In der Vektor-Rechnung ist die Matrix von Jacobian (selten) die Matrix aller partiellen Ableitungen der ersten Ordnung eines Vektoren - oder skalargeschätzte Funktion in Bezug auf einen anderen Vektoren. Nehmen Sie F an: R  ist R eine Funktion vom Euklidischen N-Raum bis Euklidische M Raum. Solch eine Funktion wird durch die M reellwertige Teilfunktionen, y (x..., x)..., y (x..., x) gegeben. Die partiellen Ableitungen aller dieser Funktionen (wenn sie bestehen) können in einer m-by-n Matrix, die Matrix von Jacobian J F wie folgt organisiert werden:

:

Diese Matrix wird auch durch angezeigt und. Wenn (x..., x) die üblichen orthogonalen Kartesianischen Koordinaten, ich sind, entspricht th Reihe (ich = 1..., m) dieser Matrix dem Anstieg von mir

Die Jacobian Determinante (hat häufig einfach Jacobian genannt), ist die Determinante der Matrix von Jacobian (wenn).

Diese Konzepte werden nach dem Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi genannt.

Matrix von Jacobian

Der Jacobian einer Funktion beschreibt die Orientierung einer Tangentialebene zur Funktion an einem gegebenen Punkt. Auf diese Weise verallgemeinert Jacobian der Anstieg eines Skalars hat Funktion von vielfachen Variablen geschätzt, die selbst die Ableitung einer skalargeschätzten Funktion eines Skalars verallgemeinert. Ebenfalls kann von Jacobian auch als das Beschreiben des Betrags "des Ausdehnens" gedacht werden, das eine Transformation auferlegt. Zum Beispiel, wenn verwendet wird, um ein Image, Jacobian von f umzugestalten, beschreibt, wie viel das Image in der Nachbarschaft dessen im x und den y Richtungen gestreckt wird.

Wenn eine Funktion differentiable an einem Punkt ist, wird seine Ableitung in Koordinaten von Jacobian gegeben, aber eine Funktion braucht nicht differentiable für zu definierenden Jacobian zu sein, da nur die partiellen Ableitungen erforderlich sind zu bestehen.

Die Wichtigkeit von Jacobian liegt in der Tatsache, dass es die beste geradlinige Annäherung an eine Differentiable-Funktion in der Nähe von einem gegebenen Punkt vertritt. In diesem Sinn ist Jacobian die Ableitung einer Multivariate-Funktion.

Wenn p ein Punkt in R ist und F differentiable an p ist, dann wird seine Ableitung durch J (p) gegeben. In diesem Fall ist die geradlinige Karte, die durch J (p) beschrieben ist, die beste geradlinige Annäherung von F in der Nähe vom Punkt p, im Sinn das

:

für x in der Nähe von p, und wo o die kleine O-Notation (dafür) ist und die Entfernung zwischen x und p ist.

Gewissermaßen sind sowohl der Anstieg als auch Jacobian "die ersten Ableitungen" der erstere die erste Ableitung einer Skalarfunktion von mehreren Variablen, die Letzteren die erste Ableitung einer Vektor-Funktion von mehreren Variablen. Im Allgemeinen kann der Anstieg als eine spezielle Version von Jacobian betrachtet werden: Es ist Jacobian einer Skalarfunktion von mehreren Variablen.

Der Jacobian des Anstiegs hat einen speziellen Namen: die Jute-Matrix, die gewissermaßen die "zweite Ableitung" der Skalarfunktion von mehreren fraglichen Variablen ist.

Gegenteil

Gemäß dem umgekehrten Funktionslehrsatz ist das Matrixgegenteil der Matrix von Jacobian einer Invertible-Funktion die Matrix von Jacobian der umgekehrten Funktion. D. h. für etwas Funktion F: R  R und ein Punkt p in R,

:

Hieraus folgt dass das (skalare) Gegenteil der Determinante von Jacobian einer Transformation die Determinante von Jacobian der umgekehrten Transformation ist.

