In der Mathematik sind homogene Koordinaten, die von August Ferdinand Möbius in seiner 1827-Arbeit Der barycentrische Calcül eingeführt sind, ein System von Koordinaten, die in der projektiven Geometrie viel verwendet sind, weil Kartesianische Koordinaten in der Euklidischen Geometrie verwendet werden. Sie haben den Vorteil, dass die Koordinaten von Punkten, einschließlich Punkte an der Unendlichkeit, mit begrenzten Koordinaten vertreten werden können. Formeln, die homogene Koordinaten einschließen, sind häufig einfacher und mehr symmetrisch als ihre Kartesianischen Kollegen. Homogene Koordinaten haben eine Reihe von Anwendungen, einschließlich der Computergrafik und 3D-Computervision, wo sie affine Transformationen und, im Allgemeinen, projektive Transformationen erlauben, durch eine Matrix leicht vertreten zu werden.

Wenn die homogenen Koordinaten eines Punkts mit einem Nichtnullskalar dann multipliziert werden, vertreten die resultierenden Koordinaten denselben Punkt. Eine zusätzliche Bedingung muss auf den Koordinaten hinzugefügt werden, um sicherzustellen, dass nur ein Satz von Koordinaten einem gegebenen Punkt entspricht, so ist die Zahl von erforderlichen Koordinaten, im Allgemeinen, ein mehr als die Dimension des projektiven Raums, der wird betrachtet. Zum Beispiel sind zwei homogene Koordinaten erforderlich, einen Punkt auf der projektiven Linie anzugeben, und drei homogene Koordinaten sind erforderlich, einen Punkt auf dem projektiven Flugzeug anzugeben.

Einführung

Vom projektiven Flugzeug kann als das Euklidische Flugzeug mit zusätzlichen Punkten, so genannten Punkten an der Unendlichkeit, hinzugefügt gedacht werden. Es gibt einen Punkt an der Unendlichkeit für jede Richtung, die informell als die Grenze eines Punkts definiert ist, der sich in dieser Richtung weg von einem festen Punkt bewegt. Wie man sagt, schneiden sich parallele Linien im Euklidischen Flugzeug an einem Punkt an der Unendlichkeit entsprechend ihrer allgemeinen Richtung. Ein gegebener Punkt auf dem Euklidischen Flugzeug wird mit zwei Verhältnissen identifiziert, so entspricht der Punkt dem dreifachen wo. Solch ein dreifaches ist eine Reihe homogener Koordinaten für den Punkt. Bemerken Sie, dass da Verhältnisse verwendet werden, ändert das Multiplizieren der drei homogenen Koordinaten durch einen allgemeinen Nichtnullfaktor den Punkt vertreten - verschieden von Kartesianischen Koordinaten nicht, ein einzelner Punkt kann durch ungeheuer viele homogene Koordinaten vertreten werden.

Die Gleichung einer Linie durch den Punkt kann geschrieben werden, wo l und M nicht beide 0 sind. In der parametrischen Form kann das geschrieben werden. Lassen Sie Z=1/t, so können die Koordinaten eines Punkts auf der Linie geschrieben werden. In homogenen Koordinaten wird das. In der Grenze als t Annäherungsunendlichkeit mit anderen Worten weil rückt der Punkt davon ab, Z wird 0, und die homogenen Koordinaten des Punkts werden. So werden als homogene Koordinaten des Punkts an der Unendlichkeit entsprechend der Richtung der Linie definiert.

Zusammenzufassen:

• Jeder Punkt im projektiven Flugzeug wird durch einen dreifachen, genanntes die homogenen Koordinaten des Punkts vertreten, wo X Y und Z nicht der ganze 0 sind.
• Der durch einen gegebenen Satz von homogenen Koordinaten vertretene Punkt ist unverändert, wenn die Koordinaten mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert werden.
• Umgekehrt vertreten zwei Sätze von homogenen Koordinaten denselben Punkt, wenn, und nur wenn man bei anderem durch das Multiplizieren durch einen gemeinsamen Faktor erhalten wird.
• Wenn Z nicht 0 ist, ist der vertretene Punkt der Punkt im Euklidischen Flugzeug.
• Wenn Z 0 ist, ist der vertretene Punkt ein Punkt an der Unendlichkeit.

