In der Algebra und Geometrie ist eine Gruppenhandlung eine Beschreibung von symmetries von Gegenstand-Verwenden-Gruppen. Die wesentlichen Elemente des Gegenstands werden durch einen Satz beschrieben, und die symmetries des Gegenstands werden von der Symmetrie-Gruppe dieses Satzes beschrieben, der aus bijektiven Transformationen des Satzes besteht. In diesem Fall wird die Gruppe auch eine Versetzungsgruppe genannt (besonders, wenn der Satz ist oder nicht ein Vektorraum) oder Transformationsgruppe (besonders, wenn der Satz ein Vektorraum und die Gruppentaten wie geradlinige Transformationen des Satzes ist).

Eine Gruppenhandlung ist eine Erweiterung auf die Definition einer Symmetrie-Gruppe, in der jedes Element der Gruppe wie eine bijektive Transformation (oder "Symmetrie") von einem Satz "handelt", ohne mit dieser Transformation identifiziert zu werden. Das berücksichtigt eine umfassendere Beschreibung des symmetries eines Gegenstands wie ein Polyeder, indem es derselben Gruppe erlaubt wird, mehreren verschiedenen Sätzen von Eigenschaften, wie der Satz von Scheitelpunkten, der Satz von Rändern und der Satz von Gesichtern des Polyeders zu folgen.

Wenn G eine Gruppe ist und X ein Satz dann ist, kann eine Gruppenhandlung als ein Gruppenhomomorphismus h von G bis die symmetrische Gruppe X definiert werden. Die Handlung teilt eine Versetzung X zu jedem Element der Gruppe auf solche Art und Weise zu, der die Versetzung X zugeteilt hat:

• Das Identitätselement von G ist die Identitätstransformation X;
• Ein Produkt gh zwei Elemente von G ist die Zusammensetzung der Versetzungen, die g und h zugeteilt sind.

Da jedes Element von G als eine Versetzung vertreten wird, ist eine Gruppenhandlung auch bekannt als eine Versetzungsdarstellung.

Die durch Gruppenhandlungen zur Verfügung gestellte Abstraktion ist eine starke, weil sie geometrischen Ideen erlaubt, auf abstraktere Gegenstände angewandt zu werden. Viele Gegenstände in der Mathematik ließen natürliche Gruppenhandlungen auf ihnen definieren. Insbesondere Gruppen können anderen Gruppen, oder sogar auf sich folgen. Trotz dieser Allgemeinheit enthält die Theorie von Gruppenhandlungen breit reichende Lehrsätze wie der Bahn-Ausgleicher-Lehrsatz, der verwendet werden kann, um sich tief zu erweisen, läuft auf mehrere Felder hinaus.

Definition

Wenn eine Gruppe ist und ein Satz ist, dann ist eine (linke) Gruppenhandlung von G auf X ein binärer Maschinenbediener:

:

das befriedigt die folgenden zwei Axiome:

Associativity:;

Identität:.

Der Satz X wird einen (linken) G-Satz genannt. Wie man sagt, folgt die Gruppe G X (links).

Von diesen zwei Axiomen, hieraus folgt dass für jeden g in G, die Funktion, die x in X zu g kartografisch darstellt · x ist eine bijektive Karte von X bis X (sein Gegenteil, das die Funktion ist, die x zu g kartografisch darstellt · x). Deshalb kann man eine Gruppenhandlung von G auf X als ein Gruppenhomomorphismus von G in die symmetrische Gruppe Sym (X) aller Bijektionen von X bis X wechselweise definieren.

In der ganzen Analogie kann man eine richtige Gruppenhandlung von G auf X als eine Funktion X × G  X durch die zwei Axiome definieren:

Associativity:; Identität:.

Der Unterschied zwischen linken und richtigen Handlungen ist in der Ordnung, in der ein Produkt wie gh x folgt. Für eine linke Handlung handelt h zuerst und wird von g gefolgt, während für eine richtige Handlung g Taten zuerst und von h gefolgt wird. Von einer richtigen Handlung kann eine linke Handlung durch das Bestehen mit dem inversen Betrieb auf der Gruppe gebaut werden. Wenn eine richtige Handlung ist, dann ist der folgende eine linke Handlung:

:

associativity, befriedigend

:

(g \cdot h) \circ_l x &= x \circ_r (g \cdot h) ^ {-1} = x \circ_r (h^ {-1} \cdot g^ {-1}) \\

&= (x \circ_r h^ {-1}) \circ_r g^ {-1} = (h \circ_l x) \circ_r g^ {-1 }\\\

&= g \circ_l (h \circ_l x)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

und Identität:

:

Jede richtige Handlung hat eine gleichwertige linke Handlung, so nur verlassen Handlungen kann ohne jeden Verlust der Allgemeinheit betrachtet werden. Außerdem ist eine richtige Handlung einer Gruppe darauf dasselbe Ding wie eine linke Handlung seiner entgegengesetzten Gruppe darauf.

