher. Internationale Standardbuchnummer 0-87663-165-0
• Porritt, J. Kapitalismus als ob die Weltsachen, Earthscan 2005. Internationale Standardbuchnummer 1-84407-192-8
• Swirski, Peter. Der Literatur und Kenntnisse: Erforschungen im Bericht haben Experimente, Evolution und Spieltheorie Gedacht. New York: Routledge. Internationale Standardbuchnummer 0-415-42060-1
• Thomson, David G. Blueprint zu einer Milliarde: 7 Hauptsache, um Exponentialwachstum, Dez 2005 von Wiley, internationale Standardbuchnummer 0-471-74747-5 Zu erreichen
• Tsirel, S. V. 2004. Auf den Möglichen Gründen für das Hyperexponentialwachstum der Erdbevölkerung. Das mathematische Modellieren der Sozialen und Wirtschaftlichen Dynamik / Hrsg. durch die M. G. Dmitriev und A. P. Petrov, Seiten 367-9. Moskau: Russische Soziale Staatsuniversität, 2004.

Links

• Hochzahl-Rechenmaschine — Eine der besten Weisen zu sehen, wie Hochzahl-Arbeit einfach verschiedene Beispiele versuchen soll. Diese Rechenmaschine ermöglicht Ihnen, in eine Hochzahl und einen Basiswert einzugehen und das Ergebnis zu sehen.
• Exponentialwachstumsrechenmaschine — Diese Rechenmaschine ermöglicht Ihnen, eine Vielfalt von Berechnungen in Zusammenhang mit dem Exponentialverbrauchswachstum durchzuführen.
• Das Verstehen des Exponentialwachstums — Video klammert 8.5 Minuten
• Wachstum in einer begrenzten Welt - Nachhaltigkeit und der Exponentialfunktion — Präsentation
• Dr Albert Bartlett: Arithmetik, Bevölkerung und Energie — Einteilung des Videos und 58 Audiominuten