Bemerken Sie, dass das dreifache weggelassen wird und keinen Punkt vertritt. Der Ursprung wird dadurch vertreten.

Notation

Einige Autoren verwenden verschiedene Notationen für homogene Koordinaten, welche Hilfe sie von Kartesianischen Koordinaten unterscheiden. Der Gebrauch von Doppelpunkten statt Kommas, zum Beispiel (x:y:z) statt, betont, dass die Koordinaten als Verhältnisse betrachtet werden sollen. Klammern, als darin betonen, dass vielfache Sätze von Koordinaten mit einem einzelnen Punkt vereinigt werden. Einige Autoren verwenden eine Kombination von Doppelpunkten und Klammern, als in [x:y:z].

Gleichartigkeit

Homogene Koordinaten werden durch einen Punkt nicht einzigartig bestimmt, so bestimmt eine Funktion, die auf den Koordinaten, sagen wir, definiert ist, keine Funktion, die auf Punkten als mit Kartesianischen Koordinaten definiert ist. Aber eine Bedingung hat auf den Koordinaten definiert, wie verwendet werden könnte, um eine Kurve zu beschreiben, bestimmt eine Bedingung auf Punkten, wenn die Funktion homogen ist. Nehmen Sie spezifisch an, dass es einen solchen k dass gibt

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Wenn eine Reihe von Koordinaten denselben Punkt wie dann vertritt, kann er für einen Nichtnullwert von λ geschrieben werden. Dann

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Ein Polynom des Grads k kann in ein homogenes Polynom durch das Ersetzen x mit x/z, y mit y/z und das Multiplizieren durch z, mit anderen Worten durch das Definieren verwandelt werden

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Die resultierende Funktion f ist ein Polynom, so hat es Sinn sich auszustrecken, verdreifacht sich sein Gebiet dazu wo. Der Prozess kann durch das Setzen, oder umgekehrt werden

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Von der Gleichung kann dann als die homogene Form dessen gedacht werden, und es definiert dieselbe Kurve, wenn eingeschränkt, auf das Euklidische Flugzeug. Zum Beispiel ist die homogene Form der Gleichung der Linie

Andere Dimensionen

Die Diskussionen in den vorhergehenden Abteilungen gelten analog für projektive Räume außer dem Flugzeug. So können die Punkte auf der projektiven Linie von Paaren von Koordinaten, nicht beider Null vertreten werden. In diesem Fall ist der Punkt an der Unendlichkeit. Ähnlich werden die Punkte im projektiven N-Raum durch (n + 1) - Tupel vertreten.

Alternative Definition

Eine andere Definition des projektiven Raums kann in Bezug auf Gleichwertigkeitsklassen gegeben werden. Für das Nichtnullelement von R, definieren Sie, um zu bedeuten, dass es eine Nichtnull λ so dass gibt. Dann ist ~ eine Gleichwertigkeitsbeziehung, und das projektive Flugzeug kann als die Gleichwertigkeitsklassen von R &minus definiert werden; {0}. Wenn eines von Elementen der Gleichwertigkeitsklasse p dann ist, werden diese genommen, um homogene Koordinaten von p zu sein.

Linien in diesem Raum werden definiert, um Sätze von Lösungen von Gleichungen der Form zu sein, wo nicht alle a, b und c Null sind. Die Bedingung hängt nur von der Gleichwertigkeitsklasse so der Gleichung ab definiert eine Reihe von Punkten in der projektiven Linie. Kartografisch darzustellen, definiert eine Einschließung vom Euklidischen Flugzeug bis das projektive Flugzeug, und die Ergänzung des Images ist der Satz von Punkten mit z=0. Das ist die Gleichung einer Linie gemäß der Definition, und die Ergänzung wird die Linie an der Unendlichkeit genannt.