Beispiele

• Die Handlung für jede Gruppe wird durch für alle und alle definiert; d. h. die ganze Gruppe veranlasst die Identitätsversetzung darauf.
• Jede Gruppe, folgt d. h. auf zwei natürliche, aber im Wesentlichen verschiedene Weisen: oder. Die letzte Handlung wird häufig die Konjugationshandlung genannt, und eine Exponentialnotation wird für die Variante der richtigen Handlung allgemein verwendet:; Es befriedigt.
• Die symmetrische Gruppe S und seine Untergruppen folgen dem Satz {1, …, n}, indem sie seine Elemente permutieren
• Die Symmetrie-Gruppe eines Polyeders folgt dem Satz von Scheitelpunkten dieses Polyeders. Es folgt auch dem Satz von Gesichtern oder dem Satz von Rändern des Polyeders.
• Die Symmetrie-Gruppe jedes geometrischen Gegenstands folgt dem Satz von Punkten dieses Gegenstands
• Die automorphism Gruppe eines Vektorraums (oder Graph, oder Gruppe oder Ring...) folgt dem Vektorraum (oder Satz von Scheitelpunkten des Graphen, oder Gruppe oder Ring...).
• Der allgemeine geradlinige Gruppen-GL (n, R), spezielle geradlinige Gruppe SL (n, R), orthogonale Gruppe O (n, R), und spezielle orthogonale Gruppe SO (n, R) sind Lüge-Gruppen, die R folgen.
• Die Galois Gruppe einer Felderweiterung E/F folgt dem größeren Feld E. So jede Untergruppe der Gruppe von Galois.
• Die zusätzliche Gruppe der reellen Zahlen (R, +) folgt dem Phase-Raum von "wohl erzogenen" Systemen in der klassischen Mechanik (und in allgemeineren dynamischen Systemen): Wenn t in R ist und x im Phase-Raum ist, dann beschreibt x einen Staat des Systems und t · x wird definiert, um der Staat des Systems t einige Sekunden später zu sein, wenn t positiv ist oder &minus;t vor einigen Sekunden, wenn t negativ ist.
• Die zusätzliche Gruppe der reellen Zahlen (R, +) folgt dem Satz von echten Funktionen einer echten Variable damit (g · f) (x) gleich z.B f (x + g), f (x) + g, oder, aber nicht
• Die quaternions mit dem Modul 1, als eine multiplicative Gruppe, folgen R: Für jeden solchen quaternion ist der kartografisch darstellende f (x) = z x z gegen den Uhrzeigersinn Folge durch einen Winkel über eine Achse v; &minus;z ist dieselbe Folge; sieh quaternions und Raumfolge.
• Die Isometrien des Flugzeugs folgen dem Satz von 2. Images und Mustern wie ein Tapete-Muster. Die Definition kann genauer durch das Spezifizieren gemacht werden, was durch das Image oder Muster gemeint wird; z.B, eine Funktion der Position mit Werten in einer Reihe von Farben.
• Mehr allgemein, eine Gruppe von Bijektionen g: V  V folgen dem Satz von Funktionen x: V  W durch (gx) (v) = x (g (v)) (oder ein eingeschränkter Satz solcher Funktionen, der unter der Gruppenhandlung geschlossen wird). So veranlasst eine Gruppe von Bijektionen des Raums eine Gruppenhandlung auf "Gegenständen" darin.

Typen von Handlungen

Die Handlung von G auf X wird genannt

• wenn X nichtleer ist und wenn gleichwertig
• # Für jeden x, y in X dort besteht ein g in solchem G dass gx = y,
• # Gx = X für den ganzen x in X,
• # Gx = X für einen x in X.
• :Here, Gx = {g.x g in G} ist die Bahn von x unter G.
• Scharf transitiv, wenn das g einzigartig ist; es ist zur Regelmäßigkeit gleichwertig, die unten definiert ist.