Gebrauch

Dynamische Systeme

Denken Sie ein dynamisches System der Form x = F (x), wo x die (teilkluge) Zeitableitung von x und F ist: R  ist R dauernd und differentiable. Wenn F (x) = 0, dann ist x ein stationärer Punkt (hat auch einen kritischen Punkt genannt, um mit einem festen Punkt nicht verwirrt zu sein). Das Verhalten des Systems in der Nähe von einem stationären Punkt ist mit dem eigenvalues von J (x), Jacobian von F am stationären Punkt verbunden. Spezifisch, wenn der eigenvalues alle haben einen negativen echten Teil, dann ist das System im Betriebspunkt stabil, wenn jeder eigenvalue einen positiven echten Teil hat, dann ist der Punkt nicht stabil.

Die Methode des Newtons

Ein System von verbundenen nichtlinearen Gleichungen kann wiederholend durch die Methode von Newton gelöst werden. Diese Methode verwendet die Matrix von Jacobian des Gleichungssystems.

Der folgende ist der Detail-Code in MATLAB (obwohl es einen gebauten im 'Jacobian'-Befehl gibt)

fungieren Sie s = jacobian (f, x, tol)

% f ist ein mehrvariabler Funktionsgriff, x ist ein Startpunkt

wenn nargin == 2

tol = 10^ (-5);

Ende

während 1

% wenn x und f (x) Zeilenvektoren sind, müssen wir Operationen hier umstellen

y = x' - jacob (f, x) \f (x)'; % bekommt den folgenden Punkt

wenn Norm (f (y)), wenn die Determinante von Jacobian an p Nichtnull ist. Das ist der umgekehrte Funktionslehrsatz. Außerdem, wenn die Determinante von Jacobian an p positiv ist, dann bewahrt F Orientierung nahe p; wenn es negativ ist, kehrt F Orientierung um. Der absolute Wert der Determinante von Jacobian an p gibt uns den Faktor, durch den die Funktion F ausbreitet oder Volumina nahe p zusammenschrumpfen lässt; das ist, warum es in der allgemeinen Ersatz-Regel vorkommt.

Gebrauch

Die Jacobian Determinante wird verwendet, wenn man eine Änderung von Variablen vornimmt, wenn man ein vielfaches Integral einer Funktion über ein Gebiet innerhalb seines Gebiets bewertet. Um sich für die Änderung von Koordinaten einzustellen, entsteht der Umfang der Determinante von Jacobian als ein multiplicative Faktor innerhalb des Integrals. Normalerweise ist es erforderlich, dass die Änderung von Koordinaten gewissermaßen getan wird, der einen injectivity zwischen den Koordinaten aufrechterhält, die das Gebiet bestimmen. Die Jacobian Determinante wird gewöhnlich infolgedessen gut definiert. Der Jacobian kann auch verwendet werden, um Systeme von Differenzialgleichungen an einem Gleichgewicht-Punkt oder ungefähren Lösungen in der Nähe von einem Gleichgewicht-Punkt zu lösen.

Beispiele

Beispiel 1. Die Transformation von kugelförmigen Koordinaten (r, θ, φ) zu Kartesianischen Koordinaten (x, x, x), wird durch die Funktion F gegeben: R × [0, π] × [0,2π)  R mit Bestandteilen:

:::

Die Jacobian Matrix für diese Koordinatenänderung ist

:

\dfrac {\\teilweiser x_1} {\\teilweise r\& \dfrac {\\teilweiser x_1} {\\teilweiser \theta} & \dfrac {\\teilweiser x_1} {\\teilweiser \phi} \\[3pt]

\dfrac {\\teilweiser x_2} {\\teilweise r\& \dfrac {\\teilweiser x_2} {\\teilweiser \theta} & \dfrac {\\teilweiser x_2} {\\teilweiser \phi} \\[3pt]