Die Gleichwertigkeitsklassen, p, sind die Linien durch den Ursprung mit dem entfernten Ursprung. Der Ursprung spielt keine wesentliche Rolle in der vorherigen Diskussion wirklich, so kann es zurück hinzugefügt werden in, ohne die Eigenschaften des projektiven Flugzeugs zu ändern. Das erzeugt eine Schwankung auf der Definition, nämlich das projektive Flugzeug wird als der Satz von Linien in R definiert, die den Ursprung durchführen und die Koordinaten eines Nichtnullelements einer Linie genommen werden, um homogene Koordinaten der Linie zu sein. Diese Linien werden jetzt als Punkte im projektiven Flugzeug interpretiert.

Wieder gilt diese Diskussion analog für andere Dimensionen. So der projektive Raum der Dimension kann n als der Satz von Linien durch den Ursprung in R definiert werden.

Elemente außer Punkten

Die Gleichung einer Linie im projektiven Flugzeug kann als gegeben werden, wo s, t und u Konstanten sind. Jeder verdreifacht sich bestimmt eine Linie, die bestimmte Linie ist unverändert, wenn sie mit einem Nichtnullskalar multipliziert wird, und mindestens ein von s, t und u Nichtnull sein müssen. So kann das dreifache genommen werden, um homogene Koordinaten einer Linie im projektiven Flugzeug zu sein, das Linienkoordinaten im Vergleich mit Punkt-Koordinaten ist. Wenn in sx + ty + uz = 0 die Briefe s, t und u als Variablen und x, y genommen werden und z als Konstanten dann genommen werden, wird Gleichung eine Gleichung von einer Reihe von Linien im Raum von allen Linien im Flugzeug. Geometrisch vertritt es den Satz von Linien, die gehen, obwohl der Punkt und als die Gleichung des Punkts in Linienkoordinaten interpretiert werden kann. Ebenso können Flugzeuge im 3-Räume-Sätze von vier homogenen Koordinaten und so weiter für höhere Dimensionen gegeben werden.

Dualität

Dieselbe Beziehung kann entweder die Gleichung einer Linie oder die Gleichung eines Punkts betrachtet werden. Im Allgemeinen gibt es keinen Unterschied entweder algebraisch oder logisch zwischen den homogenen Koordinaten von Punkten und Linien. So Flugzeug-Geometrie mit Punkten als die grundsätzlichen Elemente und Flugzeug-Geometrie mit Linien weil sind die grundsätzlichen Elemente abgesehen von der Interpretation gleichwertig. Das führt zum Konzept der Dualität in der projektiven Geometrie, der Grundsatz, dass die Rollen von Punkten und Linien in einem Lehrsatz in der projektiven Geometrie ausgewechselt werden können, und das Ergebnis wird auch ein Lehrsatz sein. Analog ist die Theorie von Punkten im 3-Räume-projektiven zur Theorie von Flugzeugen im projektiven 3-Räume- und so weiter für höhere Dimensionen Doppel-.

Koordinaten von Plücker

Das Zuweisen von Koordinaten zu Linien im 3-Räume-projektiven ist mehr kompliziert, da es scheinen würde, dass an der Summe von 8 Koordinaten, entweder die Koordinaten von zwei Punkten, die auf der Linie oder den zwei Flugzeugen liegen, deren Kreuzung die Linie ist. Eine nützliche Methode, wegen Julius Plückers, schafft eine Reihe sechs Koordinate als die Determinanten und auf der Linie. Der Plücker, der einbettet, ist die Generalisation davon, um homogene Koordinaten von Elementen jeder Dimension M in einem projektiven Raum der Dimension n zu schaffen.