• wenn X mindestens n Elemente und für einen pairwise verschiedenen x..., x und pairwise verschiedenen y hat... y gibt es einen g in solchem G dass g.x = y für 1  k  n. Eine 2-transitive Handlung wird auch genannt, eine 3-transitive Handlung wird auch dreifach transitiv und so weiter genannt. Solche Handlungen definieren 2-transitive Gruppen, 3-transitive Gruppen, und multiplizieren transitive Gruppen.
• Scharf n-transitive, wenn es genau einen solchen g gibt. Siehe auch scharf dreifach transitive Gruppen.

• (oder) wenn für irgendwelche zwei verschiedenen g, h in G dort ein x in X solch dass g besteht · x  h · x; oder gleichwertig, wenn für einen g  e in G dort ein x in X solch dass g besteht · x  x. Intuitiv veranlassen verschiedene Elemente von G verschiedene Versetzungen X.

• (oder halbregelmäßig), wenn für einen x in X g.x = h.x g = h einbezieht. Gleichwertig: Wenn dort ein x in X solch besteht, dass g.x = x (d. h. wenn g mindestens einen festen Punkt hat), dann ist g die Identität.

• (oder) wenn es sowohl transitiv als auch frei ist; das ist zum Ausspruch gleichwertig, dass für irgendwelche zwei x, y in X dort genau ein g in solchem G dass g besteht · x = y. In diesem Fall, X ist als ein homogener Hauptraum für G oder als ein G-torsor bekannt.

• wenn es transitiv ist und keine nichttriviale Teilung X bewahrt. Sieh Primitive Versetzungsgruppe für Details.
• Lokal frei, wenn G eine topologische Gruppe ist, und gibt es eine Nachbarschaft U von e in solchem G, dass die Beschränkung der Handlung zu U frei ist; d. h. wenn g · x = x für einen x und einen g in U dann g = e.
• Nicht zu vereinfachend, wenn X ein Nichtnullmodul über einen Ring R ist, ist die Handlung von G R-linear, und es gibt kein invariant richtiges Nichtnulluntermodul.

Jede freie Handlung auf einem nichtleeren Satz ist treu. Eine Gruppe G handelt treu auf X, wenn, und nur wenn der Homomorphismus G  Sym (X) einen trivialen Kern hat. So, für eine treue Handlung, ist G zu einer Versetzungsgruppe auf X isomorph; spezifisch ist G zu seinem Image in Sym (X) isomorph.

Die Handlung jeder Gruppe G auf sich durch die linke Multiplikation ist regelmäßig, und so ebenso treu. Jede Gruppe kann deshalb in der symmetrischen Gruppe auf seinen eigenen Elementen, Sym (G) - ein als der Lehrsatz von Cayley bekanntes Ergebnis eingebettet werden.

Wenn G treu auf X nicht handelt, kann man die Gruppe leicht modifizieren, um eine treue Handlung zu erhalten. Wenn wir N = {g in G definieren: g · x = x für den ganzen x in X\dann ist N eine normale Untergruppe von G; tatsächlich ist es der Kern des Homomorphismus G  Sym (X). Die Faktor-Gruppe G/N handelt treu auf X, indem sie (gN) untergeht · x = g · x. Die ursprüngliche Handlung von G auf X ist wenn und nur wenn N = {e} treu.

Bahnen und Ausgleicher

Betrachten Sie eine Gruppe G als das Folgen einem Satz X. Die Bahn eines Punkts x in X ist der Satz von Elementen X, zu dem x durch die Elemente von G bewegt werden kann. Die Bahn von x wird von Gx angezeigt:

:

Die Definieren-Eigenschaften einer Gruppe versichern, dass der Satz von Bahnen dessen (spitzt x in an), X unter der Handlung von G eine Teilung X bildet. Die verbundene Gleichwertigkeitsbeziehung wird durch den Ausspruch x ~ y definiert, wenn, und nur wenn dort ein g in G mit g besteht · x = y. Die Bahnen sind dann die Gleichwertigkeitsklassen unter dieser Beziehung; zwei Elemente x und y sind gleichwertig, wenn, und nur wenn ihre Bahnen dasselbe sind; d. h., Gx = Gy.