\dfrac {\\teilweiser x_3} {\\teilweise r\& \dfrac {\\teilweiser x_3} {\\teilweiser \theta} & \dfrac {\\teilweiser x_3} {\\teilweiser \phi} \\

\end {bmatrix} = \begin {bmatrix}

\sin\theta \, \cos\phi & r \, \cos\theta \, \cos\phi &-r \, \sin\theta \, \sin\phi \\

\sin\theta \, \sin\phi & r \, \cos\theta \, \sin\phi & r \, \sin\theta \, \cos\phi \\

\cos\theta &-r \, \sin\theta & 0

\end {bmatrix}. </Mathematik>

Die Determinante ist R-Sünde θ. Als ein Beispiel, seitdem dV = dx dx dx diese Determinante deutet an, dass das Differenzialvolumen-Element dV = r θ Dr dθ dϕ sündigt. Dennoch ändert sich diese Determinante mit Koordinaten. Um jede Schwankung zu vermeiden, können die neuen Koordinaten als Jetzt definiert werden die Determinante ist zu 1 gleich, und Volumen-Element wird.

Beispiel 2. Die Jacobian Matrix der Funktion F: R  R mit Bestandteilen

::::

ist

:

\dfrac {\\teilweiser y_1} {\\teilweiser x_1} & \dfrac {\\teilweiser y_1} {\\teilweiser x_2} & \dfrac {\\teilweiser y_1} {\\teilweiser x_3} \\[3pt]

\dfrac {\\teilweiser y_2} {\\teilweiser x_1} & \dfrac {\\teilweiser y_2} {\\teilweiser x_2} & \dfrac {\\teilweiser y_2} {\\teilweiser x_3} \\[3pt]

\dfrac {\\teilweiser y_3} {\\teilweiser x_1} & \dfrac {\\teilweiser y_3} {\\teilweiser x_2} & \dfrac {\\teilweiser y_3} {\\teilweiser x_3} \\[3pt]

\dfrac {\\teilweiser y_4} {\\teilweiser x_1} & \dfrac {\\teilweiser y_4} {\\teilweiser x_2} & \dfrac {\\teilweiser y_4} {\\teilweiser x_3} \\

\end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 5 \\0 & 8x_2 &-2 \\x_3\cos (x_1) & 0 & \sin (x_1) \end {bmatrix}. </Mathematik>

Dieses Beispiel zeigt, dass Jacobian keine Quadratmatrix zu sein braucht.

Beispiel 3.

::

Die Jacobian Determinante ist dem gleich.

Das zeigt, wie ein Integral im Kartesianischen Koordinatensystem in ein Integral im Polarkoordinate-System umgestaltet wird:

:.

Beispiel 4.

Die Jacobian Determinante der Funktion F: R  R mit Bestandteilen

:

y_1 &= 5x_2 \\

y_2 &= 4x_1^2 - 2 \sin (x_2x_3) \\

y_3 &= x_2 x_3

\end {richten} </Mathematik> {aus}

ist:

0 & 5 & 0 \\

8 x_1 &-2 x_3 \cos (x_2 x_3) &-2x_2\cos (x_2 x_3) \\

0 & x_3 & x_2

\end {vmatrix} =-8 x_1 \cdot \begin {vmatrix }\

5 & 0 \\

x_3 & x_2

\end {vmatrix} =-40 x_1 x_2. </math>

Davon sehen wir, dass F Orientierung in der Nähe von jenen Punkten umkehrt, wo x und x dasselbe Zeichen haben; die Funktion ist lokal invertible überall außer nahen Punkten wo x = 0 oder x = 0. Intuitiv, wenn Sie mit einem winzigen Gegenstand um den Punkt (1,1,1) anfangen und F auf diesen Gegenstand anwenden, werden Sie einen Gegenstand mit etwa 40mal dem Volumen des ursprünglichen setzen lassen.

Siehe auch

• Pushforward (Differenzial)
• Jute-Matrix

Referenzen

Links

• Mathworld Eine technischere Erklärung von Jacobians