Anwendung auf den Lehrsatz von Bézout

Der Lehrsatz von Bézout sagt voraus, dass die Zahl von Punkten der Kreuzung von zwei Kurven dem Produkt ihrer Grade (das Annehmen eines algebraisch ganzen Feldes und mit der bestimmten Vereinbarung gleich ist, die gefolgt ist, um Kreuzungsvielfältigkeit aufzuzählen). Der Lehrsatz von Bézout sagt voraus, dass es einen Punkt der Kreuzung von zwei Linien gibt und im Allgemeinen das wahr ist, aber wenn die Linien parallel sind, ist der Punkt der Kreuzung unendlich. Homogene Koordinaten können verwendet werden, um den Punkt der Kreuzung in diesem Fall ausfindig zu machen. Ähnlich sagt der Lehrsatz von Bézout voraus, dass eine Linie einen konischen an zwei Punkten durchschneiden wird, aber in einigen Fällen ein oder beide der Punkte ist unendlich und homogene Koordinaten verwendet werden müssen, um sie ausfindig zu machen. Zum Beispiel, und haben Sie nur einen Punkt der Kreuzung im begrenzten Flugzeug. Um den anderen Punkt der Kreuzung zu finden, wandeln Sie die Gleichungen in die homogene Form um, und. Das erzeugt und, nicht annehmend, alle x, y und z sind 0, die Lösungen sind und. Diese erste Lösung ist der Punkt in Kartesianischen Koordinaten, der begrenzte Punkt der Kreuzung. Die zweiten Lösungen geben die homogenen Koordinaten, der der Richtung der Y-Achse entspricht. Für die Gleichungen und gibt es keine begrenzten Punkte der Kreuzung. Das Umwandeln der Gleichungen in die homogene Form gibt und. Das Lösen erzeugt die Gleichung, die eine doppelte Wurzel daran hat. Von der ursprünglichen Gleichung, so da muss mindestens eine Koordinate Nichtnull sein. Deshalb ist der Punkt der Kreuzung, die mit der Vielfältigkeit 2 in Übereinstimmung mit dem Lehrsatz aufgezählt ist.

Kreisförmige Punkte

Die homogene Form für die Gleichung eines Kreises ist. Die Kreuzung dieser Kurve mit der Linie an der Unendlichkeit kann durch das Setzen gefunden werden. Das erzeugt die Gleichung, die zwei Lösungen im komplizierten projektiven Flugzeug hat, und. Diese Punkte werden die kreisförmigen Punkte an der Unendlichkeit genannt und können als die allgemeinen Punkte der Kreuzung aller Kreise betrachtet werden. Das kann zu Kurven der höheren Ordnung als kreisförmige algebraische Kurven verallgemeinert werden.

Ein allgemein bekannter Typ von homogenen Koordinaten ist Trilinear-Koordinaten.

Änderung von Koordinatensystemen

Da die Auswahl an Äxten in der Kartesianischen Koordinate etwas willkürlich ist, ist die Auswahl an einem einzelnen System von homogenen Koordinaten aus allen möglichen Systemen etwas willkürlich. Deshalb ist es nützlich zu wissen, wie die verschiedenen Systeme mit einander verbunden sind.

Lassen Sie, die homogenen Koordinaten eines Punkts im projektiven Flugzeug und für eine feste Matrix zu sein

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damit, definieren Sie einen neuen Satz von Koordinaten durch die Gleichung

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Multiplikation durch einen Skalar läuft auf die Multiplikation durch denselben Skalar, und X, Y hinaus, und Z kann nicht der ganze 0 sein, wenn x, y und z die ganze Null nicht sind, da A nichtsingulär ist. So sind ein neues System von homogenen Koordinaten für Punkte im projektiven Flugzeug. Wenn z an 1 dann befestigt wird

:sind

zu den unterzeichneten Entfernungen vom Punkt bis die Linien proportional

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(Die unterzeichnete Entfernung ist die Entfernung hat ein Zeichen 1 oder 1 multipliziert, abhängig von der Seite der Linie der Punkt liegt.) Bemerken, dass für den Wert von X einfach eine Konstante, und ähnlich für Y und Z ist.