Der Satz aller Bahnen X unter der Handlung von G wird als X/G geschrieben (oder, weniger oft: G \X), und wird den Quotienten der Handlung genannt. In geometrischen Situationen kann es genannt werden, während in algebraischen Situationen es den Raum dessen genannt, und im Vergleich mit dem invariants geschrieben werden kann (befestigte Punkte), hat angezeigt, dass die coinvariants ein Quotient sind, während die invariants eine Teilmenge sind. Die coinvariant Fachsprache und Notation werden besonders in der Gruppe cohomology und Gruppenhomologie verwendet, die dieselbe Tagung des Exponenten/Subschrift verwenden.

Teilmengen von Invariant

Wenn Y eine Teilmenge X ist, schreiben wir GY für den Satz {g · y: y  Y und g  G\. Wir nennen die Teilmenge Y invariant unter G, wenn GY = Y (der zu GY  Y gleichwertig ist). In diesem Fall, G funktioniert auch auf Y. Die Teilmenge Y wird fest unter G wenn g genannt · y = y für den ganzen g in G und den ganzen y in Y. Jede Teilmenge es wird unter G befestigt, ist auch invariant unter G, aber nicht umgekehrt.

Jede Bahn ist eine invariant Teilmenge X, auf dem G transitiv handelt. Die Handlung von G auf X ist transitiv, wenn, und nur wenn alle Elemente gleichwertig sind, bedeutend, dass es nur eine Bahn gibt.

Ausgleicher-Untergruppe

Für jeden x in X definieren wir die Ausgleicher-Untergruppe von x (auch hat die Isotropie-Gruppe oder wenig Gruppe genannt) als der Satz aller Elemente in G, die x befestigen:

:

Das ist eine Untergruppe von G, obwohl normalerweise nicht ein normaler. Die Handlung von G auf X ist frei, wenn, und nur wenn alle Ausgleicher trivial sind. Der Kern N des Homomorphismus G  Sym (X) wird durch die Kreuzung der Ausgleicher G für den ganzen x in X gegeben.

Ein nützliches Ergebnis ist das folgende. Lassen Sie x und y zwei verschiedene Elemente in X sein, und g ein solches Gruppenelement dass sein zu lassen. Dann sind die zwei Isotropie-Gruppen und dadurch verbunden. Lassen Sie uns das beweisen: definitionsgemäß, wenn und nur wenn. Wenn wir uns für beide Seiten dieser Gleichheit wenden, kommen wir; d. h. Das zeigt dass wenn und nur wenn.

Lehrsatz des Bahn-Ausgleichers

Bahnen und Ausgleicher sind nah verbunden. Für einen festen x in X, betrachten Sie die Karte von G bis X als gegeben durch g g · x für den ganzen g G. Das Image dieser Karte ist die Bahn von x, und der coimage ist der Satz von allen hat cosets von G verlassen. Der Standardquotient-Lehrsatz der Mengenlehre gibt dann eine natürliche Bijektion zwischen G/G und Gx. Spezifisch wird die Bijektion durch hG h gegeben · x. Dieses Ergebnis ist als der Lehrsatz des Bahn-Ausgleichers bekannt.

Wenn G und X dann begrenzt sind, gibt der Lehrsatz des Bahn-Ausgleichers, zusammen mit dem Lehrsatz von Lagrange,

:

Dieses Ergebnis ist besonders nützlich, da es verwendet werden kann, um Argumente aufzuzählen.

Bemerken Sie dass, wenn zwei Elemente x und y derselben Bahn gehören, dann sind ihre Ausgleicher-Untergruppen, G und G, verbunden (insbesondere sind sie isomorph). Genauer: wenn y = g · x, dann G = gG g. Wie man sagt, haben Punkte mit verbundenen Ausgleicher-Untergruppen denselben Bahn-Typ.

Ein mit dem Lehrsatz des Bahn-Ausgleichers nah verbundenes Ergebnis ist das Lemma von Burnside:

:

wo X der Satz von durch g befestigten Punkten ist. Dieses Ergebnis ist hauptsächlich des Gebrauches, wenn G und X begrenzt sind, wenn es wie folgt interpretiert werden kann: Die Zahl von Bahnen ist der durchschnittlichen Zahl von pro Gruppenelement befestigten Punkten gleich.

Der Satz von formellen Unterschieden von begrenzten G-Sätzen formt sich ein Ring hat den Ring von Burnside genannt, wo Hinzufügung zur zusammenhanglosen Vereinigung und Multiplikation zum Kartesianischen Produkt entspricht.