Die drei Linien,

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in homogenen Koordinaten oder

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im System, formen Sie sich ein Dreieck hat das Dreieck der Verweisung für das System genannt.

Koordinaten von Barycentric

Die ursprüngliche Formulierung von Möbius von homogenen Koordinaten hat die Position eines Punkts als das Zentrum der Masse (oder barycenter) von einem System von drei an den Scheitelpunkten eines festen Dreiecks gelegten Punkt-Massen angegeben. Punkte innerhalb des Dreiecks werden durch positive Massen vertreten, und Punkte außerhalb des Dreiecks werden durch das Erlauben negativer Massen vertreten. Das Multiplizieren der Massen im System durch einen Skalar betrifft das Zentrum der Masse nicht, so ist das ein spezieller Fall eines Systems von homogenen Koordinaten.

Koordinaten von Trilinear

Lassen Sie l, M, n drei Linien im Flugzeug sein und eine Reihe von Koordinaten X, Y und Z eines Punkts p als die unterzeichneten Entfernungen von p bis diese drei Linien zu definieren. Diese werden die trilinear Koordinaten von p in Bezug auf das Dreieck genannt. Genau genommen sind diese nicht homogen, seit den Werten von X werden Y und Z genau nicht nur bis zur Proportionalität bestimmt. Es gibt eine geradlinige Beziehung zwischen ihnen jedoch, so können diese Koordinaten homogen durch das Erlauben von Vielfachen gemacht werden, denselben Punkt zu vertreten. Mehr allgemein, X, kann Y und Z als Konstanten p, r und q Zeiten die Entfernungen zu l, M und n definiert werden, auf ein verschiedenes System von homogenen Koordinaten mit demselben Dreieck der Verweisung hinauslaufend. Das, ist tatsächlich, der allgemeinste Typ des Systems von homogenen Koordinaten für Punkte im Flugzeug, wenn keine der Linien die Linie an der Unendlichkeit ist.

Verwenden Sie in der Computergrafik

Homogene Koordinaten sind in der Computergrafik allgegenwärtig, weil sie allgemeine Operationen wie Übersetzung, Folge erlauben, kletternd und als Matrixoperationen durchzuführender Perspektivevorsprung. Moderne Grafikkarten von OpenGL und DirectX nutzen das aus, um einen Scheitelpunkt shader effizient mit Vektor-Verarbeitern mit 4-Elemente-Registern durchzuführen.

Zum Beispiel im Perspektivevorsprung wird eine Position im Raum mit der Linie davon bis einen festen Punkt genannt das Zentrum des Vorsprungs vereinigt. Der Punkt wird dann zu einem Flugzeug durch die Entdeckung des Punkts der Kreuzung dieses Flugzeugs und der Linie kartografisch dargestellt. Das erzeugt eine genaue Darstellung dessen, wie ein dreidimensionaler Gegenstand zum Auge erscheint. In der einfachsten Situation ist das Zentrum des Vorsprungs der Ursprung, und Punkte werden zum Flugzeug kartografisch dargestellt, im Augenblick in Kartesianischen Koordinaten arbeitend. Für einen gegebenen Punkt im Raum, ist der Punkt, wo sich die Linie und das Flugzeug schneiden. Die jetzt überflüssige Z-Koordinate fallen lassend, wird das. In homogenen Koordinaten wird der Punkt durch und der Punkt vertreten, zu dem er auf dem Flugzeug kartografisch darstellt, wird dadurch vertreten, so kann Vorsprung in der Matrixform als vertreten werden

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Matrices, der andere geometrische Transformationen vertritt, kann damit und einander durch die Matrixmultiplikation verbunden werden. Infolgedessen kann jeder Perspektivevorsprung des Raums als eine einzelne Matrix vertreten werden.

Siehe auch

• Umkehrende Ringgeometrie

Links

• Jules Bloomenthal und Jon Rokne, Homogene Koordinaten

http://www.unchainedgeometry.com/jbloom/pdf/homog-coords.pdf