Ein G-invariant Element X ist x  X solch dass g · x = x für den ganzen g  G. Der Satz des ganzen x wird X angezeigt und den G-invariants X genannt. Wenn X ein G-Modul ist, X ist die zeroth Gruppe cohomology Gruppe von G mit Koeffizienten in X, und höher cohomology Gruppen sind der abgeleitete functors des functor von G-invariants.

Gruppenhandlungen und groupoids

Der Begriff der Gruppenhandlung kann in einem breiteren Zusammenhang durch das Verwenden der verbundenen Handlung groupoid vereinigt zur Gruppenhandlung, so das Erlauben von Techniken aus der groupoid Theorie wie Präsentationen und fibrations gestellt werden. Weiter sind die stabilisers der Handlung die Scheitelpunkt-Gruppen, und die Bahnen der Handlung sind die Bestandteile, der Handlung groupoid. Für mehr Details, sieh das Buch Topologie und groupoids, der unten Verweise angebracht ist.

Diese Handlung groupoid kommt mit einem morphism, der eine Bedeckung morphism von groupoids ist. Das erlaubt eine Beziehung zwischen solchem morphisms und Bedeckung von Karten in der Topologie.

Morphisms und Isomorphismus zwischen G-Sätzen

Wenn X und Y zwei G-Sätze sind, definieren wir einen morphism von X bis Y, um eine Funktion f zu sein: X  Y solch dass f (g · x) = g · f (x) für den ganzen g in G und den ganzen x in X. Morphisms von G-Sätzen werden auch Equivariant-Karten oder G-Karten genannt.

Wenn solch eine Funktion f bijektiv ist, dann ist sein Gegenteil auch ein morphism, und wir nennen f ein Isomorphismus und die zwei G-Sätze X und Y werden isomorph genannt; zu allen praktischen Zwecken sind sie in diesem Fall nicht zu unterscheidend.

Etwas Beispiel-Isomorphismus:

• Jede regelmäßige G Handlung ist zur Handlung von G auf durch die linke Multiplikation gegebenem G isomorph.
• Jede freie G Handlung ist zu G&times;S isomorph, wo S ein Satz und G-Taten durch die linke Multiplikation auf der ersten Koordinate ist.
• Jede transitive G Handlung ist zur linken Multiplikation durch G auf dem Satz von linkem cosets von einer Untergruppe H von G isomorph.

Mit diesem Begriff von morphism bildet die Sammlung aller G-Sätze eine Kategorie; diese Kategorie ist Grothendieck topos (tatsächlich, einen klassischen metalogic annehmend, dieser topos wird sogar Boolean sein).

Dauernde Gruppenhandlungen

Man denkt häufig dauernde Gruppenhandlungen: Die Gruppe G ist eine topologische Gruppe, X ist ein topologischer Raum und die Karte G &times; X  X sind in Bezug auf die Produkttopologie von G &times dauernd; X. Der Raum X wird auch einen G-Raum in diesem Fall genannt. Das ist tatsächlich eine Generalisation, da jede Gruppe als eine topologische Gruppe betrachtet werden kann, indem sie die getrennte Topologie verwendet. Alle Konzepte haben über noch der Arbeit in diesem Zusammenhang eingeführt, jedoch definieren wir morphisms zwischen G-Räumen, um dauernde mit der Handlung von G vereinbare Karten zu sein. Der Quotient erbt X/G die Quotient-Topologie von X, und wird den Quotient-Raum der Handlung genannt. Die obengenannten Behauptungen über den Isomorphismus für regelmäßige, freie und transitive Handlungen sind für dauernde Gruppenhandlungen nicht mehr gültig.

Wenn G eine getrennte Gruppe ist, die einem topologischen Raum X folgt, ist die Handlung wenn für jeden Punkt x in X richtig diskontinuierlich es gibt eine offene Nachbarschaft U von x in X, solch, dass der Satz von allen, für die aus der Identität nur besteht. Wenn X ein regelmäßiger Bedeckungsraum eines anderen topologischen Raums Y ist, dann ist die Handlung der Deck-Transformationsgruppe auf X sowie seiend frei richtig diskontinuierlich. Jede freie, richtig diskontinuierliche Handlung einer Gruppe G auf einem Pfad-verbundenen topologischen Raum X entsteht auf diese Weise: Die Quotient-Karte X X/G ist eine regelmäßige Bedeckungskarte und die Deck-Transformationsgruppe, ist die gegebene Handlung von G auf X. Außerdem, wenn X einfach verbunden wird, wird die grundsätzliche Gruppe dessen dazu isomorph sein.

Diese Ergebnisse sind im Buch Topology und Groupoids verallgemeinert worden, der unten Verweise angebracht ist, um den grundsätzlichen groupoid des Bahn-Raums einer diskontinuierlichen Handlung einer getrennten Gruppe auf einem Raum von Hausdorff, als, unter angemessenen lokalen Bedingungen, die Bahn groupoid vom grundsätzlichen groupoid des Raums zu erhalten. Das erlaubt Berechnungen wie die grundsätzliche Gruppe des symmetrischen Quadrats eines Raums X, nämlich der Bahn-Raum des Produktes X mit sich unter der Drehungshandlung der zyklischen Gruppe des Auftrags 2, der (x, y) zu (y, x) sendet.

Eine Handlung einer Gruppe G auf einem lokal kompakten Raum X ist cocompact, wenn dort eine Kompaktteilmenge von X solch dass GA = X besteht. Für eine richtig diskontinuierliche Handlung ist cocompactness zur Kompaktheit des Quotient-Raums X/G gleichwertig.

Wie man

sagt, ist die Handlung von G auf X richtig, wenn G&times;X  X&times;X kartografisch darzustellen, der (g, x) sendet (gx, x) eine richtige Karte ist.

Stark dauernde Gruppenhandlung und glatte Punkte

Wenn eine Handlung einer topologischen Gruppe auf einem anderen topologischen Raum ist, sagt man, dass es stark dauernd ist, wenn für alle die Karte g α (x) in Bezug auf die jeweiligen Topologien dauernd ist. Solch eine Handlung veranlasst eine Handlung auf dem Raum der dauernden Funktion auf dadurch.

Der Subraum von glatten Punkten für die Handlung ist der Subraum von solchen Punkten, dass g α (x) glatt ist; d. h. es ist dauernd, und alle Ableitungen sind dauernd.

Generalisationen

Man kann auch Handlungen von monoids auf Sätzen denken, indem man dieselben zwei Axiome wie oben verwendet. Das definiert bijektive Karten und Gleichwertigkeitsbeziehungen jedoch nicht. Sieh Halbgruppenhandlung.

Statt Handlungen auf Sätzen kann man Handlungen von Gruppen und monoids auf Gegenständen einer willkürlichen Kategorie definieren: Fangen Sie mit einem Gegenstand X von einer Kategorie an, und dann definieren Sie eine Handlung auf X als ein monoid Homomorphismus in den monoid von Endomorphismen X. Wenn X einen zu Grunde liegenden Satz hat, dann können alle Definitionen und angegebene Tatsachen vorgetragen werden. Zum Beispiel, wenn wir die Kategorie von Vektorräumen nehmen, erhalten wir Gruppendarstellungen auf diese Mode.

Man kann eine Gruppe G als eine Kategorie mit einem einzelnen Gegenstand ansehen, in dem jeder morphism invertible ist. Eine Gruppenhandlung ist dann nichts als ein functor von G bis die Kategorie von Sätzen, und eine Gruppendarstellung ist ein functor von G bis die Kategorie von Vektorräumen. Ein morphism zwischen G-Sätzen ist dann eine natürliche Transformation zwischen der Gruppenhandlung functors. In der Analogie ist eine Handlung eines groupoid ein functor vom groupoid bis die Kategorie von Sätzen oder zu einer anderen Kategorie.

Ohne die Sprache von Kategorien zu verwenden, kann man den Begriff einer Gruppenhandlung auf einem Satz X erweitern, indem man ebenso seine veranlasste Handlung auf dem Macht-Satz X studiert. Das, ist zum Beispiel, im Studieren der Handlung der großen Gruppe von Mathieu auf einem 24-Sätze- und in der studierenden Symmetrie in bestimmten Modellen der begrenzten Geometrie nützlich.

Siehe auch

• Gewinn-Graph
• Gruppe mit Maschinenbedienern
• Handlung von Monoid

Zeichen

• Braun, Ronald (2006). Topologie und groupoids, Booksurge PLC, internationale Standardbuchnummer 1-4196-2722-8.
• Kategorien und groupoids, P.J. Higgins, herunterladbarer Nachdruck von van Nostrand Notes in der Mathematik, 1971, die sich mit Anwendungen von groupoids in der Gruppentheorie und Topologie befassen.